高中概率和統(tǒng)計試題(卷)

1、 概率與統(tǒng)計1. (安徽理19)為防止風(fēng)沙危害，某地決定建設(shè)防護綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物。某人一次種植了n株沙柳，各株沙柳成活與否是相互獨立的，成活率為p，設(shè)為成活沙柳的株數(shù)，數(shù)學(xué)期望，標(biāo)準(zhǔn)差為。（）求n,p的值并寫出的分布列；（）若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補種，求需要補種沙柳的概率【解：】(1)由得,從而，的分布列為0123456(2)記”需要補種沙柳”為事件a, 則 得 或 2. （安徽文18）在某次普通話測試中，為測試漢字發(fā)音水平，設(shè)置了10張卡片，每張卡片印有一個漢字的拼音，其中恰有3張卡片上的拼音帶有后鼻音“g”.（）現(xiàn)對三位被測試者先后進行測試，第一位被測試者從這1

2、0張卡片總隨機抽取1張，測試后放回，余下2位的測試，也按同樣的方法進行。求這三位被測試者抽取的卡片上，拼音都帶有后鼻音“g”的概率。（）若某位被測試者從10張卡片中一次隨機抽取3張，求這三張卡片上，拼音帶有后鼻音“g”的卡片不少于2張的概率?！窘猓骸浚?）每次測試中，被測試者從10張卡片中隨機抽取1張卡片上，拼音帶有后鼻音“g”的概率為，因為三位被測試者分別隨機抽取一張卡片的事件是相互獨立的，因而所求的概率為（2）設(shè)表示所抽取的三張卡片中，恰有張卡片帶有后鼻音“g”的事件，且其相應(yīng)的概率為則 , 因而所求概率為3. （北京理17）甲、乙等五名奧運志愿者被隨機地分到四個不同的崗位服務(wù)，每個崗位至

3、少有一名志愿者（）求甲、乙兩人同時參加崗位服務(wù)的概率；（）求甲、乙兩人不在同一個崗位服務(wù)的概率；（）設(shè)隨機變量為這五名志愿者中參加崗位服務(wù)的人數(shù)，求的分布列【解：】（）記甲、乙兩人同時參加崗位服務(wù)為事件，那么，即甲、乙兩人同時參加崗位服務(wù)的概率是（）記甲、乙兩人同時參加同一崗位服務(wù)為事件，那么，所以，甲、乙兩人不在同一崗位服務(wù)的概率是（）隨機變量可能取的值為1，2事件“”是指有兩人同時參加崗位服務(wù)，則所以，的分布列是134. （北京文18）（本小題共13分）甲、乙等五名奧運志愿者被隨機地分到四個不同的崗位服務(wù)，每個崗位至少有一名志愿者（）求甲、乙兩人同時參加崗位服務(wù)的概率；（）求甲、乙兩人不在

4、同一個崗位服務(wù)的概率【解：】（）記甲、乙兩人同時參加崗位服務(wù)為事件，那么，即甲、乙兩人同時參加崗位服務(wù)的概率是（）設(shè)甲、乙兩人同時參加同一崗位服務(wù)為事件，那么，所以，甲、乙兩人不在同一崗位服務(wù)的概率是5. （福建理20）（本小題滿分12分）某項考試按科目a、科目b依次進行，只有當(dāng)科目a成績合格時，才可繼續(xù)參加科目b的考試。已知每個科目只允許有一次補考機會，兩個科目成績均合格方可獲得證書。現(xiàn)某人參加這項考試，科目a每次考試成績合格的概率均為，科目b每次考試成績合格的概率均為.假設(shè)各次考試成績合格與否均互不影響。（）求他不需要補考就可獲得證書的概率；（）在這項考試過程中，假設(shè)他不放棄所有的考試機會

5、，記他參加考試的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望e.【解：】設(shè)“科目a第一次考試合格”為事件，“科目a補考合格”為事件；“科目b第一次考試合格”為事件，“科目b補考合格”為事件 ()不需要補考就獲得證書的事件為,注意到與相互獨立，則.答：該考生不需要補考就獲得證書的概率為.()由已知得，2，3，4，注意到各事件之間的獨立性與互斥性，可得 故， 答：該考生參加考試次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.6. （福建文（18）（本小題滿分12分）三人獨立破譯同一份密碼，已知三人各自破譯出密碼的概率分別為且他們是否破譯出密碼互不影響。 ()求恰有二人破譯出密碼的概率；()“密碼被破譯”與“密碼未被破譯”的概率哪個大？說明理由.【解：

6、】記“第i個人破譯出密碼”為事件，依題意有且相互獨立.（）設(shè)“恰好二人破譯出密碼”為事件，則有 且 彼此互斥于是 .答：恰好二人破譯出密碼的概率為.（）設(shè)“密碼被破譯”為事件，“密碼未被破譯”為事件.，且，互相獨立，則有.而，故.答：密碼被破譯的概率比密碼未被破譯的概率大.7. （廣東理17（本小題滿分13分）隨機抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元設(shè)1件產(chǎn)品的利潤（單位：萬元）為（1）求的分布列；（2）求1件產(chǎn)品的平均利潤（即的數(shù)學(xué)期望）；（3）經(jīng)技

7、術(shù)革新后，仍有四個等級的產(chǎn)品，但次品率降為，一等品率提高為如果此時要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？【解：】的所有可能取值有6，2，1，-2；，故的分布列為：621-20.630.250.10.02（2）（3）設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為，則此時1件產(chǎn)品的平均利潤為依題意，即，解得 所以三等品率最多為8. （廣東文19）（本小題滿分13分）某初級中學(xué)共有學(xué)生2000名，各年級男、女生人數(shù)如下表：初一年級初二年級初三年級女生373xy男生377370z已知在全校學(xué)生中隨機抽取1名，抽到初二年級女生的概率是0.19.（1） 求x的值；（2） 現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取4

8、8名學(xué)生，問應(yīng)在初三年級抽取多少名？（3） 已知y245,z245,求初三年級中女生比男生多的概率.【解：】（1） （2）初三年級人數(shù)為yz2000373377380370）500， 現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生，應(yīng)在初三年級抽取的人數(shù)為： 名 （3）設(shè)初三年級女生比男生多的事件為a ，初三年級女生男生數(shù)記為（y，z）； 由（2）知 ，且 ,基本事件空間包含的基本事件有：（245，255）、（246，254）、（247，253）、（255，245）共11個事件a包含的基本事件有：（251，249）、（252，248）、（253，247）、(254,246)、(255,245) 共5個

9、 9. （海南寧夏理19）（本小題滿分12分）兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量x1和x2根據(jù)市場分析，x1和x2的分布列分別為 x1510p0.80.2 x22812p0.20.50.3（）在兩個項目上各投資100萬元，y1和y2分別表示投資項目a和b所獲得的利潤，求方差dy1，dy2；（）將萬元投資a項目，萬元投資b項目，表示投資a項目所得利潤的方差與投資b項目所得利潤的方差的和求的最小值，并指出x為何值時，取到最小值（注：）【解：】（）由題設(shè)可知和的分布列分別為 y1510p0.80.2 y22812p0.20.50.3，（），當(dāng)時，為最小值10. （海南寧夏文19）（本小題滿分12分）

10、為了了解中華人民共和國道路交通安全法在學(xué)生中的普及情況，調(diào)查部門對某校6名學(xué)生進行問卷調(diào)查，6人得分情況如下：5，6，7，8，9，10。把這6名學(xué)生的得分看成一個總體。（1）求該總體的平均數(shù)；（2）用簡單隨機抽樣方法從這6名學(xué)生中抽取2名，他們的得分組成一個樣本。求該樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率?！窘猓骸浚ǎ┛傮w平均數(shù)為（）設(shè)表示事件“樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5”從總體中抽取個個體全部可能的基本結(jié)果有：(5,6), (5,7), (5,8), (5,9), (5,10), (6,7), (6,8), (6,9), (6,10), (7,8), (7,

11、9), (7,10), (8,9), (8,10), (9,10),共個基本結(jié)果。事件包含的基本結(jié)果有：(5,9), (5,10), (6,8), (6,9), (6,10), (7,8), (7,9),共有個基本結(jié)果；所以所求的概率為11. （湖北理17）（本小題滿分12分）袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上號的有個（=1,2,3,4）.現(xiàn)從袋中任取一球.表示所取球的標(biāo)號.（）求的分布列，期望和方差；（）若, ,試求a,b的值.【解：】（）的分布列為：01234p（）由，得a2×2.7511，即又所以當(dāng)a=2時，由12×1.5+b,得b=-2; 當(dāng)a=

12、-2時，由1-2×1.5+b，得b=4.或即為所求.12. （湖南理16）（本小題滿分12分）甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試合格就簽約.乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約.設(shè)每人面試合格的概率都是，且面試是否合格互不影響.求：（）至少有1人面試合格的概率;（）簽約人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解：】 用a，b，c分別表示事件甲、乙、丙面試合格.由題意知a，b，c相互獨立，且p（a）p（b）p（c）.（）至少有1人面試合格的概率是（）的可能取值為0，1，2，3. =所以， 的分布列是0123p的期望13. （湖南文16）（

13、本小題滿分12分）甲、乙、丙三人參加一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約。甲表示只要面試合格就簽約，乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約。設(shè)每人面試合格的概率都是，且面試是否合格互不影響。求：（i）至少有一人面試合格的概率；（ii）沒有人簽約的概率?！窘猓骸坑胊,b,c分別表示事件甲、乙、丙面試合格由題意知a,b,c相互獨立，且（i）至少有一人面試合格的概率是（ii）沒有人簽約的概率為 14. （江西理18）（本小題滿分12分）某柑桔基地因冰雪災(zāi)害，使得果林嚴(yán)重受損，為此有關(guān)專家提出兩種拯救果林的方案，每種方案都需分兩年實施；若實施方案一，預(yù)計當(dāng)年可以使柑桔產(chǎn)量恢復(fù)到災(zāi)

14、前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分別是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為上一年產(chǎn)量的1.25倍、1.0倍的概率分別是0.5、0.5. 若實施方案二，預(yù)計當(dāng)年可以使柑桔產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分別是0.2、0.3、0.5； 第二年可以使柑桔產(chǎn)量為上一年產(chǎn)量的1.2倍、1.0倍的概率分別是0.4、0.6. 實施每種方案，第二年與第一年相互獨立。令表示方案實施兩年后柑桔產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量的倍數(shù)（1）寫出的分布列；（2）實施哪種方案，兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大？（3）不管哪種方案，如果實施兩年后柑桔產(chǎn)量達(dá)不到災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計可帶來效益10萬元；兩年后柑桔

15、產(chǎn)量恰好達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計可帶來效益15萬元；柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計可帶來效益20萬元；問實施哪種方案所帶來的平均效益更大？【解：】（1）的所有取值為，的所有取值為,、的分布列分別為：0.80.91.01.1251.25p0.20.150.350.150.150.80.961.01.21.44p0.30.20.180.240.08（2）令a、b分別表示方案一、方案二兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量這一事件，, 可見，方案二兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大（3）令表示方案所帶來的效益，則101520p0.350.350.3101520p0.50.180.32所以，可見，方案一所帶來的平均效益更

16、大。15. （江西文18）本小題滿分12分）因冰雪災(zāi)害，某柑桔基地果林嚴(yán)重受損，為此有關(guān)專家提出一種拯救果樹的方案，該方案需分兩年實施且相互獨立該方案預(yù)計第一年可以使柑桔產(chǎn)量恢復(fù)到災(zāi)前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分別是0.2、0.4、0.4；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為第一年產(chǎn)量的1.5倍、1.25倍、1.0倍的概率分別是0.3、0.3、0.4（1）求兩年后柑桔產(chǎn)量恰好達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量的概率；（2）求兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量的概率.【解：】（1）令a表示兩年后柑桔產(chǎn)量恰好達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量這一事件 （2）令b表示兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量這一事件16. (遼寧理18)某批發(fā)市場對某種商品的周銷售量(

17、單位:噸)進行統(tǒng)計,最近100周的統(tǒng)計結(jié)果如下表所示:周銷售量234頻數(shù)205030根據(jù)上面統(tǒng)計結(jié)果,求周銷售量分別為2噸,3噸和4噸的頻率;已知每噸該商品的銷售利潤為2千元,表示該種商品兩周銷售利潤的和(單位:千元),若以上述頻率作為概率,且各周的銷售量相互獨立,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解：】（）周銷售量為2噸，3噸和4噸的頻率分別為0.2，0.5和0.3 （）的可能值為8，10，12，14，16，且p（=8）=0.22=0.04，p（=10）=2×0.2×0.5=0.2，p（=12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37，p（=14）=2×

18、;0.5×0.3=0.3，p（=16）=0.32=0.09的分布列為810121416p0.040.20.370.30.09=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元）17. (遼寧文18)（本小題滿分12分）某批發(fā)市場對某種商品的周銷售量（單位：噸）進行統(tǒng)計，最近100周的統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：周銷售量234頻數(shù)205030（）根據(jù)上面統(tǒng)計結(jié)果，求周銷售量分別為2噸，3噸和4噸的頻率；（）若以上述頻率作為概率，且各周的銷售量相互獨立，求（）4周中該種商品至少有一周的銷售量為4噸的概率；（

19、）該種商品4周的銷售量總和至少為15噸的概率【解：】（）周銷售量為2噸，3噸和4噸的頻率分別為0.2，0.5和0.3 （）由題意知一周的銷售量為2噸，3噸和4噸的頻率分別為0.2，0.5和0.3，故所求的概率為（） （） 18. (全國理20文20)（本小題滿分12分）已知5只動物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗血液來確定患病的動物血液化驗結(jié)果呈陽性的即為患病動物，呈陰性即沒患病下面是兩種化驗方法：方案甲：逐個化驗，直到能確定患病動物為止方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗若結(jié)果呈陽性則表明患病動物為這3只中的1只，然后再逐個化驗，直到能確定患病動物為止；若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任

20、取1只化驗（）求依方案甲所需化驗次數(shù)不少于依方案乙所需化驗次數(shù)的概率；（）表示依方案乙所需化驗次數(shù)，求的期望（文科不求）【解：】（）分別用、表示依甲、乙方案需要化驗次，則：,。次數(shù)1234概率0.20.20.20.4，次數(shù)23概率0.60.4（）表示依方案乙所需化驗次數(shù)，的期望為19. （全國理18）（本小題滿分12分）購買某種保險，每個投保人每年度向保險公司交納保費元，若投保人在購買保險的一年度內(nèi)出險，則可以獲得10 000元的賠償金假定在一年度內(nèi)有10 000人購買了這種保險，且各投保人是否出險相互獨立已知保險公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10 000元的概率為（）求一投保人在一年度內(nèi)出險的

21、概率；（）設(shè)保險公司開辦該項險種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為50 000元，為保證盈利的期望不小于0，求每位投保人應(yīng)交納的最低保費（單位：元）【解：】各投保人是否出險互相獨立，且出險的概率都是，記投保的10 000人中出險的人數(shù)為，則（）記表示事件：保險公司為該險種至少支付10 000元賠償金，則發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)， ，又，故（）該險種總收入為元，支出是賠償金總額與成本的和支出 ，盈利 ，盈利的期望為 ，由知，（元）故每位投保人應(yīng)交納的最低保費為15元20. （全國文19）（本小題滿分12分）甲、乙兩人進行射擊比賽，在一輪比賽中，甲、乙各射擊一發(fā)子彈根據(jù)以往資料知，甲擊中8環(huán)，9環(huán)，10環(huán)的概率分別為0.

22、6，0.3，0.1，乙擊中8環(huán)，9環(huán)，10環(huán)的概率分別為0.4，0.4，0.2設(shè)甲、乙的射擊相互獨立（）求在一輪比賽中甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中環(huán)數(shù)的概率；（）求在獨立的三輪比賽中，至少有兩輪甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中環(huán)數(shù)的概率【解：】記分別表示甲擊中9環(huán)，10環(huán)，分別表示乙擊中8環(huán)，9環(huán)，表示在一輪比賽中甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)，表示在三輪比賽中至少有兩輪甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)，分別表示三輪中恰有兩輪，三輪甲擊中環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)（）， （）， ，21. （山東理18）（本小題滿分12分）甲、乙兩隊參加奧運知識競賽，每隊3人，每人回答一個問題，答對者對本隊贏得一分，答錯得零分假設(shè)甲隊中每

23、人答對的概率均為，乙隊中3人答對的概率分別為，且各人回答正確與否相互之間沒有影響用表示甲隊的總得分（）求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（）用表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件，用表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”這一事件，求【解：】（）解法一：由題意知，的可能取值為0，1，2，3，且，所以的分布列為0123的數(shù)學(xué)期望為解法二：根據(jù)題設(shè)可知，因此的分布列為，因為，所以（）解法一：用表示“甲得2分乙得1分”這一事件，用表示“甲得3分乙得0分”這一事件，所以，且互斥，又，由互斥事件的概率公式得解法二：用表示“甲隊得分”這一事件，用表示“乙隊得分”這一事件，由于事件，為互斥事件，故有由題設(shè)可知，

24、事件與獨立，事件與獨立，因此22. （山東文18）（本小題滿分12分）現(xiàn)有8名奧運會志愿者，其中志愿者通曉日語，通曉俄語，通曉韓語從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名，組成一個小組（）求被選中的概率；（）求和不全被選中的概率【解：】（）從8人中選出日語、俄語和韓語志愿者各1名，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件空間，由18個基本事件組成由于每一個基本事件被抽取的機會均等，因此這些基本事件的發(fā)生是等可能的用表示“恰被選中”這一事件，則，事件由6個基本事件組成，因而（）用表示“不全被選中”這一事件，則其對立事件表示“全被選中”這一事件，由于，事件有3個基本事件組成，所以，由對立事件的概率公式得2

25、3. （陜西理18）（本小題滿分12分）某射擊測試規(guī)則為：每人最多射擊3次，擊中目標(biāo)即終止射擊，第次擊中目標(biāo)得分，3次均未擊中目標(biāo)得0分已知某射手每次擊中目標(biāo)的概率為0.8，其各次射擊結(jié)果互不影響（）求該射手恰好射擊兩次的概率；（）該射手的得分記為，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望【解：】（）設(shè)該射手第次擊中目標(biāo)的事件為，則，（）可能取的值為0，1，2，3的分布列為01230.0080.0320.160.8.24. （陜西文18）（本小題滿分12分）一個口袋中裝有大小相同的2個紅球,3個黑球和4個白球,從口袋中一次摸出一個球,摸出的球不再放回.（）連續(xù)摸球2次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概

26、率；（）如果摸出紅球,則停止摸球,求摸球次數(shù)不超過3次的概率【解：】（）從袋中依次摸出2個球共有種結(jié)果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有 種結(jié)果，則所求概率 （）第一次摸出紅球的概率為，第二次摸出紅球的概率為，第三次摸出紅球的概率為，則摸球次數(shù)不超過3次的概率為 25. （四川理18）（本小題滿分12分） 設(shè)進入某商場的每一位顧客購買甲種商品的概率為，購買乙種商品的概率為，且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨立，各顧客之間購買商品也是相互獨立的。 （）求進入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；（）求進入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；（）記表示進入商場的3位顧客中

27、至少購買甲、乙兩種商品中的一種的人數(shù)，求的分布列及期望?！窘猓骸坑洷硎臼录哼M入商場的1位顧客購買甲種商品， 記表示事件：進入商場的1位顧客購買乙種商品，記表示事件：進入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種，記表示事件：進入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種，（）（）（），故的分布列 所以26. （四川文18）（本小題滿分12分） 設(shè)進入某商場的每一位顧客購買甲種商品的概率為，購買乙種商品的概率為，且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨立，各顧客之間購買商品也是相互獨立的。 （）求進入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；（）求進入商場的3位顧客中至少有2位顧客既未購買甲種

28、也未購買乙種商品的概率?！窘猓骸浚ǎ┯洷硎臼录哼M入商場的1位顧客購買甲種商品， 記表示事件：進入商場的1位顧客購買乙種商品，記表示事件：進入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種， （）記表示事件：進入商場的3位顧客中都未選購甲種商品，也未選購買乙種商品；表示事件：進入商場的1位顧客未選購甲種商品，也未選購買乙種商品；表示事件：進入商場的3位顧客中至少有2位顧客既未選購甲種商品，也未選選購乙種商品；27. （天津理18）（本小題滿分12分）甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與，且乙投球2次均未命中的概率為.（）求乙投球的命中率；（）若甲投球1次，乙投球2次，兩人共命

29、中的次數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解：】（）設(shè)“甲投球一次命中”為事件a，“乙投球一次命中”為事件b；由題意得，解得或（舍去），所以乙投球的命中率為（）由題設(shè)和（）知，可能的取值為0，1，2，3，故的分布列為0123的數(shù)學(xué)期望28. （天津文18）（本小題滿分12分）甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與，且乙投球2次均未命中的概率為（）求乙投球的命中率；（）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（）若甲、乙兩人各投球2次，求兩人共命中2次的概率【解：】（）解法一：設(shè)“甲投球一次命中”為事件a，“乙投球一次命中”為事件b由題意得，解得或（舍去），所以乙投球的命中率為解法二

30、：設(shè)設(shè)“甲投球一次命中”為事件a，“乙投球一次命中”為事件b由題意得，于是或（舍去），故所以乙投球的命中率為（）解法一：由題設(shè)和（）知故甲投球2次至少命中1次的概率為解法二：由題設(shè)和（）知故甲投球2次至少命中1次的概率為（）由題設(shè)和（）知，甲、乙兩人各投球2次，共命中2次有三種情況：甲、乙兩人各中一次；甲中兩次，乙兩次均不中；甲兩次均不中，乙中2次。概率分別為， 所以甲、乙兩人各投兩次，共命中2次的概率為29. （浙江理19）（本題14分）一個袋中有若干個大小相同的黑球、白球和紅球。已知從袋中任意摸出1個球，得到黑球的概率是；從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是。 （）若袋中共有10

31、個球，（i）求白球的個數(shù)；（ii）從袋中任意摸出3個球,記得到白球的個數(shù)為,求隨機變量的數(shù)學(xué)期望。（）求證：從袋中任意摸出2個球，至少得到1個黑球的概率不大于。并指出袋中哪種顏色的球個數(shù)最少?！窘猓骸浚ǎ╥）記“從袋中任意摸出兩個球，至少得到一個白球”為事件a，設(shè)袋中白球的個數(shù)為，則，得到故白球有5個（ii）隨機變量的取值為0，1，2，3，分布列是0123的數(shù)學(xué)期望（）證明：設(shè)袋中有個球，其中個黑球，由題意得，所以，故記“從袋中任意摸出兩個球，至少有1個黑球”為事件b，則所以白球的個數(shù)比黑球多，白球個數(shù)多于，紅球的個數(shù)少于故袋中紅球個數(shù)最少30. （浙江文19）（本題14分）一個袋中裝有大小

32、相同的黑球、白球和紅球，已知袋中共有10個球，從中任意摸出1個球，得到黑球的概率是;從中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是.求：（）從中任意摸出2個球，得到的數(shù)是黑球的概率；（）袋中白球的個數(shù)?！窘猓骸浚ǎ┙猓河深}意知，袋中黑球的個數(shù)為記“從袋中任意摸出兩個球，得到的都是黑球”為事件a，則（）解：記“從袋中任意摸出兩個球，至少得到一個白球”為事件b。設(shè)袋中白球的個數(shù)為x，則得到 31. （重慶理18）（本小題滿分13分，（）小問5分，（）小問8分.）甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進行乒乓球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進行比賽，而前一局的失敗者輪空.比賽按這種規(guī)則一直進行到其中一人連勝兩局或打滿6局時停止.設(shè)在每局中參賽者勝負(fù)的概率均為，且各局勝負(fù)相互獨立.求：（） 打滿3局比賽還未停止的概率；（）比賽停止時已打局?jǐn)?shù)的分布列與期望e.【解：】令分別表示甲、乙、丙在第k局中獲勝.（）由獨立事件同時