數(shù)學(xué)建模優(yōu)秀論文A題

1、2011高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人(包括指導(dǎo)教師)研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料）,必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）： 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報名

2、號的話)： 所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜? 參賽隊員 (打印并簽名） :1。 2。 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 （打印并簽名）： 日期： 年 月 日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：2011高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：賽區(qū)評閱記錄(可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號(由全國組委會評閱前進(jìn)行編號）:基于系統(tǒng)綜合評價的城市表層土壤重金屬污染分析摘要本文針對城市表層土壤重金屬污染問題，首先對各重金屬元素進(jìn)行分析,然后對各種重金屬元素的基本數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計分析及無量綱化

3、處理，再對各金屬元素進(jìn)行相關(guān)性分析，最后針對各個問題建立模型并求解。針對問題一,我們首先利用EXCEL和 SPSS統(tǒng)計軟件對各金屬元素的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,再利用Matlab軟件繪制出該城區(qū)內(nèi)8種重金屬元素的空間分布圖最后通過內(nèi)梅羅污染模型：，其中為所有單項污染指數(shù)的平均值，為土壤環(huán)境中各單項污染指數(shù)中的最大值.得到各區(qū)內(nèi)梅羅綜合污染指數(shù),進(jìn)而求得污染程度為:功能區(qū)生活區(qū)工業(yè)區(qū)山區(qū)主干道路區(qū)公園綠地區(qū)污染程度土壤、作物受中度污染土壤、作物受嚴(yán)重污染尚清潔土壤、作物受嚴(yán)重污染超標(biāo)針對問題二，我們首先利用EXCELL軟件畫出8種元素在各個區(qū)內(nèi)相對含量的柱狀圖，由圖可以明顯地看出各個區(qū)內(nèi)各種元素的污染情況

4、，然后再根據(jù)重金屬元素污染來源及傳播特征進(jìn)行分析，可以得出工業(yè)區(qū)及生活區(qū)重金屬的堆積和遷移是造成污染的主要原因,Cu 、Hg 、Zn主要在工業(yè)區(qū)和交通區(qū)如公路、鐵路等交通設(shè)施的兩側(cè)富集，隨時間的推移，工業(yè)區(qū)、交通區(qū)的土壤重金屬具有很強(qiáng)的疊加性，受人類活動的影響較大。同時城市人口密度，土地利用率，機(jī)動車密度也是造成重金屬污染的原因。針對問題三,我們從兩個方面考慮建模即以點為傳染源和以線為傳染源。針對以點為傳染源我們建立了兩個模型：無約束優(yōu)化模型，得到污染源的位置坐標(biāo)；有衰減的擴(kuò)散過程模型得位置坐標(biāo)（8500,5500),模型為:， 針對以線為傳染源我們建立了模型，并通過線性擬合分析線性污染源的位

5、置。針對問題四，我們在已有信息的基礎(chǔ)上，還應(yīng)收集不同時間內(nèi)的樣點對應(yīng)的濃度以及各污染源重金屬的產(chǎn)生率。根據(jù)高斯?jié)舛饶Ｐ徒⒏咚剐拚Ｐ?，得到濃度關(guān)于時間和空間的表達(dá)式。 在本題求解過程中,我們所建立的模型與實際緊密聯(lián)系,有很好的通用性和推廣性。但在求點污染源時，我們假設(shè)只有一個污染源，而實際上可能有多個點污染源,從而使得誤差增大，或者使污染源的位置夠不準(zhǔn)確。關(guān)鍵詞 內(nèi)梅羅污染模型 無量綱化 相關(guān)性 回歸模型 高斯?jié)舛饶Ｐ?一、問題重述俗話說:“一方水土養(yǎng)一方人”.城市是人類活動最密集的地區(qū)，但在廢物處理設(shè)施仍不發(fā)達(dá)的絕大多數(shù)地區(qū) ,城市及其周邊土壤依然發(fā)揮著重要的容納和凈化污染物的功能,在強(qiáng)烈

6、的環(huán)境負(fù)荷沖擊下,土壤的服務(wù)功能面臨極大的威脅，換言之，土壤的緩沖凈化功能將接近極限并有被超過的危險，因而將導(dǎo)致嚴(yán)重土壤污染的產(chǎn)生，而其結(jié)果將是長遠(yuǎn)和危險的。隨著城市經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展和城市人口的不斷增加，人類活動對城市環(huán)境質(zhì)量的影響日顯突出。人類活動影響下城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式，日益成為人們關(guān)注的焦點。我們將城區(qū)分為生活區(qū)、工業(yè)區(qū)、山區(qū)、主干道路區(qū)及公園綠地區(qū)五個部分,分別進(jìn)行土壤地質(zhì)環(huán)境的調(diào)查，對城市環(huán)境質(zhì)量做出評價，希望能有效控制重金屬污染物的排放及擴(kuò)散，制定相關(guān)措施保護(hù)好我們賴以生存的周邊環(huán)境，根據(jù)題意，本文需要解決的問題有：(1） 給出8種主要重金屬元素在該城區(qū)的空間分布，并分析該城區(qū)內(nèi)

7、不同區(qū)域重金屬的污染程度。(2） 通過數(shù)據(jù)分析,說明重金屬污染的主要原因。（3) 分析重金屬污染物的傳播特征，由此建立模型，確定污染源的位置。(4）為更好地研究城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式，還應(yīng)收集什么信息？有了這些信息,如何建立模型解決問題？二、模型假設(shè)不考慮元素間的相互作用的影響短期內(nèi)重金屬元素的物理、化學(xué)變化及遷移對周圍環(huán)境影響不大假設(shè)附錄中所給8種重金屬元素的背景值真實不考慮歷史沉積的重金屬的影響三、符號說明 第種元素在第個采樣點的濃度（）； 第種元素濃度的平均值（）； 第種元素在第個采樣點無量綱化后的數(shù)值（）； 第個功能區(qū)重金屬的單項污染指數(shù)()； 第個功能區(qū)重金屬含量的實測值(）； 污染

8、距離積； 污染源位置與已知采樣點的距離; 給定采樣點的坐標(biāo)；四、數(shù)據(jù)處理4.1 對重元素的分析城市工業(yè)“三廢”排放，金屬采礦和冶煉，家庭燃煤，生活垃圾，汽車尾氣排放都增加了城市土壤重金屬的負(fù)荷。重金屬污染環(huán)境的主要有汞、鉛、鉻、鋅鎘、銅等.其中汞的毒性最大，鉻、鉛、鋅等也有相當(dāng)大毒性。此外還有砷，砷雖不屬于金屬。但它的毒性與重金屬相似，因此歸于重金屬一類闡述，稱為類金屬。目前對我國土壤污染比較普遍的重金屬有汞、鉻、砷.根據(jù)該城區(qū)重金屬污染的情況，下面對重金屬在土壤污染中的來源及傳播途徑作簡要介紹。4.1.1砷元素該元素毒性很低，水體中含砷污染物主要來自砷和含砷金屬礦的開采、冶煉，以及和砷化物為

9、原料的玻璃、顏料、藥物、紙張的生產(chǎn)都可產(chǎn)生含砷的廢水，造成水體的砷污染.砷及砷化物在水中會在水生物體內(nèi)累積，但累積程度比其他重金屬要低。砷和砷化物，一般可通過水、大氣和食物進(jìn)入人體.4。1。2鎘元素當(dāng)環(huán)境受到鎘污染后，鎘可在生物體內(nèi)富集，通過食物鏈進(jìn)入人體引起慢性中毒。鎘的主要污染源是電鍍、采礦、冶煉、染料、電池和化學(xué)工業(yè)等排放的廢水.相當(dāng)數(shù)量的鎘通過廢氣、廢水、廢渣排入環(huán)境，造成污染。鎘對土壤的污染主要有氣型和水型兩種。氣型污染主要來自工業(yè)廢氣。鎘隨廢氣擴(kuò)散到工廠周圍并自然沉降,蓄積于工廠周圍的土壤中，可使土壤中的鎘濃度達(dá)到40ppm。水型污染主要是鉛鋅礦的選礦廢水和有關(guān)工業(yè)（電鍍、堿性電池

10、等）廢水排入地面水或滲入地下水引起。4。1。3鉻元素對水體污染的鉻主要來源于電鍍、制革、鋁鹽生產(chǎn)以及鉻礦石開采所排放的廢水。是我國水體中一種普遍的污染物。水體中鉻污染主要是三價鉻和六價鉻，它們在水體中的遷移轉(zhuǎn)化有一定的規(guī)律性.4.1。4銅元素銅（Cu)及其化合物在環(huán)境中所造成的污染稱為銅污染。主要污染來源是銅鋅礦的開采和冶煉、金屬加工、機(jī)械制造、鋼鐵生產(chǎn)等。冶煉排放的煙塵是大氣銅污染的主要來源。世界銅的年遷移量為:巖石風(fēng)化20萬噸,河流輸送11萬噸4。1.5汞元素汞是在常溫下唯一呈液態(tài)的金屬元素。人類活動造成水體汞污染，主要來自氯堿、塑料、電池、電子等工業(yè)排放的廢水。由于天然本底情況下汞在大氣

11、、土壤和水體中均有分布，所以汞的遷移轉(zhuǎn)化也在陸、水、空之間發(fā)生。4。1.6鎳元素鎳污染是由鎳及其化合物所引起的環(huán)境污染.大部分煤含有微量鎳,通過燃燒過程被釋放出來，這是大氣中鎳的主要來源.鎳可以在土壤中富集.土壤中的鎳主要來源于巖石風(fēng)化，大氣降塵，灌溉用水（包括含鎳廢水）,農(nóng)田施肥，植物和動物殘體的腐爛等。全世界每年鎳的遷移狀況是：巖石風(fēng)化量為320 000噸，河流輸送量為19 000噸,開采量為560 000噸，礦物燃料燃燒排放5 600噸。4.1.7鉛元素鉛對環(huán)境的污染，一是由冶煉、制造和使用鉛制品的工礦企業(yè)，尤其是來自有色金屬冶煉過程中所排出的含鉛廢水、廢氣和廢渣造成的。二是由汽車排出的

12、含鉛廢氣造成的，汽油中用四乙基鉛作為抗爆劑（每公斤汽油用13克），在汽油燃燒過程中,鉛便隨汽車排出的廢氣進(jìn)入大氣,成為大氣的主要鉛污染源4.1.8鋅元素鋅在土壤中富集，會使植物體中也富集而導(dǎo)致食用這種植物的人和動物受害.金屬鋅本身無毒，但在焙燒硫化鋅礦石、熔鋅、冶煉其他含有鋅雜質(zhì)的金屬的過程中,以及在鑄銅過程中產(chǎn)生的大量氧化鋅等金屬煙塵，對人有直接的危害。其他如橡膠輪胎的磨損以及煤的燃燒也是大氣鋅污染的原因。各種工業(yè)廢水的排放是引起水體鋅污染的主要原因。4。2 對基本數(shù)據(jù)的分析用 EXCELL軟件和 SPSS統(tǒng)計軟件處理數(shù)據(jù)如表1所示：表1功能區(qū)元素As （g/g)Cd (ng/g）Cr (g

13、/g)Cu （g/g）Hg (ng/g)Ni （g/g)Pb (g/g)Zn （g/g)生活區(qū)平均值6。27289。9669。0249。4093.0418.3469.11237。01最大值11.451044.50744.46248。85550。0032。80472.482893。47最小值2.3486.8018。469.7312.008。8924.4343.37標(biāo)準(zhǔn)差2。15183.68107.8947。16102.905.6672.33443。64變異系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差與平均值的比率0。340.631。560。951.110.311.051.87工業(yè)區(qū)平均值7。25393.1153。41127。54

14、642。3619。8193.04277。93最大值21。871092.90285.582528.4813500.0041。70434。801626。02最小值1.61114。5015。4012。7011。794。2731.2456。33標(biāo)準(zhǔn)差1.61114。5015.4012。7011。794。2731.2456.33變異系數(shù)0。220.290.290。100。020。220.340。20山區(qū)平均值4。04152.3238.9617.3240.9615.4536。5673.29最大值10。99407。60173.3469。06206.7974.03113.84229.80最小值1.7740。0

15、016。202.299。645.5119.6832。86標(biāo)準(zhǔn)差1.8078。3824。5910。7327。8510.4317。7330.94變異系數(shù)0.440。510.630.620。680。670.490。42交通區(qū)平均值5.71360.0158.0562.21446。8217.6263。53242.85最大值30。131619。80920.841364。8516000。00142。50181。483760。82最小值1.6150.1015.3212.348.576.1922。0140.92標(biāo)準(zhǔn)差3。24243.3981.61120。222180。2711.7932。53384.78變異系數(shù)

16、0.570。681.411.934。880.670.511.58公園綠地區(qū)平均值6.26280。5443。6430。19114.9915.2960。71154。24最大值11.681024.9096。28143.311339。2929。10227.401389.39最小值2。7797。2016。319.0410.007.6026.8937。14標(biāo)準(zhǔn)差2。02235.8414.8422.68224.284。9745.84230。92變異系數(shù)0.320.840.340。751。950。330.761。504.3 元素濃度的無量綱化處理 在利用SPSS統(tǒng)計軟件數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類分析的時候，因為單位不統(tǒng)一需

17、要進(jìn)行無量綱化處理,我們采用均值化方法，即每一個變量除以該變量的平均值，即, （1）標(biāo)準(zhǔn)化以后各變量的平均值都為1，標(biāo)準(zhǔn)差為原始變量的變異系數(shù)。該方法在消除量綱和數(shù)量級影響的同時，保留了各變量取值差異程度上的信息，差異程度越大的變量對綜合分析的影響也越大。4.4 重金屬元素間的相關(guān)性分析研究土壤中重金屬的相關(guān)性可以推測重金屬的來源是否相同，若重金屬含量有顯著的相關(guān)性,說明有相同來源的可能性較大,否則來源可能不止一個.我們用積差法來計算各重金屬之間的相關(guān)系數(shù)，所謂積差法就是用兩個變量的協(xié)方差與兩個變量的標(biāo)準(zhǔn)差的乘積之比:表2 重金屬元素間的相關(guān)系數(shù)重金屬AsCdCrCuHgNiPbZnAs1Cd

18、0。255*1Cr0。189*0。352*1Cu0.160*0。397*0。532*1Hg0。0640.265*0.1030。417*1Ni0。317*0.329*0。7160。495*0.1031Pb0.290*0.660*0。383*0。5200。298*0。307*1Zn0。247*0.431*0。424*0.3870。196*0.436*0.494*1由元素間的相關(guān)系數(shù)（見表2）我們對這些元素進(jìn)行粗略的分組,大致分為以下兩組:A組:Cr,Ni，CuB組:Pb，Cd，Zn而對于As、Hg由相關(guān)系數(shù)表可見,其相關(guān)系數(shù)較小，我們認(rèn)為相關(guān)參數(shù)小的元素間沒有關(guān)系,所以將其各自單獨一組。下面我們建

19、立回歸模型圖像驗證它們之間的函數(shù)關(guān)系：顯然Cr，Ni和Cu及Pb，Cd和Zn顯示屬于適度空間相關(guān)性,反映區(qū)域因素（土壤母質(zhì)）對其含量的影響較大 ，而As、Hg元素則屬于低空間相關(guān)性，說明其受到人為因素 (工業(yè)布局 施肥 灌溉和土地利用方式等 ）作用較強(qiáng)。五、模型的分析、建立與求解5。1 問題一5。1。1重金屬的空間分布由附件中所給的數(shù)據(jù)，我們考慮將各采樣點的坐標(biāo)和重金屬的濃度建立對應(yīng)關(guān)系，利用Matble軟件畫出等高線來體現(xiàn)該城區(qū)8種重金屬的空間分布。從圖中可以看出：該城市土壤中As元素的分布沒有出現(xiàn)明顯的富集，整體有從西向東遞減的趨勢（見圖1）。說明人類活動對As元素的分布影響不大。所以可以

20、推斷城市土壤中這種元素主要是自然來源，另外它的濃度在中國土壤背景值范圍內(nèi)，這說明它的含量可能主要受成土母質(zhì)影響。該城市土壤中Cd元素的分布沒有出現(xiàn)明顯的富集，整體濃度偏差不大（見圖2）。對比數(shù)據(jù)可以看出，整個城市除邊緣部分外Cd的濃度都明顯高于背景值的范圍?？芍摮鞘蠧d污染很嚴(yán)重。該城市土壤中Cr和Cu兩種元素含量的空間分布規(guī)律比較相似(見圖3、圖4),表現(xiàn)為，在西南部形成一個明顯峰值,并且西部Cr和Cu的濃度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出背景值的范圍。從整體上看，兩種元素的濃度在東部和中部都為零，顯然西部高于中東部。該城市土壤中Hg 和Zn兩種元素含量的空間分布規(guī)律比較相似(見圖5、圖8)，表現(xiàn)為,一個峰值區(qū)出

21、現(xiàn)在西南部,一個峰值區(qū)出現(xiàn)在中南部,另外一個峰值區(qū)出現(xiàn)在中部.當(dāng)然，兩圖也存在著不同之處。Hg元素除峰值區(qū)外，其他部分的濃度大都為零,而Zn元素除峰值區(qū)外，還有整個的西部濃度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出背景值的范圍，其余部分的濃度為零。該城市土壤中Ni和Pb兩種元素含量的空間分布規(guī)律比較相似（見圖6、圖7）,雖然Pb比Ni多出一個明顯峰值區(qū)，但可以看到兩種元素的峰值區(qū)都分布在西南部。并且兩元素在西部的濃度明顯高出背景值范圍，而在東部的濃度都非常接近背景值的范圍,整體有從西向東遞減的趨勢。同時，土壤中重金屬元素的空間分布還顯示出各元素的異常分布區(qū)具有地理趨勢的相似性，指示其可能受共同的污染源影響5.1。2不同功能區(qū)

22、的污染程度為了求得各功能區(qū)的污染程度，我們建立了內(nèi)梅羅多因子污染綜合評價模型,我們首先求得單項污染指數(shù)式為：, （2)式中： 為區(qū)域重金屬的單項污染指數(shù)；為重金屬含量的實測值; 為重金屬含量的起始評價值，其中起始評價值為所給重金屬元素的背景值加上兩倍的標(biāo)準(zhǔn)差,即；若,則表示該區(qū)域受到污染。多項污染綜合指數(shù)式為：， （3)式中： 為綜合污染指數(shù)-綜合反映各重金屬對區(qū)域土壤的不同作用；為所有單項污染指數(shù)的平均值；為土壤環(huán)境中各單項污染指數(shù)中的最大值。根據(jù)模型分別計算出該城區(qū)五個功能區(qū)的污染指數(shù)值，然后與內(nèi)梅羅綜合污染指數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)(見表3）相比較得出五個功能區(qū)的污染程度。表3 內(nèi)梅羅綜合污染指數(shù)的

23、分類標(biāo)準(zhǔn)污染等級污染程度1安全清潔2警戒線尚清潔3輕污染超標(biāo)4中污染土壤、作物受中度污染5重污染土壤、作物受嚴(yán)重污染由Matlab軟件計算得表4 各功能區(qū)的污染程度功能區(qū)生活區(qū)工業(yè)區(qū)山區(qū)主干道路區(qū)公園綠地區(qū)污染程度土壤、作物受中度污染土壤、作物受嚴(yán)重污染尚清潔土壤、作物受嚴(yán)重污染超標(biāo)由表4可得污染程度排序為:工業(yè)區(qū)主干道路區(qū)生活區(qū)公園綠地區(qū)山區(qū)5。2 問題二5。2.1無量綱化處理在利用SPSS統(tǒng)計軟件數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類分析的時候，因為單位不統(tǒng)一需要進(jìn)行無量綱化處理，我們采用均值化方法,即每一個變量除以該變量的平均值，即, (4)標(biāo)準(zhǔn)化以后各變量的平均值都為1，標(biāo)準(zhǔn)差為原始變量的變異系數(shù)。該方法在消除

24、量綱和數(shù)量級影響的同時，保留了各變量取值差異程度上的信息,差異程度越大的變量對綜合分析的影響也越大。然后取其平均值進(jìn)行對比。5。2.2重金屬污染的原因分析對附件中所給數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，采用均值化方法無量綱化處理后，我們選取8種重金屬元素的平均值，用EXCELL軟件畫出其相對含量的柱狀圖：8種重金屬元素經(jīng)無量綱化處理之后可以相互比較，由柱狀圖可以看出：生活區(qū)中Cr含量最大，Zn,Pb含量次之；工業(yè)區(qū)中Cu,Hg含量較高，且其他重金屬也相對較多；山區(qū)中Ni含量最大,Cr，As次之,且8種重金屬含量都相對較少；交通區(qū)中各重金屬含量都比較集中,Hg最多;公園綠地區(qū)中As含量較多，Pb,Cd含量次之。我們還

25、可以橫向來比較8個元素在五個功能區(qū)中的相對含量：As、Cr、Ni在各功能區(qū)的含量相對均勻，而Cu、Hg在工業(yè)區(qū)中的含量與其它區(qū)差別明顯；Cd、Zn、Pb、Cu、Hg在工業(yè)區(qū)中的含量和山區(qū)相比差異較大，說明它們受人類活動的影響相對明顯.重金屬具有富集性，很難在環(huán)境中降解且Hg、Cd、Cr、Pb具有很強(qiáng)的生物毒性。由于工業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)生大量廢物,汽車尾氣排放，汽車輪胎磨損產(chǎn)生大量含重金屬的有害氣體和粉塵，Cu 、Hg 、Zn主要在工業(yè)區(qū)和交通區(qū)如公路、鐵路等交通設(shè)施的兩側(cè)富集，隨時間的推移，工業(yè)區(qū)、交通區(qū)的土壤重金屬具有很強(qiáng)的疊加性.Pb、Cd、As、Cr主要在生活區(qū)富集，生活區(qū)內(nèi)由于含重金屬的廢棄物堆

26、積，施用含Pb、Cd、As等的農(nóng)藥，不合理的施用化肥以及大量使用農(nóng)用塑料薄膜都會造成重金屬污染，綜合風(fēng)向等多種因素的影響可能會發(fā)生遷移且富集，從而造成公園綠地區(qū)的重金屬污染。Ni元素在各個功能區(qū)中的分布相對均勻，山區(qū)分析的8種重金屬中Ni含量最多，所以說工業(yè)區(qū)及生活區(qū)污染的富集和遷移，都有可能造成污染。同時城市人口密度,土地利用率，機(jī)動車密度也是造成重金屬污染的原因。5.3問題三5.3。1 重金屬污染物的傳播特征特征一：我們利用無量綱化處理的數(shù)據(jù)，將各個樣點的8種元素的無綱化濃度進(jìn)行加權(quán)求和,則此加權(quán)和就可在一定程度上反映各個樣本點的總的污染程度。并作出各樣點濃度加權(quán)和對應(yīng)其海拔高度的圖形（見

27、下圖）。從整體上來看，污染程度隨著海拔的增高而減小。海拔在0到50之間的樣點污染程度普遍高，并且變化幅度很大。而海拔在50到100之間的樣點污染程度較小，并且變化幅度很小。這說明，重金屬污染物的傳播速度受海拔影響很大。在海拔低的區(qū)域里，單位海拔高度內(nèi)重金屬污染物的傳播速度較快;在海拔高的區(qū)域里，單位海拔高度內(nèi)重金屬污染物的傳播速度很慢。特征二:我們再分別做出各樣點濃度加權(quán)和與其對應(yīng)x軸、y軸的圖形（見圖6和圖7）可看出重金屬在土壤中的濃度隨采樣點的水平和垂直距離的改變會出現(xiàn)相應(yīng)的峰值,即污染源的位置在某個峰值點處，而且高濃度樣點集中在（0。350.60，0.200。40)范圍內(nèi)，并且樣點污染程

28、度由此范圍向四周呈遞減趨勢。由此,我們可以推知，重金屬污染物由污染源位置向四周擴(kuò)散，并且擴(kuò)散速度隨距污染源距離的增大而減小。5。3。2無約束優(yōu)化模型的建立針對該問題我們建立無約束優(yōu)化模型,假設(shè)319個采樣點中有一個是主要的污染源，根據(jù)物質(zhì)的一般擴(kuò)散規(guī)律，我們認(rèn)為重金屬的污染程度與污染源到該點的距離有關(guān),即距離越遠(yuǎn)污染程度越低，在這里我們定義一個新的變量：污染距離積, (5)即該點的污染程度與該點到污染源距離的平方之積，其中為給定采樣點的坐標(biāo).該點的污染程度已知，只要使其他318個采樣點的污染距離積之和最小就能確定污染源，這里我們利用問題二經(jīng)無量綱化之后的數(shù)據(jù)加權(quán)求得點的污染程度。利用Lingo

29、軟件求得第31個采樣點的污染距離積之和最小，即該點是最主要的污染源,其坐標(biāo)。由于該區(qū)域的污染源不止一個，因此這種做法存在很大的誤差,通過觀察問題一的圖形，及元素間的相關(guān)系數(shù)我們可以得出有多個地帶的污染程度存在顯著變化的結(jié)論，即存在多個污染源,因此我們建立了第二種模型來分析污染源的位置，希望通過兩種方法對比得到該城區(qū)重金屬的污染源。5.3.3有衰減的擴(kuò)散過程模型(1）設(shè)是距離污染源位置的空間距離為的點處某種重金屬元素的濃度。任取一個閉曲面，它所圍的區(qū)域是，由于擴(kuò)散，從到這段距離內(nèi)，通過流入的質(zhì)量為 （6）由高斯公式得 （7)其中,分別是沿方向的擴(kuò)散系數(shù)。在擴(kuò)散過程中由于土壤吸收、風(fēng)及地表徑流造成

30、重金屬流失等原因，使元素的質(zhì)量有一定的衰減,G內(nèi)的質(zhì)量減少為 , (8） 其中是衰減系數(shù). 由物質(zhì)不滅定律，重金屬元素在內(nèi)由于擴(kuò)散與衰減的合作用，積存于內(nèi)的質(zhì)量為換一種角度看，內(nèi)由于濃度之變化引起的質(zhì)量增加為 （9）顯然，即 （10）由于的任意性得 （11)這就是重金濃度隨空間距離相關(guān)的常系數(shù)性拋物型方程.（2）設(shè)污染源的位置為，由此可求出各樣點與A的距離，根據(jù)重金屬污染物的傳播特征，我們假定x,y，z方向的擴(kuò)散系數(shù)分別為：0。5，0.4,0.3各樣點的濃度我們?nèi)o量綱化濃度的加權(quán)和.利用Matlab求解得A點坐標(biāo)為：（8500,5500)。5。3.4 模型由問題二的數(shù)據(jù)分析，元素的來源和傳播

31、途徑以及元素間的相關(guān)性檢驗可得鋅元素呈條帶狀分布，主要以公路、鐵路為軸向兩側(cè)污染強(qiáng)度逐漸減弱,隨著時間的推移，在交通區(qū)兩側(cè)的重金屬污染具有很強(qiáng)的疊加性.由此我們建立以公路線為污染源的模型,設(shè)公路線的表達(dá)式為： (12）濃度隨距離的變化為： （13)其中為采樣點到公路的距離；為采樣點的濃度；為樣點重金屬元素的背景值,為衰變指數(shù)。針對模型 ，當(dāng), （14)其環(huán)境意義為在遠(yuǎn)離污染源的地方，沒有受到污染的影響,土壤中某污染物的含量就是背景值, 。當(dāng)， （15）其環(huán)境意義為在污染源近處,土壤中某污染物的含量達(dá)到最高值,它就是在背景值的基礎(chǔ)上加污染值的結(jié)果，。當(dāng), （16)其環(huán)境意義為隨著距污染源漸遠(yuǎn)，土

32、壤中污染物的含量逐漸降低及其變化。5。4問題四5.4。1問題分析為了更好地研究城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式，需要做以下幾個工作。首先我們需要求出空間中任意一點對應(yīng)的污染物濃度與時間的關(guān)系表達(dá)式；然后再利用問題一中求解不同區(qū)域重金屬的污染程度的模型對城市進(jìn)行污染程度分析；最后對由統(tǒng)計得到的各個樣點在多個時間內(nèi)的污染程度進(jìn)行分析，即可研究出城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式。因此，我們只需要求出空間中任意一點對應(yīng)的污染物濃度與時間的關(guān)系表達(dá)式即可。為了求出空間中任意一點對應(yīng)的污染物濃度與時間的關(guān)系表達(dá)式，除了需要有本題中所給信息外，還應(yīng)收集不同時間內(nèi)的樣點對應(yīng)的基本信息（如附件中所給信息)以及各污染源重金屬的產(chǎn)生率

33、。5.4.2模型的建立（1)高斯?jié)舛饶Ｐ徒⒈绢}假設(shè)污染物濃度符合正態(tài)分布,建立高斯?jié)舛确植寄Ｐ停?（17)其中是空間任意一點的濃度;是污染源重金屬產(chǎn)生率;x，y,z分別表示x，y,z方向上的擴(kuò)散系數(shù);是土壤對重金屬元素的吸收速率；是干沉積量（計算公式由文獻(xiàn)2給出）。 （2)高斯模型的修正 因為干沉積和腐蝕是影響重金屬元素在土壤中的衰減的重要因素，故引入其濃度隨時間的變化關(guān)系： （18）其中是衰減系數(shù)則某時刻下空間點處的重金屬濃度為：, （19）六、模型檢驗和評價6。1 模型檢驗6.1。1 對元素相關(guān)性的回歸檢驗此處檢驗了四組元素之間的相關(guān)性，下面以其中的一組Cr和Ni為例說明檢驗方法。我們利

34、用一元線性回歸分析法對Cr和Ni的相關(guān)性進(jìn)行檢驗：首先根據(jù)收集到的Cr(x)濃度和Ni（y)濃度的數(shù)據(jù)319組，看成是平面直角坐標(biāo)系中的點，并畫出“散點圖”；接著，我們可以觀察散點圖上點的分布規(guī)律,這些點散布在一直線附近，但又不全在一條直線上，那么我們認(rèn)為Cr和Ni相關(guān)性很強(qiáng)，反之，我們認(rèn)為其相關(guān)性較弱或無相關(guān)性。檢驗結(jié)果見數(shù)據(jù)分析4。4。6。1。2 對問題三中拋物型模型的穩(wěn)定性分析基于常微分方程中對穩(wěn)定性的分析,我們得出：如果對任意給定的和都存在，使得只要,就有經(jīng)檢驗，(11）式對一切成立，所以說（11）式是穩(wěn)定的,進(jìn)而所得解是穩(wěn)定的。6。1.3 對問題三中模型利用F分布檢驗表5模型擬合公式

35、F顯著性11.81顯著6.2 模型評價6.2.1 優(yōu)點首先對數(shù)據(jù)及元素間的相關(guān)性進(jìn)行分析,處理，簡化了計算所建立的模型與實際緊密聯(lián)系，由一些利用簡單的模型就能達(dá)到很好的效果，有很好的通用性和推廣性。對數(shù)據(jù)進(jìn)行了無量綱化處理，使得避免了運用數(shù)據(jù)時單位不統(tǒng)一的麻煩。運用Matlab和Lingo軟件進(jìn)行計算，可信度高。論文中圖形與數(shù)據(jù)相結(jié)合更具有說服力。6.2。2 缺點在求點污染源時我們假設(shè)只有一個污染源，而實際上可能有多個點污染源，使得誤差增大，或者使污染源的位置不準(zhǔn)確.在求線污染源時用到的衰減系數(shù)具有不確定性，使得污染源的位置不準(zhǔn)確。在處理數(shù)據(jù)和求解過程中不可避免的出現(xiàn)各種誤差，在一定也影響到模

36、型求解的精確度。七、模型推廣本模型的建立對于研究減少城市污染問題和保護(hù)環(huán)境具有重要意義，尤其在當(dāng)今以高能耗高污染的生產(chǎn)模式為主的工業(yè)時代,該模型的建立對于研究城市規(guī)劃，和工廠位置選擇以及交通建設(shè)時具有重要的才能考價值，同時利用該模型也可以研究物質(zhì)擴(kuò)散現(xiàn)象的規(guī)律。八、參考文獻(xiàn)1 韓中庚,數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用M，北京:高等教育出版社，20052 韓中庚，數(shù)學(xué)建模競賽獲獎?wù)撐木x與點評，北京：科學(xué)出版社，20073 盛驟,謝式千，概率論與數(shù)理統(tǒng)計,北京：高等教育出版社，20034 姜啟源,數(shù)學(xué)模型(第二版）,北京：高等教育出版社，19925 費業(yè)泰,誤差理論與數(shù)據(jù)處理（第五版），北京：機(jī)械工業(yè)出版社

37、,2004。66 韓中庚，數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用，北京：高等教育出版社,2005。66 謝金星，優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件，北京：清華大學(xué)出版社，2005。77 董希琳，趙智鍵。核電站核事故核素污染評估模式J?；馂?zāi)科學(xué)，1999，8(2).九、附錄9.1 8種重金屬元素空間分布A= load(zuobiaonongdu。dat'); x=A(：,1）；y=A（:,2）; x,y=meshgrid(0：1000:29000,100:300：19000)； z3=griddata（A（:,1),A（：，2），A(:,3)，x，y,'v4）; subplot(2，2，1)c,

38、h =contour（x,y,z3）; clabel(c,h） ylabel（y)；xlabel('圖1 城市土壤As的空間分布特征)；z4=griddata（A(：，1),A(:，2),A（：，4），x,y，v4');subplot（2，2，2)c，h =contour(x,y,z4); clabel(c,h) ylabel('y');xlabel（圖2 城市土壤Cd的空間分布特征）z5=griddata（A（：,1),A（:,2)，A(:，5)，x,y,'v4');subplot(2，2,3)c,h =contour（x，y，z5); cla

39、bel（c,h) ylabel（'y)；xlabel（圖3 城市土壤Cr的空間分布特征)z6=griddata(A(:,1)，A(:，2)，A(:，6）,x，y，'v4)；subplot（2,2,4）c,h =contour(x,y,z6）; clabel(c,h） ylabel（'y'）;xlabel('圖4 城市土壤Cu的空間分布特征）figurez7=griddata(A(：,1)，A(：,2），A(:，7),x,y,'v4）；subplot（2,2，1）c，h =contour(x，y，z7）; clabel（c，h) ylabel(y&

40、#39;);xlabel（'圖5 城市土壤Hg的空間分布特征'）z8=griddata(A(:，1）,A（：，2)，A（：,8)，x，y，'v4'）;subplot（2，2,2)c,h =contour(x，y,z8）; clabel(c，h) ylabel（'y');xlabel(圖6 城市土壤Ni的空間分布特征)z9=griddata（A(:,1）,A（:,2),A（:，9），x,y，v4)；subplot(2,2，3）c,h =contour(x,y，z9); clabel（c,h) ylabel（'y')；xlabel(圖

41、7 城市土壤Pb的空間分布特征）z10=griddata（A（：，1),A（：，2），A(：,10）,x,y，v4);subplot(2，2,4)c,h =contour(x，y，z10)； clabel（c，h) ylabel（y）；xlabel（'圖8 城市土壤Zn的空間分布特征) 9。2 回歸分析檢驗元素相關(guān)性Cr= load（'Cr.dat'）；Ni= load（Ni.dat');Cd= load(Cd。dat');Pb= load（Pb。dat）;Cu= load（'Cu。dat）;Hg= load（'Hg。dat)；As= l

42、oad（As。dat'）；Zn= load（'Zn.dat）；subplot(2,2,1）scatter（Cr，Ni)set（gca，xlim,0，2）；set（gca，'ylim，0，2)；ylabel（Ni);xlabel（'圖1 Cr與Ni')；subplot（2，2，2)scatter(Cd，Pb）set(gca，xlim'，0,1.5)；set(gca,'ylim，0，1。5);ylabel('Pb');xlabel(圖2 Cd與Pb'）;subplot(2,2，3)scatter（Pb,Zn）set(gca,'xlim',0,2);set（gca，'ylim，0,2）；ylabel(Zn)；xlabel(圖3 Pb與Zn