電磁場(chǎng)與電磁波理論P(yáng)PT課件

1、電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-1 掌握靜電場(chǎng)的基本方程和邊界條件； 會(huì)利用拉普拉斯方程和泊松方程求解簡(jiǎn)單的問(wèn)題； 會(huì)熟練求解直角坐標(biāo)中的分離變量法的二維問(wèn)題； 會(huì)熟練利用鏡像法求解導(dǎo)體平面與導(dǎo)體球的鏡像問(wèn)題； 會(huì)使用計(jì)算機(jī)利用有限差分法計(jì)算簡(jiǎn)單二維邊值問(wèn)題的數(shù)值解。第1頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-23.1 靜電場(chǎng)的基本方程與邊界條件 靜電場(chǎng)由靜止電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)。I 靜電場(chǎng)的基本方程I 靜電場(chǎng)的邊界條件第2頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-3 靜電場(chǎng)的基本方程 靜電場(chǎng)是時(shí)變電磁場(chǎng)的特殊情形。靜電場(chǎng)基本方程是麥克斯韋方程組在各類場(chǎng)量均

2、不隨時(shí)間而變化時(shí)的特殊情形。 當(dāng)令各類場(chǎng)矢量對(duì)時(shí)間的變化率均為零時(shí)，電場(chǎng)和磁場(chǎng)相互獨(dú)立，它們之間不再存在相互依存和相互轉(zhuǎn)換的關(guān)系。I靜電場(chǎng)基本方程的積分形式I靜電場(chǎng)基本方程的微分形式第3頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-4 方程（）為靜電場(chǎng)的環(huán)量定律。它表明，當(dāng)一個(gè)試驗(yàn)電荷在靜電場(chǎng)中繞閉合回路移動(dòng)一圈時(shí)，電場(chǎng)力所做的功為零。 方程（）為靜電場(chǎng)高斯定律。它表明，穿過(guò)任一閉合曲面的電位移通量等于該曲面所包圍的自由電荷。 靜電場(chǎng)基本方程的積分形式也可以由庫(kù)侖定律直接證明。靜電場(chǎng)基本方程的積分形式（）（）第4頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-5 方程（）描述

3、了靜電場(chǎng)的旋度特性，表明靜電場(chǎng)是一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)。 方程（）描述了靜電場(chǎng)的散度特性，表明靜電場(chǎng)是一個(gè)有源場(chǎng)。 靜電場(chǎng)的微分方程形式可以從的麥克斯韋微分方程組直接得出，也可以借助于高斯定理和斯托克斯定理從靜電場(chǎng)基本方程的積分形式推導(dǎo)出來(lái)。靜電場(chǎng)基本方程的微分形式（）（）第5頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-6 靜電場(chǎng)是一般時(shí)變場(chǎng)在令各類場(chǎng)量均不隨時(shí)間而變化條件下的特例情況，靜電場(chǎng)邊界條件也可以從第2章的時(shí)變場(chǎng)邊界條件直接得出。 靜電場(chǎng)所涉及的媒質(zhì)主要有導(dǎo)電率為零的媒質(zhì)（電介質(zhì)或理想介質(zhì)）和導(dǎo)電率不為零媒質(zhì)（導(dǎo)體）。I1. 不同電介質(zhì)的分界面的邊界條件I2. 導(dǎo)體與電介質(zhì)的分界面的

4、邊界條件 第6頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-71. 不同電介質(zhì)的分界面的邊界條件 在靜電場(chǎng)中的不同電介質(zhì)分界面上，電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量和電位移的法向分量均必然連續(xù)。（）（）（）（）分界面上的正法線單位矢量，其方向規(guī)定由第2種電介質(zhì)指向第1種電介質(zhì)。第7頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-82. 導(dǎo)體與電介質(zhì)的分界面的邊界條件 導(dǎo)體表面電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量等于零，即電力線總是垂直于理想導(dǎo)體表面。 導(dǎo)體表面電位移的法向分量等于導(dǎo)體表面的面電荷密度。（）（）（）（）導(dǎo)體的外法線方向，即從導(dǎo)體內(nèi)部指向電介質(zhì)。第8頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理

5、論33-9 例設(shè)靜電場(chǎng)中有一個(gè)電介質(zhì)分界面，兩邊介質(zhì)的介電常數(shù)分別為 和 。已知在界面的介質(zhì) 1 一側(cè)，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為 ，方向與界面正法線方向的夾角為 。試求介質(zhì) 2 一側(cè)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小 及其與界面正法線方向的夾角 。解：從靜電場(chǎng)邊界條件（）式和（）式得出將上列兩式相除，得（）第9頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-10容易解得 （）式表明，在界面上電場(chǎng)強(qiáng)度的方向?qū)?huì)發(fā)生突變。這個(gè)公式常被稱為靜電場(chǎng)折射定律。（）第10頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-113.2 電位及其電位方程I 電位和電位梯度I 電位的微分方程和邊界條件 標(biāo)量電位的引入，將會(huì)給

6、我們的分析帶來(lái)很大的方便。第11頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-12I1. 電位和電位差I(lǐng)2. 電位梯度 電位和電位梯度 從數(shù)學(xué)角度來(lái)看，既然靜電場(chǎng)是一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)，那么根據(jù)矢量恒等式可以直接引入一個(gè)標(biāo)量函數(shù)來(lái)描述靜電場(chǎng)的。但是如果能根據(jù)靜電場(chǎng)的環(huán)量定律，從物理概念上，即電場(chǎng)力做功的角度來(lái)定義電位以及討論電位與電場(chǎng)的關(guān)系，對(duì)我們將會(huì)更有意義。第12頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-13I由靜電場(chǎng)的環(huán)量定律得到的結(jié)論I電位差I(lǐng)電位I不同電荷分布所產(chǎn)生的電位I等位面1. 電位和電位差第13頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-14由靜電場(chǎng)

7、的環(huán)量定律得到的結(jié)論 在靜電場(chǎng)中電場(chǎng)沿一個(gè)開放路徑的線積分，即電場(chǎng)力所做的功與僅該路徑的起、終點(diǎn)位置有關(guān)，而與積分路徑無(wú)關(guān)。第14頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-15電位差 （） 電位差是一個(gè)標(biāo)量，它的單位是伏特（ ）。 和 都是只與 P 點(diǎn)或 Q 點(diǎn)的位置有關(guān)的標(biāo)量函數(shù)。 和 還與產(chǎn)生該靜電場(chǎng)的電荷分布有關(guān)。 和 被稱為電荷分布在 P 點(diǎn)或 Q 點(diǎn)產(chǎn)生的電位。 電位差就是電場(chǎng)力將單位電荷從 P 點(diǎn)移動(dòng)到 Q 點(diǎn)時(shí)所作的功（與路徑無(wú)關(guān)）。第15頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-16 真空中電量為 的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生電位差（） 比較可得與電荷的分布有關(guān)的

8、待定常數(shù)（不是唯一的）。電位差 第16頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-17電 位（）零電位參考點(diǎn) 電位與電位差一樣，是一個(gè)標(biāo)量，單位為伏特（ ）。 靜電場(chǎng)中任一點(diǎn)的電位定義為將單位正電荷由該點(diǎn)移動(dòng)至零電位點(diǎn)時(shí)電場(chǎng)力所做的功，即第17頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-18 當(dāng)產(chǎn)生靜電場(chǎng)的源電荷分布在一個(gè)有限的區(qū)域內(nèi)時(shí)，人們常常選擇無(wú)限遠(yuǎn)處為零電位參考點(diǎn)。這時(shí)，由于參考點(diǎn)與源點(diǎn)之間的距離為無(wú)限大，即 ，如此一來(lái) 真空中電量為 的點(diǎn)電荷在任一點(diǎn) P 所產(chǎn)生電位場(chǎng)點(diǎn)的位置矢徑點(diǎn)電荷所在點(diǎn)的位置矢徑（）電 位第18頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁

9、波理論33-19不同電荷分布所產(chǎn)生的電位 （）（）（） 上述公式都是在無(wú)限遠(yuǎn)處的電位為零的假定下得出的。對(duì)源電荷分布區(qū)域延伸至無(wú)限遠(yuǎn)的情況，零電位參考點(diǎn)不能選擇在無(wú)限遠(yuǎn)處，而必須選擇在一個(gè)有限遠(yuǎn)的地方。此時(shí)上述公式都應(yīng)該加上一個(gè)待定的常數(shù)【式（）】。 體電荷 面電荷 線電荷第19頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-20 例真空中有一圓形帶電結(jié)構(gòu)，如圖所示。設(shè)這個(gè)圓形帶電結(jié)構(gòu)分別為（1）半徑為 的均勻帶電圓盤，其上面電荷密度為 ；（2）半徑為 的均勻帶電圓環(huán)，其上的線電荷密度為 ，試分別計(jì)算圓形結(jié)構(gòu)中心垂直軸線上的電位。解：取圓柱坐標(biāo)系，使坐標(biāo)原點(diǎn)位于圓形結(jié)構(gòu)的中心， 軸與圓

10、中心垂直軸線重合。（1）對(duì)圓形面結(jié)構(gòu)而言，場(chǎng)點(diǎn)在 軸上，源點(diǎn)在圓盤上，場(chǎng)點(diǎn)與源點(diǎn)之間的距離為第20頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-21取無(wú)限遠(yuǎn)為參考點(diǎn)，則按（）式計(jì)算出軸上的電位為（2）對(duì)圓形線結(jié)構(gòu)而言，場(chǎng)點(diǎn)在 軸上，源點(diǎn)在圓環(huán)上，場(chǎng)點(diǎn)與源點(diǎn)之間的距離為取無(wú)限遠(yuǎn)為參考點(diǎn)，則按（）式計(jì)算出軸上的電位為第21頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-22等位面 等位面電位相同的點(diǎn)組成的空間曲面 由于在場(chǎng)域空間中的每一點(diǎn)對(duì)應(yīng)著也僅對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的電位值，因此每一點(diǎn)必屬于也僅屬于一個(gè)等值面。 空間中所有的點(diǎn)均有等值面通過(guò)，而所有的等值面均互不相交。 同一個(gè)電位值可

11、以對(duì)應(yīng)幾個(gè)分離的等位面。第22頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-232. 電位梯度 電場(chǎng)強(qiáng)度矢量等于負(fù)的電位梯度矢量。（） 幾點(diǎn)結(jié)論： 電場(chǎng)強(qiáng)度的大小等于電位的梯度（最大的方向?qū)?shù)）。 電場(chǎng)強(qiáng)度的方向指向電位減小的方向。 電力線與等位面相互垂直。 空間任一點(diǎn)的電位是不唯一的，它會(huì)因零電位參考點(diǎn)選擇的不同而相差一個(gè)常數(shù)。 空間任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度總是唯一的，它與零電位參考點(diǎn)的選擇是無(wú)關(guān)的。第23頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-24 例設(shè)真空中的電偶極子由間距為 的一對(duì)等值異號(hào)電荷 和 構(gòu)成，試求遠(yuǎn)離該電偶極子的區(qū)域內(nèi)的電位和電場(chǎng)。解：空間任一點(diǎn)的電位應(yīng)等

12、于兩個(gè)點(diǎn)電荷在該點(diǎn)所產(chǎn)生電位的代數(shù)和，即其中第24頁(yè)/共223頁(yè)式中的 ，是該電偶極子的電偶極矩矢量。而遠(yuǎn)離電偶極子的區(qū)域內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度為電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-25當(dāng)觀察點(diǎn)遠(yuǎn)離電偶極子時(shí)，應(yīng)用二項(xiàng)式展開，可以近似得到如此一來(lái)，遠(yuǎn)離電偶極子處的電位就可以近似為（）（）第25頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-26 電位的微分方程和邊界條件I1. 電位的泊松方程和拉普拉斯方程I2. 電位的邊界條件描述同一點(diǎn)的場(chǎng)和源之間的微分方程第26頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-271. 電位的泊松方程和拉普拉斯方程I電位的泊松方程和拉普拉斯方程I電

13、場(chǎng)強(qiáng)度的泊松方程和拉普拉斯方程I直角坐標(biāo)系中的泊松方程和拉普拉斯方程I圓柱坐標(biāo)系中電位的泊松方程和拉普拉斯方程I球面坐標(biāo)系中電位的泊松方程和拉普拉斯方程第27頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-28電位的泊松方程和拉普拉斯方程（） 在均勻、線性和各向同性的電介質(zhì)中電位滿足的泊松（Poisson）方程 在均勻、線性和各向同性的電介質(zhì)的無(wú)源區(qū)電位滿足拉普拉斯（Laplace）方程（） 非均勻電介質(zhì)中電位所滿足的微分方程第28頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-29電場(chǎng)強(qiáng)度的泊松方程和拉普拉斯方程 在均勻、線性和各向同性的電介質(zhì)中電場(chǎng)強(qiáng)度的泊松方程（） 電荷均

14、勻分布時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度滿足拉普拉斯方程（） 在均勻、線性和各向同性的電介質(zhì)的無(wú)源區(qū)電場(chǎng)強(qiáng)度滿足拉普拉斯方程（） 非均勻電介質(zhì)中電場(chǎng)強(qiáng)度所滿足的微分方程第29頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-30直角坐標(biāo)系中的泊松方程和拉普拉斯方程 直角坐標(biāo)系中電位的泊松方程和拉普拉斯方程（）第30頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-31 直角坐標(biāo)系中電場(chǎng)強(qiáng)度的泊松方程和拉普拉斯方程（）（）（）（）直角坐標(biāo)系中的泊松方程和拉普拉斯方程第31頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-32圓柱坐標(biāo)系中電位的泊松方程和拉普拉斯方程體電荷密度第32頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與

15、電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-33球面坐標(biāo)系中電位的泊松方程和拉普拉斯方程第33頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-342. 電位的邊界條件I電位邊界條件與電場(chǎng)邊界條件的關(guān)系I兩種不同電介質(zhì)的分界面的邊界條件I導(dǎo)體表面的邊界條件第34頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-35電位邊界條件與電場(chǎng)邊界條件的關(guān)系 電位邊界條件可以直接由電場(chǎng)的邊界條件導(dǎo)出。 由梯度的定義可以得到電場(chǎng)的沿著某個(gè)方向的分量與電位沿該方向的方向?qū)?shù)有關(guān)，即（）（）電位沿界面的切向方向上的方向?qū)?shù)電位沿界面的法向方向上的方向?qū)?shù)第35頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論

16、33-36兩種不同電介質(zhì)的分界面的邊界條件（）（） 因?yàn)殪o電場(chǎng)是保守場(chǎng)，由電位的定義（電場(chǎng)力所做的功）可知，電位總是連續(xù)的。當(dāng)然在邊界上也不例外。因此，兩種不同電介質(zhì)的分界面處的邊界條件可以寫成（）（）第36頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-37導(dǎo)體表面的邊界條件 由于導(dǎo)體內(nèi)部不可能存在靜電場(chǎng)，所以導(dǎo)體必為等位體，導(dǎo)體與電介質(zhì)的交界面必為等位面，由此可得導(dǎo)體表面的邊界條件為（）（）電位沿導(dǎo)體表面的外法線方向的方向?qū)?shù)第37頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-383.3 靜電場(chǎng)的能量和導(dǎo)體的電容I 靜電場(chǎng)的能量和能量密度I 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容第38頁(yè)/共22

17、3頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-39 靜電場(chǎng)的能量和能量密度I靜電場(chǎng)的能量基本概念I(lǐng)建立點(diǎn)電荷系時(shí)外力所做的功I點(diǎn)電荷系的電場(chǎng)的能量I體電荷分布的電場(chǎng)的能量I靜電場(chǎng)的能量密度第39頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-40靜電場(chǎng)的能量基本概念 靜電場(chǎng)是一種具有能量分布的系統(tǒng)，對(duì)其中的電荷具有作用力。 由于產(chǎn)生靜電場(chǎng)的電荷都是靜止的，所以不必考慮與運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有關(guān)的動(dòng)能，而只需考慮與位置有關(guān)的位能。在討論靜電場(chǎng)的能量時(shí)，必須假設(shè)電荷的移動(dòng)慢到足以使動(dòng)能和輻射效應(yīng)都可以忽略。 一個(gè)點(diǎn)電荷的所產(chǎn)生的電場(chǎng)的位能就等于把該點(diǎn)電荷從零電位的無(wú)窮遠(yuǎn)處移動(dòng)到實(shí)際所在位置上時(shí)，外力為

18、克服電場(chǎng)力所需做的功。 對(duì)于任意形式的電荷分布，情況也是一樣的，即靜電場(chǎng)所具有的能量就等于建立該電場(chǎng)的過(guò)程中所需要的外力。第40頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-41 點(diǎn)電荷系 移動(dòng)第一個(gè)點(diǎn)電荷 ，沒(méi)有外力做功，即 ； 移動(dòng)第二個(gè)點(diǎn)電荷 ，外力做功 當(dāng)整個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)全部建立時(shí)， 外力所做的總功為建立點(diǎn)電荷系時(shí)外力所做的功第41頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-42 外力所做的總功，也即該系統(tǒng)的總的電場(chǎng)能量為（） 電場(chǎng)能量的建立與移動(dòng)電荷的次序無(wú)關(guān)。點(diǎn)電荷系的電場(chǎng)的能量第42頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-43 幾點(diǎn)說(shuō)明：電場(chǎng)能

19、量的單位是焦耳（ ）。 是點(diǎn)電荷 和 之間的距離。 是由除電荷 本身以外的其它所有的點(diǎn)電荷在 處產(chǎn)生的電位。這里討論的能量?jī)H代表相互作用的能量，即互能?；ツ芸梢詾檎?，也可以為負(fù)。當(dāng)兩個(gè)點(diǎn)電荷同性時(shí)，互能為正；反之當(dāng)兩個(gè)點(diǎn)電荷異性時(shí)，互能為負(fù)。對(duì)于單個(gè)點(diǎn)電荷，則相互作用能為零，即 。上面的討論中，沒(méi)有涉及每個(gè)點(diǎn)電荷 本身建立時(shí)所需的能量，即自能。點(diǎn)電荷系的電場(chǎng)的能量第43頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-44 用電荷密度和電位表示的能量 用場(chǎng)量表示的能量（）（）證明：由高斯定理可得若取積分域?yàn)闊o(wú)限大的空間，左邊的面積分將趨于零。由此得到體電荷分布的電場(chǎng)的能量第44頁(yè)/共22

20、3頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-45靜電場(chǎng)的能量密度（） 靜電場(chǎng)的能量密度（線性和各向同性的介質(zhì)中） 靜電場(chǎng)的總儲(chǔ)能能量（） 能量密度的單位是焦耳每立方米（ ）。 能量密度恒大于零，也就是說(shuō)，靜電場(chǎng)能量恒為正。第45頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-46 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容I導(dǎo)體系統(tǒng)的電容的基本概念I(lǐng)“孤立”的帶電導(dǎo)體的電容I兩個(gè)帶電導(dǎo)體的電容I電容器的電容第46頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-47導(dǎo)體系統(tǒng)的電容的基本概念 導(dǎo)體是一種自身帶有大量自由電荷的物質(zhì)。 在靜電場(chǎng)的條件下，導(dǎo)體中所有的電荷都將處于一種穩(wěn)定的靜電平衡狀態(tài)。 導(dǎo)體內(nèi)部

21、的總電荷及其電場(chǎng)均為零，電荷只能分布在導(dǎo)體的表面。 這些電荷又會(huì)在周圍空間產(chǎn)生電場(chǎng)。 由導(dǎo)體所組成的電容器就是利用導(dǎo)體的充放電來(lái)儲(chǔ)存和釋放電場(chǎng)能量的。 而電容器這種能力的大小就用電容來(lái)描述。第47頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-48 “孤立”的帶電導(dǎo)體的電容 “孤立”的帶電導(dǎo)體的電容就等于導(dǎo)體所帶的電量 與導(dǎo)體的電位 之比，即（） 例如：真空中一個(gè)半徑為 的帶電球體的電容第48頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-49兩個(gè)帶電導(dǎo)體的電容I兩個(gè)帶電導(dǎo)體的電位系數(shù)I兩個(gè)帶電導(dǎo)體的電容系數(shù)I兩個(gè)帶電導(dǎo)體的電容 兩個(gè)帶電導(dǎo)體表面的面電荷在空間所產(chǎn)生的電位分布與

22、該兩個(gè)帶電導(dǎo)體的所帶電量也是成正比的。第49頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-50兩個(gè)帶電導(dǎo)體的電位系數(shù)（）（）其中 電位系數(shù)都是與導(dǎo)體的電位和帶電量無(wú)關(guān)的常數(shù)，僅與帶電體的形狀、尺寸以及周圍的電介質(zhì)有關(guān)。根據(jù)互易性，有 自電位系數(shù) 互電位系數(shù) 空間任意一點(diǎn)的電位與導(dǎo)體的帶電量成正比，即第50頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-51兩個(gè)帶電導(dǎo)體的電容系數(shù)其中 電容系數(shù)僅與帶電體的形狀、尺寸以及周圍的電介質(zhì)有關(guān)，都是與導(dǎo)體的電位和帶電量無(wú)關(guān)的常數(shù)。根據(jù)互易性，有 自電容系數(shù) 互電容系數(shù) 空間任意一點(diǎn)的導(dǎo)體的帶電量與電位成正比，即（）（）第51頁(yè)/共223

23、頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-52兩個(gè)帶電導(dǎo)體的電容 其中 部分電容僅與帶電體的形狀、尺寸以及周圍的電介質(zhì)有關(guān)，都是與導(dǎo)體的電位和帶電量無(wú)關(guān)的常數(shù)。根據(jù)互易性，有 自部分電容 互部分電容令 （）（）第52頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-53電容器的電容 電容器兩個(gè)帶有等值異號(hào)電荷的導(dǎo)體，即 兩個(gè)帶電導(dǎo)體之間的電位差 電容器中兩個(gè)導(dǎo)體之間的電位差和所帶的電量成正比關(guān)系。第53頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-54 電容器的電容 電容器中兩個(gè)導(dǎo)體之間的電位差和 所帶的電量之比的倒數(shù) 電容與電容系數(shù)之間的關(guān)系為 電容器的電容僅與電容器的形狀

24、、尺寸以及周圍的電介質(zhì)有關(guān)，而與電容器極板上所帶的電荷量的多少無(wú)關(guān)，也與兩個(gè)極板間的電位差無(wú)關(guān)。它是一個(gè)大于零的正數(shù)。（）（）電容器的電容第54頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-55 電容器的電容與場(chǎng)量的關(guān)系 電容器的電容與電容器中的儲(chǔ)能的關(guān)系（）電容器中的儲(chǔ)能（） 上式再一次證明，靜電場(chǎng)能量恒為正。電容器的電容第55頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-56平板電容器的電容（）而比較可得 設(shè)電容器的帶電量為 ，每個(gè)平板的面積為 ，兩個(gè)平板的間距為 第56頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-573.4 靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的分類以及唯一性定

25、理I 靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的分類I 靜電場(chǎng)唯一性定理第57頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-58I分布型問(wèn)題和邊值型問(wèn)題I靜電場(chǎng)的三類邊值問(wèn)題 靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的分類第58頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-59分布型問(wèn)題和邊值型問(wèn)題 靜電場(chǎng)問(wèn)題分為兩大類：分布型問(wèn)題和邊值型問(wèn)題 靜電場(chǎng)分布型問(wèn)題已知場(chǎng)中的電荷分布，求取場(chǎng)內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度分布或電位分布。例如利用庫(kù)侖定律或高斯定律求靜電場(chǎng)分布。 靜電場(chǎng)邊值型問(wèn)題根據(jù)已知某一給定區(qū)域內(nèi)的電荷分布以及包圍該區(qū)域的表面上的邊界條件來(lái)求電場(chǎng)的問(wèn)題。其中最常見的是已知兩種不同媒質(zhì)分界面上（主要是指導(dǎo)體與電介質(zhì)的分界面上）的電

26、位邊界條件，通過(guò)求解電位泊松方程或拉普拉斯方程以獲取電介質(zhì)內(nèi)的電位分布。第59頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-60靜電場(chǎng)的三類邊值問(wèn)題（1）第一類邊值問(wèn)題（Dirichlet狄利赫里邊值問(wèn)題） 已知邊界上（導(dǎo)體表面）的電位分布（2）第二類邊值問(wèn)題（Neumann諾依曼邊值問(wèn)題） 已知的是邊界上（導(dǎo)體表面）的電位沿法線方向的 方向?qū)?shù)分布（即導(dǎo)體表面的面電荷密度分布）（3）第三類邊值問(wèn)題（混合邊值問(wèn)題） 已知部分邊界上的電位 和另一部分邊界上電位沿法線方向的方向?qū)?shù)第60頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-61 靜電場(chǎng)唯一性定理I靜電場(chǎng)的唯一性定理I靜

27、電場(chǎng)的唯一性定理的證明I靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題解法第61頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-62靜電場(chǎng)唯一性定理 靜電場(chǎng)的唯一性定理如果帶電導(dǎo)體的形狀、尺寸和位置均已固定，則滿足邊界條件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。 靜電場(chǎng)的唯一性定理的證明可以通過(guò)以泊松方程為例并采用反證法來(lái)證明這一定理。 證明靜電場(chǎng)中唯一性定理的過(guò)程，完全可以推廣到以后的恒定電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng)以及時(shí)變電磁場(chǎng)中。也就是說(shuō)，滿足給定的源分布和給定的邊界條件的任意一種場(chǎng)，其解必是唯一的。第62頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-63靜電場(chǎng)唯一性定理的證明證明：我們以泊松方程為例并采用反證法來(lái)

28、證明這一定理。設(shè)在靜電場(chǎng)的場(chǎng)域空間中有兩個(gè)解 和 ，它們滿足同樣的邊界條件和泊松方程，而兩個(gè)解的差 應(yīng)滿足拉普拉斯方程，即在格林第一定理中，令 ，可得（）第63頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-64將 取為諸導(dǎo)體外部的無(wú)限大空間，則包圍該體積的閉合曲面 將由各個(gè)導(dǎo)體表面 和無(wú)限大球面 所組成。當(dāng)電荷分布在有限區(qū)域內(nèi)時(shí)，在無(wú)限大球面上的面積分必趨于零，于是有（）靜電場(chǎng)唯一性定理的證明第64頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-65 對(duì)第一類邊值問(wèn)題而言，在諸導(dǎo)體表面 上 ， 所以上式右端為零，得即因?yàn)楸环e函數(shù) 不小于零，上式必然導(dǎo)致常數(shù)又因?yàn)樵谥T導(dǎo)體表面上

29、，已知 ，則上式中的常數(shù)必為零，即在 內(nèi)各點(diǎn)有這說(shuō)明，第一類邊值問(wèn)題的解是唯一的。靜電場(chǎng)唯一性定理的證明第65頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-66 對(duì)第二類邊值問(wèn)題而言，在諸導(dǎo)體表面上 ， 同樣可得同樣因?yàn)楸环e函數(shù) 不小于零，上式必然導(dǎo)致這時(shí)， 不一定為零，即 與 相差一個(gè)常數(shù)。然而，電場(chǎng)強(qiáng)度在 內(nèi)各點(diǎn)卻是處處相等的，即從這個(gè)意義上講，我們?nèi)匀豢梢哉J(rèn)為靜電場(chǎng)的解是唯一的。即常數(shù)靜電場(chǎng)唯一性定理的證明第66頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-67 對(duì)第三類邊值問(wèn)題而言，它是上述兩類邊界條件的混合情形，因而可借助上面的證明方法來(lái)證明這類邊值問(wèn)題的解的唯一

30、性。 與靜電場(chǎng)一樣，恒定電場(chǎng)、恒定磁場(chǎng)以及時(shí)變電磁場(chǎng)都有相應(yīng)的唯一性定理。 因?yàn)殪o電場(chǎng)、恒定電場(chǎng)、恒定磁場(chǎng)以及時(shí)變電磁場(chǎng)都是矢量場(chǎng)，而矢量場(chǎng)都滿足唯一性定理。 所有唯一性定理的證明都是采用反證法來(lái)證明的。靜電場(chǎng)唯一性定理的證明第67頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-68 本章將要介紹的靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的各種不同的解法雖然都是從靜電場(chǎng)問(wèn)題引出來(lái)的，但它們完全可以推廣應(yīng)用至一般的電磁場(chǎng)邊值問(wèn)題的分析中去。靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題解法 邊值問(wèn)題解法： 直接積分法求解一維場(chǎng)滿足的常微分方程。 分離變量法坐標(biāo)曲面邊界內(nèi)的拉普拉斯方程。 鏡象法形狀簡(jiǎn)單的邊界及其附近的點(diǎn)電荷和線電荷。 復(fù)變函數(shù)

31、法二維平面場(chǎng)，由解析函數(shù)確定的特殊邊界。 數(shù)值解法有限差分法，有限元法，矩量法 其它解法格林函數(shù)法第68頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-693.5 直接積分法（Direct Integral Method）I直接積分法的基本概念I(lǐng)直接積分法的實(shí)例第69頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-70直接積分法的基本概念 直接積分法直接求解一維電位分布所滿足的二階常微分方程，即一維的泊松方程（有源區(qū)）或一維的拉普拉斯方程（無(wú)源區(qū)）。 可以采用直接積分法分析的電磁場(chǎng)問(wèn)題必須滿足的條件：（1）電荷分布本身是一元函數(shù)；（2）媒質(zhì)分界面都是坐標(biāo)曲面；（3）給定的等位面

32、是坐標(biāo)曲面。第70頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-71 直接積分法的解題步驟： （1）根據(jù)題目給定的條件設(shè)定各區(qū)域內(nèi)的一元電位函數(shù)；（2）求解每個(gè)電位分布所滿足的泊松方程或拉普拉斯方程得到電位函數(shù)的通解；（每個(gè)函數(shù)帶有兩個(gè)待定常數(shù)）（3）利用邊界條件以及特殊的定解條件（有界、零電位、對(duì)稱性）確定待定常數(shù)得到各區(qū)域內(nèi)的電位分布，從而得到其它得物理量。 直接積分法的基本概念第71頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-72直接積分法的實(shí)例I直角坐標(biāo)系中的直接積分法實(shí)例I圓柱坐標(biāo)系中的直接積分法實(shí)例I球面坐標(biāo)系中的直接積分法實(shí)例第72頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁

33、波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-73解：因?yàn)闃O板平面的尺寸遠(yuǎn)大于板間距離，所以可以忽略邊緣效應(yīng)，近似認(rèn)為板間電位僅與坐標(biāo) 有關(guān)，它應(yīng)滿足下列泊松方程，即 例3.5.1 有一平行板電容器，設(shè)極板之間的距離 遠(yuǎn)小于極板平面的尺寸，極板之間充滿著介電常數(shù)為 的電介質(zhì)和均勻分布著體電荷密度為 的電荷，極板之間的電壓 ，如圖3.5.1所示。試求極板之間的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度。直角坐標(biāo)系中的直接積分法實(shí)例第73頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-74將上式直接積分，得出電位的通解表示式為式中， 和 為積分常數(shù)，它可以通過(guò)邊界條件來(lái)確定，即從而求得極板平面之間的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度分別為 注意：該兩塊

34、平行平板組成的并不是所謂的電容器，不能定義該平行平板的電容。第74頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-75 例設(shè)有一根長(zhǎng)直的同軸電纜，內(nèi)外導(dǎo)體的半徑分別為 和 （ ），它們之間填充了介電常數(shù)為 的電介質(zhì)，其截面如圖所示。已知內(nèi)外導(dǎo)體之間的電壓為 ，試求內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度分布以及單位長(zhǎng)度電纜的電容。解：由于內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位僅隨 坐標(biāo) 而變化，即內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位應(yīng)滿足一維的拉普拉斯方程圓柱坐標(biāo)系中的直接積分法實(shí)例第75頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-76對(duì)上式直接積分，得出通解表示式為積分常數(shù) 和 可以通過(guò)下面的邊界條件來(lái)確定從而求出內(nèi)外導(dǎo)

35、體之間的電位及其電場(chǎng)強(qiáng)度分布分別為第76頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-77由于內(nèi)導(dǎo)體的表面的電荷密度為由此可得單位長(zhǎng)度同軸電纜的電容為第77頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-78 例有一半徑為 的球體，均勻分布著密度為 的體電荷。設(shè)球內(nèi)外介質(zhì)的介電常數(shù)分別為 和 ，試求球內(nèi)外的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度分布。解：設(shè)球內(nèi)的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度分別表示為 和 ，球外的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度分別表示為 和 ，它們均僅為坐標(biāo) 的函數(shù)。 和 分別滿足一維的泊松方程和拉普拉斯方程，即將上述兩方程分別直接積分兩次，得出通解為球面坐標(biāo)系中的直接積分法實(shí)例第78頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波

36、理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-79在球體表面上，依不同介質(zhì)的分界面上的邊界條件有除此以外還有另外兩個(gè)定解條件和前一個(gè)條件是由設(shè)定無(wú)限遠(yuǎn)為零電位參考點(diǎn)得到，而后一個(gè)條件可以借助積分形式的高斯定律直接求出。將上面這四個(gè)定解條件代入電位的通解表達(dá)式，就可以確定四個(gè)積分常數(shù)為第79頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-80最終得出球內(nèi)外的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度分布分別為第80頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-813.6 分離變量法（Method of Separation of Variables）I分離變量法的基本概念I(lǐng) 直角坐標(biāo)系中的分離變量法I 圓柱坐標(biāo)系中的分離變

37、量法I 球面坐標(biāo)系中的分離變量法第81頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-82分離變量法的基本概念 分離變量法將待求的多變量的未知函數(shù)表示為三個(gè)未知函數(shù)的乘積，其中每一個(gè)函數(shù)僅為一個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)。將這個(gè)表示為乘積的電位表示式代入拉普拉斯方程，則該偏微分方程轉(zhuǎn)化為三個(gè)常微分方程。在分別求解出這些常微分方程的通解以后，再利用邊界條件確定通解中的積分常數(shù)，從而最后求出邊值問(wèn)題的解答。 用分離變量法來(lái)求解邊值問(wèn)題時(shí)，必須選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，以使得坐標(biāo)面與邊界面相一致。只有這樣，才能比較方便地利用邊界條件確定邊值問(wèn)題的解。在不同的坐標(biāo)系中，分離變量的過(guò)程都是一樣的，但是結(jié)果卻是不同的

38、。第82頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-83 分離變量法的適用范圍求解給定邊界條件的標(biāo)量拉普拉斯方程 或標(biāo)量亥姆霍茲方程 （1） 和 ，但 ， ；（2）邊界為坐標(biāo)曲面。 分離變量法的解題步驟分為三個(gè)步驟：（1）選定坐標(biāo)系，分離變量，找出含有分離常數(shù)和積分常數(shù)的通解；（2）由邊界條件確定分離常數(shù)以及解的具體形式；（3）利用調(diào)和函數(shù)的正交性定出積分常數(shù)，得到問(wèn)題的特解。分離變量法的基本概念第83頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-84 直角坐標(biāo)系中的分離變量法I直角坐標(biāo)系中的通解以及通解的選擇I二維場(chǎng)的基本問(wèn)題以及問(wèn)題的分解I二維場(chǎng)的基本問(wèn)題的通解及其解

39、的確定I直角坐標(biāo)系中的分離變量法的實(shí)例第84頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-85直角坐標(biāo)系中的通解以及通解的選擇令 代入拉普拉斯方程得等式兩端同除以 可得（） 直角坐標(biāo)系中的變量分離 在上式左邊的三項(xiàng)中，每一項(xiàng)僅與一個(gè)坐標(biāo)變量有關(guān)，要使其成立，每一項(xiàng)必然與任何坐標(biāo)變量都無(wú)關(guān)，即均為常數(shù)，由此可得直角坐標(biāo)系中的三個(gè)微分方程。第85頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-86 直角坐標(biāo)系中三個(gè)分離函數(shù)所滿足的三個(gè)微分方程式中， 稱為分離常數(shù)。（）（）（）直角坐標(biāo)系中的通解以及通解的選擇第86頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-87 直角坐

40、標(biāo)系中三個(gè)分離常數(shù)滿足下列分離方程（）（1） 可以是一切實(shí)數(shù)，即可以 ，也 就是說(shuō)， 可以是實(shí)數(shù)、虛數(shù)或零；（2） 不能同時(shí)大于零或小于零，即不能同號(hào)；（3）二維場(chǎng)（ ）的兩個(gè)分離常數(shù)的平方必定是異號(hào)的，即 。 分離常數(shù)的性質(zhì)：直角坐標(biāo)系中的通解以及通解的選擇第87頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-88 分離函數(shù) 的解：（1） 、 為實(shí)數(shù)時(shí)（2） 、 為虛數(shù)時(shí)（3） 、 時(shí)（）（）（）式中的 都是待定的常數(shù)。直角坐標(biāo)系中的通解以及通解的選擇第88頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-89 分離函數(shù) 和 的解： 三個(gè)分離函數(shù)的乘積即成為拉普拉斯方程（）的通

41、解。直角坐標(biāo)系中的通解以及通解的選擇第89頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-90 關(guān)于通解的說(shuō)明： 利用分離變量法得到的通解包含了三種函數(shù)形式，即線性函數(shù)、三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)（或雙曲函數(shù)）。 該通解只是滿足了直角坐標(biāo)系中邊值問(wèn)題所滿足的微分方程，即拉普拉斯方程。這個(gè)通解對(duì)所有能夠采用直角坐標(biāo)系中的分離變量法求解的邊值問(wèn)題都是適用的。 邊值問(wèn)題的解還必須滿足特定的邊界條件，很顯然，只有在通解中滿足邊界條件的函數(shù)才是該特定邊值問(wèn)題的解。 因此，在利用分離變量法求解靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題時(shí)，最重要的就是確定既能滿足拉普拉斯方程又能滿足邊界條件的函數(shù)形式。直角坐標(biāo)系中的通解以及通解的選擇

42、第90頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-91 選擇通解中的函數(shù)形式的幾個(gè)原則：（1）通解中的分離常數(shù)可以取各種不同的數(shù)值。在三維空間中，三個(gè)分離常數(shù)中只有兩個(gè)是獨(dú)立的，第三個(gè)由分離方程所確定。如果是二維場(chǎng)，只有一個(gè)獨(dú)立的分離常數(shù)；（2）三個(gè)分離常數(shù)的平方（ ）不能同時(shí)大于零或小于零，即不能同號(hào)。所以靜電場(chǎng)的三個(gè)分離函數(shù)的通解不可能同為三角函數(shù)和同為指數(shù)函數(shù)（或雙曲函數(shù)）。對(duì)于二維靜電場(chǎng)而言，通解中的兩個(gè)分離函數(shù)一個(gè)是三角函數(shù)，另一個(gè)必為指數(shù)函數(shù)（或雙曲函數(shù)）。直角坐標(biāo)系中的通解以及通解的選擇第91頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-92 選擇通解中的函

43、數(shù)形式的幾個(gè)原則：（3）當(dāng)分離常數(shù)為離散值，解為將所有的分離常數(shù)所對(duì)應(yīng)的解的和，即級(jí)數(shù)形式；當(dāng)分離常數(shù)為連續(xù)值，利用分離變量法所得到的解是一個(gè)積分。（4）分離常數(shù)是利用給定的邊界條件，根據(jù)三角函數(shù)、線性函數(shù)和雙曲函數(shù)的性質(zhì)來(lái)確定；例如，三角函數(shù)具有兩個(gè)以上的函數(shù)或?qū)Ш瘮?shù)的零點(diǎn)，雙曲函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處趨于無(wú)限大等等。直角坐標(biāo)系中的通解以及通解的選擇第92頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-93二維場(chǎng)的基本問(wèn)題以及問(wèn)題的分解 兩種典型的二維問(wèn)題的邊界面 無(wú)限長(zhǎng)的矩形區(qū)域和無(wú)限長(zhǎng)的半無(wú)限深的矩形區(qū)域第93頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-94 二維場(chǎng)的基本問(wèn)題在

44、沿著某一個(gè)坐標(biāo)方向的兩個(gè)邊界上場(chǎng)的邊界條件為齊次（函數(shù)或?qū)Ш瘮?shù)為零）的二維場(chǎng)。 利用場(chǎng)的疊加性，可以將任意的二維場(chǎng)分解成若干個(gè)二維基本問(wèn)題的場(chǎng)的疊加。（有時(shí)還要加上一個(gè)線性項(xiàng)） 由于分解的方式不只一種，所以最后得到的解的形式也是不一樣的。但是根據(jù)解的唯一性，它們都是原問(wèn)題的解。 原二維問(wèn)題二維場(chǎng)的基本問(wèn)題以及問(wèn)題的分解第94頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-95 三種不同的分解方式： （1）（2） （3） 二維場(chǎng)的基本問(wèn)題以及問(wèn)題的分解第95頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-96二維場(chǎng)的基本問(wèn)題的通解及其解的確定 一般情況下，場(chǎng)域有限時(shí)，選取雙曲函數(shù)

45、；場(chǎng)域無(wú)限時(shí)，選取指數(shù)函數(shù)。（1）沿 方向的兩個(gè)邊界上具有齊次的邊界條件 第96頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-97（2）沿 方向的兩個(gè)邊界上具有齊次的邊界條件 一般情況下，場(chǎng)域有限時(shí)，選取雙曲函數(shù)；場(chǎng)域無(wú)限時(shí)，選取指數(shù)函數(shù)。二維場(chǎng)的基本問(wèn)題的通解及其解的確定第97頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-98由邊界條件確定解的具體形式的兩個(gè)步驟：（1）代入相關(guān)的齊次邊界條件確定分離常數(shù)和部分待定常數(shù)。由于分離常數(shù)通常不只一個(gè)，所以將會(huì)得到級(jí)數(shù)形式的解，其中級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)的系數(shù)還是未定的；（2）代入非齊次的邊界條件，利用三角函數(shù)的正交性確定級(jí)數(shù)中每一項(xiàng)的待定

46、系數(shù)，得到問(wèn)題的最終解。也可以直接利用確定傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)的公式來(lái)確定級(jí)數(shù)的系數(shù)。二維場(chǎng)的基本問(wèn)題的通解及其解的確定第98頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-99 三角函數(shù)的正交性： 一般形式 常用形式二維場(chǎng)的基本問(wèn)題的通解及其解的確定第99頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-100 周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)展開的系數(shù)計(jì)算公式： 一般情況 常用情況周期二維場(chǎng)的基本問(wèn)題的通解及其解的確定第100頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-101 例有一只長(zhǎng)直的金屬槽，其橫截面如圖所示。上方的蓋板與槽壁有無(wú)限小的間隙以使之相互絕緣，蓋板的電位為 ，槽壁

47、電位為零。試求該槽內(nèi)的電位分布。解：這是一個(gè)二維場(chǎng)的基本問(wèn)題。由于在槽內(nèi)場(chǎng)沿著 軸方向?qū)⒊霈F(xiàn)兩個(gè)電位零點(diǎn)，即電位沿著 軸方向必為三角函數(shù)分布，所以通解應(yīng)選擇成下列形式：直角坐標(biāo)系中的分離變量法的實(shí)例第101頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-102將邊界條件 代入上式，得出上式要在滿足 的所有 值上均成立，必有 ，所以通解變成為（）第102頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-103將邊界條件 代入上式，得出同理，上式要在滿足 的所有 值上均成立，必有 。但是， 。否則將導(dǎo)致槽內(nèi)電位為零，這與實(shí)際情況不符。因而只能 ，即（）第103頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電

48、磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-104此時(shí)如此一來(lái)，通解變成為（）（）第104頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-105再將邊界條件 代入上式，得上面已提到， ，因此必然有 ，于是得到式中， 。第105頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-106最后，將邊界條件 代入上式，得將上式對(duì) 求和，可將此邊值問(wèn)題的解寫成（）（）第106頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-107由傅立葉級(jí)數(shù)展開的系數(shù)計(jì)算公式可得即第107頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-108最終得出該邊值問(wèn)題的解為 可以看到，在四個(gè)邊界中有三個(gè)邊界的電位

49、均為零的級(jí)數(shù)解中級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都是正弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)的乘積，而且是在兩個(gè)邊界電位均為零的方向?yàn)檎液瘮?shù)分布，在邊界電位有不為零的另一個(gè)方向?yàn)殡p曲正弦函數(shù)分布。第108頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-109利用數(shù)值計(jì)算，可以畫出該導(dǎo)體槽內(nèi)的電位分布如圖所示。其中實(shí)線代表等位面，而虛線代表的是電力線。第109頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-110 幾點(diǎn)說(shuō)明：（1）從三角函數(shù)的正交性開始進(jìn)行分析，可以得到同樣的結(jié)果（見書）；（2）通解選擇合適，求解過(guò)程簡(jiǎn)單；通解選擇不當(dāng)，同樣也可以得到正確的結(jié)果，但是求解過(guò)程會(huì)很復(fù)雜；（3）對(duì)于一些特殊的邊界條件，最

50、后的解可以只是級(jí)數(shù)中的幾項(xiàng)；（4）復(fù)雜的問(wèn)題可以分解成簡(jiǎn)單問(wèn)題的疊加；（5）三維場(chǎng)的求解過(guò)程類似于二維場(chǎng)（見例）。第110頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-111 根據(jù)場(chǎng)的疊加性求解邊值問(wèn)題的一個(gè)例子直角坐標(biāo)系中的分離變量法的實(shí)例第111頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-112 根據(jù)場(chǎng)的疊加性求解邊值問(wèn)題的另一個(gè)例子直角坐標(biāo)系中的分離變量法的實(shí)例第112頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-113例有一長(zhǎng)方形金屬盒子，如圖所示。其邊長(zhǎng)分別為 。在除頂面以外的五個(gè)矩形表面上，電位均為零；頂面與其它表面絕緣，其上電位為常數(shù) 。試求盒內(nèi)電

51、位分布。解：這是一個(gè)三維邊值問(wèn)題的基本問(wèn)題，其通解為直角坐標(biāo)系中的分離變量法的實(shí)例第113頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-114利用邊界條件和三角函數(shù)的正交性最后得出該三維邊值問(wèn)題的解為 此例題也屬于一個(gè)基本問(wèn)題，即只有一個(gè)邊界條件是非齊次的邊值問(wèn)題的分離變量法求解。 對(duì)于基本問(wèn)題的求解，不管是三維的，還是二維的，其基本的解題步驟是一樣的。第114頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-115 圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法I圓柱坐標(biāo)系中的通解以及通解的選擇I圓柱坐標(biāo)系中典型的二維場(chǎng)的通解I圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法的實(shí)例第115頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論

52、電磁場(chǎng)與電磁波理論33-116圓柱坐標(biāo)系中的通解以及通解的選擇 圓柱坐標(biāo)系中的變量分離令 ，代入拉普拉斯方程得到即 圓柱坐標(biāo)系中的三個(gè)分離函數(shù)所滿足的三個(gè)微分方程不能 從上式一次性得到，而是要逐漸得到。第116頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-117 圓柱坐標(biāo)系中的三個(gè)分離函數(shù)所滿足的三個(gè)微分方程 圓柱坐標(biāo)系的分離變量法只有兩個(gè)分離常數(shù) ，它們都是獨(dú)立的，即 可以是一切實(shí)數(shù)，即可以大于零、小于零或等于零，也就是說(shuō)， 可以是實(shí)數(shù)、虛數(shù)或零。（）（）（）圓柱坐標(biāo)系中的通解以及通解的選擇第117頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-118 圓柱坐標(biāo)系中的三個(gè)分

53、離方程的常用解 的三種解：（）（）（）圓柱坐標(biāo)系中的通解以及通解的選擇第118頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-119 的常用解 當(dāng)所要求解的場(chǎng)域?yàn)?時(shí)，由于電位應(yīng)為 的單值函數(shù)，即 ，所以常數(shù) 應(yīng)為整數(shù)，即 （ 為整數(shù)）。因此， 的常見形式為 若場(chǎng)域不滿足上述條件時(shí)， 的解類似于 。（）圓柱坐標(biāo)系中的通解以及通解的選擇第119頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-120 （ 為整數(shù)）時(shí)， 的三種解：（1） 時(shí)， 滿足的方程及其解： 方程（）稱為 階貝塞爾（Bessel）方程。 和 分別稱為第一類 階貝塞爾函數(shù)和第二類 階貝塞爾函數(shù)（諾依曼（Neuman

54、n）函數(shù)）。（）（）圓柱坐標(biāo)系中的通解以及通解的選擇第120頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-121 第一類貝塞爾函數(shù)和第二類貝塞爾函數(shù)（諾依曼）函數(shù)。圓柱坐標(biāo)系中的通解以及通解的選擇第121頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-122（2） 時(shí)， 滿足的方程及其解： 方程（）稱為 階變形貝塞爾（Bessel）方程。 和 分別稱為第一類 階變形貝塞爾函數(shù)和第二類 階變形貝塞爾函數(shù)。（）（）圓柱坐標(biāo)系中的通解以及通解的選擇第122頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-123 第一類變形貝塞爾函數(shù)和第二類變形貝塞爾函數(shù)。圓柱坐標(biāo)系中的通解以

55、及通解的選擇第123頁(yè)/共223頁(yè)（3） 時(shí)， 滿足的方程及其解：電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-124 方程（）稱為歐拉（ Euler ）方程。（）（）圓柱坐標(biāo)系中的通解以及通解的選擇第124頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-125 關(guān)于通解的說(shuō)明： 針對(duì)不同的問(wèn)題，選定 ， 和 后，它們的線性組合就給出了圓柱坐標(biāo)系中拉普拉斯方程的通解。 通解的選取由通解的性質(zhì)以及邊界條件的情況共同決定。 取三角函數(shù)時(shí)， 必為變形貝塞爾函數(shù)； 取雙曲函數(shù)時(shí)， 必為貝塞爾函數(shù)。圓柱坐標(biāo)系中的通解以及通解的選擇第125頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-126

56、圓柱坐標(biāo)系中典型的二維場(chǎng)的通解 二維場(chǎng)的通解：第126頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-127 二維場(chǎng)的通解：或圓柱坐標(biāo)系中典型的二維場(chǎng)的通解第127頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-128 圓柱筒內(nèi) 的二維場(chǎng)的通解 側(cè)壁上電位為零時(shí)的通解：圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法的實(shí)例第128頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-129 頂部和底部的電位為零時(shí)的通解：（） 習(xí)題3.24的通解。圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法的實(shí)例第129頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-130 例設(shè)一截面半徑為 、介電常數(shù)為 的長(zhǎng)直介質(zhì)圓柱體放入一

57、無(wú)限大的均勻靜電場(chǎng) 中，如圖（a）所示。圓柱體外為真空，圓柱體的軸線與電場(chǎng) 的方向垂直。試求該圓柱體內(nèi)外的電位及電場(chǎng)分布。圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法的實(shí)例第130頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-131解：取定圓柱坐標(biāo)系，使 軸與圓柱體的軸相重合， 軸正向與 的方向相一致，即 。在此坐標(biāo)系下，諸場(chǎng)量均與 坐標(biāo)無(wú)關(guān)，圓柱內(nèi)外部電位可分別寫為（）（）第131頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-132上列兩式的待定系數(shù)可以利用下列的邊界條件來(lái)確定：（1）在介質(zhì)圓柱體的軸線上，電位為有限值，即（2）在介質(zhì)圓柱體的表面上滿足電位邊界條件，即（）（）（）第132頁(yè)/

58、共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-133（3）由于介質(zhì)圓柱體表面的極化電荷在 的地方所建立的電場(chǎng)已減弱至零，所以這些地方的電場(chǎng)應(yīng)等于外加的均勻場(chǎng)。若取 時(shí)的電位為零，則外加均勻電場(chǎng)所對(duì)應(yīng)的電位分布應(yīng)為 ，故有（）第133頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-134將（）式代入（）式，得到 ，即將（）式代入（）式，得到 以及 （若 ），即第134頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-135將上列兩式分別代入（）式和（）式，得出第135頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-136通過(guò)比較系數(shù)得到最后，將上述系數(shù)值代入（）式和（

59、）式，則可得出介質(zhì)柱內(nèi)外的電位分布函數(shù)分別為第136頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-137利用公式 ，可分別求出柱體內(nèi)外的電場(chǎng)分布為第137頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-138 從上述結(jié)果可以看出，圓柱體內(nèi)的電場(chǎng)大小與位置無(wú)關(guān)，是一個(gè)均勻場(chǎng)。因?yàn)?，所以 。也就是說(shuō)，圓柱體內(nèi)的電場(chǎng)小于外加的電場(chǎng)。真?zhèn)€空間的電場(chǎng)分布的示意圖如圖（b）所示。圓柱體內(nèi)的電場(chǎng)的減弱是因?yàn)榻橘|(zhì)表面極化電荷的緣故。第138頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-139 球面坐標(biāo)系中的分離變量法I球面坐標(biāo)系中的通解的變量分離I球面坐標(biāo)系中的常用的通解I球面坐

60、標(biāo)系中的分離變量法的實(shí)例第139頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-140球面坐標(biāo)系中的變量分離 球面坐標(biāo)系中的標(biāo)量拉普拉斯方程 令 ，代入拉普拉斯方程得到（）采用類似于圓柱坐標(biāo)系中分離變量的過(guò)程，就可以依次得到函數(shù)球面坐標(biāo)系中三個(gè)分離函數(shù)所滿足的三個(gè)微分方程。第140頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電磁場(chǎng)與電磁波理論33-141 球面坐標(biāo)系中的三個(gè)方程 方程（）稱為歐拉（Euler）方程，它的解為冪函數(shù)；方程（）稱為勒讓德（Legendre）方程，它的解為勒讓德函數(shù)；方程（）的解類似于直角坐標(biāo)系。（）（）（）球面坐標(biāo)系中的變量分離第141頁(yè)/共223頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波理論電