有限元法基礎(chǔ)-6應(yīng)用考慮

1、第六章 FEM應(yīng)用中的問題 6.1 有限元模型的建立6.2 應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的處理6.3 非協(xié)調(diào)元6.4 奇異單元 6.5 子結(jié)構(gòu)法6.6 自適應(yīng)分析16. FEM應(yīng)用中的問題 本章重點(diǎn)介紹本章重點(diǎn)介紹l建立有限元模型應(yīng)遵循的一般原則建立有限元模型應(yīng)遵循的一般原則l改善應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的處理方法改善應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的處理方法l子結(jié)構(gòu)方法的特點(diǎn)、使用條件及實(shí)施步驟子結(jié)構(gòu)方法的特點(diǎn)、使用條件及實(shí)施步驟l非協(xié)調(diào)單元及其收斂性非協(xié)調(diào)單元及其收斂性l裂尖單元及奇異性裂尖單元及奇異性l自適應(yīng)有限元分析的一般方法自適應(yīng)有限元分析的一般方法有限元法基礎(chǔ)26. FEM應(yīng)用中的問題關(guān)鍵概念關(guān)鍵概念應(yīng)力修勻（應(yīng)力修勻（Stre

2、ss SmoothingStress Smoothing）子結(jié)構(gòu)子結(jié)構(gòu) （sub-structuresub-structure）靜態(tài)凝聚靜態(tài)凝聚(Static Condensation)(Static Condensation)非協(xié)調(diào)單元非協(xié)調(diào)單元 (incompatible element) 裂尖單元單元 (crack element)(crack element)自適應(yīng)分析（自適應(yīng)分析（Adaptive AnalysisAdaptive Analysis）有限元法基礎(chǔ)36. FEM應(yīng)用中的問題 有限元法的應(yīng)用首先是建模問題，將實(shí)際問題有限元法的應(yīng)用首先是建模問題，將實(shí)際問題簡(jiǎn)化為當(dāng)前計(jì)算條

3、件能夠完成的計(jì)算問題。簡(jiǎn)化為當(dāng)前計(jì)算條件能夠完成的計(jì)算問題。 其次，建立有限元模型，選擇合適的單元將結(jié)其次，建立有限元模型，選擇合適的單元將結(jié)構(gòu)離散成網(wǎng)格。構(gòu)離散成網(wǎng)格。 施加邊界條件，求解，分析結(jié)果，確認(rèn)結(jié)果的施加邊界條件，求解，分析結(jié)果，確認(rèn)結(jié)果的可靠性，指導(dǎo)設(shè)計(jì)和生產(chǎn)。可靠性，指導(dǎo)設(shè)計(jì)和生產(chǎn)。有限元法基礎(chǔ)46. 1 有限元模型的建立 有限元法的實(shí)際應(yīng)用的關(guān)鍵問題有限元法的實(shí)際應(yīng)用的關(guān)鍵問題分析過程的有效性分析過程的有效性計(jì)算結(jié)果的可靠性計(jì)算結(jié)果的可靠性有限元法基礎(chǔ)5有限元模型的建立有限元模型的建立恰當(dāng)?shù)姆治龇桨盖‘?dāng)?shù)姆治龇桨赣?jì)算方法的選擇計(jì)算方法的選擇6. 1 有限元模型的建立1 1）選

4、擇合適的單元）選擇合適的單元有限元法基礎(chǔ)6需要考慮：需要考慮： 問題的維數(shù)：一、二、三維問題的維數(shù)：一、二、三維 實(shí)體單元實(shí)體單元 單元類型：?jiǎn)卧愋停?結(jié)構(gòu)單元（梁、板、殼單元）結(jié)構(gòu)單元（梁、板、殼單元）6. 1 有限元模型的建立 例：懸臂梁?jiǎn)栴}例：懸臂梁?jiǎn)栴}CSTCST和和LSTLST的比較的比較有限元法基礎(chǔ)76. 1 有限元模型的建立 例：懸臂梁?jiǎn)栴}例：懸臂梁?jiǎn)栴}Q4和和QM6的比較的比較有限元法基礎(chǔ)86. 1 有限元模型的建立 例：懸臂梁?jiǎn)栴}計(jì)算精度的比較例：懸臂梁?jiǎn)栴}計(jì)算精度的比較有限元法基礎(chǔ)96. 1 有限元模型的建立T33節(jié)點(diǎn)單元節(jié)點(diǎn)單元T66節(jié)點(diǎn)單元節(jié)點(diǎn)單元Q44節(jié)點(diǎn)單元節(jié)點(diǎn)單

5、元Q88節(jié)點(diǎn)單元節(jié)點(diǎn)單元Q4WT非協(xié)調(diào)元非協(xié)調(diào)元Q4PS雜交應(yīng)力元雜交應(yīng)力元NDLT總總DOF有限元法基礎(chǔ)106. 1 有限元模型的建立T33節(jié)點(diǎn)單元節(jié)點(diǎn)單元T66節(jié)點(diǎn)單元節(jié)點(diǎn)單元Q44節(jié)點(diǎn)單元節(jié)點(diǎn)單元Q88節(jié)點(diǎn)單元節(jié)點(diǎn)單元Q4WT非協(xié)調(diào)元非協(xié)調(diào)元Q4PS雜交應(yīng)力元雜交應(yīng)力元NDLT總總DOF有限元法基礎(chǔ)116. 1 有限元模型的建立2）網(wǎng)格劃分網(wǎng)格劃分網(wǎng)格疏密的布置網(wǎng)格疏密的布置 根據(jù)幾何形狀和應(yīng)力分布情況局部的網(wǎng)格疏密根據(jù)幾何形狀和應(yīng)力分布情況局部的網(wǎng)格疏密有限元法基礎(chǔ)126. 1 有限元模型的建立不連續(xù)處的網(wǎng)格自然劃分不連續(xù)處的網(wǎng)格自然劃分有限元法基礎(chǔ)13載荷突變載荷突變材料分界面材料分

6、界面 板厚突變板厚突變6. 1 有限元模型的建立3 3）疏密網(wǎng)格的過渡）疏密網(wǎng)格的過渡不同疏密的過渡不同疏密的過渡不同形狀的過渡不同形狀的過渡有限元法基礎(chǔ)146. 1 有限元模型的建立不同階次單元的過渡不同階次單元的過渡有限元法基礎(chǔ)156. 1 有限元模型的建立不良過渡舉例不良過渡舉例有限元法基礎(chǔ)166. 1 有限元模型的建立可使用可使用MPCMPC在多個(gè)不同網(wǎng)格剖分的區(qū)域連接在多個(gè)不同網(wǎng)格剖分的區(qū)域連接有限元法基礎(chǔ)172131()26. 1 有限元模型的建立可使用可使用MPCMPC在多個(gè)不同網(wǎng)格剖分的區(qū)域連接在多個(gè)不同網(wǎng)格剖分的區(qū)域連接有限元法基礎(chǔ)186. 2 應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的處理 結(jié)構(gòu)分析的

7、主要目的是進(jìn)行強(qiáng)度校核，需求出應(yīng)結(jié)構(gòu)分析的主要目的是進(jìn)行強(qiáng)度校核，需求出應(yīng)力分布。力分布。求應(yīng)力分布步驟：求應(yīng)力分布步驟：1 1）位移元有限元法求得結(jié)構(gòu)的所有節(jié)點(diǎn)位移解）位移元有限元法求得結(jié)構(gòu)的所有節(jié)點(diǎn)位移解 q ；2）在每個(gè)單元內(nèi)）在每個(gè)單元內(nèi)有限元法基礎(chǔ)19ee BqCCBq6. 2 應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的處理應(yīng)力結(jié)果的特點(diǎn)：應(yīng)力結(jié)果的特點(diǎn)：1 1）在單元內(nèi)一般不滿足平衡方程）在單元內(nèi)一般不滿足平衡方程 ；2）在單元與單元的交接面上應(yīng)力一般不連續(xù)；）在單元與單元的交接面上應(yīng)力一般不連續(xù)；3）在給定面力的邊界上一般不滿足力的邊界條件。）在給定面力的邊界上一般不滿足力的邊界條件。有限元法基礎(chǔ)206.

8、2 應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的處理設(shè)設(shè) u u 為精確解，近似解可表示為為精確解，近似解可表示為根據(jù)最小勢(shì)能原理根據(jù)最小勢(shì)能原理有限元法基礎(chǔ)21( ),( ) uuu,=+uu1( )21 ()()21 2 1 2TTTTTTTpVVSTTTVVSTTTVVSTTTVVSTVdVdVdSdVdVdSdVdVdSdVdVdS uCu Fu T+C+uuFuu TCu Fu TCu Fu TC2 ( )pppdV u6. 2 應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的處理對(duì)精確解對(duì)精確解對(duì)于具體確定的問題對(duì)于具體確定的問題 求求 的極小值問題的極小值問題有限元法基礎(chǔ)220p ( )pConstu2( )( )1 ( )2pppTpVdV

9、 uuuC 2p2111 22emTTpVVedVdV CC6. 2 應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的處理對(duì)于線彈性問題，應(yīng)變能與余能相等對(duì)于線彈性問題，應(yīng)變能與余能相等求求 的的極小值問題極小值問題，化為，化為求位移變分求位移變分 所引起的應(yīng)變能為極小值的問題所引起的應(yīng)變能為極小值的問題或或求應(yīng)力求應(yīng)力 或應(yīng)變或應(yīng)變 的加權(quán)二乘極小值問題。的加權(quán)二乘極小值問題。有限元法基礎(chǔ)23211 2emTpVedV S( )p u u11 ()2emTVedV S6. 2 應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的處理l等參元的最優(yōu)應(yīng)力點(diǎn)等參元的最優(yōu)應(yīng)力點(diǎn) 求泛函的極值求泛函的極值或或 為為p p次多項(xiàng)式插值，微分算子的最高階導(dǎo)數(shù)為次多項(xiàng)式插值，微

10、分算子的最高階導(dǎo)數(shù)為m m，則則 為為p-mp-m次多項(xiàng)式，次多項(xiàng)式，GaussGauss積分至少采用積分至少采用p-m+1p-m+1階階積分，得到積分，得到2 2（p-mp-m）1 1階代數(shù)精度。階代數(shù)精度。有限元法基礎(chǔ)241()0emTVedV S1( , )0emTVedV u uDuDu CDu u 6. 2 應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的處理設(shè)數(shù)值積分為設(shè)數(shù)值積分為p-m+1p-m+1階，且階，且JacobiJacobi行列式為常數(shù)行列式為常數(shù)若在若在GaussGauss點(diǎn)上點(diǎn)上 獨(dú)立獨(dú)立這一表達(dá)式在這一表達(dá)式在 為為p-m+1p-m+1階多項(xiàng)式都是成立的，故階多項(xiàng)式都是成立的，故在在GaussGa

11、uss點(diǎn)上，點(diǎn)上， 的精度可達(dá)到的精度可達(dá)到p-m+1p-m+1階，比自身插階，比自身插值高一階。值高一階。有限元法基礎(chǔ)25111()0p mmTjjjjej SJj eji CBq 6. 2 應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的處理有限元法基礎(chǔ)26二次應(yīng)變與離散的線性最小二乘的近似解二次應(yīng)變與離散的線性最小二乘的近似解6. 2 應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的處理有限元法基礎(chǔ)27l以上的結(jié)論只對(duì)一維單元是嚴(yán)格的以上的結(jié)論只對(duì)一維單元是嚴(yán)格的l對(duì)二維和三維單元是近似的，但可以推論，對(duì)二維和三維單元是近似的，但可以推論，在等參元中在等參元中p-m+1階階Gauss積分點(diǎn)的應(yīng)力較其積分點(diǎn)的應(yīng)力較其他點(diǎn)處具有較高的精度他點(diǎn)處具有較高的精度

12、l因此稱因此稱p-m+1階階Gauss積分點(diǎn)為等參元的最積分點(diǎn)為等參元的最佳應(yīng)力點(diǎn)佳應(yīng)力點(diǎn)6. 2 應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的處理有限元法基礎(chǔ)286. 2 應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的處理有限元法基礎(chǔ)29l應(yīng)力解的修勻應(yīng)力解的修勻 應(yīng)力計(jì)算公式應(yīng)力計(jì)算公式 可計(jì)算單元內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)力值?？捎?jì)算單元內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)力值。位移元解的特點(diǎn)：位移元解的特點(diǎn)：1）位移元的位移解在全域都是連續(xù)的）位移元的位移解在全域都是連續(xù)的2）直接計(jì)算節(jié)點(diǎn)上的應(yīng)力精度較差）直接計(jì)算節(jié)點(diǎn)上的應(yīng)力精度較差3）應(yīng)力解在單元間是跳躍的）應(yīng)力解在單元間是跳躍的e CBq6. 2 應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的處理有限元法基礎(chǔ)306. 2 應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的處理有限元法基礎(chǔ)31l單

13、元應(yīng)力平均單元應(yīng)力平均 最常用于最常用于3節(jié)點(diǎn)三角形單元，將應(yīng)力解看作是單元節(jié)點(diǎn)三角形單元，將應(yīng)力解看作是單元形心處的應(yīng)力，平均應(yīng)力看作四邊形形心處的應(yīng)力。形心處的應(yīng)力，平均應(yīng)力看作四邊形形心處的應(yīng)力。 1）直接算術(shù)平均）直接算術(shù)平均 2）按單元面積加權(quán)平均）按單元面積加權(quán)平均 211()2ee112212eeeeeeAAAA6. 2 應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的處理有限元法基礎(chǔ)32l節(jié)點(diǎn)應(yīng)力平均節(jié)點(diǎn)應(yīng)力平均 節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)i i 有有m個(gè)單元與之相關(guān)個(gè)單元與之相關(guān)11meiiem6. 2 應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的處理有限元法基礎(chǔ)33l整體應(yīng)力修勻整體應(yīng)力修勻 應(yīng)力常在全域是不連續(xù)的，可采用整體應(yīng)力修勻的應(yīng)力常在全域是不連

14、續(xù)的，可采用整體應(yīng)力修勻的方法，以得到應(yīng)力場(chǎng)全域連續(xù)。方法，以得到應(yīng)力場(chǎng)全域連續(xù)。 構(gòu)造一個(gè)改進(jìn)的應(yīng)力解構(gòu)造一個(gè)改進(jìn)的應(yīng)力解Ni 是插值函數(shù)，是插值函數(shù)， 改進(jìn)后的節(jié)點(diǎn)應(yīng)力值，改進(jìn)后的節(jié)點(diǎn)應(yīng)力值，ne是單元是單元節(jié)點(diǎn)數(shù)。節(jié)點(diǎn)數(shù)。*1eniie * *i 6. 2 應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的處理有限元法基礎(chǔ)34改進(jìn)的應(yīng)力與有限元解改進(jìn)的應(yīng)力與有限元解 應(yīng)滿足加權(quán)最小二乘應(yīng)滿足加權(quán)最小二乘的原則的原則變分取駐值變分取駐值代入代入 表達(dá)式，由表達(dá)式，由 的任意性的任意性N為全部單元的節(jié)點(diǎn)數(shù)。為全部單元的節(jié)點(diǎn)數(shù)。*1 ()0emTVedV S *11 ()2emTVedV S* *i *1 ()0(1,)emTi

15、VedViN SN6. 2 應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的處理有限元法基礎(chǔ)35可得可得NxS個(gè)線性方程組，個(gè)線性方程組，S為應(yīng)力分量數(shù)為應(yīng)力分量數(shù)求解方程，得到節(jié)點(diǎn)上的改進(jìn)值求解方程，得到節(jié)點(diǎn)上的改進(jìn)值由節(jié)點(diǎn)改進(jìn)值和插值函數(shù)由節(jié)點(diǎn)改進(jìn)值和插值函數(shù)Ni可的全域上應(yīng)力可的全域上應(yīng)力特點(diǎn)：特點(diǎn)：1）應(yīng)力全域上連續(xù)）應(yīng)力全域上連續(xù)2）工作量大，相當(dāng)于第二次有限元計(jì)算。）工作量大，相當(dāng)于第二次有限元計(jì)算。*i 6. 2 應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的處理有限元法基礎(chǔ)36l單元級(jí)應(yīng)力修勻單元級(jí)應(yīng)力修勻 設(shè)改進(jìn)后的應(yīng)力設(shè)改進(jìn)后的應(yīng)力 對(duì)等參元來講，最優(yōu)應(yīng)力點(diǎn)在對(duì)等參元來講，最優(yōu)應(yīng)力點(diǎn)在p-m階階Gauss積分積分點(diǎn)上，因此可由點(diǎn)上，因此可

16、由Gauss點(diǎn)外插到節(jié)點(diǎn)上。點(diǎn)外插到節(jié)點(diǎn)上。*1eniiiN6. 2 應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的處理有限元法基礎(chǔ)37l單元級(jí)應(yīng)力修勻單元級(jí)應(yīng)力修勻 設(shè)改進(jìn)后的應(yīng)力設(shè)改進(jìn)后的應(yīng)力 對(duì)等參元來講，最優(yōu)應(yīng)力點(diǎn)在對(duì)等參元來講，最優(yōu)應(yīng)力點(diǎn)在p-m+1階階Gauss積積分點(diǎn)上，因此可由分點(diǎn)上，因此可由Gauss點(diǎn)外插到節(jié)點(diǎn)上。點(diǎn)外插到節(jié)點(diǎn)上。*1eniiiN6. 2 應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的處理有限元法基礎(chǔ)38例：平面例：平面8節(jié)點(diǎn)單元，利用節(jié)點(diǎn)單元，利用4個(gè)個(gè)Gauss點(diǎn)值改進(jìn)較點(diǎn)值改進(jìn)較節(jié)點(diǎn)應(yīng)力值節(jié)點(diǎn)應(yīng)力值 設(shè)改進(jìn)后的應(yīng)力設(shè)改進(jìn)后的應(yīng)力 在在Gauss點(diǎn)上點(diǎn)上 4*11,(1)(1)4iiiiiiNN6. 2 應(yīng)力計(jì)算結(jié)果

17、的處理有限元法基礎(chǔ)39求角節(jié)點(diǎn)應(yīng)力，求逆得求角節(jié)點(diǎn)應(yīng)力，求逆得6. 2 應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的處理有限元法基礎(chǔ)40 6. 3 非協(xié)調(diào)元l用平面用平面4 4節(jié)點(diǎn)等參元模擬梁的純彎曲節(jié)點(diǎn)等參元模擬梁的純彎曲 如圖純彎曲問題的精確解如圖純彎曲問題的精確解利用平面問題的本構(gòu)關(guān)系得利用平面問題的本構(gòu)關(guān)系得有限元法基礎(chǔ)41222211()()22uxyvaxay,0 xyxyEy6. 3 非協(xié)調(diào)元用一個(gè)雙線性面用一個(gè)雙線性面4 4節(jié)點(diǎn)等參元節(jié)點(diǎn)等參元 位移解為位移解為 得到錯(cuò)誤的應(yīng)力解如圖：得到錯(cuò)誤的應(yīng)力解如圖： 有限元法基礎(chǔ)420uxyv6. 3 非協(xié)調(diào)元引起誤差原因：缺少引起誤差原因：缺少x x和和y y的二

18、次項(xiàng)的二次項(xiàng) 有限元法基礎(chǔ)43 采用不完全采用不完全 二次多項(xiàng)式做為位移模式，二次多項(xiàng)式做為位移模式，單元的邊界在變形后位移模式仍為直線。單元的邊界在變形后位移模式仍為直線。不能很好地描述單元邊界被彎曲時(shí)的位移，不能很好地描述單元邊界被彎曲時(shí)的位移，影響精度。影響精度。 6. 3 非協(xié)調(diào)元有限元法基礎(chǔ)44Wilson 等（等（1973）采用在位移模式中補(bǔ)充附）采用在位移模式中補(bǔ)充附加自由度的方構(gòu)造一種非協(xié)調(diào)等參元：加自由度的方構(gòu)造一種非協(xié)調(diào)等參元：Willon非非協(xié)調(diào)元協(xié)調(diào)元422561422561(1)(1)(1)(1)iiiiiiuN uuuvN vvv1(1)(1)4iiiN6. 3 非

19、協(xié)調(diào)元有限元法基礎(chǔ)45插值函數(shù)特點(diǎn)插值函數(shù)特點(diǎn)1）達(dá)到二次完備）達(dá)到二次完備 等參插值函數(shù)等參插值函數(shù) 補(bǔ)充補(bǔ)充 2）在單元邊界上位移為非協(xié)調(diào)的）在單元邊界上位移為非協(xié)調(diào)的1, , , 22, 25(1)N26(1)N6. 3 非協(xié)調(diào)元有限元法基礎(chǔ)46例如在例如在12邊上，邊上，在在12邊上的位移與單元內(nèi)部參數(shù)有關(guān)，其他邊邊上的位移與單元內(nèi)部參數(shù)有關(guān)，其他邊也是如此。也是如此。1,11 2125212511( )(1)(1)(1)2211( )(1)(1)(1)22uuuuvvvv6. 3 非協(xié)調(diào)元有限元法基礎(chǔ)47位移插值的表達(dá)式位移插值的表達(dá)式 記記 112233445566 ,;,;,;,

20、;,eTeTu v u v u v u vu v u vqq123456123456000000000000eeNNNNNNuNNNNNNv quqeeuNqNq6. 3 非協(xié)調(diào)元有限元法基礎(chǔ)48應(yīng)變的表達(dá)式應(yīng)變的表達(dá)式 356124356124335566112244,000000 000000TTxyxyeeuvuvxyyxNNNNNNxxxxxxNNNNNNyyyyyyNNNNNNNNNNNNyxyxyxyxyxyxqq eeqBBq6. 3 非協(xié)調(diào)元有限元法基礎(chǔ)49單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?0eeuuueuKKqQKKqeTuuAdAKB CBeTAdAKB CBeTTuuAdAK=

21、KB CB6. 3 非協(xié)調(diào)元有限元法基礎(chǔ)50凝聚內(nèi)部凝聚內(nèi)部DOF 由第二組方程，得由第二組方程，得內(nèi)部?jī)?nèi)部DOF不出現(xiàn)在總體剛度矩陣中，不增加求解不出現(xiàn)在總體剛度矩陣中，不增加求解方程的方程的DOF。該單元稱為。該單元稱為Q6。 1()eeu qKK q1()eeuuuu(KKKKqQ6. 3 非協(xié)調(diào)元有限元法基礎(chǔ)51l單元單元Q6的收斂條件的收斂條件 在矩形單元時(shí)，單元能夠滿足在矩形單元時(shí)，單元能夠滿足Patch Test，但，但在扭曲單元形狀時(shí)，單元不能表示常應(yīng)力狀態(tài)。在扭曲單元形狀時(shí)，單元不能表示常應(yīng)力狀態(tài)。 考察單元在常應(yīng)力（應(yīng)變）時(shí)，希望考察單元在常應(yīng)力（應(yīng)變）時(shí)，希望 保持為保持

22、為零，即零，即 eq1()eeuc 0qKK q()eeeTeTucccAAdAdA0K qBCBqBeTAdA0B6. 3 非協(xié)調(diào)元有限元法基礎(chǔ)52由收斂條件得到由收斂條件得到 1）在平行四邊形單元時(shí)，）在平行四邊形單元時(shí)，Jacobi行列式為常數(shù)，行列式為常數(shù)，被積函數(shù)為被積函數(shù)為 和和 項(xiàng)，收斂條件滿足；項(xiàng)，收斂條件滿足； 2）對(duì)任意單元形狀，條件不滿足；）對(duì)任意單元形狀，條件不滿足； 3）用形心）用形心 處的處的Jacobi矩陣代替積分矩陣代替積分點(diǎn)的值，收斂條件可滿足，這個(gè)單元稱為點(diǎn)的值，收斂條件可滿足，這個(gè)單元稱為QM6，由由Taylor等（等（1976）建立。）建立。 1 11

23、1Td d 0BJ()(0,0) ,6. 3 非協(xié)調(diào)元有限元法基礎(chǔ)536. 3 非協(xié)調(diào)元有限元法基礎(chǔ)54l收斂條件的改進(jìn)收斂條件的改進(jìn) eeTTcAdA0q B ()eeeTeTucccAAdAdA0K qBCBqB0eTTccAdAdS=uldSm = 0uluN qdSm = 0若N6. 3 非協(xié)調(diào)元有限元法基礎(chǔ)55對(duì)對(duì)4節(jié)點(diǎn)平面單元節(jié)點(diǎn)平面單元 可構(gòu)造出滿足可構(gòu)造出滿足Patch Test 的非協(xié)調(diào)插值函數(shù)的非協(xié)調(diào)插值函數(shù) 55665 56 6uN uN uvN vN v2125002126002(1)32(1)3JJNJJJJNJJ012JJJJ6. 3 非協(xié)調(diào)元有限元法基礎(chǔ)566.

24、4 奇異單元有限元法基礎(chǔ)57 斷裂力學(xué)中，需計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子，由于在斷裂力學(xué)中，需計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子，由于在裂尖處有奇異性，影響有限元計(jì)算精度。在線彈裂尖處有奇異性，影響有限元計(jì)算精度。在線彈性條件下，裂尖具有性條件下，裂尖具有 的奇異性。的奇異性。12r6. 4 奇異單元有限元法基礎(chǔ)58l中點(diǎn)在中點(diǎn)在1/4位置的單元位置的單元 坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換 或或 2(1)4Lx21xL6. 4 奇異單元有限元法基礎(chǔ)59l形函數(shù)為形函數(shù)為l應(yīng)變矩陣為應(yīng)變矩陣為 22212311(),1,()22NNN 1exdudu ddudxddxJ d= Bq(1)2dxLJLxd312123422122dNdNdNJ

25、dddLLLLxLxLxB如如 ，則，則 和和 具有的奇異性具有的奇異性這個(gè)單元仍能表示剛體位移和常應(yīng)變這個(gè)單元仍能表示剛體位移和常應(yīng)變xLxx1/2x6. 4 奇異單元有限元法基礎(chǔ)60l8節(jié)點(diǎn)等參元將中點(diǎn)移至節(jié)點(diǎn)等參元將中點(diǎn)移至1/4位置處位置處 Henshell和和Shaw（1975）證明在推退化點(diǎn)處有）證明在推退化點(diǎn)處有 奇異性。奇異性。 1/2r6. 4 奇異單元有限元法基礎(chǔ)61l8節(jié)點(diǎn)等參元退化為節(jié)點(diǎn)等參元退化為6節(jié)點(diǎn)等參元節(jié)點(diǎn)等參元Hibbitt（1977）建議該方法，在推退化點(diǎn)處有）建議該方法，在推退化點(diǎn)處有 奇異性，且計(jì)算精度更好。奇異性，且計(jì)算精度更好。 1/2r6. 4 奇

26、異單元有限元法基礎(chǔ)626. 4 奇異單元有限元法基礎(chǔ)63l奇異單元特點(diǎn)奇異單元特點(diǎn)三維三維20節(jié)點(diǎn)單元將中點(diǎn)移至節(jié)點(diǎn)單元將中點(diǎn)移至1/4處，退處，退化點(diǎn)的單元邊緣有化點(diǎn)的單元邊緣有 奇異性奇異性等參元的奇異性，并不因?yàn)閱卧兒偷葏⒃钠娈愋裕⒉灰驗(yàn)閱卧兒屯嘶嘶?duì)塑性材料，應(yīng)變對(duì)塑性材料，應(yīng)變 的奇異性，也可的奇異性，也可通過特殊處理達(dá)到通過特殊處理達(dá)到1/2r1r6. 5 子結(jié)構(gòu)有限元法基礎(chǔ)64 為解決計(jì)算機(jī)求解能力的問題，尤其是為解決計(jì)算機(jī)求解能力的問題，尤其是對(duì)大型結(jié)構(gòu)分析時(shí)，提出了對(duì)大型結(jié)構(gòu)分析時(shí)，提出了總體總體-局部方局部方法法、子結(jié)構(gòu)子結(jié)構(gòu)、超級(jí)單元法超級(jí)單元法

27、，其目的是提高，其目的是提高分析效率，并能夠在硬件條件有限的情況分析效率，并能夠在硬件條件有限的情況下，能夠分析大型結(jié)構(gòu)問題。下，能夠分析大型結(jié)構(gòu)問題。6. 5 子結(jié)構(gòu)有限元法基礎(chǔ)65l總體總體-局部方法主要用于應(yīng)力集中問題局部方法主要用于應(yīng)力集中問題 先由較粗的網(wǎng)格進(jìn)行整體分析，然后在關(guān)心的先由較粗的網(wǎng)格進(jìn)行整體分析，然后在關(guān)心的局部加密網(wǎng)格將總體分析的位移解施加在局部模局部加密網(wǎng)格將總體分析的位移解施加在局部模型的邊界。型的邊界。 6. 5 子結(jié)構(gòu)有限元法基礎(chǔ)66l構(gòu)建超級(jí)單元的目的是減少構(gòu)建超級(jí)單元的目的是減少“計(jì)算時(shí)間計(jì)算時(shí)間”上的上的重復(fù)重復(fù)性，超級(jí)單元實(shí)際上也是一種子結(jié)構(gòu)。重復(fù)重復(fù)

28、性，超級(jí)單元實(shí)際上也是一種子結(jié)構(gòu)。6. 5 子結(jié)構(gòu)有限元法基礎(chǔ)67l對(duì)于幾何空間上有重復(fù)的大型結(jié)構(gòu)，構(gòu)建子結(jié)對(duì)于幾何空間上有重復(fù)的大型結(jié)構(gòu)，構(gòu)建子結(jié)構(gòu)減少重復(fù)計(jì)算量。構(gòu)減少重復(fù)計(jì)算量。6. 5 子結(jié)構(gòu)有限元法基礎(chǔ)68l實(shí)施步驟實(shí)施步驟1）取具有重復(fù)性的結(jié)構(gòu)作為子結(jié)構(gòu)（可以有多）取具有重復(fù)性的結(jié)構(gòu)作為子結(jié)構(gòu)（可以有多級(jí)子結(jié)構(gòu)）級(jí)子結(jié)構(gòu)）2）對(duì)底層子結(jié)構(gòu)形成剛度矩陣，將其內(nèi)部）對(duì)底層子結(jié)構(gòu)形成剛度矩陣，將其內(nèi)部DOF凝聚凝聚bbbibbibiiiiKKqQKKqQ邊界邊界DOF 內(nèi)部?jī)?nèi)部DOF 6. 5 子結(jié)構(gòu)有限元法基礎(chǔ)69凝聚內(nèi)部凝聚內(nèi)部DOF 由第二組方程由第二組方程ibbiiiiK qK

29、qQ1()iiiiibbq = KQK q11bbbiiiibbbiiibiKK KKqQKK Q*bbK qQ6. 5 子結(jié)構(gòu)有限元法基礎(chǔ)706. 5 子結(jié)構(gòu)有限元法基礎(chǔ)713）將子結(jié)構(gòu)裝配，形成上一級(jí)子結(jié)構(gòu)（采用坐）將子結(jié)構(gòu)裝配，形成上一級(jí)子結(jié)構(gòu)（采用坐標(biāo)變換并再凝聚）標(biāo)變換并再凝聚）4）組裝子結(jié)構(gòu)，并形成整體剛度矩陣，求解）組裝子結(jié)構(gòu)，并形成整體剛度矩陣，求解5）將結(jié)果進(jìn)行回代，再求解子結(jié)構(gòu)內(nèi)部的節(jié)點(diǎn)）將結(jié)果進(jìn)行回代，再求解子結(jié)構(gòu)內(nèi)部的節(jié)點(diǎn)位移和其他量位移和其他量1()iiiiibbq = KQK q6. 5 子結(jié)構(gòu)有限元法基礎(chǔ)72l采用采用Gauss消去法進(jìn)行內(nèi)部消去法進(jìn)行內(nèi)部DOF的

30、凝聚的凝聚 將矩陣消元將矩陣消元 第一方程組為子結(jié)構(gòu)的凝聚后的矩陣第一方程組為子結(jié)構(gòu)的凝聚后的矩陣 第二方程組為子結(jié)構(gòu)回代求解方程第二方程組為子結(jié)構(gòu)回代求解方程*0bbbbiibiqKQqKIQbbbibbibiiiiKKqQKKqQ6. 6 自適應(yīng)分析有限元法基礎(chǔ)73 如何對(duì)有限元分析結(jié)果的誤差進(jìn)行判斷，其如何對(duì)有限元分析結(jié)果的誤差進(jìn)行判斷，其劃分的網(wǎng)格是否合適？劃分的網(wǎng)格是否合適？ 自適應(yīng)有限元分析是基于前一次計(jì)算結(jié)果，進(jìn)自適應(yīng)有限元分析是基于前一次計(jì)算結(jié)果，進(jìn)行事后誤差估計(jì)，并以提高精度為目的，由分析行事后誤差估計(jì)，并以提高精度為目的，由分析軟件自動(dòng)對(duì)計(jì)算方案重新調(diào)整，重新計(jì)算，直至軟件自動(dòng)對(duì)計(jì)算方案重新調(diào)整，重新計(jì)算，直至滿足精度的計(jì)算分析方法。滿足精度的計(jì)算分析方法。 6. 6 自適應(yīng)分析有限元法基礎(chǔ)74l調(diào)整方式調(diào)整方式1） h方法（方法（h-refinement method）：逐步細(xì)）：逐步細(xì)化網(wǎng)格，減小單元尺度化網(wǎng)格，減小單元尺度2） p方法（方法（p-refi