光波導(dǎo)技術(shù) 第一章

1、第一章第一章 平面介質(zhì)光波導(dǎo)平面介質(zhì)光波導(dǎo) 平面介質(zhì)光波導(dǎo)概述平面介質(zhì)光波導(dǎo)概述 平板光波導(dǎo)的分析方法 射線光學(xué)法 波動(dòng)方程法 條形光波導(dǎo)的分析方法 馬卡梯里法 等效折射率法 數(shù)值方法 12 1870年，英國(guó)物理學(xué)家丁達(dá)爾演示太陽(yáng)光隨著水流發(fā)生彎曲；年，英國(guó)物理學(xué)家丁達(dá)爾演示太陽(yáng)光隨著水流發(fā)生彎曲； n水水 n空氣空氣，光發(fā)生全反射；，光發(fā)生全反射；平面介質(zhì)光波導(dǎo)的發(fā)展歷史：光纖的雛形光纖的雛形1955年，英國(guó)倫敦學(xué)院卡帕尼博士將此用于實(shí)際，發(fā)明了玻年，英國(guó)倫敦學(xué)院卡帕尼博士將此用于實(shí)際，發(fā)明了玻 璃光導(dǎo)纖維：芯層璃光導(dǎo)纖維：芯層+包層包層 (n芯層芯層n包層包層) 光纖光纖光纖的發(fā)展光纖的發(fā)

2、展“Father of Fiber Optic Communications” Charles Kuen Kao 高錕K. C. Kao, G. A. Hockham (1966), Dielectric-fibre surface waveguides for optical frequencies”, Proc. IEEE 113 (7): 11511158.2009 Nobel Prize winner “for groundbreaking achievements concerning the transmission of light in fibers for optical c

3、ommunication”3光纖的發(fā)展光纖的發(fā)展 1966年，高錕和霍克哈姆發(fā)表的年，高錕和霍克哈姆發(fā)表的用于光頻的光纖表面波導(dǎo)用于光頻的光纖表面波導(dǎo)奠定奠定了現(xiàn)代光通信的基礎(chǔ)。高錕被尊為光纖之父了現(xiàn)代光通信的基礎(chǔ)。高錕被尊為光纖之父。 1970年，美國(guó)康寧公司制出對(duì)年，美國(guó)康寧公司制出對(duì)0.6328 m波長(zhǎng)的損耗為波長(zhǎng)的損耗為20dB/km的的石英光纖，從此介質(zhì)波導(dǎo)在光纖通信、傳感等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)石英光纖，從此介質(zhì)波導(dǎo)在光纖通信、傳感等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。用。 之后爆炸性發(fā)展，從光纖損耗看之后爆炸性發(fā)展，從光纖損耗看 1970年，年，20dB/km 1972年，年，4dB/km 197

4、4年，年，1.1dB/km 1976年，年，0.5dB/km 1979年，年，0.2dB/km 1990年，年，0.14dB/km接近石英光纖的理論損耗接近石英光纖的理論損耗 0.1 dB/km短短幾十年之內(nèi)，全世界鋪設(shè)的光纖總長(zhǎng)度已超過10億億公里，足以繞地球赤道2.5萬(wàn)萬(wàn)次41969, S. E. Miller 提出了集成光學(xué)集成光學(xué)(Integrated Optics)的概念, 核心：平面光波導(dǎo)核心：平面光波導(dǎo)平面光波導(dǎo)型器件平面光波導(dǎo)型器件56平面光波導(dǎo)型器件平面光波導(dǎo)型器件7在波導(dǎo)的包層中仍然存在光波的傳輸（倏逝波），但由于波導(dǎo)的限制作用，在波導(dǎo)的包層中仍然存在光波的傳輸（倏逝波），

5、但由于波導(dǎo)的限制作用，光束不會(huì)像在自由空間中那樣發(fā)散光束不會(huì)像在自由空間中那樣發(fā)散光波的傳輸光波的傳輸光纖的折射率分布光纖的折射率分布單模光纖單模光纖(Single-mode Fiber)：一般光纖跳纖用黃色表示，接頭和保護(hù)套為藍(lán)色；傳輸距離較長(zhǎng)。：一般光纖跳纖用黃色表示，接頭和保護(hù)套為藍(lán)色；傳輸距離較長(zhǎng)。多模光纖多模光纖(Multi-mode Fiber)：一般光纖跳纖用橙色表示，也有的用灰色表示，接頭和保護(hù)套用米色或者黑色；：一般光纖跳纖用橙色表示，也有的用灰色表示，接頭和保護(hù)套用米色或者黑色；傳輸距離較短。傳輸距離較短。50/125m 62.5/125m8光波導(dǎo)中用到的材料光波導(dǎo)中用到的

6、材料光波導(dǎo)所用的材料：具有一定的折射率，一般比襯底折射率高傳輸損耗滿足一定條件應(yīng)具有多種功能，工藝上便于成膜和器件制作與集成在外界各種環(huán)境下具有長(zhǎng)期穩(wěn)定工作的性能9光波導(dǎo)材料光波導(dǎo)材料Si substrateCore-SiO2:Ge10光波導(dǎo)折射率分布光波導(dǎo)折射率分布 折射率突變型（階躍型） SiO2，SOI， InP， Polymer SiO2:Ge SiO2 Si substrate n=1.47 n=1.46 11漸變折射率波導(dǎo)漸變折射率波導(dǎo) 漸變折射率光波導(dǎo) Ti擴(kuò)散LiNbO3波導(dǎo)，K+離子交換玻璃波導(dǎo)12漸變折射率波導(dǎo)漸變折射率波導(dǎo)其中n0為基片折射率，n為擴(kuò)散引起的最大折射率變化

7、，w為擴(kuò)散源的橫向?qū)挾?，hx、hy分別為橫向、高度方向的擴(kuò)散深度0( , ) ( ) ( )n x ynn g x f y xxhxwhxwxg2/erf2/erf21)()/exp()(22yhyyf首先在鈮酸鋰基體上用蒸發(fā)沉積或?yàn)R射沉積的方法鍍上鈦膜，然后進(jìn)行光刻，首先在鈮酸鋰基體上用蒸發(fā)沉積或?yàn)R射沉積的方法鍍上鈦膜，然后進(jìn)行光刻，形成所需要的光波導(dǎo)圖形，再進(jìn)行擴(kuò)散。可以采用外擴(kuò)散、內(nèi)擴(kuò)散、質(zhì)子交換形成所需要的光波導(dǎo)圖形，再進(jìn)行擴(kuò)散?？梢圆捎猛鈹U(kuò)散、內(nèi)擴(kuò)散、質(zhì)子交換和離子注入等方法來實(shí)現(xiàn)。和離子注入等方法來實(shí)現(xiàn)。其中其中13第一章第一章 平面介質(zhì)光波導(dǎo)平面介質(zhì)光波導(dǎo) 平面介質(zhì)光波導(dǎo)概述 平

8、板光波導(dǎo)的分析方法 射線光學(xué)法 波動(dòng)方程法 條形光波導(dǎo)的分析方法 馬卡梯里法 等效折射率法 數(shù)值方法 14光速光速 c = 3 108 m/s波長(zhǎng)：波長(zhǎng)： = c/v當(dāng)光在媒介中傳播時(shí)，速度當(dāng)光在媒介中傳播時(shí)，速度cn = c/n常見物質(zhì)的折射率：空氣常見物質(zhì)的折射率：空氣 1.00027；水水 1.33；玻璃玻璃 (SiO2) 1.47；鉆石鉆石 2.42；硅硅 3.5折射率大的媒介稱為光密媒介，反之稱為光疏媒介折射率大的媒介稱為光密媒介，反之稱為光疏媒介光在不同的介質(zhì)中傳輸速度不同光在不同的介質(zhì)中傳輸速度不同基本的光學(xué)定律和定義基本的光學(xué)定律和定義1516單色平面波的復(fù)數(shù)表達(dá)式單色平面波的

9、復(fù)數(shù)表達(dá)式 單色平面波單色平面波是指電場(chǎng)強(qiáng)度是指電場(chǎng)強(qiáng)度E和磁場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度H都以單一都以單一頻率隨時(shí)間作正弦變化（簡(jiǎn)諧振動(dòng)）而傳播的波。頻率隨時(shí)間作正弦變化（簡(jiǎn)諧振動(dòng)）而傳播的波。 在任意方向上傳播的平面電磁波的復(fù)數(shù)表達(dá)式為：在任意方向上傳播的平面電磁波的復(fù)數(shù)表達(dá)式為：00( , )exp()E r tEi krt 式中，式中，0為初相位，為初相位， k 為矢量為矢量(簡(jiǎn)稱波矢簡(jiǎn)稱波矢)， k 的方向即表示的方向即表示波的傳播方向，波的傳播方向，k 的大小，表示波在介質(zhì)中的波數(shù)。上式中，指數(shù)的大小，表示波在介質(zhì)中的波數(shù)。上式中，指數(shù)前取正或負(fù)是無關(guān)緊要的，按我們的表示法，指數(shù)上的正相位代前

10、取正或負(fù)是無關(guān)緊要的，按我們的表示法，指數(shù)上的正相位代表相位落后，負(fù)相位代表相位超前。矢徑表相位落后，負(fù)相位代表相位超前。矢徑r 表示空間各點(diǎn)的位置，表示空間各點(diǎn)的位置，如圖所示。如圖所示。 光波在各向同性介質(zhì)中的傳播光波在各向同性介質(zhì)中的傳播17沿空間任意方向傳播的平面波沿空間任意方向傳播的平面波xyzrka ap(x,y,z)在均勻介質(zhì)中光沿直線傳播。在均勻介質(zhì)中光沿直線傳播。（在非均勻介質(zhì)中，光線向折射率大的方向彎曲）（在非均勻介質(zhì)中，光線向折射率大的方向彎曲）18E0-E0E0E0-E0E0E0E0-E0-E0波峰波峰波谷波谷kk單色平面波單色平面波0022 nkk n19單色平面波的

11、復(fù)數(shù)表達(dá)式單色平面波的復(fù)數(shù)表達(dá)式00( , )exp)E r tEi krt時(shí)空分離時(shí)空分離0( , )expexpexpE r tEik ri tE ri t 其中其中0( )expE rEik r 200expexpEEik ri t單色平面波復(fù)振幅的復(fù)數(shù)表達(dá)式單色平面波復(fù)振幅的復(fù)數(shù)表達(dá)式 令初相位令初相位00，上式可寫為：，上式可寫為：zyxzyxzzyyxxzeyexereeekekekekk且)coscos(cos00expexpcoscoscosxyzEEi k xk yk zEik xyz傳播方向與傳播方向與z方向一致時(shí)方向一致時(shí)1cos0cos0coscosxkk.8 . 3)

12、exp(00ikzeEEikzEE平板光波導(dǎo)平板光波導(dǎo) 平板波導(dǎo)通常由三層介質(zhì)組成 導(dǎo)波層：中間層，介質(zhì)折射率n1最大 覆蓋層：上包層，折射率n3 n1 襯底層: 下包層，折射率n2 qcCritical AngleTIREvanescent WaveqoIncident LightReflected LightRefracted Lightn1n2icqqR1icqq|R|=128 1、當(dāng)、當(dāng)i q qc c時(shí)時(shí)，這時(shí)，這時(shí)r q qc c時(shí)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生全反射現(xiàn)象。，會(huì)產(chǎn)生全反射現(xiàn)象。)sin(cos)sin(cos/21i22122i121i22122i1TEnnnnnnrq q q qq

13、q q q TEajbrajbsinq qi sin q qc = n2/n1, r為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù), 且且 rsinq qc = n2/n1, n1sinq qin2 ，r為復(fù)數(shù)。為復(fù)數(shù)。n1sinq qi n2 , 2jjjreere2 jrTEiEreE在界面上反射光相對(duì)于入射光會(huì)產(chǎn)生一相移在界面上反射光相對(duì)于入射光會(huì)產(chǎn)生一相移-2 )ab(tg1 全反射的相移全反射的相移292221/2221212(sin)() sin1iinnnjnqq 在實(shí)際應(yīng)用中，取在實(shí)際應(yīng)用中，取+j才有合理結(jié)果（這時(shí)包層及襯底的電磁場(chǎng)沿才有合理結(jié)果（這時(shí)包層及襯底的電磁場(chǎng)沿x軸方向向外作軸方向向外作指數(shù)衰減），

14、則反射系數(shù)可表示成指數(shù)衰減），則反射系數(shù)可表示成221212221212cos(/) sin1cos(/) sin1iiTEiinjnnnrnjnnnqqqq取取 2221sin(/)arctancosiTEinnqq1nn221i2 q q)/(sin22212221cossin(/)cossin(/)iiiijnnjnnqqqq2TEjTEre全反射的相移全反射的相移30)sin(cos)sin(cos/21i22122i121i22122i1TEnnnnnnrq q q qq q q q 2212cos1 (/) sintinnqqq q1全反射中光電場(chǎng)的垂直分量相移全反射中光電場(chǎng)的垂直

15、分量相移(d dN= 2 TE)和平行分量相移和平行分量相移(d dN= 2 TM)空氣與玻璃界面空氣與玻璃界面n = n1/n2 q q148偏振態(tài)按光平面分解偏振態(tài)按光平面分解垂直分量垂直分量水平分量水平分量 c = 48度度全反射的相移全反射的相移3132平板波導(dǎo)的色散方程平板波導(dǎo)的色散方程 式中m 是整數(shù)，代表不同的模式, 真空中波矢 要維持光波在導(dǎo)波層內(nèi)傳播，必須使光波在導(dǎo)波層上、下界面之間往返一次的總相移為總相移為2的整數(shù)倍的整數(shù)倍。上、下截面全發(fā)射相移分別為13、 12 ，則可得到平板波導(dǎo)的模方程： 1012132ncos2k tmqck20 z x t=2a A C B 入射波

16、陣面 二次反射波陣面 一次反射波陣面 n3 n2 n1 平板波導(dǎo)的色散方程平板波導(dǎo)的色散方程 對(duì)于TE波，全反射相移為1/222211212221sin2tancosnnnqq1/222211313221sin2tancosnnnqq1/21/22222221113121 0222211sinsinncostantancoscosnnnnk tmnnqqqqq1/2222211121222221sin2tancosnnnnnqq1/2222211311322231sin2tancosnnnnnqq 對(duì)于TM波，全反射相移為1/21/222222222111311211 02222222131s

17、insinncostantancoscosnnnnnnk tmnnnnqqqqq33設(shè)平面波在折射率為設(shè)平面波在折射率為n1的介質(zhì)中的波矢量為的介質(zhì)中的波矢量為k1k1x = n1k0cosq qi式中式中k0為平面波在真空中的波矢的大小為平面波在真空中的波矢的大小k1z = n1k0sinq qik1 在在x方向和方向和z方向的分量為：方向的分量為：定義定義傳播常數(shù)傳播常數(shù) ： =n1k0sinq qi=k1z定義定義有效折射率有效折射率neff: neff= /k0= n1sinq qi q qin1n2n3xzdO k1q qi q qi導(dǎo)波存在條件導(dǎo)波存在條件： k2 k1 n2 ne

18、ff n1傳播常數(shù)、模式傳播常數(shù)、模式34光波導(dǎo)的模式光波導(dǎo)的模式光線在上、下兩個(gè)界面的全反射臨界角分別為:c13=arcsin(n3/n1)c12=arcsin(n2/n1) 35第一章第一章 平面介質(zhì)光波導(dǎo)平面介質(zhì)光波導(dǎo) 平面介質(zhì)光波導(dǎo)概述 平板光波導(dǎo)的分析方法 射線光學(xué)法 波動(dòng)方程法 條形光波導(dǎo)的分析方法 馬卡梯里法 等效折射率法 數(shù)值方法 36麥克斯韋方程麥克斯韋方程 從麥克斯韋方程，建立光波在介質(zhì)波導(dǎo)中的電磁從麥克斯韋方程，建立光波在介質(zhì)波導(dǎo)中的電磁場(chǎng)分布方程（波動(dòng)方程），結(jié)合邊界條件導(dǎo)出傳場(chǎng)分布方程（波動(dòng)方程），結(jié)合邊界條件導(dǎo)出傳播模式的特征方程，進(jìn)而討論介質(zhì)波導(dǎo)中光傳播播模式的特

19、征方程，進(jìn)而討論介質(zhì)波導(dǎo)中光傳播的特性。的特性。0EHiHEi 時(shí)諧電磁場(chǎng)的麥克斯韋方程組 37波動(dòng)方程波動(dòng)方程 將矢量各分量展開，得： 000EEHEEHEEHyzxxzyyxziyzizxixyHHEHHEHHEyzxxzyyxziyzizxixy 并且考慮到y(tǒng)方向是均勻的，即0y 設(shè)波沿著z方向傳播，則沿z方向場(chǎng)的變化可用一個(gè)傳輸因子exp(iz)來表示 00yxyzzxyEHEiHxHi HiEx 0yxyzzxyHEHiExEi EiHxTE模模(橫電模橫電模)TM模模(橫磁模橫磁模) z x t=2a A C 入射波陣面 二次反射波陣面 一次反射波陣面 n3 n2 n1 38波動(dòng)方

20、程（波動(dòng)方程（TE模）模） 00yxyzzxyEHEiHxHi HiEx 2222020yyEk nEx22220320yyEk nEx22220120yyEk nEx22220220yyEk nExxn1n3n2yz包層包層薄膜層薄膜層襯底襯底0k c001c 0n39波動(dòng)方程的解波動(dòng)方程的解上式為波動(dòng)方程，也叫做Helmholtz方程，他的通解可表示為：22220120yyEk nEx121121cossincosexpexpexpyTTTTTTEak xak xak xajk xajk xaj k x其中 ，通常個(gè)成為橫向波矢。a1, a2, 為待定系數(shù)。22201Tkk n40波動(dòng)方程

21、的解（場(chǎng)分布）波動(dòng)方程的解（場(chǎng)分布）33122exp() cladding( )cos() core exp() substrateyxExa xaExEk x axaExa xa 2222303k n2222202k n222201xkk n010302max(,)k nk n k n根據(jù)物理意義可以預(yù)見在導(dǎo)波層內(nèi)是駐波解，可用余弦函數(shù)表示，而在覆蓋層、襯底層中是倏逝波，應(yīng)是衰減解，用指數(shù)函數(shù)表示。 導(dǎo)模存在條件導(dǎo)模存在條件：kx、a3、a2均應(yīng)為實(shí)數(shù)，故須滿足 與射線法結(jié)果一致與射線法結(jié)果一致41邊界條件邊界條件邊界條件為：邊界處切向Ey分量連續(xù)，切向分量Hz也連續(xù)，由 知 連續(xù) 0yzE

22、iHxxEy(1) x= -a處，12cos()xEk aE1222sin()|exp()|xxxaxak Ek xExa122(sin()xxk Ek aE2tan()xxk ak z x t=2a A C 入射波陣面 二次反射波陣面 一次反射波陣面 n3 n2 n1 33122exp() ( )cos() exp() yxExa xaExEk x axaExa xa 42邊界條件邊界條件(2) x=a處，13cos()xEk aE1333sin()|exp()|xxx ax ak Ek xExa 133(sin()xxk Ek aE3tan()xxk ak z x t=2a A C 入射波

23、陣面 二次反射波陣面 一次反射波陣面 n3 n2 n1 33122exp() ( )cos() exp() yxExa xaExEk x axaExa xa 43特征方程（本征值方程）3tan()xxk ak11322tan ()tan ()xxxk amkkTE模模關(guān)于關(guān)于 的函數(shù)的函數(shù) z x t=2a A C 入射波陣面 二次反射波陣面 一次反射波陣面 n3 n2 n1 33122exp() ( )cos() exp() yxExa xaExEk x axaExa xa 2tan()xxk ak44TE模的特征方程：與射線法得到結(jié)果的一致：1012132ncos2k tmq11322ta

24、n ()tan ()xxxk amkk特征方程（本征值方程）特征方程（本征值方程）關(guān)于關(guān)于 的函數(shù)的函數(shù)關(guān)于關(guān)于q q的函數(shù)的函數(shù)TM模的特征方程：2211311222322tan ()tan ()xxxnnk amn kn k451012132ncos2k tmq11322tan ()tan ()xxxk amkk特征方程（本征值方程）特征方程（本征值方程） z x t=2a A C 入射波陣面 二次反射波陣面 一次反射波陣面 n3 n2 n1 k1 1/222211212221sin2tancosnnnqq1/222211313221sin2tancosnnnqq2222303k n222

25、2202k n222201xkk n1 1sinzn kkq1 1cosxkn kq傳播常數(shù)傳播常數(shù)橫向波矢橫向波矢46特征方程特征方程在這里，我們求解對(duì)稱波導(dǎo)的情況，n1=n211322tan ()tan ()xxxk amkk222201xkk n2222202k n222222012()()()xak ak ann(1)(2)考慮到：2tan2xxmak ak a47圖解法求解特征方程圖解法求解特征方程024681012024681012pt kxa () a () m=0 m=2 m=1 模式的階數(shù)：模式的階數(shù)：mm越大，越大，kx越大，越大， 越越小。小。222222012()()(

26、)xak ak ann2tan2xxmak ak a q qin1n2n3xzdO k1q qi q qi48圖解法求解特征方程圖解法求解特征方程024681012024681012pt kxa () a () m=0 m=2 m=1 模式數(shù)量模式數(shù)量22220122()k annM222222012()()()xak ak ann2tan2xxmak ak a向下取整49圖解法求解特征方程圖解法求解特征方程024681012024681012pt kxa () a () m=0 m=2 m=1 0階?？偸谴嬖陔A?？偸谴嬖?222012()2k ann222222012()()()xak ak

27、 ann2tan2xxmak ak a1階模存在條件階模存在條件:2222012()k ann2階模存在條件階模存在條件:.50圖解法求解特征方程圖解法求解特征方程024681012024681012pt kxa () a () m=0 m=2 m=1 單模條件單模條件22()()2xak a2222012()2k ann222222012()()()xak ak ann2tan2xxmak ak a51截止波長(zhǎng)截止波長(zhǎng) 對(duì)于對(duì)稱平板波導(dǎo)，TE0和TM0的截止波長(zhǎng)均為無限長(zhǎng)2212222322122arctanTEcdnnnnmnn截止波長(zhǎng)截止波長(zhǎng)2212222231223122arctanT

28、Mcdnnnnnmnnn52特征方程與色散曲線特征方程與色散曲線 特征方程中有特征方程中有4個(gè)參數(shù)（個(gè)參數(shù)（n1,n2,a, ），改變?nèi)魏我粋€(gè)結(jié)），改變?nèi)魏我粋€(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)都要對(duì)方程重新求解，不利于應(yīng)用。為此作歸一構(gòu)參數(shù)都要對(duì)方程重新求解，不利于應(yīng)用。為此作歸一化處理?；幚?。 傳播常數(shù)范圍：傳播常數(shù)范圍： 歸一化傳播常數(shù)：歸一化傳播常數(shù)： 波導(dǎo)參數(shù)波導(dǎo)參數(shù)V：2tan2xxmak ak a530201k nk n22022212/ knbnn10b22012Vk a nn（m = 0,1,2,-）波導(dǎo)參數(shù)一旦確定，對(duì)應(yīng)波導(dǎo)參數(shù)一旦確定，對(duì)應(yīng)模的數(shù)量就確定；模的數(shù)量就確定；m=0模的傳播常數(shù)最大，

29、模的傳播常數(shù)最大，隨著隨著m的增大，傳播常數(shù)的增大，傳播常數(shù)減?。粶p??；特征方程表示的是特征方程表示的是TE波波（ S波），習(xí)慣用模的階波），習(xí)慣用模的階數(shù)作為偏振光的下標(biāo)，如數(shù)作為偏振光的下標(biāo)，如TE0模，如模，如TE1模等。模等。特征方程特征方程541arctan121bmVbb當(dāng)給定當(dāng)給定V值后，波導(dǎo)中可能存在的值后，波導(dǎo)中可能存在的導(dǎo)波模數(shù)量就確定了；導(dǎo)波模數(shù)量就確定了；b=0稱為截止，從圖中可見，稱為截止，從圖中可見，TE1模的截止模的截止V值等于值等于 /2，如果，如果V值小值小于于 /2，則只有一個(gè)模，稱其為單，則只有一個(gè)模，稱其為單模區(qū)；模區(qū)；V值大于值大于TE1模的截止模的截

30、止V值，稱其值，稱其為多模區(qū)；為多模區(qū)；TM波的導(dǎo)波參數(shù)波的導(dǎo)波參數(shù)V與與TE波稍有不波稍有不同，如果相對(duì)折射率同，如果相對(duì)折射率 不到不到1%，則同階模的則同階模的V值可認(rèn)為相同。值可認(rèn)為相同。55色散曲線色散曲線2tan2xxmak ak a0nk c均勻空間平面波的色散曲線：三層對(duì)稱平板波導(dǎo)色散曲線：（一條直線）56平板波導(dǎo)模式分布平板波導(dǎo)模式分布33122exp() cladding( )cos() core exp() substrateyxExa xaExEk x axaExa xa 將特征方程的解，代入上式，并確定各個(gè)系數(shù)，求得Ey。而后根據(jù)右式，確定其余場(chǎng)分量。yzxzyxyE

31、ixHHiHixEHE0057平板波導(dǎo)模式分布平板波導(dǎo)模式分布58場(chǎng)在覆蓋層和襯底中是按指數(shù)函數(shù)衰減的，衰減的快慢分別由衰減系數(shù)2和3確定。平板波導(dǎo)模式分布平板波導(dǎo)模式分布2和3的值大，則場(chǎng)衰減快，穿透深度1/ 2和1/ 3就淺，說明場(chǎng)主要束縛在導(dǎo)波層中。反之， 2和3的值小，則場(chǎng)衰減慢，穿透深度就深，說明波導(dǎo)束縛場(chǎng)的能力差。 2和3的大小與覆蓋層、襯底的折射率有關(guān)，同時(shí)還與模序數(shù)m密切相關(guān)。由模式本征方程可以導(dǎo)出，m越大，則越小， 2和3也越小。這表明高階模的電磁場(chǎng)可延伸到導(dǎo)波層外的距離較遠(yuǎn)。59求傳播常數(shù)的順序求傳播常數(shù)的順序波導(dǎo)參數(shù)：波導(dǎo)參數(shù)：a,n1,n2V參數(shù)參數(shù)色散曲線色散曲線歸一

32、化傳播常數(shù)歸一化傳播常數(shù)b傳播常數(shù)傳播常數(shù) 電場(chǎng)分布電場(chǎng)分布群速度群速度色散色散波長(zhǎng)：波長(zhǎng)： 60導(dǎo)模和輻射模q qiCladdingCoreq qiSubstrateCladdingCoreSubstrate輻射模的特點(diǎn)：輻射模的特點(diǎn)：傳播常數(shù)連續(xù)。傳播常數(shù)連續(xù)。沿傳播方向有損耗。沿傳播方向有損耗。與導(dǎo)模一起組成一個(gè)與導(dǎo)模一起組成一個(gè)完備的正交函數(shù)集。完備的正交函數(shù)集。導(dǎo)模的特點(diǎn)：導(dǎo)模的特點(diǎn)：傳播常數(shù)取分立的值。傳播常數(shù)取分立的值。理論上沒有損耗。理論上沒有損耗。各個(gè)導(dǎo)模正交。各個(gè)導(dǎo)模正交。61 當(dāng)當(dāng)s=m, 為為1，其余為，其余為0()( ),2msyxs mmEEdxd, s md轉(zhuǎn)移矩

33、陣方法620EHiHEi 麥克斯韋方程：麥克斯韋方程：2220EEE=E =H=Ei 22E=E 均勻介質(zhì)波動(dòng)方程：均勻介質(zhì)波動(dòng)方程：2202220 .xxEk n Exyz 各區(qū)域內(nèi)都滿足波動(dòng)方程：各區(qū)域內(nèi)都滿足波動(dòng)方程： 區(qū)域與區(qū)域的邊界滿足邊界條件：區(qū)域與區(qū)域的邊界滿足邊界條件： 所有各層介質(zhì)中的所有各層介質(zhì)中的z方向傳播滿足方向傳播滿足: E(x,y,z)=Et(x,y)*exp(i z)轉(zhuǎn)移矩陣方法63模式的基本性質(zhì)：模式的基本性質(zhì)：2202220 xxEk n Exyzn1n2n3xzdO 電場(chǎng)電場(chǎng)E和磁場(chǎng)和磁場(chǎng)H的切向分量連續(xù)的切向分量連續(xù)轉(zhuǎn)移矩陣方法64n1n2n3xzdO 波

34、動(dòng)方程的解波動(dòng)方程的解(TE)：220222222020 yyyyEk n ExyzEk nEx上式為一元二階齊次微分方程，通解可寫成：上式為一元二階齊次微分方程，通解可寫成： 1122yExCxCx 1sinxxk x 2cosxxk x取特解：取特解：2220 xkk n 12sincosyxxExCk xCk x 12cossinyxxxxExC kk xC kk x轉(zhuǎn)移矩陣方法65n1n2n3xzdO 考慮考慮n1區(qū)域：區(qū)域： 12sincosyxxExCk xCk x 12cossinyxxxxExC kk xC kk x 20yEC 110yxEC k 1121sincosyxxE

35、dCk dCk d 111211cossinyxxxxEdC kk dC kk d上式可寫成矩陣形式：上式可寫成矩陣形式： 1111111cossin00sincosxxyyxyyxxxk dk dEdEkEdEkk dk d轉(zhuǎn)移矩陣方法66n1n2n3xzdO 100yyyyEdEMEdE11111111cossinsincosxxxxxxk dk dkMkk dk dM1是一個(gè)是一個(gè)2*2的矩陣，稱為的矩陣，稱為n1區(qū)域的轉(zhuǎn)移矩陣，區(qū)域的轉(zhuǎn)移矩陣，它描述了它描述了n1區(qū)域中在兩個(gè)分界面處的場(chǎng)的關(guān)系。區(qū)域中在兩個(gè)分界面處的場(chǎng)的關(guān)系。222101xkk n轉(zhuǎn)移矩陣方法67nN+1xzd1OnN

36、nN+2 考慮多層平板波導(dǎo)：考慮多層平板波導(dǎo)：n1dN-1dN 11100yyyyEdEMEdE21221yyyyEdEdMEdEd 1200.00yNyyNyNyyEdEEM MMMEdEE多層平板波導(dǎo)也可以用一個(gè)矩陣來表示最下面一多層平板波導(dǎo)也可以用一個(gè)矩陣來表示最下面一個(gè)界面的場(chǎng)與最上面一個(gè)界面的場(chǎng)的關(guān)系。個(gè)界面的場(chǎng)與最上面一個(gè)界面的場(chǎng)的關(guān)系。轉(zhuǎn)移矩陣方法68nN+1xzd1OnNnN+2 如何得到特征方程？如何得到特征方程？n1dN-1dN 00yNyyNyEdEMEdE12()exp() cladding( ) (0)exp 0 substrateyNNNNyyNE dxd xdEx

37、Ex x2222101NNk n2222202NNk n最上方和最下方兩個(gè)區(qū)域的最上方和最下方兩個(gè)區(qū)域的場(chǎng)可表示為：場(chǎng)可表示為：將上式代入轉(zhuǎn)移矩陣方程將上式代入轉(zhuǎn)移矩陣方程轉(zhuǎn)移矩陣方法69nN+1xzd1OnNnN+2 得到：得到：n1dN-1dN 12110yNyNNEdME兩邊同時(shí)乘以兩邊同時(shí)乘以11N12101NNM上式為多層平板波導(dǎo)特證方程，用于求解上式為多層平板波導(dǎo)特證方程，用于求解 。特征模的展開特征模的展開 任意電場(chǎng)分布的光波入射如何轉(zhuǎn)變成特征模？任意電場(chǎng)分布的光波入射如何轉(zhuǎn)變成特征模？ 處理方法：將任意電場(chǎng)分布展開，分解成不同特征模的處理方法：將任意電場(chǎng)分布展開，分解成不同特征

38、模的電磁場(chǎng)分布。電磁場(chǎng)分布。 數(shù)學(xué)上用正交函數(shù)展開，如傅立葉級(jí)數(shù)等，稱之為特征模展開；數(shù)學(xué)上用正交函數(shù)展開，如傅立葉級(jí)數(shù)等，稱之為特征模展開； 各導(dǎo)波模以相應(yīng)階數(shù)模的傳播常數(shù)傳播；各導(dǎo)波模以相應(yīng)階數(shù)模的傳播常數(shù)傳播； 隨著光的傳播，不同模之間的相位差將發(fā)生變化，導(dǎo)致導(dǎo)波模疊隨著光的傳播，不同模之間的相位差將發(fā)生變化，導(dǎo)致導(dǎo)波模疊加以后的電磁場(chǎng)分布也隨著傳播過程而變化，光束像蛇一樣反復(fù)加以后的電磁場(chǎng)分布也隨著傳播過程而變化，光束像蛇一樣反復(fù)蠕動(dòng)前進(jìn)。蠕動(dòng)前進(jìn)。()( , )( )exp ()mmmmE x tA Exjtz彎曲波導(dǎo)彎曲波導(dǎo) 彎曲波導(dǎo)-光路變換的重要單元彎曲波導(dǎo)模場(chǎng)分布彎曲波導(dǎo)模場(chǎng)

39、分布 y(m) x(m) -10-8-6-4-20246810-5-4-3-2-1012345wr =6m, R=10000m 彎曲波導(dǎo)的導(dǎo)模場(chǎng)分布偏向拐彎的外側(cè)彎曲波導(dǎo)的導(dǎo)模場(chǎng)分布偏向拐彎的外側(cè)彎曲波導(dǎo)彎曲波導(dǎo)一般來說，一般來說，彎曲損耗彎曲損耗 ：彎曲半徑彎曲半徑 。波長(zhǎng)波長(zhǎng) 。折射率差折射率差 。 角速度相同角速度相同 - 越往外的光場(chǎng)傳播速度越快越往外的光場(chǎng)傳播速度越快 有一部分光場(chǎng)有可能跟不上有一部分光場(chǎng)有可能跟不上-形成彎曲損耗。形成彎曲損耗。幾種折射率差的幾種折射率差的SiO2波導(dǎo)波導(dǎo)波導(dǎo)類型波導(dǎo)類型低低 中中 高高超高超高折射率差折射率差()0.250.450.751.5芯層尺寸芯層尺寸m8 88 86 67 7 4 45 5傳輸損耗傳輸損耗(dB/cm)n2=n3=n4=n5：b-v關(guān)系關(guān)系：馬卡梯里法和等效折射率法，均為近似方法，只在特定情況下比較準(zhǔn)確。馬卡梯里法和等效折射率法，均為近似方法，只在特定情況下比較準(zhǔn)確。第一章第一章 平面介質(zhì)光波導(dǎo)平面介質(zhì)光波導(dǎo) 平面介質(zhì)光波導(dǎo)概述 平板光波