彈性力學(xué)-第三章_應(yīng)變狀態(tài)

1、第三章第三章 應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)變狀態(tài)物體變形位移與應(yīng)變的基本關(guān)系幾何方程應(yīng)變狀態(tài)分析位移的單值連續(xù)性質(zhì)-變形協(xié)調(diào)方程 目錄目錄3.1 3.1 變形與應(yīng)變概念變形與應(yīng)變概念3.2 3.2 主應(yīng)變與主應(yīng)變方向主應(yīng)變與主應(yīng)變方向3.3 3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程應(yīng)變協(xié)調(diào)方程3.1 變形與應(yīng)變概念變形與應(yīng)變概念 由于外部因素載荷或溫度變化 位移位移物體內(nèi)部各點(diǎn)空間位置發(fā)生變化 位移形式_位置的改變與彈性體形狀的變化 剛體位移剛體位移：物體內(nèi)部各點(diǎn)位置變化，但仍保持初始狀態(tài)相對(duì)位置不變。 形狀改變（變形）位移形狀改變（變形）位移：位移不僅使得位置改變，而且改變了物體內(nèi)部各個(gè)點(diǎn)的相對(duì)位置。p位移與位移分量位移與位移分

2、量根據(jù)連續(xù)性假設(shè)，彈性體在根據(jù)連續(xù)性假設(shè)，彈性體在變形前和變形后仍保持為連變形前和變形后仍保持為連續(xù)體。續(xù)體。那么彈性體中某點(diǎn)在變形過那么彈性體中某點(diǎn)在變形過程中由程中由M M（ （x x， ，y y， ，z z） ）移動(dòng)至移動(dòng)至M M （ （ x x， ，y y， ，z z ），），這一過程也將這一過程也將是連續(xù)的。是連續(xù)的。在數(shù)學(xué)上在數(shù)學(xué)上，x x， ，y y， ，z z 必為必為x x， ，y y， ，z z的單值連續(xù)函數(shù)。的單值連續(xù)函數(shù)。3.1 變形變形2設(shè)設(shè)MM=SMM=S為為位移矢量位移矢量，位移矢量位移矢量的三個(gè)分量的三個(gè)分量u u， ，v v， ，w w為為位移分量，位移分量，

3、則則U =x （x，y，z）-x = u（x，y，z） V =y（x，y，z）-y = v（x，y，z） W =z（x，y，z）-z = w（x，y，z） 位移分量位移分量u u，v v，ww也是也是x x，y y，z z的單值連續(xù)函數(shù)。的單值連續(xù)函數(shù)。以后的分析將進(jìn)一步假定位移以后的分析將進(jìn)一步假定位移函數(shù)具有函數(shù)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。 3.1 變形變形3p變形與應(yīng)變分量變形與應(yīng)變分量 為進(jìn)一步研究彈性體的變形情為進(jìn)一步研究彈性體的變形情況，假設(shè)從彈性體中分割出一個(gè)微況，假設(shè)從彈性體中分割出一個(gè)微分六面體單元，其六個(gè)面分別與三分六面體單元，其六個(gè)面分別與三個(gè)坐標(biāo)軸垂。個(gè)坐標(biāo)軸垂。 對(duì)

4、于微分單元體的變形，將分對(duì)于微分單元體的變形，將分為兩個(gè)部分討論。為兩個(gè)部分討論。一是微分單元體一是微分單元體棱邊的伸長和縮短；棱邊的伸長和縮短；二是棱邊之間二是棱邊之間夾角的變化。夾角的變化。彈性力學(xué)分別使用彈性力學(xué)分別使用正正應(yīng)變和切應(yīng)變應(yīng)變和切應(yīng)變表示這兩種變形的。表示這兩種變形的。 3.1 變形變形4 對(duì)于微分平行六面體單對(duì)于微分平行六面體單元，設(shè)其變形前與元，設(shè)其變形前與x，y，z坐標(biāo)軸平行的棱邊分別為坐標(biāo)軸平行的棱邊分別為MA，MB，MC，變形后分別變?yōu)樽冃魏蠓謩e變?yōu)镸A，MB，MC。正應(yīng)變正應(yīng)變_x, y, z表示表示x，y，z軸方向棱邊的軸方向棱邊的相對(duì)伸長相對(duì)伸長度；度； 切

5、應(yīng)變切應(yīng)變_ xy, yz, zx 表示表示x和和y，y和和z，z和和x軸之間軸之間的的夾角變化。夾角變化。xyzyxzzxyM AMAMAC M BM BMBMBC M AM CMCMCA M B ,.2223.1 變形變形5 對(duì)于小變形問題，為了簡化分析，對(duì)于小變形問題，為了簡化分析，將微分單元體分別投影到將微分單元體分別投影到OxyOxy，OyzOyz，OzxOzx平面來討論。平面來討論。 顯然，單元體變形前各棱邊是與坐標(biāo)顯然，單元體變形前各棱邊是與坐標(biāo)面平行的，變形后棱邊將有相應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)；面平行的，變形后棱邊將有相應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)；但我們討論的是小變形問題，這種轉(zhuǎn)動(dòng)所但我們討論的是小變形問題，這

6、種轉(zhuǎn)動(dòng)所帶來的影響較小。帶來的影響較小。 特別是物體位移中不影響變形的計(jì)算，特別是物體位移中不影響變形的計(jì)算，假設(shè)各點(diǎn)的位移僅為自身的大小和形狀的假設(shè)各點(diǎn)的位移僅為自身的大小和形狀的變化所確定，則這種微分線段的轉(zhuǎn)動(dòng)的誤變化所確定，則這種微分線段的轉(zhuǎn)動(dòng)的誤差是十分微小的，不會(huì)導(dǎo)致微分單元體的差是十分微小的，不會(huì)導(dǎo)致微分單元體的變形有明顯的變化。變形有明顯的變化。 3.1 變形變形6 正應(yīng)變正應(yīng)變 微分單元體的棱邊長為微分單元體的棱邊長為dxdx，dydy，dzdz M M點(diǎn)的坐標(biāo)：（點(diǎn)的坐標(biāo)：（x x，y y，z z） M M點(diǎn)的位移分量：點(diǎn)的位移分量：u u（x,y,zx,y,z）,v(x,y

7、,z), w,v(x,y,z), w（x,y,zx,y,z） 首先討論首先討論OxyOxy面上投影面上投影 的變形。的變形。 設(shè)設(shè)mama，mbmb分別為分別為MAMA，MBMB的投影，的投影，mama，mbmb分別為分別為MAMA，MBMB，即變形后的，即變形后的MAMA，MBMB的投影的投影 A A點(diǎn)的位移：點(diǎn)的位移：u(x+dxu(x+dx，y y，z z），），v(x+dxv(x+dx，y y，z z） B B點(diǎn)的位移：點(diǎn)的位移：u(xu(x，y+dyy+dy，z z），），v(xv(x，y+dyy+dy，z z） 將將A A，B B兩點(diǎn)的位移按泰勒級(jí)數(shù)展開，略去二階以上的小兩點(diǎn)的位移

8、按泰勒級(jí)數(shù)展開，略去二階以上的小量，則有量，則有 A點(diǎn)的位移為點(diǎn)的位移為B點(diǎn)的位移為點(diǎn)的位移為,uvudyvdyyy,uvudxvdxxx3.1 變形變形7因?yàn)樗酝砜傻眠@些正應(yīng)變表示了任意一點(diǎn)微分線段的相對(duì)這些正應(yīng)變表示了任意一點(diǎn)微分線段的相對(duì)伸長度。微分線段伸長，則正應(yīng)變大于零，伸長度。微分線段伸長，則正應(yīng)變大于零，反之則小于零。反之則小于零。uuMAmadxudxudxdxxx 3.1 變形變形8以下討論切應(yīng)變表達(dá)關(guān)系。以下討論切應(yīng)變表達(dá)關(guān)系。 因?yàn)橐驗(yàn)?上式的推導(dǎo)中，利用了小變形條件下位移的導(dǎo)數(shù)上式的推導(dǎo)中，利用了小變形條件下位移的導(dǎo)數(shù)是高階小量的結(jié)論。同理可得是高階小量的結(jié)論。同理

9、可得 yx和和 xy可為正或?yàn)樨?fù)，其正負(fù)號(hào)的幾何意義為：可為正或?yàn)樨?fù)，其正負(fù)號(hào)的幾何意義為： yx大大于零，表示位移于零，表示位移v隨坐標(biāo)隨坐標(biāo)x而增加，即而增加，即x方向的微分線段方向的微分線段正向向正向向y軸旋轉(zhuǎn)。將上述兩式代入切應(yīng)變表達(dá)式，軸旋轉(zhuǎn)。將上述兩式代入切應(yīng)變表達(dá)式， 同理同理 切應(yīng)變分量大于零，表示微分切應(yīng)變分量大于零，表示微分線段的夾角縮小，反之則增大。線段的夾角縮小，反之則增大。 3.1 變形變形9綜上所述，應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系為綜上所述，應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系為 上述公式稱為幾何方程，又稱柯西方程上述公式稱為幾何方程，又稱柯西方程（Augustin-Loui

10、s Cauchy于1828年提出） 。 柯西方程給出了位移分量和應(yīng)變分量之間的關(guān)系。如果已柯西方程給出了位移分量和應(yīng)變分量之間的關(guān)系。如果已知位移，由位移函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)即可求得應(yīng)變；知位移，由位移函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)即可求得應(yīng)變；但是如果已知但是如果已知應(yīng)變，由于六個(gè)應(yīng)變分量對(duì)應(yīng)三個(gè)位移分量，則其求解將相應(yīng)變，由于六個(gè)應(yīng)變分量對(duì)應(yīng)三個(gè)位移分量，則其求解將相對(duì)復(fù)雜。對(duì)復(fù)雜。 這個(gè)問題以后作專門討論。這個(gè)問題以后作專門討論。 幾何方程給出的應(yīng)變通常稱為幾何方程給出的應(yīng)變通常稱為工程應(yīng)變工程應(yīng)變。 使用張量符號(hào)，幾何方程可以表達(dá)為：使用張量符號(hào)，幾何方程可以表達(dá)為：3.1 變形變形10 xyzxyyzzxuv

11、wxyzvuwvuwxyyzzx,12iji jj iuu上式表明應(yīng)變分量上式表明應(yīng)變分量 ij 將滿足二階張量的坐將滿足二階張量的坐標(biāo)變換關(guān)系，應(yīng)變張量分量與工程應(yīng)變分標(biāo)變換關(guān)系，應(yīng)變張量分量與工程應(yīng)變分量的關(guān)系可表示為量的關(guān)系可表示為 3.1 變形變形11111213212223313233112211221122xxyxzijxyyyzxzyzz 幾何方程位移導(dǎo)數(shù)表示的應(yīng)變 應(yīng)變描述一點(diǎn)的變形，但還不足以完全描述彈性體的變形 原因是沒有考慮單元體位置的改變 單元體的剛體轉(zhuǎn)動(dòng) 剛性位移可以分解為平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng) 剛性轉(zhuǎn)動(dòng)變形位移的一部分，但是不產(chǎn)生變形。3.1 變形變形12 通過分析彈性體內(nèi)無限

12、鄰近兩點(diǎn)的位置變化，則可得出剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)位移與純變形位移之間的關(guān)系。3.1 變形變形13 設(shè)設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y，z）與與M點(diǎn)鄰近的點(diǎn)鄰近的 位移（位移（u，v，w） N點(diǎn)的坐標(biāo)為（點(diǎn)的坐標(biāo)為（x+dx，y+dy，z+dz） 位移（位移（u+du，v+dv，w+dw） 則則MN兩點(diǎn)的相對(duì)位移為（兩點(diǎn)的相對(duì)位移為（du，dv，dw） 因?yàn)槲灰茷樽鴺?biāo)的函數(shù)，所以因?yàn)槲灰茷樽鴺?biāo)的函數(shù)，所以u(píng)yuyududxdydzxvdvdxdydzxwdwdxdyduzzzxwwzyv3.1 變形變形13111122221122xxyzxzyvvxududxdydzxudxdydzdydzxdxdyd

13、uzuuzzdywwxuyuuyzyxxzduyuyududxdydzxvdvdxdydzxwdwdxdyduzzzxwwzyv)(21, )(21, )(21yuxvxwzuzvywzyx轉(zhuǎn)動(dòng)矢量描述微分單元體的剛性轉(zhuǎn)動(dòng)3.1 變形變形14同理可得同理可得 111122221122xyyyzzxvdvdxdydzyvdxdydzdxdzydxdydzdxdzuuvzvvzzyvxvvyyyxxww111122221122xzyzzyxwywwdwdxdydzzwdxdydzdxdzzdxdydzdwxwwxxxvvzwzduyyzuzz 轉(zhuǎn)動(dòng)分量 zyxzyxwvuzzyzxyzyyxxzx

14、yxxyxzyzddd212121212121ddd000ddd微分單元體的剛性轉(zhuǎn)動(dòng)與協(xié)調(diào)相關(guān)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)位移增量變形位移增量位移增量是由兩部分組成的3.1 變形變形15 必須指出，這里討論的是必須指出，這里討論的是單元體的剛性轉(zhuǎn)動(dòng)單元體的剛性轉(zhuǎn)動(dòng)。對(duì)。對(duì)變形體來說，是隨點(diǎn)而異，是坐標(biāo)的函數(shù)。但對(duì)整個(gè)變形體來說，是隨點(diǎn)而異，是坐標(biāo)的函數(shù)。但對(duì)整個(gè)物體，它們屬于變形的一部分；這三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)分量和六物體，它們屬于變形的一部分；這三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)分量和六個(gè)應(yīng)變分量合在一起，不僅定出了一點(diǎn)鄰近的單元體個(gè)應(yīng)變分量合在一起，不僅定出了一點(diǎn)鄰近的單元體形狀的變化，而且定出了該單元體方位的改變，因此形狀的變化，而且定出了該單

15、元體方位的改變，因此這九個(gè)量全面正確地反映了物體這九個(gè)量全面正確地反映了物體內(nèi)點(diǎn)的位置改變內(nèi)點(diǎn)的位置改變。物。物體內(nèi)所有點(diǎn)的位置改變構(gòu)成了整個(gè)物體的變形。體內(nèi)所有點(diǎn)的位置改變構(gòu)成了整個(gè)物體的變形。 從研究點(diǎn)的變形角度考察，說明應(yīng)變張量是相對(duì)從研究點(diǎn)的變形角度考察，說明應(yīng)變張量是相對(duì)位移張量扣除轉(zhuǎn)動(dòng)張量后，表示單元體純變形的部分。位移張量扣除轉(zhuǎn)動(dòng)張量后，表示單元體純變形的部分。它是一個(gè)對(duì)稱的二階張量，有六個(gè)獨(dú)立分量。它表示它是一個(gè)對(duì)稱的二階張量，有六個(gè)獨(dú)立分量。它表示單元體變形對(duì)稱于對(duì)角線，即垂直棱邊互相轉(zhuǎn)角相等。單元體變形對(duì)稱于對(duì)角線，即垂直棱邊互相轉(zhuǎn)角相等。 應(yīng)變張量決定了一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)，它

16、具有張量的應(yīng)變張量決定了一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)，它具有張量的所有特性。它與載荷引起的應(yīng)力具有對(duì)應(yīng)關(guān)系。下面所有特性。它與載荷引起的應(yīng)力具有對(duì)應(yīng)關(guān)系。下面將對(duì)應(yīng)變張量做進(jìn)一步探討。將對(duì)應(yīng)變張量做進(jìn)一步探討。3.1 變形變形16 變形通過應(yīng)變描述 坐標(biāo)變換時(shí)，應(yīng)變分量是隨之坐標(biāo)改變而變化。 應(yīng)變分量的轉(zhuǎn)軸公式 應(yīng)變張量3.2 主應(yīng)變與主應(yīng)變方向主應(yīng)變與主應(yīng)變方向應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)變狀態(tài)ijjjiijinn333231232221131211212121212121zzyzxyzyyxxzxyxij應(yīng)變張量一旦確定，則任意坐標(biāo)系下的應(yīng)變分量均可確定。因此應(yīng)變狀態(tài)就完全確定。坐標(biāo)變換后各應(yīng)變分量均發(fā)生改變，但作為一個(gè)

17、整體，所描述的應(yīng)變狀態(tài)并未改變。主應(yīng)變與應(yīng)變主軸 切應(yīng)變?yōu)?的方向 應(yīng)變主軸方向的正應(yīng)變應(yīng)變主軸主應(yīng)變3.2 主應(yīng)變主應(yīng)變20)(2121021)(2102121)(nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyx應(yīng)變狀態(tài)特征方程l，m，n齊次線性方程組非零解的條件為方程系數(shù)行列式的值為零 0212121212121zzyzxyzyyxxzxyx032213JJJ展開展開 3.2 主應(yīng)變主應(yīng)變3主應(yīng)變確定應(yīng)變主軸方向變形應(yīng)變不變量ijzxyzxyxzxyyxzyxiiJJJ322221)(41第一，第二和第三應(yīng)變不變量 一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)與坐標(biāo)系選取無關(guān)，因此坐標(biāo)變換不影響應(yīng)變狀態(tài)是確定的。 應(yīng)變

18、不變量就是應(yīng)變狀態(tài)性質(zhì)的表現(xiàn)3.2 主應(yīng)變主應(yīng)變4應(yīng)力張量應(yīng)變張量應(yīng)力不變量應(yīng)變不變量主應(yīng)變和應(yīng)變主軸與主應(yīng)力和應(yīng)力主軸的特性類似各向同性材料，應(yīng)力主軸和應(yīng)變主軸是重合的公式比較公式比較3.2 主應(yīng)變主應(yīng)變5 體積應(yīng)變 彈性體一點(diǎn)體積的改變量 引入體積應(yīng)變有助于 簡化公式3.2 主應(yīng)變主應(yīng)變6*.VVuvwVxyzzyxVVV*三種情況三種情況 0：微分單元體膨脹 0：微分單元體受壓縮 =0：體積是不變3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 數(shù)學(xué)意義： 幾何方程6個(gè)應(yīng)變分量通過3個(gè)位移分量描述 力學(xué)意義變形連續(xù) 彈性體任意一點(diǎn)的變形必須受到其相鄰單元體變形的約束例例3-1 設(shè) x 3x, y 2y,

19、 xy xy, z xz yz 0,求其位移。解解：)(232yfxu顯然該應(yīng)變分量沒有對(duì)應(yīng)的位移。要使這一方程組不矛盾，則六個(gè)應(yīng)變分量必須滿足一定的條件。xxux3yyvy2)(2xgyvxyxgyfyuxvxy)( )( 3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)應(yīng)變協(xié)調(diào)2 出現(xiàn)以上問題的物理解釋出現(xiàn)以上問題的物理解釋 假如物體分割成無數(shù)個(gè)微分六面體單元，變形后每假如物體分割成無數(shù)個(gè)微分六面體單元，變形后每一單元體都發(fā)生形狀改變，如變形不滿足一定的關(guān)一單元體都發(fā)生形狀改變，如變形不滿足一定的關(guān)系，變形后的單元體將不能重新組合成連續(xù)體，其系，變形后的單元體將不能重新組合成連續(xù)體，其間將產(chǎn)生縫隙或嵌入現(xiàn)象間將產(chǎn)生縫隙或

20、嵌入現(xiàn)象 物體變形前后都應(yīng)保持整體和連續(xù)，不應(yīng)該出現(xiàn)空物體變形前后都應(yīng)保持整體和連續(xù)，不應(yīng)該出現(xiàn)空隙和折疊隙和折疊 空隙：位移空隙：位移u，v，w不是連續(xù)函數(shù)不是連續(xù)函數(shù) 折疊：位移折疊：位移u，v，w不是單值函數(shù)不是單值函數(shù) 為使變形后的微分單元體仍能重新組合成為使變形后的微分單元體仍能重新組合成連續(xù)體，應(yīng)變分量必須滿足一定的關(guān)系連續(xù)體，應(yīng)變分量必須滿足一定的關(guān)系 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程應(yīng)變協(xié)調(diào)方程3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)應(yīng)變協(xié)調(diào)3 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程將幾何方程 中的第 1，2，4 式：作如下求偏導(dǎo)運(yùn)算： 23222322223322xyxyuyx yvxxyuvuvx yy xyxx yxy ,zyxyxyzxz

21、wuvzwvuwyzxyvuxyzx以下我們將著手建立各應(yīng)變分量之間應(yīng)滿足的條件。 3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)應(yīng)變協(xié)調(diào)4從幾何方程中消去位移分量，第一式和第二式分別對(duì)y和 x求二階偏導(dǎo)數(shù)然后相加可得)(22222yuxvyxyxxyyxxy23.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)應(yīng)變協(xié)調(diào)5yxxyxyyx22222zyuzyxxyxzyz22對(duì)x求一階偏導(dǎo)數(shù)，則 zyzyxxxxyxzyz22)(分別輪換x,y,z，則可得如下六個(gè)關(guān)系式 3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)應(yīng)變協(xié)調(diào)6u將幾何方程的四，五，六式分別對(duì)z，x，y求一階偏導(dǎo)數(shù)u前后兩式相加并減去中間一式，則,zyxyxyzxzwuvzwvuwyzxyvuxyzxyxzyxzzxzyx

22、yzyzyxxzxxzzyzyyxyxzxyxzyzyxyxzyzxxyxzyzxzzxyzyzxyxy2222222222222222222)(2)(2)(3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)應(yīng)變協(xié)調(diào)7該關(guān)系式由圣維南該關(guān)系式由圣維南（Saint VenantSaint Venant）于）于18641864年提出。年提出。在推導(dǎo)過程中，僅用了在推導(dǎo)過程中，僅用了連續(xù)函數(shù)的求導(dǎo)順序無連續(xù)函數(shù)的求導(dǎo)順序無關(guān)性，所以這組方程的關(guān)性，所以這組方程的本質(zhì)是變形連續(xù)條件。本質(zhì)是變形連續(xù)條件。稱為：稱為：圣維南方程圣維南方程應(yīng)變協(xié)調(diào)方程應(yīng)變協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程相容方程相容方程變形一致條件變形一致條件變形協(xié)調(diào)方程的

23、數(shù)學(xué)意義使3個(gè)位移為未知函數(shù)的六個(gè)幾何方程不相矛盾。變形協(xié)調(diào)方程的物理意義物體變形后每一單元體都發(fā)生形狀改變，如變形不滿足一定的關(guān)系，變形后的單元體將不能重新組合成連續(xù)體，其間將產(chǎn)生縫隙或嵌入現(xiàn)象。為使變形后的物體保持連續(xù)體，應(yīng)變分量必須滿足一定的關(guān)系。 3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)應(yīng)變協(xié)調(diào)8證明證明應(yīng)變協(xié)調(diào)方程是變形連續(xù)的必要和充分條件。從幾何上講若某一初始連續(xù)的物體按給定的應(yīng)變狀態(tài)變形時(shí)，能始終保持連續(xù)，既不開裂，又不重疊；則所給的應(yīng)變是協(xié)調(diào)的，是滿足圣維南方程圣維南方程的。從數(shù)學(xué)上說，圣維南方程圣維南方程是由幾何方程積分出單值連續(xù)位移場的必要條件。下面來證明：如果應(yīng)變分量滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，則對(duì)于單連

24、通域，就可以通過幾何方程積分求得單值連續(xù)的位移分量；因而圣維南方程圣維南方程也是幾何方程可積分的充分條件。3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)應(yīng)變協(xié)調(diào)9位移分量可通過積分它們分別對(duì)坐標(biāo)的一階偏導(dǎo)數(shù)求得，例如3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)應(yīng)變協(xié)調(diào)10a)uuxdxuydyuzdzuxuyuzx，但二、三項(xiàng),式中， 不能直接由幾何方程中給出。為將它們用應(yīng)變分量表達(dá)，取它們對(duì)坐標(biāo)x,y,z的一階偏導(dǎo)數(shù) xuyyuxyAx yuyyvxyxBxyxyy 112212xyxzxyyzxzuuuvwzyzyyzxyxCzyxb)上式右邊已知，用A,B,C表示。如果能通過積分3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)應(yīng)變協(xié)調(diào)11c)AdxBdyCdz求得單值連續(xù)函數(shù)

25、uy,并按同理求得 uz則再利用式a)即可立即求得位移分量U(x,y,z) 。由積分式c) 求出單值連續(xù)的uy的充分且必要條件為 AzCxBxAyCyBz,d)21212xxxyyzxzxyyzxzAzzyy zCxxzyxxzyx 3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)應(yīng)變協(xié)調(diào)1222222xyyxyyxxBxxyxxyxAyyyy 22xyyzxzxxzyxy z 2212xyyzxzxyyxyyCyyzyxBzzyxz yz x 22222yxyxyxx y 222122xyyyyzxyxzxyyxzzz xyyzyxz yz xxzy 方程第四式方程第四式方程第一式方程第一式方程第五式方程第五式對(duì)3.3 應(yīng)

26、變協(xié)調(diào)應(yīng)變協(xié)調(diào)13uzvxvzwxwy, 進(jìn)行同樣的做法，則對(duì)每一個(gè)都能夠得到三個(gè)條件，共18個(gè)條件。但其中只有六個(gè)是不同的，就是應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。 綜上所述，對(duì)單連通物體，只要給定的應(yīng)變分量滿足變形協(xié)調(diào)方程，則就可得到單值連續(xù)的函數(shù) uzvxvzwxwy,進(jìn)而可求得u,v,w。至此，我們證明了，應(yīng)變滿足協(xié)調(diào)方程是通過幾何方程，由應(yīng)變場求出單值連續(xù)位移場的充分必要條件。 變形協(xié)調(diào)方程單連通域位移單值連續(xù)的必要和充分條件多連通域位移單值連續(xù)的必要條件3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)應(yīng)變協(xié)調(diào)14 zxyzx yyzzxxyz 22 yzxyx zxyzyxzy 22 xzyxy zxyzxyzx 22 2222222

27、22222222222yxxyzyyzzxxyx yvxuyx yyzz yvzwyz yxzx zwxuz zxx z 位移邊界條件位移邊界條件 q應(yīng)變滿足應(yīng)變滿足變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程，保證彈性體內(nèi)部，保證彈性體內(nèi)部的變形單值連續(xù)。的變形單值連續(xù)。q邊界變形協(xié)調(diào)要求邊界位移滿足邊界變形協(xié)調(diào)要求邊界位移滿足位移邊界位移邊界條件。條件。 q位移邊界條件位移邊界條件臨近表面的位移或和變臨近表面的位移或和變形與已知邊界位移或變形相等。形與已知邊界位移或變形相等。3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)應(yīng)變協(xié)調(diào)15 如果物體表面的位移已知，稱為位移邊界 位移邊界用Su表示。 如果物體表面的位移 已知 邊界條件為,wvu 稱為位移邊界