矢量場的通量及散PPT課件

1、主要內(nèi)容主要內(nèi)容l1. 通量通量l2. 散度散度l3.平面矢量場的通量與散度平面矢量場的通量與散度*教材：第教材：第2章章 第第3節(jié)節(jié)第1頁/共32頁簡單曲線與簡單曲面術(shù)語介紹（1）簡單曲線：設(shè)連續(xù)曲線參數(shù)方程為：設(shè)連續(xù)曲線參數(shù)方程為：)(),(),(tztytx 曲線上的每一點都只對應(yīng)唯一的一個參數(shù)值t.(閉合曲線閉合點除外)。簡單曲線的一般特征是一條沒有重點的連續(xù)曲線。（2）簡單曲面：設(shè)連續(xù)曲面參數(shù)方程為：設(shè)連續(xù)曲面參數(shù)方程為：),(),(),(vuzvuyvux 曲面上的每一點都只對應(yīng)唯一的一個參數(shù)值（u, v）.(閉合曲面閉合點除外)。簡單曲面的一般特征是一條沒有重點的連續(xù)曲面。第2頁

2、/共32頁l1.通量通量引例：引例： 設(shè)有流速場v(M),流體是不可壓縮的，設(shè)其密度為1.求單位時間內(nèi)流體向正側(cè)穿過有向曲面S的流量Q（如圖）。 取微元ds(微元內(nèi)速度矢量和法矢量近似看做不變)，則穿過ds的流量dQ近似等于：dsvdQn以 表示點M處的單位法矢量則流量表示為：0n)()(00dsnvdsnvdsvdQn第3頁/共32頁dSdsndS,0 令 為在點M處的這樣一個矢量，其方向與法向量n一致，其模等于面積ds。 據(jù)此，在單位時間內(nèi)向正側(cè)穿過S的流量，就可用曲面積分表示為：dSvdsvQssn 又如：在電位移矢量D分布的電場中，穿過曲面S的電通量：ssnedSDdsD 在磁感應(yīng)強度

3、矢量B分布的電場中，穿過曲面S的磁通量：ssnmdSDdsB第4頁/共32頁通量定義： 設(shè)有矢量場A(M),沿其中有向曲面S某一側(cè)的曲面積分：叫做矢量A(M)向積分所沿一側(cè)穿過曲面S的通量。ssndSAdsA若： miimAAAAA121則有：則有： miimisissmiidSAdSAdSA111)(通量是可疊加的。通量是可疊加的。第5頁/共32頁在直角坐標(biāo)系中，設(shè),),(),(),(kzyxrjzyxQizyxPA,),cos(),cos(),cos(dydzkdxdzjdydzikzndsjyndsixndsdsndSo則通量可寫成：ssRdxdyQdxdzPdydzdSA又：又：第6頁

4、/共32頁例1： 設(shè)由矢徑設(shè)由矢徑 構(gòu)成的矢量場中，構(gòu)成的矢量場中，有一由圓錐面有一由圓錐面 及平面及平面 所圍所圍成的封閉曲面成的封閉曲面S,S,如圖，試求矢量場如圖，試求矢量場 從從S S內(nèi)穿出內(nèi)穿出S S的的通量通量。解：zkyjxir222zyx) 0(HHz 以 表示曲面S的平面部分，以 表示錐面部分，則通量為：1S2S12sSsdSrdSrdSr第7頁/共32頁其中321111HHHdxdyHHdxdyzdxdyydxdzxdydzdSrDDss其中 為 在xOy面上的投影。1D1S在 上有 則： 00222ssnsdsdsrdSr2Snr 3HdSrs所以：第8頁/共32頁例2：

5、 設(shè)設(shè)S S為曲面為曲面 被圍在圓柱面被圍在圓柱面 內(nèi)內(nèi)的部分，求矢量場的部分，求矢量場 向下穿出向下穿出S S的的通量通量 。223yxz422 yxzkyjxiA 2解： S為函數(shù) 當(dāng)u取值為0時的一張等值面。由于矢量場向下穿出S的方向，是z減小的方向同時也是u值減小的方向，故S朝此方向的單位法矢量為：223yxzu13646222yxkyjxigradugraduno第9頁/共32頁所求通量為：243)( 336411364)3(6413646420203222222222222220drrddxdyyxdxdyyxyxyxyxdSyxzyxdSnAxyxyDDss第10頁/共32頁通量

6、為正負時的物理意義： 對于流速場v(M),設(shè)在單位時間內(nèi)流體向正側(cè)穿過S的流量為Q，根據(jù)前面所述，單位時間內(nèi)流體向正側(cè)穿過曲面元素dS的流量為：dSvdQ 其結(jié)果是個代數(shù)值：若v從曲面的負側(cè)傳到曲面的正側(cè)時，v與n夾角為銳角因此dQ為正流量，如下圖左所示；反之，v與與n夾角為鈍角夾角為鈍角dQ為負流量，為負流量，如下圖右所示：如下圖右所示：第11頁/共32頁因此，對于總流量sdSvQ 一般應(yīng)理解為：單位時間內(nèi)流體向正側(cè)穿過曲面S的正流量與負流量的代數(shù)和。 如果S為一封閉曲面，此時積分 一般指沿S的外側(cè)，此時流量表示從內(nèi)穿出S的正流量與從外穿入S的負流量的代數(shù)和。s 若Q0,那S內(nèi)必有正源；同理

7、Q0,S內(nèi)必有負源。但是當(dāng)Q=0時，不能斷言S內(nèi)無源。第12頁/共32頁例3： 在點電荷q所產(chǎn)生的電場中。任何一點M處的電位移矢量為024rrqD 其中r是點電荷q到點M的距離， 是從點電荷q指向點M的單位矢量。設(shè)S為以點電荷為球心，R為半徑的球面，求從內(nèi)穿出S的電通量 。0r解： 如圖，在球面S上恒有r=R ,且法矢量n與 的方向一致，所以0rqRRqdSRqdSrRqdSDssse222024444第13頁/共32頁l2.散度散度散度定義： 設(shè)有矢量場A(M)，于場中一點M的某個領(lǐng)域內(nèi)作一包含M點在內(nèi)的任一閉曲面S，設(shè)其所包圍的空間區(qū)域為，以V表示其體積，以表示從其內(nèi)穿出S的通量，若當(dāng)以任

8、意方式縮向點M時，比式：VdSAVS 的極限存在，此極限為矢量場A(M)在點M處的散度。 記作div A,VdSAVdivASMMlimlim第14頁/共32頁 散度div A為一數(shù)量，表示在場中一點處通量對體積的變化率，也就是在該點處對一個單位體積來說所穿出的通量，稱為該點處源的強度。 div A的符號為正表示該點處有散發(fā)通量的正源，反之則有吸收通量的負源。其絕對值| div A |表示該點處散發(fā)或吸收通量的強度。 當(dāng)div A的值為零時，表示該點處無源，由此稱div A0的矢量場為無源場。 把矢量場A中每一點的散度與場中的點一一對應(yīng)起來就得到一個數(shù)量場，稱之為由此矢量場產(chǎn)生的散度場。第15

9、頁/共32頁散度在直角坐標(biāo)系中的表達式：定理：在直角坐標(biāo)系中，矢量場kzyxRjzyxQizyxPA),(),(),(在任一點的散度為：在任一點的散度為：zRyQxPdivAdVzRyQxPRdydzQdxdzPdydzdSASS)(證明：證明：由高斯公式得由高斯公式得：第16頁/共32頁再按中值定理有VzRyQxPM* M*為內(nèi)的某一點，由此：*limlimMMMzRyQxPVdivA當(dāng)縮向點M時， M*就趨于M, 所以zRyQxPdivA第17頁/共32頁推論1： 高斯公式可寫成如下的矢量形式：推論2：divAdVdSAs 穿出封閉曲面S的通量等于S所圍區(qū)域上的散度在上的三重積分 由推論1

10、可知：若在封閉曲線S內(nèi)處處有divA=0, 0dSAs推論3： 若在矢量場A內(nèi)，某些點（或區(qū)域）上有divA0或divA不存在，而在其他的點都有divA=0，則穿過包圍這些點（或區(qū)域）的任意兩張封閉曲面的通量都相等，為一常數(shù)。第18頁/共32頁例4： 在點電荷q所產(chǎn)生的靜電場中。求電位移矢量D在任一點M處的散度div D。解：取點電荷所在之點為坐標(biāo)原點，此時：rrqD34其中其中rrzkyjxir,因此因此3334,4,4rqzDrqyDrqxDzyx52252252234,34,34rzrqzDryrqyDrxrqxDzyx于是有第19頁/共32頁0)(33452222rzyxrqzDyDx

11、DdivDzyx（r 0 ）所以所以 可見，除點電荷q所在的原點（r=0）divD不存在外，電位移D的散度處處為零，為一無源場。 根據(jù)推論3和例3有電場穿過包含點電荷q在內(nèi)的任何風(fēng)閉曲面S的電通量都等于q，再根據(jù)通量可累加，可以得出電學(xué)上的高斯定理： 穿出任意封閉曲面S的電通量，等于其內(nèi)各點電荷的代數(shù)和。第20頁/共32頁 對于在電荷連續(xù)分布的電場中，點位移矢量D的散度為：VVdSDdivDMSMlimlim根據(jù)高斯定理：VQdivDMlim即電位移D的散度等于電荷分布的體密度。第21頁/共32頁散度運算的基本公式：cdivAcAdiv)() 1 (divBdivABAdiv)()2(Agra

12、duudivAuAdiv)()3(（c為常數(shù)）(u為數(shù)性函數(shù))第22頁/共32頁例5： 已知已知 求求 。,zkyjxirexyz)( rdiv由基本公式得：由基本公式得：rgraddivrrdiv)(3)(zkyjxidivdivr)(yzkxzjyzieegradgradxyzxyz故故xyzxyzxyzexyzxyzeerdiv)1 (333)(由于由于解：解：第23頁/共32頁l3.平面矢量場的通量與散度平面矢量場的通量與散度* 上面討論的是空間矢量場的通量和散度，用類似上面討論的是空間矢量場的通量和散度，用類似的方法可引入平面矢量場的通量和散度；的方法可引入平面矢量場的通量和散度；

13、為此將平面有向曲線上任一點處的法矢量為此將平面有向曲線上任一點處的法矢量n的方向的方向做這樣的規(guī)定：若將做這樣的規(guī)定：若將n按逆時針方向旋轉(zhuǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90度，它便度，它便與該點處的切向矢量與該點處的切向矢量t共線且同指向，如圖：共線且同指向，如圖：第24頁/共32頁通量定義（平面矢量場） 設(shè)有平面矢量場A(M),沿其中某一有向曲線l的曲線積分 dlAln 叫做矢量場A(M)沿法矢量n的方向穿過曲線l的通量 在直角坐標(biāo)系中，設(shè)在直角坐標(biāo)系中，設(shè)jyxQiyxPA),(),(又曲線l的單位法矢量jdldxidldyjxtiytjynixnn),cos(),cos(),cos(),cos(0第

14、25頁/共32頁則通量可表示為：QdxdyPdlnAdlAllln0 若l為封閉平面曲線，取其逆時針為正方向，而且對于環(huán)繞l一周的曲線積分 來說，默認表示積分沿l的正方向進行。l據(jù)此，可引出散度的定義；據(jù)此，可引出散度的定義；第26頁/共32頁散度定義（平面矢量場） 設(shè)有平面矢量場A(M),于場中一點M的某個領(lǐng)域內(nèi)做已包含點M在內(nèi)的任一閉曲線l，設(shè)其所包圍的平面區(qū)域為，以S表示其面積，以表示從其內(nèi)穿出l的通量，若當(dāng)?shù)耐?，若?dāng)以任意方式縮向點以任意方式縮向點M時，比式時，比式 ：SdlASln的極限存在，則稱之為矢量場A(M)在點M處的散度。即即SdlASdivAlnMMlimlim第27頁/共32頁類似地引入格林公式：dyQxPPdyQdxlD)(在直角坐標(biāo)系中散度可表示為：yQxPdivADlndivAddlA因此格林公式可寫成如下的矢量形式：第28頁/共32頁例6： 已知平面矢量場已知平面矢量場 其中其中a a為常數(shù)，為常數(shù)，（1 1）求場）求場A A穿出使穿出使divAdivA=0=0的等值線的通量；的等值線的通量； （2 2）求）求divAdivA在點在點M(2,-1)M(2,-1)處的方向?qū)?shù)的最大值。處的方向?qū)?shù)的最大值。yjxxiyaA222)(解：解：（1）因222xyadivA使divA=0的等值線為一圓周,:222ayxl場A穿出