線名師指點(diǎn)高考之?dāng)?shù)列

1、. 快樂學(xué)習(xí)，盡在中小學(xué)教育網(wǎng)一線名師指點(diǎn)07高考數(shù)列1【考點(diǎn)回放篇】考點(diǎn)串講31 數(shù)列的概念1數(shù)列：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列。（1）數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，an，簡記為an，其中an是數(shù)列的第n項(xiàng)。（2）可視數(shù)列為特殊函數(shù)，它的定義域是正自然數(shù)集的子集（必須連續(xù)），因此研究數(shù)列可聯(lián)系函數(shù)的相關(guān)知識，如數(shù)列的表示法（列表法、圖象法、公式法等）、數(shù)列的分類（有限和無窮、有界無界、單調(diào)或擺動(dòng)等）。應(yīng)注意用函數(shù)的觀點(diǎn)分析問題。2通項(xiàng)公式如果數(shù)列an的第n項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)公式來表達(dá)，那么這個(gè)公式就叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式，可以記為an=f（n）。并非每一個(gè)數(shù)列都可

2、以寫出通項(xiàng)公式，有些數(shù)列的通項(xiàng)公式也并非是唯一的。3數(shù)列的前n項(xiàng)和數(shù)列an的前n項(xiàng)之和，叫做數(shù)列的前n項(xiàng)和，常用Sn表示。Sn與通項(xiàng)an的基本關(guān)系是：an= Sn=a1+a2+an。4數(shù)列的分類（1）按項(xiàng)分類有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限；無窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無限。（2）按an的增減性分類遞增數(shù)列：對于任何nN*，均有an+1an；遞減數(shù)列：對于任何nN*，均有an+1an；擺動(dòng)數(shù)列：例如：1，1，1，1，；常數(shù)數(shù)列：例如：6，6，6，6，；有界數(shù)列：存在正數(shù)M使|an|M，nN*；無界數(shù)列：對于任何正數(shù)M，總有項(xiàng)an使得|an|M。5遞推是認(rèn)識數(shù)列的重要手段，遞推公式是確定數(shù)列的一種方式，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系寫

3、出數(shù)列。32 等差數(shù)列1等差數(shù)列的概念若數(shù)列an從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，則數(shù)列an叫等差數(shù)列。2通項(xiàng)公式：an=a1+（n1）d，推廣：an=am+（nm）d。變式：a1=an（n1）d，d=，d=，由此聯(lián)想點(diǎn)列（n，an）所在直線的斜率。3等差中項(xiàng)：若a、b、c成等差數(shù)列，則b稱a與c的等差中項(xiàng)，且b=；a、b、c成等差數(shù)列是2b=a+c的充要條件。4前n項(xiàng)和：Sn=na1+d=n·an（n1）nd。變式：=a1+（n1）·=an+（n1）·（）。33 等比數(shù)列1定義數(shù)列an從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列稱作等比數(shù)

4、列。常數(shù)叫公比。2通項(xiàng)公式：an=a1qn1，推廣形式：an=amqnm。變式：q=（n、mN*）。3前n項(xiàng)和Sn=注：q1時(shí)，=。4等比中項(xiàng)：若a、b、c成等比數(shù)列，則b為a、c的等比中項(xiàng)，且b=±。5三個(gè)數(shù)或四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列且又知積時(shí)，則三個(gè)數(shù)可設(shè)為、a、aq，四個(gè)數(shù)可設(shè)為、aq、aq3為好。6證明等比數(shù)列的方法：（1）用定義：只需證=常數(shù)；（2）用中項(xiàng)性質(zhì)：只需an+12=an·an+2或=。34 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題（一）等差、等比數(shù)列的性質(zhì)1等差數(shù)列an的性質(zhì)（1）am=ak+（mk）d，d=。（2）若數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，則數(shù)列an+b（、b為常

5、數(shù)）是公差為d的等差數(shù)列；若bn也是公差為d的等差數(shù)列，則1an+2bn（1、2為常數(shù)）也是等差數(shù)列且公差為1d+2d。（3）下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為m的項(xiàng)ak，ak+m，ak+2m，組成的數(shù)列仍為等差數(shù)列，公差為md。（4）若m、n、l、kN*，且m+n=k+l，則am+an=ak+al，反之不成立。（5）設(shè)A=a1+a2+a3+an，B=an+1+an+2+an+3+a2n，C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+a3n，則A、B、C成等差數(shù)列。（6）若數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)為2n（nN*），則S偶S奇=nd，=，S2n=n（an+an+1）（an、an+1為中間兩項(xiàng)）；若數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)為2n1（n

6、N*），則S奇S偶=an，=，S2n1=（2n1）an（an為中間項(xiàng)）。2等比數(shù)列an的性質(zhì)（1）am=ak·qmk。（2）若數(shù)列an是等比數(shù)列，則數(shù)列1an（1為常數(shù)）是公比為q的等比數(shù)列；若bn也是公比為q2的等比數(shù)列，則1an·2bn（1、2為常數(shù)）也是等比數(shù)列，公比為q·q2。（3）下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為m的項(xiàng)ak，ak+m，ak+2m，組成的數(shù)列仍為等比數(shù)列，公比為qm。（4）若m、n、l、kN*，且m+n=k+l，則am·an=ak·al，反之不成立。（5）設(shè)A=a1+a2+a3+an，B=an+1+an+2+an+3+a2n，C=

7、a2n+1+a2n+2+a2n+3+a3n，則A、B、C成等比數(shù)列，設(shè)M=a1·a2··an，N=an+1·an+2··a2n，P=a2n+1·a2n+2··a3n，則M、N、P也成等比數(shù)列。（二）對于等差、等比數(shù)列注意以下設(shè)法：如三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為ad，a，a+d；若四個(gè)符號相同的數(shù)成等差數(shù)列，知其和，可設(shè)為a3d，ad，a+d，a+3d。三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)為，a，aq，若四個(gè)符號相同的數(shù)成等比數(shù)列，知其積，可設(shè)為，aq，aq3。（三）用函數(shù)的觀點(diǎn)理解等差數(shù)列、等比數(shù)列1對于等差數(shù)列，an=a

8、1+（n1）d=dn+（a1d），當(dāng)d0時(shí)，an是n的一次函數(shù)，對應(yīng)的點(diǎn)（n，an）是位于直線上的若干個(gè)點(diǎn)。當(dāng)d0時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，對應(yīng)的數(shù)列是遞增數(shù)列；同理，d=0時(shí)，函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，對應(yīng)的數(shù)列是常數(shù)列；d0時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，對應(yīng)的數(shù)列是遞減函數(shù)。若等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn=pn2+qn（p、qR）。當(dāng)p=0時(shí)，an為常數(shù)列；當(dāng)p0時(shí)，可用二次函數(shù)的方法解決等差數(shù)列問題。2對于等比數(shù)列：an=a1qn1。可用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來理解。當(dāng)a10，q1或a10，0q1時(shí)，等比數(shù)列是遞增數(shù)列；當(dāng)a10，0q1或a10，q1時(shí)，等比數(shù)列an是遞減數(shù)列。當(dāng)q=1時(shí)，是一個(gè)常數(shù)列。當(dāng)q0時(shí)，無法判斷

9、數(shù)列的單調(diào)性，它是一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列。35 數(shù)列的應(yīng)用知識梳理1實(shí)際生活中的銀行利率、企業(yè)股金、產(chǎn)品利潤、人口增長、工作效率、濃度問題等常常通過數(shù)列知識加以解決。2理解“復(fù)利”的概念，注意分期付款因方式的不同抽象出來的數(shù)列模型也不同。3實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)列問題，首先要弄清首項(xiàng)、公差（或公比），其次是弄清是求某一項(xiàng)還是求某些項(xiàng)的和的問題?！究键c(diǎn)提醒篇】1、數(shù)列的概念：數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*（或它的有限子集1，2，3，n）的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。如（1）已知，則在數(shù)列的最大項(xiàng)為_（答：）；（2）數(shù)列的通項(xiàng)為，其中均為正數(shù)，則與的大小關(guān)系為_（答：）；（3）已知數(shù)列中，且是

10、遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍（答：）；（4）一給定函數(shù)的圖象在下列圖中，并且對任意，由關(guān)系式得到的數(shù)列滿足，則該函數(shù)的圖象是（ ）（答：A）A B C D2等差數(shù)列的有關(guān)概念：1）等差數(shù)列的判斷方法：定義法或。如設(shè)是等差數(shù)列，求證：以bn= 為通項(xiàng)公式的數(shù)列為等差數(shù)列。2）等差數(shù)列的通項(xiàng)：或。如（1）等差數(shù)列中，則通項(xiàng)（答：）；（2）首項(xiàng)為24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是_（答：）3）等差數(shù)列的前和：，。如（1）數(shù)列 中，前n項(xiàng)和，則，（答：，）；（2）已知數(shù)列 的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的前項(xiàng)和（答：）。4）等差中項(xiàng)：若a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項(xiàng)，且。提醒

11、：（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中，涉及到5個(gè)元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2。（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，a2d，ad，a+d，a+2d（公差為d）；偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，a3d，ad，a+d，a+3d，（公差為2d）3等差數(shù)列的性質(zhì)：1）當(dāng)公差時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d；前n和是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0。2）若公差d>0，則為遞增等差數(shù)列，若公差d<0，則為遞減等差數(shù)列，若公差d=0，則為常數(shù)列。3）當(dāng)m+n=p+q

12、時(shí)，則有，特別地，當(dāng)m+n=2p時(shí)，則有。如（1）等差數(shù)列中，則n_（答：27）；（2）在等差數(shù)列中，且，是其前項(xiàng)和，則A、都小于0，都大于0B、都小于0，都大于0C、都小于0，都大于0D、都小于0，都大于0（答：B）4） 若、是等差數(shù)列，則、 （、是非零常數(shù)）、 ，也成等差數(shù)列，而成等比數(shù)列；若是等比數(shù)列，且，則是等差數(shù)列。 如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為25，前2n項(xiàng)和為100，則它的前3n和為 。（答：225）5）在等差數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，（這里即）；。如（1）在等差數(shù)列中，S1122，則_（答：2）；（2）項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)和為80，偶數(shù)項(xiàng)和為75，求此數(shù)列的中

13、間項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)（答：5；31）。6）若等差數(shù)列、的前和分別為、，且，則。如設(shè)與是兩個(gè)等差數(shù)列，它們的前項(xiàng)和分別為和，若，那么_（答：）7）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和；“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。法一：由不等式組確定出前多少項(xiàng)為非負(fù)（或非正）；法二：因等差數(shù)列前項(xiàng)是關(guān)于的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性。上述兩種方法是運(yùn)用了哪種數(shù)學(xué)思想？（函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項(xiàng)嗎？如（1）等差數(shù)列中，問此數(shù)列前多少項(xiàng)和最大？并求此最大值。（答：前13項(xiàng)和最大，最大值為169）；（2）若是等差數(shù)列，首項(xiàng)，則使

14、前n項(xiàng)和成立的最大正整數(shù)n是 （答：4006）8）如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)。 注意：公共項(xiàng)僅是公共的項(xiàng)，其項(xiàng)數(shù)不一定相同，即研究。4等比數(shù)列的有關(guān)概念：1）等比數(shù)列的判斷方法：定義法，其中或。如（1）一個(gè)等比數(shù)列共有項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之積為100，偶數(shù)項(xiàng)之積為120，則為_（答：）；（2）數(shù)列中，=4+1 （）且=1，若 ，求證：數(shù)列是等比數(shù)列。2）等比數(shù)列的通項(xiàng)：或。如設(shè)等比數(shù)列中，前項(xiàng)和126，求和公比。 （答：，或2）3）等比數(shù)列的前和：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。如（1）等比數(shù)列中，2，S99=77，求（答：4

15、4）；（2）的值為_（答：2046）；特別提醒：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，首先要判斷公比q是否為1，再由q的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比q是否為1時(shí)，要對q分q=1和兩種情形討論求解。4）等比中項(xiàng)：若成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等比中項(xiàng)。提醒：不是任何兩數(shù)都有等比中項(xiàng)，只有同號兩數(shù)才存在等比中項(xiàng)，且有兩個(gè)。如已知兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)為A，等比中項(xiàng)為B，則A與B的大小關(guān)系為_（答：AB）提醒：（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n和公式中，涉及到5個(gè)元素：、q、n、及，其中、q稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2；（2）

16、為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等比，可設(shè)為，（公比為q）；但偶數(shù)個(gè)數(shù)成等比時(shí)，不能設(shè)為，因公比不一定為正數(shù)，只有公比為正時(shí)才可如此設(shè)，且公比為。如有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)成等比數(shù)列，且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為12，求此四個(gè)數(shù)。（答：15，9，3，1或0，4，8，16）5等比數(shù)列的性質(zhì)：1）當(dāng)時(shí)，則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有。如（1）在等比數(shù)列中，公比q是整數(shù)，則=_（答：512）；（2）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則 （答：10）。2） 若是等比數(shù)列，則、成等比數(shù)列；若成等比數(shù)列，則、成等比數(shù)列； 若是等比數(shù)列，且公比，則數(shù)列 ，也是等

17、比數(shù)列。當(dāng)q=1，且n為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列 ，是常數(shù)數(shù)列0，它不是等比數(shù)列。 如（1）已知a>0且，設(shè)數(shù)列xn滿足，且，則。 （答：）；（2）在等比數(shù)列an中，Sn為其前n項(xiàng)和，若，則的值為_（答：40）3）若，則an為遞增數(shù)列；若， 則an為遞減數(shù)列；若 ，則an為遞減數(shù)列；若， 則an為遞增數(shù)列；若，則an為擺動(dòng)數(shù)列；若，則an為常數(shù)列。4） 當(dāng)時(shí)，這里，但，這是等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的一個(gè)特征，據(jù)此很容易根據(jù)，判斷數(shù)列an是否為等比數(shù)列。如若an是等比數(shù)列，且，則 （答：1）5） 。如設(shè)等比數(shù)列an的公比為，前項(xiàng)和為，若成等差數(shù)列，則的值為_（答：2）6） 在等比數(shù)列an中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，

18、；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，。7）如果數(shù)列an既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列an是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列an僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件。如設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)和為（）， 關(guān)于數(shù)列an有下列三個(gè)命題：若，則an既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；若，則an是等差數(shù)列；若，則an是等比數(shù)列。這些命題中，真命題的序號是 （答：）6數(shù)列的通項(xiàng)的求法：1）公式法：等差數(shù)列通項(xiàng)公式；等比數(shù)列通項(xiàng)公式。如已知數(shù)列試寫出其一個(gè)通項(xiàng)公式：_（答：）2）已知（即）求an，用作差法：。如（1）已知an的前n項(xiàng)和滿足，求（答：）；（2）數(shù)列an滿足，求（答：）3）已知求，用作商法：。如數(shù)列an中，對所有的都有，則

19、_（答：）4）若求用累加法：。如已知數(shù)列an滿足，則=_（答：）5）已知求，用累乘法：。如已知數(shù)列an中，前項(xiàng)和，若，求（答：）6）已知遞推關(guān)系求，用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）。特別地，A、形如、（為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為的等比數(shù)列后，再求。如（1）已知，求（答：）；（2）已知，求（答：）；B、形如的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。如（1）已知，求（答：）；（2）已知數(shù)列滿足=1，求（答：）注意：（1）用求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，你注意到此等式成立的條件了嗎？（，當(dāng)時(shí)，）；（2）一般地當(dāng)已知條件中含有與的混合關(guān)系時(shí)，常需運(yùn)用關(guān)系式，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含或的關(guān)系式，然后再求解

20、。如數(shù)列an滿足，求（答：）7數(shù)列求和的常用方法：1）公式法：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式，特別聲明：運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時(shí)需分類討論；常用公式：，。如（1）等比數(shù)列an的前項(xiàng)和S2，則_（答：）；（2）計(jì)算機(jī)是將信息轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行處理的。二進(jìn)制即“逢2進(jìn)1”，如表示二進(jìn)制數(shù)，將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制形式是，那么將二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)是_（答：）2）分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和。 如求：（答：）3）倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）。 如（1）求證：；（2）已知，則_（答：）4）錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法