數(shù)列求和與綜合應(yīng)用

1、數(shù)列求和及綜合應(yīng)用解答題1. (2014湖北高考文科T19)已知等差數(shù)列an滿足:ai=2,且ai,a2,a5成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)n,使得Sn>60n+800?若存在，求n的最小值 若不存在，說(shuō)明理由解題指南】(1)由2,2+d,2+4d成等比數(shù)列可求得公差d,從而根據(jù)通項(xiàng)公式表示出數(shù)列an的通項(xiàng)根據(jù)an的通項(xiàng)公式表示出an的前n項(xiàng)和公式Sn,令Sn>60n+800,解此不等式解析】(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d,依題意,2,2+d,2+4d成等比數(shù)列，故有(2+d) 2=2(2+4d),化簡(jiǎn)得d2-4d=0,解得d=0或d

2、=4.當(dāng) d=0 時(shí),an=2;當(dāng) d=4 時(shí),an=2+(n-1) 4=4n-2,從而得數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an=2或an=4n-2.當(dāng) an=2 時(shí),Sn=2n.顯然 2n<60n+800,此時(shí)不存在正整數(shù) n,使得Sn>60n+800成立.n2(4n -2)2當(dāng) an=4n-2 時(shí),Sn=2n 22令 2n 2>60n+800,即 n2-30n-400>0,解得n>40或n<-10(舍去),此時(shí)存在正整數(shù) n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值為41.綜上，當(dāng) an =2時(shí)，不存在滿足題意的n.當(dāng)an=4n-2時(shí)，存在滿足題意的n,其最小

3、值為41.2. （2014湖北高考理科 58）已知等差數(shù)列an滿足：ai = 2,且ai,a2,a3成等比數(shù)列（1） 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.求n的最小an的通（2）記Sn為數(shù)列a n的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)n，使得Sn - 60n亠800?若存在， 值；若不存在，說(shuō)明理由解題指南】（1）由2 , 2 d , 2 4d成等比數(shù)列可求得公差d,從而根據(jù)通項(xiàng)公式表示出數(shù)列項(xiàng)；（H）根據(jù)an的通項(xiàng)公式表示出an的前n項(xiàng)和公式Sn，令Sn >60n +800 ,解此不等式。解析】（1）設(shè)數(shù)列a n的公差為d ,依題意，d,2 d,2 4d成等比數(shù)列，故有（2 d）2 =2（24d）2化簡(jiǎn)得d -

4、4d =0 ,解得d =0或d =4當(dāng) d = 0 時(shí)，an = 2當(dāng) d =4時(shí)，an =2 （n 一 1）4=4n-2從而得數(shù)列a n的通項(xiàng)公式為an = 2或an = 4n -2 。(2)當(dāng) an =2 時(shí)，Sn=2n。顯然 2n : 60n 800此時(shí)不存在正整數(shù) n ,使得Sn - 60n - 800成立。當(dāng) an =4n -2 時(shí),Snn2(4n 2)2=2n令 2n2 60n 800 ,即 n2-30n-400 0 , 解得n 40或n < -10 （舍去）， 此時(shí)存在正整數(shù)n ,使得Sn - 60n - 800成立，n的最小值為41。綜上，當(dāng)an =2時(shí)，不存在滿足題意的

5、n ；當(dāng)an =4n-2時(shí)，存在滿足題意的n ,其最小值為41。3. （2014湖南高考理科T20）（本小題滿分13分）n*已知數(shù)列an滿足 a1 =1,|an 1 -an|= p , n，N (1) 若an是遞增數(shù)列，且ai,2a2,3as成等差數(shù)列，求p的值；1(2) 若p ,且a2ni是遞增數(shù)列，a2n是遞減數(shù)列，求數(shù)列a.的通項(xiàng)公式2解題提示】(1)由an是遞增數(shù)列，去掉絕對(duì)值，求出前三項(xiàng)，再利用ai,2a2,3a3成等差數(shù)列，得到關(guān) 于p的方程即可；(2)a2nj是遞增數(shù)列，a2n是遞減數(shù)列，可以去掉絕對(duì)值，再利用疊加法求通項(xiàng)公式。解析】(1)因?yàn)閍n是遞增數(shù)列，所以an.-an=p

6、n,2又 a1 =1, a? = p 1, a3 = p p 1,2 2因?yàn)?a1,2a2,3a3成等差數(shù)列，所以 4aa1 - 3a3,4p 1 3p 3p 3,3p 二 p ,1 1解得p, p =0，當(dāng)p=0, an1-an=0，與an是遞增數(shù)列矛盾，所以p =3(2)因?yàn)閍2n是遞增數(shù)列，所以a2n1 -a2n0 , 于是 a2n1 a2n ' a2n 一 a2n2n2n 所以 a2n+ a2n £ a2n 一 a2n由得a2n - a2n0 ,所以a?n - a?n 4二- gn_1nJ2因?yàn)?a2n 是遞減數(shù)列，所以同理可得a2n 1 - a2n ： 0 , a2

7、n da2n "-12n12n 由得2an 1 - an-1n12n ，word資料可編輯所以 an a2 _a_1 廣 IQ _a?嚴(yán) 亠_an= 1 1 121?22“222=4 . 1 -1 n33 2n ，41 f1 f所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an = 百33 24. (2014湖南高考文科)(本小題滿分12分）已知數(shù)列 Q，的前n項(xiàng)和Snn2 n,nN.(1)求數(shù)列"an 的通項(xiàng)公式(2)設(shè) bn =2an +(1 Jan，求數(shù)列'bn?的前2n項(xiàng)和.解題提示】(1)利用an, Sn的關(guān)系求解，(2)分組求和。解析】(1)當(dāng)n = 1時(shí)，a S1 =1 ；

8、當(dāng) n _2時(shí)，a.-二n2 n (n2-1) (n-1).n，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an二n(2)由(1)知，bn =2n -1 n，記數(shù)列 嘰匚的前2n項(xiàng)和為T2n，則 T2n 二 22 22n)(-1 2-3 4-.2 n)記 A =2 22 ： 22n , B - -1 2 -3 4 - 2n，則,1-2B 十1 2) (-3 4)-(2n -1) 2n = n故數(shù)列bn，的前2n項(xiàng)和T2n二A B = 22n + +< - n -25.(2014廣東高考文科 T19)(14分)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn滿足Sn2-(n2+n-3)S n-3(n 2+n)=0,

9、n N*.(1)求a1的值.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.證明：對(duì)一切正整數(shù) n,有1一+1+1<-.ag+1)玄2+1)an(an+1) 3解題提示】(1)可直接令n=1.用n表示出Sn,利用an=Sn-Sn-1 (n2).(3)先對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行放縮再裂項(xiàng)相消整理求和解析】(1)令 n=1,則 Si=ai,S,i a2(a2 i)an(an i) 36. (20i4浙江高考理科)(本題滿分i4分)已知數(shù)列'和匕滿足aia2K二2門小 若備為等比數(shù)列，且ai 2, 6 b2.-(12+1-3)S 1-3(1 2+1)=0,即 a,2+ai-6=0, 解得ai =2或ai=-3(舍去).(2

10、) Sn2-(n2+ n-3)S n-3(n 2+n)=0可以整理為(Sn+3)S n-(n2+n)=0,因?yàn)閿?shù)列an中an>0,所以Sn去3,只有Sn=n 2+n.當(dāng) n時(shí),an=S n-Sn-i =n 2+n-(n-i) 2-(n-i)=2n,而ai=2,所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n(n N*).(3)因?yàn)閍n(ai) 2n(2n - i) 4irn(n )2iiT(n )(n i )44i= iii=- i(n )(n，i ) n n，i 4444iii所以+ + + ai(ai i) a?© i) an(an -1)2Vi i i - <故對(duì)一切正整數(shù)3 4

11、n 33(1 )求 與 bn ；1 1Cn = 丁_才(n匕 N*)比s(2)設(shè)an bn，記數(shù)列G叩勺前n項(xiàng)和為Sn. 求Sn; 求正整數(shù)k ,使得對(duì)任意n N ,均有Sk 一 Sn.ai a2 a3 - a =(J2)bn廠 b_b廠 6解析】(1)由題意，d-b"6知比十2)32十2) =8又由a1 =2，得公比q = 2( q八2舍去)，所以數(shù)列 曲的通項(xiàng)a2(N)n(n 1)所以a1a2a3an=2 2二汽，所以數(shù)列 呻的通項(xiàng)bniW + UE N )11111 * 1 1G = (_=)(n N )sn=丄-丄*(2)由(1 )知an d 2 n n，所以 n 1 2n

12、(n，N)c= 1 嚴(yán) fn(n 1)IL 2因?yàn)?e =°， C2>0,q>0心>0 ；當(dāng) n>5時(shí)，n n(n +1) 2n n(n 1) (n 1)(n 2) (n 1)( n-2)n n1 n1 >0而 222得 22n 12n 1n(n 1)三 5(5 1)nRI25所以，當(dāng)n5時(shí)，5V 0 綜上，對(duì)任意n N*恒有S4> Sn，故k =4.17.(2014上海咼考理科 T23)已知數(shù)列a n滿足an-an計(jì)-3a n,nN*, a1.3(1 )若a2 = 2,a3二X,印=9，求X的取值范圍；1(2 )若an是公比為 q 等比數(shù)列，S=

13、aa2llan，- SS.存3Sn，N*,求 q3的取值范圍；(3)若印衛(wèi)2,11|忌成等差數(shù)列，且a! a| a 1000，求正整數(shù)k的最大值，以及k取最大值時(shí)相應(yīng)數(shù)列ana?,川,ak的公差解題指南】11(1根據(jù)- a2乞a3巴3a2,-a3乞勺巴3a4可求得x的范圍.(2)需對(duì)q分類討論，若q=1,33易得符合題意，若q=1時(shí)，再通過(guò)放縮法解不等式組即得結(jié)論.(3).當(dāng)k=1000,1 2d=0是一組解，故kmax -1000,根據(jù)-an空an.1乞3an,可得d,然后根據(jù)432k -1a2ak =1000,得到關(guān)于d的關(guān)系式，而d 得到關(guān)于k的不等式，2k1解此不等式即得解析】、12(

14、1) 依題意,a2 < a3 < 3a2,x 乞 6;1又aa4 < 3a4, 3空x乞27;綜上可得;3< x乞6;31 i(2) 由 已知得，a =qn 二又aEa2 乞 3a,q 豈 3331n、當(dāng)q=1 時(shí)，sn=n，耳 j _3»，即卩n 1_3n,成立.33qn -1 1.1 qn -1 qn+1 -1 _q1當(dāng)時(shí)，二百，手7八3Sn,即3百亠百 丄學(xué)豈3,此不等式即卻忙2-。3qn -1qn1-3qn 2 乞0:q a1,故3qn斗qn -2=qn(3q-1)-2>2q n -2>0對(duì)于不等式qn 1 - 3qn+2乞0,令n = 1

15、得q2 - 3q 2乞0,解得1 “乞2 又當(dāng)1 ：q空2時(shí)，q-3 ：0.qn1 -3qn+2 =qn(q-3) 2 g(q-3) 2 = (q-1)(q-2)乞 0成立1 ： q 乞 2當(dāng)*斗1時(shí)，沁即31 -q 331-q1-q 1-q此不等式即3qn/_q?0lqn*-3qn+203q -1 0,q -3 ： 03qn 1-qn-2=qn(3q-1)-2<2qn-2 ：0qn1 -3qn+2 二qn(q-3) 2q(q-3) 2 =(q-1)(q-2) 01X叮時(shí)，不等式恒成立3綜上，q的取值范圍為1 g乞23 設(shè)公差為d,顯然，當(dāng)k=1000,d=0時(shí)，是一組符合題意的解，故k

16、max 1000 則由已知得1+(；-2)d 乞 1 (k-1)d "(1 (k-2)d)(2k - 1)d 一 -2(2k -5)d - -22 2當(dāng)k-1000寸，不等式即d,d 2k12k 52k -1k(k 一1)da1 a2ak = k10002.k _1000時(shí)，d = 2000 _2k 2k(k-1)2k-1解得 1000-. 999000 Ek 乞1000.999000.k <1999.k的最大值為1999,此時(shí)公差d = 2000心1998k(k-1)1999 如99819998.(2014江西高考文科 T17)已知數(shù)列的前 n項(xiàng)和Sn=,n N*.(1) 求

17、數(shù)列的通項(xiàng)公式.證明：對(duì)任意的n>1,都有m N*,使得a1,an,am成等比數(shù)列.解題指南】(1)利用an=Sn-Sn-1(n >2)解決.(2) a 1 ,an,am成等比數(shù)列,轉(zhuǎn)化為=a 1 am.解析】(1)當(dāng) n=1 時(shí) a1=S 1=1;當(dāng) n >2 時(shí) an=S n-Sn-1 =-=3n-2,對(duì) n=1 也滿足，所以的通項(xiàng)公式為an=3 n-2;證明：由(1)得a1=1,a n =3n-2,a m =3m-2,要使a1,an,am成等比數(shù)列,需要=a 1 am,所以(3n-2) 2=3m-2,整理得 m=3n 2-4n+2 N*所以對(duì)任意 n>1,都有 m

18、 N*使得=a 1 am 成立，即a1,an,am成等比數(shù)列.19(2014上海高考文科T23 )已知數(shù)列an滿足a.乞anv，an,n，N*,a1.3(2) 若a2 =2,a3 =x, a4 =9 ,求x的取值范圍；1(3) 若an是等比數(shù)列，且am,求正整數(shù) m的最小值，以及m取最小值時(shí)相1000應(yīng)an的公比；(3)若a-1,a2 J11, a100成等差數(shù)列,求數(shù)列a1,a2,IH,ai00的公差的取值范圍.解題指南】11 1(1)根據(jù)- a?遼a3遼3a2, - a3遼a4遼3a4可求得x的范圍.(2)根據(jù)一印遼a2遼3可把q的范圍求出，333再根據(jù)通項(xiàng)將m用 q表示出來(lái)，用放縮法求解

19、 .(3).根據(jù)-aan i3an,可得公差d的關(guān)系式, 3對(duì)n分類討論可得.解析】、 1 2(1)依題意，-a2 -a3 -3a2," x _6;3 31又a3 _a4 3®, 3_x_27;綜上可得;3_x_6;311(2)設(shè)公比為q,由已知得，an =qn,又-aEa2乞3®,q乞333故am=qmJ= < q < 1100031 : 7.28 lg1 皿y313)10予13m =1 - logq1000 = 111logwooqlgq1 1-m的最小值為8,故q7- , q=(10001000'乞1(n-1)d 乞3(1(n-2)d),

20、設(shè)公差為d,由已知可得1+ (;2)d» 亠口(2 n1)d2其中2空n <100即i(2n -5)-22令n =2得_d乞232當(dāng)3< n豈100時(shí)，不等式即d -22n-1" 一 一2n-52 2d -200-1199綜上，公差d的取值范圍為,2 .19910.( 2014山東高考理科-H9)已知等差數(shù)列an的公差為2,前n項(xiàng)和為Sn ,且S,S2,S4成等比數(shù)列.(I)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(n)令bn =(-1嚴(yán)4 ,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.an an 羊解題指南】(1)先設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng).然后根據(jù)已知條件可列方程組求得數(shù)列an 的通項(xiàng)公式.(2)利

21、用裂項(xiàng)求和法求解，注意本題是將數(shù)列in裂成兩項(xiàng)之和，然后再分奇數(shù)和偶數(shù)來(lái)求數(shù)列 £n 的前n項(xiàng)和.解析】()d = 2,3 二aS = 2ai dQ = 4印 6d,S1.S2.S4 成等比.M =SiS4解得 a-i =1 an=2n-1(II)bn 十 1)n出十"JJ)11111111當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn =(1-)-(-)(-)：；： (- 一 )_()335572n32n1 2n 12n+12nanan 卅2n1 2n+1所以Tn h-2n+1 2n+1111111111當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn -(1 -) -(- -) (- -(-一)(- 一)33 55 72n3

22、2n12n 1 2n+1所以Tn_1 2n+2一 1亠2n+12n+1上匚,n為偶數(shù)所以Tn,n為奇數(shù)2n +12n 111.( 2014山東高考文科衛(wèi)9 )在等差數(shù)列訂中，已知d = 2，a2是a-與a°等比中項(xiàng)(I)求數(shù)列豪的通項(xiàng)公式；n(n)設(shè)勺叩十)記T = -b +鳥(niǎo)-匕3 + 11 I十(T 0，求人.2解題指南】(1)先設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng).然后根據(jù)已知條件可列方程組求得數(shù)列an冷勺通項(xiàng)公式.(2)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來(lái)討論求數(shù)列的和.解析】：(I)由題意知：a 為等差數(shù)列,設(shè)an =a n1d，: a?為印與的等比中項(xiàng)2t2.a? =ai a4且 ai = 0 ,即 ai

23、dai ai 3d，: d = 2 解得：ai =2.an = 2 (n -i) 2 = 2n(U)由(I)知：an =2 n , bn 二 an(ni)= n(ni)2當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)：£ = (1乂2)+(2乂3)_(3><4)十+n(n +1)= 2(-1 +3 )+4(-3 +5 )十+nL(n _ 1)+(n +1 卩=2 x2+4 疋2+6 疋2+ +n=<2=2江(2+4+6十+n )(2 + n)n2=2丿2j+2n2 2當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)：Tn =_(1工2)+(2工3)_(3><4)+八 _n(n +1)= 2(_1 +3 )+4(_3 +5

24、h+(n _1 L(n _2 )+ n _n(n +1 )= 22+4沢2+6漢2+(n_ 1><2_ n(n +1 )=2漢 b+4+6+(n_1)】_n(n +1 )(2 + n _1 )2cn +2n +1=2Kn(n 1 )=2 2* 2-n十2"1, n為奇數(shù)綜上：J 2 2|n十2n,n為偶數(shù)I 2i2.(20i4江西高考理科Ti7)已知首項(xiàng)都是i的兩個(gè)數(shù)列ajbn(bn 0,n N*),滿足anb n+i -a n+i bn+2b n+i bn=0.(i)令Cn = ,求數(shù)列Cn的通項(xiàng)公式.若bn=3 n+i，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.解題指南】(1)將等式

25、兩端同時(shí)除以 bnbn+1即可求解Sn .(2)由(1)及bn=3 n+1可得數(shù)列an的通項(xiàng)公式，分析通項(xiàng)公式的特征利用錯(cuò)位相減法求解析1(1)因?yàn)閎nO,所以由anb n+1 -an+1 bn+2b n+1 bn=O,得-+2=0,即-=2,所以Cn+1 -Cn=2,所以Cn是以C1=1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列，所以 Cn=1+(n-1) X2=2n-1.因?yàn)?bn=3 n+1 ,Cn=2n-1.所以 an =c nbn =(2n-1)3 n+1 .所以 Sn=1 X32+3 X33+5 X34+ -+(2n-1)3 n+1 ,3Sn=1 X33+3 X34+(2n-3)3 n+1 +(2

26、n-1)3 n+2 ,作差得:-2Sn=3 2+2(3 3+34+ -+3 n+1 )-(2n-1)3 n+2=9+2 X-(2n-1)3 n+2=-18+2(n-1)3 n+2 ,所以 Sn=9+(n-1)3 n+2.13. (2014 安徽高考文科TT8 )數(shù)列an滿足務(wù)=1,na. 1 = (n 1)an n(n 1),n(1)證明：數(shù)列色是等差數(shù)列；n(2 )設(shè) bn = M ,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn解題提示1利用等差數(shù)列的定義、錯(cuò)位相消法分別求解。為公差的解析1(1)由已知可得 旦巴=弘+1? 也 色=1,所以色是以1為首項(xiàng)，1 n+1 nn+1 nn等差數(shù)列。(2)由(1) 得

27、電=1+ (n-1 ) =n ,所以 an= n2，從而 bn = n.3n ,nSn = 1.31+2.32+3.33+.+n.3 n3Sn =1.32+2.33+3.34 + . +(n-1)3 n+n.3 n+1將以上兩式聯(lián)立可得-2Sn = 31+32+33+.+3n-n.3 n+1二 3. 3)- n.3 n+1 -( 1-2n).3 - 31-3所以-1）.尹+314. （2014新課標(biāo)全國(guó)卷 U高考理科數(shù)學(xué)T17）（本小題滿分12分）已知數(shù)列界 滿足a1 =1,a n+1 =3a n+1.（1）證明an '2是等比數(shù)列并求曲的通項(xiàng)公式- (2)證明：丄 + + +丄 &l

28、t;3a1a2an2解題提示】（1）將an+1 =3a n + 1進(jìn)行配湊，得1an+1 +丄”與21an+2 ”的關(guān)系得證,然后求得an的通項(xiàng)公式.1（2）求得-的通項(xiàng)公式，然后證得不等式.解析】(1)因?yàn)?a1 =1,a n+1 =3a n+1,n N .所以an+1 + 1 =3an+1 +21 12=3 an 7所以 1 1an -丄是首項(xiàng)為213a1 + 2=2,公比為3的等比數(shù)列-所以an +所以an=1(2) a2n .3 -1r1,n>1an2 1<nn3 -13 -1所以丄+印1+a2+ <1 +an1?+313n41所以，-+印15.（ 2014四川高考理

29、科 衛(wèi)9 ）丄+ 丄 < ?.n N*.a2an2設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，點(diǎn)（an,bn）在函數(shù)f (x) =2x的圖象上 (n N )(1) 若印=-2，點(diǎn)©了)在函數(shù)f (x)的圖象上,求數(shù)列 ®的前n項(xiàng)和Sn;(2) 若印=1 ,函數(shù)f (x)的圖象在點(diǎn)(a2,b2)處的切線在x軸上的截距為2丄,求數(shù)列的前nIn 2項(xiàng)和Tn.解題提示】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念，等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力解析】(1)點(diǎn)(an,bn)在函數(shù)f(X)=2的圖象上，所以bn=2an，又等差數(shù)列©的公差為d，

30、所以乩二 2一 = 2an 2 = 2d，bn2an因?yàn)辄c(diǎn)(a8,4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上，所以4by =2a8，所以2d二鳥(niǎo)=4= d = 2，b7又印=-2，所以 Sn = na衛(wèi) d = -2n n2 - n = n2 - 3n .2(2)由 f (x) =2x= f (x) =2xln 2 函數(shù)f (x)的圖象在點(diǎn) ©b)處的切線方程為 y_b2=(2a2| n2)(x-a2) 所以切線在x軸上的截距為a?-丄，從而a2-丄，故a2In 2In 2 In 2從而an = n， bn =2n，色=斗bn 2nT =1+2+2+川+JL，n 22223 山 2n1 T 1 2 3n-Tn 2 4nr2 22 23 242n 1所以It =丄+丄+丄+川一 =1-1 =1”2 n 2 2s 藝 藝 2 2出2“ 2曲2卅故 Tn =2 - 2nn +216.( 2