中考數(shù)學壓軸題“存在性”問題的解題策略(含解答)

1、優(yōu)秀學習資料歡迎下載數(shù)學“存在性”問題的解題策略存在性問題是指判斷滿足某種條件的事物是否存在的問題，這類問題的知識覆蓋面較廣，綜合性較強，題意構(gòu)思非常精巧，解題方法靈活，對學生分析問題和解決問題的能力要求較高，是近幾年來各地中考的“熱點”。這類題目解法的一般思路是：假設存在推理論證得出結(jié)論。若能導出合理的結(jié)果，就做出“存在”的判斷，導出矛盾，就做出不存在的判斷。由于“存在性” 問題的結(jié)論有兩種可能， 所以具有開放的特征，在假設存在性以后進行的推理或計算，對基礎知識，基本技能提出了較高要求，并具備較強的探索性，正確、完整地解答這類問題，是對我們知識、能力的一次全面的考驗?！镜湫屠}】例1.若關(guān)于

2、 x的一元二次方程x23(m1)xm29m200有兩個實數(shù)根，又已知 a、b、c分別是 ABC的A、B、C的對邊，C90°，且 cosB3，5ba3，是否存在整數(shù)m，使上述一元二次方程兩個實數(shù)根的平方和等于Rt ABC的斜邊 c的平方？若存在，求出滿足條件的m的值，若不存在，請說明理由。分析： 這個題目題設較長，分析時要抓住關(guān)鍵，假設存在這樣的 m，滿足的條件有是整數(shù)，一元二次方程兩個實數(shù)根的平方和等于 Rt ABC 斜邊 c 的平方，隱含條件判別式 0 等，這時會發(fā)現(xiàn)先抓住 Rt ABC 的斜邊為 c 這個突破口，利用題設條件，運用勾股定理并不難解決。m3解： 在 Rt ABC中，

3、C90°，cos B5設a=3k， c=5k ，則由勾股定理有b=4k ， ba3，4k3k3， k3a9，b12，c15設一元二次方程 x 23( m 1) xm29m200的兩個實數(shù)根為 x1 ，x2則有： x1x23( m 1) ，x1 x2m29m20x12x22( x1x2 )22 x1 x2 3(m1) 22(m29m 20)7m236m31由x12x22c2 ，c 15有 7m236m31 225，即 7m236m 2560 m14， m2647優(yōu)秀學習資料歡迎下載 m64不是整數(shù)，應舍去，7當m 4時，0存在整數(shù) m=4，使方程兩個實數(shù)根的平方和等于Rt ABC 的斜

4、邊 c 的平方。例 2. 如圖：已知在同一坐標系中，直線 y kx2k 與 y軸交于點 P，拋物2線 y x22(k1)x 4k與x軸交于 A(x ，0)， B( x ，0)兩點， C是拋物線的頂點12（ 1）求二次函數(shù)的最小值（用含k 的代數(shù)式表示）（ 2）若點 A 在點 B 的左側(cè)，且 x1· x2<0當 k 取何值時，直線通過點B；是否存在實數(shù) k，使 SABP =S ABC ？如果存在，求出拋物線的解析式；如果不存在，請說明理由。分析：本題存在探究性體現(xiàn)在第（ 2）問的后半部分。認真觀察圖形，要使 S ABP =S ABC ，由于 AB=AB ，因此，只需兩個三角形同底

5、上的高相等就可以。OP顯然是 ABP 的高線，而 ABC 的高線，需由 C 作 AB 的垂線段，在兩個高的長中含有字母k，就不難找到滿足條件的 k 值。解： (1) a 1 0， y最小值4× 4k 4( k 1) 2(k1)24(2)由 yx22(k1)x4k，得： y(x2)(xk2 )當 y 0時， x12，x22k點A在點B左側(cè)，x1x2 ，又 x1 x20， x10，x20 A （ 2k， 0）， B（ 2， 0），k將 B(2， 0) 代入直線 ykx22k4得： 2k 20， k23 當k4時，直線過B點3優(yōu)秀學習資料歡迎下載（ 2）過點 C 作 CD AB 于點 D則

6、CD|(k1)2 |( k1) 2直線 ykx2k 交 y軸于 P(0， 2k ) ，k22 OP22若 S ABPSABC ，則 1AB· OP1 AB·CD22 OP=CD 2k( k 1) 22解得： k11 ， k2 221由圖象知， k0，取 k2當 k1 時， SABP SABC2此時，拋物線解析式為： yx 2x 2例 3. 已知： ABC 是 O 的內(nèi)接三角形， BT 為 O 的切線， B 為切點， P 為直線 AB 上一點，過點 P 作 BC 的平行線交直線BT 于點 E，交直線 AC 于點 F。（ 1）當點 P 在線段 AB 上時，求證： PA 

7、3; PB=PE· PF（ 2）當點 P 為線段 BA 延長線上一點時，第（ 1）題的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由。(3)若 AB42， cos EBA1 ，求O的半徑3分析： 第（ 1）問是一個常規(guī)性等積式的證明問題，按一般思路，需要把它轉(zhuǎn)化為比例式，再轉(zhuǎn)化為證明兩個三角形相似的問題，同學們不會有太大的困難。難點在于讓P 點沿BA 運動到圓外時，探究是否有共同的結(jié)論，符合什么共同的規(guī)律。首先需要按題意畫出圖形，并沿用原來的思路、方法去探索，看可否解決。第（ 3）問，從題意出發(fā)，由條件 cos EBA1 ，欲求 O的半徑，啟發(fā)我們作出直徑 AH為輔助線，使隱

8、性的3條件和結(jié)論顯現(xiàn)出來。證明： （1）（如圖所示）優(yōu)秀學習資料歡迎下載 BT 切 O 于 B ， EBA= C， EF BC ， AFP= C AFP= EBA又 APF= EPB PFA PBEPAPFPEPB PA· PB=PE· PF（ 2）（如圖所示）當 P 為 BA 延長線上一點時，第（ 1）問的結(jié)論仍成立。 BT 切 O 于點 B， EBA= C EP BC ， PFA= C EBA= PFA又 EPA= BPE PFA PBEPFPAPBPE PA· PB=PE· PF（ 3）作直徑 AH ，連結(jié) BH ， ABH=90 °，

9、BT 切 O 于 B ， EBA= AHB cos EBA1 ， cos AHB13322AHB 1 s i n AHBcos又 AHB 為銳角 s i n A H B223在 Rt ABH 中， sin AHBAB，AB 4 2AH AHAB6，sin AHB O 的半徑為3。優(yōu)秀學習資料歡迎下載例 4.已知二次函數(shù) ymx2(m3) x3 (m0)（ 1）求證：它的圖象與 x 軸必有兩個不同的交點；（ 2）這條拋物線與 x 軸交于兩點 A （ x1， 0）， B（ x2， 0）（ x1 x2），與 y 軸交于點C，且 AB=4 ， M 過 A 、B 、 C 三點，求扇形MAC 的面積 S。

10、（ 3）在（ 2）的條件下，拋物線上是否存在點P，使 PBD（ PD x 軸，垂足為 D）被直線 BC 分成面積比為1： 2的兩部分？若存在，求出點P 的坐標；若不存在，說明理由。分析： 本題的難點是第（3）個問題。我們應先假設在拋物線上存在這樣的點P，然后由已知條件（面積關(guān)系）建立方程，如果方程有解，則點P 存在；如果方程無解，則這樣的點P 不存在，在解題中還要注意面積比為 1： 2，應分別進行討論。解：(1)(m3)2m(m3)20 (m0)12它的圖象與x 軸必有兩個不同的交點。(2) ymx2( m3) x3(mx3)( x1)令y 0，則 A( x1 ， 0)， B( x2 ， 0)

11、x1x2 ，m0 x23 ， x11m A( 1，0)，B( 3 ，0) m AB=4 ，OA=1 ， OB3，33， m1， B(3， 0)myx 22 x3 C（ 0， 3）， OC=OB ， ABC=45 ° AMC=90 °，設 M （ 1， b），由 MA=MC ，得：(11) 2b212(b3)2 b=1， M （ 1， 1）MA(11)2(1)25優(yōu)秀學習資料歡迎下載 S扇形 MAC1·2544（ 3）設在拋物線上存在這樣的點P（ x， y），則過B （3， 0）， C（ 0， 3）的直線BC 的解析式為：yx3，設BC與PD交于點 E當 S PBE

12、： S BED=2： 1 時，PE=2DE ， PD=3DEPD 的長是 P 點縱坐標的相反數(shù)，DE 的長是 E 點縱坐標的相反數(shù)，且 P、E 兩點橫坐標相同PDy拋x 22x 3，DEy直線x 3x 22 x 33(x 3)解得： x12，x33( 不合題意，舍去 ) P（2， 3）當 S PBE： SBED =1： 2 時，PE13DE ， DPDE22x 22x 33 ( x 3)2解得： x11 ， x23(不合題意，舍去 )2P(1，15)24拋物線上存在符合題意的點P(2，3)或P( 1 ，15)24例 5.如圖：二次函數(shù) y x 2bx c的圖象與 x軸相交于 A、 B兩點，點

13、A在原點左邊，點 B在原點右邊，點 P(1， m) 在拋物線上， AB2， tan PAO25（ 1）求 m 的值；（ 2）求二次函數(shù)的解析式；（ 3）在 x 軸下方的拋物線上有一動點D ，是否存在點 D，使 DAO 的面積等于 PAO的面積？若存在，求出D 點坐標；若不存在，說明理由。優(yōu)秀學習資料歡迎下載解： （ 1）作 PH x 軸于 H，在 RtPAH 中PH2 t a n PAO5AH PH m， AH5 m2 P（1， m）在拋物線上， m=1+b+c ，設A( x1 ， 0) ，B( x2 ， 0)， AB2 |x2 x1 | 2( x1x2 ) 24x1 x22令y0，得： x

14、2bxc0 x1x2b， x x2c， b24c 21±b24cb±xb222且 x1x2 ， x1b2 ， x2b 222 OH=1 ， AH AO=1 AH5 m， AOx1b 222 5 mb2122m1 bcm2425由： 5 mb21得： b4225b24c2c2125b4(舍去 ) m24254 x21(2) yx2525（ 3）假設在 x 軸下方的拋物線上存在點D（ x0， y0），使S DAOSPAO ，則有：S1| AO|· | y0|， S1|AO|·|PH|DAO2PAO2優(yōu)秀學習資料歡迎下載 | y0 | |PH |24，m25

15、y024 ，代入 y0x024 x021 ，得：2555x02 4 x02124 ，解得： x13 ， x21552555滿足條件的點有兩個：D( 3，2 4)或D(1 ，2 4)52 552 5例 6. 如圖，在平面直角坐標系 OXY 中，正方形 OABC 的邊長為 2cm，點 A 、 C 分別在 y 軸的負半軸和 x 軸的正半軸上，拋物線 y=ax 2+bx+c 經(jīng)過點 A 和 B，且 12a+5c=0。（ 1）求拋物線的解析式；（ 2）如果點 P 由點 A 沿 AB 邊以 2cm/秒的速度向點 B 移動，同時點 Q 由點 B 開始沿BC 邊以 1cm/秒的速度向點C 移動，那么：移動開始

16、后第 t 秒時，設 S=PQ2（ cm2），試寫出 S 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 t 的取值范圍；當 S 取最小值時，在拋物線上是否存在點R，使得以P、 B、Q、R 為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點R 的坐標；若不存在，請說明理由。解： （ 1）根據(jù)題意，A（ 0， 2）， B（ 2， 2）5a62c5根據(jù)題意：24a2bc b12a5c03c2拋物線的解析式為：y5 x 2 5 x 26 3（ 2）移動開始后第 t 秒時， AP=2t ，BQ=t P（2t， 2）， Q（ 2， t 2）SPQ2 ， S (2t2) 2( 2 t 2) 2即S5t 28t 4 (0t 1)當 S取得最小值時，4t5優(yōu)秀學習資料歡迎下載86P(，2)，Q(2，)55