固體物理復(fù)習(xí)題

1、1. 某邊長某邊長L的矩形金屬包含的矩形金屬包含N個(gè)自由電個(gè)自由電 子，求該二維自由電子氣的費(fèi)米能。子，求該二維自由電子氣的費(fèi)米能。2. 某長某長L的一維金屬線包含的一維金屬線包含N個(gè)自由電個(gè)自由電 子，求該一維自由電子氣的子，求該一維自由電子氣的費(fèi)米能費(fèi)米能。1. 某邊長某邊長L的矩形金屬包含的矩形金屬包含N個(gè)自由電個(gè)自由電 子，求該二維自由電子氣的子，求該二維自由電子氣的費(fèi)米能費(fèi)米能。 電子運(yùn)動(dòng)的能量：電子運(yùn)動(dòng)的能量： )(2222222yxkkmmkE 為電子波函數(shù)的波矢為電子波函數(shù)的波矢 ( 模式模式 ) 為波矢在為波矢在x,y方向的分量。方向的分量。kyxkk , 根據(jù)周期性邊界條件

2、，得：根據(jù)周期性邊界條件，得：xxnLk2yynLk2 為正、為正、負(fù)整數(shù)和零負(fù)整數(shù)和零yxnn , 在波矢空間中，每個(gè)許可狀態(tài)可在波矢空間中，每個(gè)許可狀態(tài)可用一個(gè)點(diǎn)來表示，這些點(diǎn)的坐標(biāo)為：用一個(gè)點(diǎn)來表示，這些點(diǎn)的坐標(biāo)為： xxnLk2yynLk2xkykL2L22)2()2()2(LLL波矢空間中每個(gè)狀態(tài)代表點(diǎn)所占面積：波矢空間中每個(gè)狀態(tài)代表點(diǎn)所占面積： 空間中單位面積內(nèi)代表點(diǎn)數(shù)空間中單位面積內(nèi)代表點(diǎn)數(shù)(狀態(tài)密度狀態(tài)密度)： k2)2(L 空間中，在空間中，在 面積元面積元 中所包含狀態(tài)數(shù)為：中所包含狀態(tài)數(shù)為： kkdkkyxdkdkkdkdL2)2( 每個(gè)狀態(tài)可容納每個(gè)狀態(tài)可容納2 2個(gè)自

3、旋方向相反的個(gè)自旋方向相反的電子，面積元電子，面積元 中所包含中所包含的電子數(shù)為的電子數(shù)為電子能量為電子能量為 yxdkdkkdkdSkdLdZC222)2(22222222yxkkmmkE 空間，自由電子能量等于某一定值的空間，自由電子能量等于某一定值的曲面為一圓，圓的半徑為：曲面為一圓，圓的半徑為：kmEk2能量介于能量介于E E+dE 的區(qū)域?qū)?yīng)于半徑的區(qū)域?qū)?yīng)于半徑為為 k k+dk 的弧，其面積為的弧，其面積為 kdk2半徑為半徑為 k k+dk 圓弧內(nèi)的電子數(shù)為：圓弧內(nèi)的電子數(shù)為：kdkSdZC222EdEmdk22利用利用mEk2，得：，得：單位能量間隔內(nèi)所能容納的電子數(shù)為：單位

4、能量間隔內(nèi)所能容納的電子數(shù)為： dEmSdZC2能級(jí)密度為：能級(jí)密度為： CmSdEdZC2 02002fdEmSfdEmSdZEfNCC002dEEfEEfmSC02dEEfEmSC直接引用下述積分表達(dá)式：直接引用下述積分表達(dá)式： .)()(6)()()( 220FBFEgTkEgdEEEfEgI02dEEfEmSNCFCEmSN2nmNmSECF222. 某長某長L的一維金屬線包含的一維金屬線包含N個(gè)自由電個(gè)自由電 子，求該一維自由電子氣的子，求該一維自由電子氣的費(fèi)米能費(fèi)米能。 電子運(yùn)動(dòng)的能量：電子運(yùn)動(dòng)的能量： 222222xkmmkE 為電子波函數(shù)的波矢為電子波函數(shù)的波矢 kikkx根據(jù)

5、周期性邊界條件，得：根據(jù)周期性邊界條件，得：nLk2- 為正、負(fù)整數(shù)和零為正、負(fù)整數(shù)和零n 在波矢空間中，每個(gè)許可狀態(tài)可在波矢空間中，每個(gè)許可狀態(tài)可用一個(gè)點(diǎn)來表示，這些點(diǎn)的坐標(biāo)為：用一個(gè)點(diǎn)來表示，這些點(diǎn)的坐標(biāo)為： nLk2kL2L2波矢空間中每個(gè)狀態(tài)代表點(diǎn)所占長度：波矢空間中每個(gè)狀態(tài)代表點(diǎn)所占長度： 空間中單位長度內(nèi)代表點(diǎn)數(shù)空間中單位長度內(nèi)代表點(diǎn)數(shù)(狀態(tài)密度狀態(tài)密度)： k2L 空間中，在空間中，在 線元線元 中所包含狀態(tài)數(shù)為：中所包含狀態(tài)數(shù)為： kkdkkkdkdL2 每個(gè)狀態(tài)可容納每個(gè)狀態(tài)可容納2個(gè)自旋方向相反的個(gè)自旋方向相反的電子，線元電子，線元 中所包含電子數(shù)為中所包含電子數(shù)為電子能量

6、為電子能量為 kdkdLkdLdZ22mkE222 k k+dk 內(nèi)的電子數(shù)為：內(nèi)的電子數(shù)為：dkLdZ2dkkdkd22而而利用利用mEk2，得：，得：EdEmdk22單位能量間隔內(nèi)所能容納的電子數(shù)為：單位能量間隔內(nèi)所能容納的電子數(shù)為： dEEmLdZ212能級(jí)密度為：能級(jí)密度為： 212EmLdEdZ 021210022fdEEmLfdEEmLdZEfN0210212dEEfEfEmL0212fdEmL0212dEEfEmL直接引用下述積分表達(dá)式：直接引用下述積分表達(dá)式： .)()(6)()()( 220FBFEgTkEgdEEEfEgI0212dEEfEmLN232221242FBFETkEmLN22212412FBFETkEmLN 設(shè)有一個(gè)晶格常數(shù)為a的二維簡單正方晶格，求：(1). 正格子原胞基矢和倒格子原胞基矢；(2). W-S