最新小五奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)及試題

1、精品文檔1. 和差倍問題和差問題 和倍問題 差倍問題已知條件幾個(gè)數(shù)的和與差 幾個(gè)數(shù)的和與倍數(shù) 幾個(gè)數(shù)的差與倍數(shù)公式適用范圍 已知兩個(gè)數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系公式 （和-差）十2=較小數(shù)較小數(shù) +差 =較大數(shù)和 -較小數(shù) =較大數(shù) （和 +差戸2=較大數(shù)較大數(shù) -差=較小數(shù)和 -較大數(shù) =較小數(shù)和十（倍數(shù)+1）=小數(shù)小數(shù)X倍數(shù)=大數(shù)和 -小數(shù) =大數(shù)差十（倍數(shù)-1）=小數(shù)小數(shù)X倍數(shù)=大數(shù)小數(shù) +差 =大數(shù)關(guān)鍵問題 求出同一條件下的和與差 和與倍數(shù) 差與倍數(shù)2. 年齡問題的三個(gè)基本特征： 兩個(gè)人的年齡差是不變的 ; 兩個(gè)人的年齡是同時(shí)增加或者同時(shí)減少的; 兩個(gè)人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的 ;3. 歸一問

2、題的基本特點(diǎn)：?jiǎn)栴}中有一個(gè)不變的量，一般是那個(gè)“單一量”，題目一般用“照這樣的速度”等詞語來表示。關(guān)鍵問題：根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量 ;4. 植樹問題基本類型 在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹 在直線或者不封閉的曲線上植樹， 兩端都不植樹 在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹 封閉曲線上植樹 基本公式棵數(shù) =段數(shù)+1棵距X段數(shù)=總長(zhǎng) 棵數(shù)=段數(shù)-1棵距X段數(shù)=總長(zhǎng) 棵數(shù)=段數(shù)棵距X段數(shù)=總長(zhǎng)關(guān)鍵問題 確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系5. 雞兔同籠問題 基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設(shè)問題，就是把假設(shè)錯(cuò)的那部分置換出來 基本思路： 假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在

3、（甲和乙一樣或者乙和甲一樣 ）： 假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個(gè)差是多少； 每個(gè)事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個(gè)差的原因； 再根據(jù)這兩個(gè)差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差。基本公式： 把所有雞假設(shè)成兔子：雞數(shù) =（兔腳數(shù)X總頭數(shù)-總腳數(shù)）+ （兔腳數(shù)-雞腳數(shù)） 把所有兔子假設(shè)成雞：兔數(shù) =（總腳數(shù)一雞腳數(shù)X總頭數(shù)）+（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)） 關(guān)鍵問題：找出總量的差與單位量的差。6. 盈虧問題 基本概念：一定量的對(duì)象，按照某種標(biāo)準(zhǔn)分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標(biāo)準(zhǔn)分組，又產(chǎn) 生一種結(jié)果， 由于分組的標(biāo)準(zhǔn)不同， 造成結(jié)果的差異， 由它們的關(guān)系求對(duì)象分組的組數(shù)或?qū)?象的總量 .基本思路： 先將

4、兩種分配方案進(jìn)行比較， 分析由于標(biāo)準(zhǔn)的差異造成結(jié)果的變化， 根據(jù)這個(gè)關(guān) 系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對(duì)象的總量 .基本題型： 一次有余數(shù)，另一次不足；基本公式：總份數(shù)=（余數(shù)+不足數(shù)）十兩次每份數(shù)的差 當(dāng)兩次都有余數(shù) ；基本公式：總份數(shù)=（較大余數(shù)一較小余數(shù)）十兩次每份數(shù)的差 當(dāng)兩次都不足 ；基本公式：總份數(shù)=（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）十兩次每份數(shù)的差 基本特點(diǎn)：對(duì)象總量和總的組數(shù)是不變的。關(guān)鍵問題：確定對(duì)象總量和總的組數(shù)。7. 牛吃草問題基本思路：假設(shè)每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長(zhǎng)速度和總草量。基本

5、特點(diǎn)：原草量和新草生長(zhǎng)速度是不變的 ； 關(guān)鍵問題：確定兩個(gè)不變的量?；竟剑荷L(zhǎng)量=（較長(zhǎng)時(shí)間X長(zhǎng)時(shí)間牛頭數(shù) -較短時(shí)間X短時(shí)間牛頭數(shù)）+ （長(zhǎng)時(shí)間-短時(shí)間）； 總草量=較長(zhǎng)時(shí)間X長(zhǎng)時(shí)間牛頭數(shù) -較長(zhǎng)時(shí)間X生長(zhǎng)量；8. 周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律 周期現(xiàn)象：事物在運(yùn)動(dòng)變化的過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時(shí)間叫周期。 關(guān)鍵問題：確定循環(huán)周期。閏 年：一年有 366 天 ； 年份能被4整除;如果年份能被100整除，則年份必須能被 400整除；平 年：一年有 365 天。 年份不能被4整除;如果年份能被100整除，但不能被 400整除；9. 平均數(shù)基本公式： 平均數(shù)=總數(shù)

6、量十總份數(shù)總數(shù)量=平均數(shù)X總份數(shù)總份數(shù)=總數(shù)量十平均數(shù) 平均數(shù)= 基準(zhǔn)數(shù)+每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)差的和十總份數(shù) 基本算法： 求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式進(jìn)行計(jì)算 基準(zhǔn)數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)；一般選與所有數(shù)比較接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準(zhǔn)數(shù) ;以基準(zhǔn)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)， 求所有給出數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差 ;再求出所有差的和 ;再求出 這些差的平均數(shù) ；最后求這個(gè)差的平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)的和，就是所求的平均數(shù)，具體關(guān)系見基 本公式。10. 抽屜原理抽屜原則一：如果把(n+1)個(gè)物體放在n個(gè)抽屜里，那么必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。例：把 4 個(gè)物體放在 3 個(gè)抽屜里，也就是把 4 分解成三個(gè)整數(shù)的和，

7、 那么就有以下四種情況：4=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1觀察上面四種放物體的方式， 我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同特點(diǎn)： 總有那么一個(gè)抽屜里有 2個(gè)或多于 2個(gè)物體，也就是說必有一個(gè)抽屜中至少放有 2個(gè)物體。抽屜原則二：如果把 n個(gè)物體放在m個(gè)抽屜里，其中n>m,那么必有一個(gè)抽屜至少有： k=n/m +1個(gè)物體：當(dāng)n不能被m整除時(shí)。 k=n/m個(gè)物體：當(dāng)n能被m整除時(shí)。理解知識(shí)點(diǎn)：X表示不超過X的最大整數(shù)。例4.351=4；0.321=0；2.9999=2； 關(guān)鍵問題：構(gòu)造物體和抽屜。 也就是找到代表物體和抽屜的量， 而后依據(jù)抽屜原則進(jìn)行運(yùn)算。11. 定義新運(yùn)算基本概念

8、：定義一種新的運(yùn)算符號(hào)，這個(gè)新的運(yùn)算符號(hào)包含有多種基本(混合)運(yùn)算?；舅悸罚?嚴(yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則， 把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算，然后按 照基本運(yùn)算過程、規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。關(guān)鍵問題：正確理解定義的運(yùn)算符號(hào)的意義。注意事項(xiàng)：新的運(yùn)算不一定符合運(yùn)算規(guī)律，特別注意運(yùn)算順序。 每個(gè)新定義的運(yùn)算符號(hào)只能在本題中使用。12. 數(shù)列求和 等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列。 基本概念：首項(xiàng)：等差數(shù)列的第一個(gè)數(shù)，一般用 a1 表示；項(xiàng)數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個(gè)數(shù)，一般用n 表示 ;公差：數(shù)列中任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差，一般用d 表示 ;通項(xiàng)：表示數(shù)列中每一個(gè)數(shù)的

9、公式，一般用an 表示數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn 表示基本思路：等差數(shù)列中涉及五個(gè)量： al ,an, d, n,sn,通項(xiàng)公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可 求出第四個(gè) ；求和公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可以求這第四個(gè)。基本公式：通項(xiàng)公式： an = a1+(n-1)d；通項(xiàng)=首項(xiàng)+(項(xiàng)數(shù)一 1) x公差； 數(shù)列和公式：sn,= (a1+ an)x n 2;數(shù)列和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))x項(xiàng)數(shù)十2;項(xiàng)數(shù)公式：n= (an+ a1)+ d+1;項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）十公差+1;公差公式：d =（a n-a1） * （n-1）;公差=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）+（項(xiàng)數(shù)-i）；關(guān)鍵問題：

10、確定已知量和未知量，確定使用的公式 ;13. 二進(jìn)制及其應(yīng)用十進(jìn)制：用09十個(gè)數(shù)字表示，逢10進(jìn)1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義，十位上的2表示 20，百位上的 2 表示 200。所以 234=200+30+4=2 X 102+3 X 10+4。=AnX 10n-1+An-1 X 10n-2+An-2 X 10n-3+An-3 X 10n-4+An-4 X 10n-5+An-6 X 10n-7+ +A3X102+A2X 101+A1X 100注意： N0=1;N仁皿其中N是任意自然數(shù)）二進(jìn)制：用 01 兩個(gè)數(shù)字表示，逢 2 進(jìn) 1;不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義。（2）= AnX2n-1+A

11、n-1X2n-2+An-2X2n-3+An-3X2n-4+An-4X2n-5+An-6X2n-7+A3X 22+A2X 21+A1 X 20注意： An 不是 0 就是 1 。十進(jìn)制化成二進(jìn)制： 根據(jù)二進(jìn)制滿 2進(jìn)1 的特點(diǎn)，用 2連續(xù)去除這個(gè)數(shù)，直到商為 0，然后把每次所得的余數(shù) 按自下而上依次寫出即可。 先找出不大于該數(shù)的 2 的 n 次方，再求它們的差，再找不大于這個(gè)差的 2 的 n 次方，依 此方法一直找到差為 0，按照二進(jìn)制展開式特點(diǎn)即可寫出。14. 加法乘法原理和幾何計(jì)數(shù)加法原理：如果完成一件任務(wù)有 n 類方法，在第一類方法中有 m1 種不同方法，在第二類方法中有 m2 種不同方法

12、 ，在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有： m1+ m2 +mn 種不同的方法。關(guān)鍵問題：確定工作的分類方法?；咎卣鳎好恳环N方法都可完成任務(wù)。乘法原理：如果完成一件任務(wù)需要分成 n 個(gè)步驟進(jìn)行， 做第 1 步有 m1 種方法， 不管第 1 步用哪一種方 法，第2步總有m2種方法 不管前面 n-1步用哪種方法，第 n步總有mn種方法，那么 完成這件任務(wù)共有： m1 X m2 X mn 種不同的方法。關(guān)鍵問題：確定工作的完成步驟。 基本特征：每一步只能完成任務(wù)的一部分。 直線：一點(diǎn)在直線或空間沿一定方向或相反方向運(yùn)動(dòng)，形成的軌跡。直線特點(diǎn)：沒有端點(diǎn)，沒有長(zhǎng)度。 線段：直線上任意兩

13、點(diǎn)間的距離。這兩點(diǎn)叫端點(diǎn)。線段特點(diǎn)：有兩個(gè)端點(diǎn)，有長(zhǎng)度。 射線：把直線的一端無限延長(zhǎng)。 射線特點(diǎn)：只有一個(gè)端點(diǎn) ;沒有長(zhǎng)度。 數(shù)線段規(guī)律：總數(shù) =1+2+3+（點(diǎn)數(shù)一 1）; 數(shù)角規(guī)律=1+2+3+（射線數(shù)一 1）; 數(shù)長(zhǎng)方形規(guī)律：個(gè)數(shù) =長(zhǎng)的線段數(shù)X寬的線段數(shù)： 數(shù)長(zhǎng)方形規(guī)律：個(gè)數(shù) =1X 1+2X 2+3X 3+行數(shù)X列數(shù)15. 質(zhì)數(shù)與合數(shù)質(zhì)數(shù)：一個(gè)數(shù)除了 1 和它本身之外，沒有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素?cái)?shù)。 合數(shù)：一個(gè)數(shù)除了 1 和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。 質(zhì)因數(shù)：如果某個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。 分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式

14、表示出來， 叫做分解質(zhì)因數(shù)。 通常用短除法分解質(zhì)因數(shù)。 任何一 個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示形式：N=,其中al、a2、a3an都是合數(shù)N的質(zhì)因數(shù)，且a1<< p>求約數(shù)個(gè)數(shù)的公式：P=(r1+1)x (r2+1) x (r3+1) x x (rn+1)互質(zhì)數(shù)：如果兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是 1 ，這兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。16. 約數(shù)與倍數(shù)約數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù) a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。 公約數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù);其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。最大公約數(shù)的性質(zhì)：1 、 幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾

15、個(gè)商是互質(zhì)數(shù)。2、幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個(gè)數(shù)的約數(shù)。3、幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。4、 幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)m，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)乘以m。例如： 12 的約數(shù)有 1、 2、 3、 4、 6、 12;18 的約數(shù)有： 1、 2、 3、 6、 9、 18;那么 12 和 18的公約數(shù)有： 1、 2、 3、 6;那么 12 和 18最大的公約數(shù)是： 6，記作 (12， 18)=6; 求最大公約數(shù)基本方法：1、分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來。2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整

16、除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的最大公約 數(shù)。公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù);其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。12的倍數(shù)有：12、24、36、48;18的倍數(shù)有：18、36、54、72;那么12和18的公倍數(shù)有：36、72、108;那么 12 和 18最小的公倍數(shù)是 36，記作 12， 18=36; 最小公倍數(shù)的性質(zhì)：1 、兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。2、兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。 求最小公倍數(shù)基本方法： 1 、短除法求最小公倍數(shù) ;2、分解質(zhì)因數(shù)的方法17. 數(shù)的整除一、基本概念和符號(hào)：1、整除：如果一個(gè)整數(shù) a,除以一個(gè)自然數(shù)

17、b,得到一個(gè)整數(shù)商 c,而且沒有余數(shù)，那么叫 做a能被b整除或b能整除a，記作b|a。2、常用符號(hào)：整除符號(hào)“ | ”，不能整除符號(hào)“”；因?yàn)榉?hào)，所以的符號(hào)“”；二、整除判斷方法：1. 能被 2、 5 整除：末位上的數(shù)字能被2、 5整除。2. 能被 4、 25 整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被 4、 25 整除。3. 能被 8、 125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、 125 整除。4. 能被 3、 9整除：各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和能被3、 9 整除。5. 能被 7 整除： 末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7 整除。 逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2 倍后能被 7

18、 整除。6. 能被 11 整除： 末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11 整除。 奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11 整除。 逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11 整除。7. 能被 13 整除： 末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13 整除。 逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9 倍后能被 13 整除。三、整除的性質(zhì)：1. 如果a、b能被c整除，那么(a+b)與(a-b)也能被c整除。2. 如果 a 能被 b 整除， c 是整數(shù)，那么 a 乘以 c 也能被 b 整除。3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除

19、。4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。18. 余數(shù)及其應(yīng)用基本概念：對(duì)任意自然數(shù)a、b、q、r，如果使得a* b=qr,且0< p>余數(shù)的性質(zhì)： 余數(shù)小于除數(shù)。 若 a、 b 除以 c 的余數(shù)相同,則 c|a-b 或 c|b-a 。 a與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。 a與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)。19. 余數(shù)、同余與周期一、同余的定義： 若兩個(gè)整數(shù) a、 b 除以 m 的余數(shù)相同,則稱 a、 b 對(duì)于模 m 同余。 已知三個(gè)整數(shù) a、b、m，如果 m|a-b，就稱a、

20、b對(duì)于模 m同余，記作 a= b(mod m),讀 作 a 同余于 b 模 m。二、同余的性質(zhì)： 自身性：a = a(mod m); 對(duì)稱性：若 a = b(mod m)，貝U b = a(mod m); 傳遞性：若 a = b(mod m) , b = c(mod m)，貝U a= c(mod m); 和差性：若 a = b(mod m) , c= d(mod m)，貝U a+尸 b+d(mod m) , a-c= b-d(mod m); 相乘性：若 a = b(mod m), c = d(mod m)，貝U ax 尸 bx d(mod m); 乘方性：若 a = b(mod m)，貝U a

21、n = bn(mod m); 同倍性：若 a= b(mod m)，整數(shù) c,貝U ax 尸 bx c(mod m x c);三、關(guān)于乘方的預(yù)備知識(shí)： 若 A=ax b，貝U MA=Ma x b=(Ma)b 若 B=c+d 則 MB=Mc+d=Mc x Md四、被 3、 9、11 除后的余數(shù)特征： 一個(gè)自然數(shù) M , n表示M的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和，則M = n（mod 9）或（mod 3）; 一個(gè)自然數(shù) M, X表示M的各個(gè)奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y表示M的各個(gè)偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，貝U M 三 Y-X或 M 三 11-（X-Y）（mod 11）;五、費(fèi)爾馬小定理：如果 p是質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）,a是自然數(shù)，且

22、a不能被p整除，則ap-1 = 1（mod p）。20. 分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用基本概念與性質(zhì)： 分?jǐn)?shù)：把單位“ 1”平均分成幾份,表示這樣的一份或幾份的數(shù)。 分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以相同的數(shù) （0除外 ）,分?jǐn)?shù)的大小不變。 分?jǐn)?shù)單位：把單位“ 1”平均分成幾份,表示這樣一份的數(shù)。百分?jǐn)?shù)：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)百分之幾的數(shù)。常用方法： 逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結(jié)果）進(jìn)行思考。 對(duì)應(yīng)思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對(duì)應(yīng)關(guān)系。 轉(zhuǎn)化思維方法： 把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進(jìn)行解答。 最常見的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn) 換成倍數(shù)關(guān)系 ;把不同的標(biāo)準(zhǔn) （在分?jǐn)?shù)中一般指

23、的是一倍量 ）下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分 率。常見的處理方法是確定不同的標(biāo)準(zhǔn)為一倍量。 假設(shè)思維方法： 為了解題的方便, 可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè)某種情況 成立,計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果,然后再進(jìn)行調(diào)整,求出最后結(jié)果。 量不變思維方法： 在變化的各個(gè)量當(dāng)中,總有一個(gè)量是不變的, 不論其他量如何變化,而這個(gè)量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發(fā)生變化，總量不變。 B、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變。 C、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化。 替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化。 同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進(jìn)行處

24、理。 濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。21. 分?jǐn)?shù)大小的比較基本方法： 通分分子法：使所有分?jǐn)?shù)的分子相同，根據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的關(guān)系比較。 通分分母法：使所有分?jǐn)?shù)的分母相同，根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比較。 基準(zhǔn)數(shù)法：確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，使所有的分?jǐn)?shù)都和它進(jìn)行比較 分子和分母大小比較法：當(dāng)分子和分母的差一定時(shí)，分子或分母越大的分?jǐn)?shù)值越大。 倍率比較法： 當(dāng)比較兩個(gè)分子或分母同時(shí)變化時(shí)分?jǐn)?shù)的大小, 除了運(yùn)用以上方法外, 可以 用同倍率的變化關(guān)系比較分?jǐn)?shù)的大小。 （具體運(yùn)用見同倍率變化規(guī)律 ） 轉(zhuǎn)化比較方法：把所有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分?jǐn)?shù)的值）后進(jìn)行比較。 倍數(shù)比較法：用一個(gè)數(shù)

25、除以另一個(gè)數(shù)，結(jié)果得數(shù)和 1進(jìn)行比較。 大小比較法：用一個(gè)分?jǐn)?shù)減去另一個(gè)分?jǐn)?shù)，得出的數(shù)和0比較。 倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小。 基準(zhǔn)數(shù)比較法：確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)，每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)比較。22. 分?jǐn)?shù)拆分一、 將一個(gè)分?jǐn)?shù)單位分解成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之和的公式： =+;=+（d為自然數(shù)）;23. 完全平方數(shù)完全平方數(shù)特征：1. 末位數(shù)字只能是： 0、 1、4、5、6、 9;反之不成立。2. 除以 3 余 0 或余 1;反之不成立。3. 除以 4 余 0 或余 1;反之不成立。4. 約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù) ;反之成立。5. 奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù) ;反之不成立。6. 奇數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是奇數(shù) ;偶數(shù)

26、平方個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)。7. 兩個(gè)相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。 平方差公式： X2-Y2=（X-Y）（X+Y） 完全平方和公式： （X+Y）2=X2+2XY+Y2 完全平方差公式： （X-Y）2=X2-2XY+Y224.比和比例 比：兩個(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比。比號(hào)前面的數(shù)叫比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的數(shù)叫比的后項(xiàng)。 比值：比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)的商，叫做比值。比的性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（零除外 ），比值不變。比例：表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。 a:b=c:d 或 比例的性質(zhì)：兩個(gè)外項(xiàng)積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)積（交叉相乘 ）， ad=bc。正比例：若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也擴(kuò)大或縮小幾倍（AB的

27、商不變時(shí)），則A與B成正比。 反比例：若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也縮小或擴(kuò)大幾倍（AB的積不變時(shí)），則A與B成反比。 比例尺：圖上距離與實(shí)際距離的比叫做比例尺。按比例分配：把幾個(gè)數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配。25.綜合行程基本概念： 行程問題是研究物體運(yùn)動(dòng)的， 它研究的是物體速度、 時(shí)間、路程三者之間的關(guān)系 基本公式：路程=速度X時(shí)間；路程十時(shí)間=速度;路程十速度=時(shí)間 關(guān)鍵問題：確定運(yùn)動(dòng)過程中的位置和方向。相遇問題：速度和X相遇時(shí)間 =相遇路程（請(qǐng)寫出其他公式）追及問題：追及時(shí)間=路程差十速度差（寫出其他公式） 流水問題：順?biāo)谐?（船速+水速）X順?biāo)畷r(shí)間 逆水行程=（船速-水速）乂逆水時(shí)

28、間 順?biāo)俣?=船速 +水速 逆水速度 =船速 -水速靜水速度=（順?biāo)俣?逆水速度）+ 2水速=（順?biāo)俣?逆水速度戸2 流水問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的速度，參照以上公式。 過橋問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的路程，參照以上公式。 主要方法：畫線段圖法基本題型：已知路程 （相遇路程、追及路程 ）、時(shí)間 （相遇時(shí)間、追及時(shí)間 ）、速度 （速度和、速 度差 ）中任意兩個(gè)量，求第三個(gè)量。26 行程問題基本公式：工作總量=工作效率X工作時(shí)間 工作效率=工作總量十工作時(shí)間 工作時(shí)間=工作總量十工作效率基本思路： 假設(shè)工作總量為“ 1” （和總工作量無關(guān) ）; 假設(shè)一個(gè)方便的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工

29、作總量所用時(shí)間的最小公倍數(shù)），利用上述三個(gè)基本關(guān)系，可以簡(jiǎn)單地表示出工作效率及工作時(shí)間 .關(guān)鍵問題：確定工作量、工作時(shí)間、工作效率間的兩兩對(duì)應(yīng)關(guān)系。 經(jīng)驗(yàn)簡(jiǎn)評(píng)：合久必分，分久必合。27.邏輯推理 基本方法簡(jiǎn)介： 條件分析假設(shè)法： 假設(shè)可能情況中的一種成立， 然后按照這個(gè)假設(shè)去判斷， 如果有與題 設(shè)條件矛盾的情況， 說明該假設(shè)情況是不成立的， 那么與他的相反情況是成立的。 例如，假 設(shè) a 是偶數(shù)成立，在判斷過程中出現(xiàn)了矛盾，那么 a 一定是奇數(shù)。 條件分析列表法： 當(dāng)題設(shè)條件比較多， 需要多次假設(shè)才能完成時(shí)， 就需要進(jìn)行列表來輔 助分析。 列表法就是把題設(shè)的條件全部表示在一個(gè)長(zhǎng)方形表格中， 表

30、格的行、 列分別表示不 同的對(duì)象與情況，觀察表格內(nèi)的題設(shè)情況，運(yùn)用邏輯規(guī)律進(jìn)行判斷。 條件分析圖表法： 當(dāng)兩個(gè)對(duì)象之間只有兩種關(guān)系時(shí)， 就可用連線表示兩個(gè)對(duì)象之間的 關(guān)系，有連線則表示“是，有”等肯定的狀態(tài)，沒有連線則表示否定的狀態(tài)。例如 A 和 B 兩人之間有認(rèn)識(shí)或不認(rèn)識(shí)兩種狀態(tài)，有連線表示認(rèn)識(shí)，沒有表示不認(rèn)識(shí)。 邏輯計(jì)算： 在推理的過程中除了要進(jìn)行條件分析的推理之外，還要進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算， 根據(jù)計(jì)算的結(jié)果為推理提供一個(gè)新的判斷篩選條件。 簡(jiǎn)單歸納與推理： 根據(jù)題目提供的特征和數(shù)據(jù)， 分析其中存在的規(guī)律和方法， 并從特殊情 況推廣到一般情況，并遞推出相關(guān)的關(guān)系式，從而得到問題的解決。28.幾何

31、面積 基本思路： 在一些面積的計(jì)算上， 不能直接運(yùn)用公式的情況下， 一般需要對(duì)圖形進(jìn)行割補(bǔ)， 平移、旋轉(zhuǎn)、 翻折、分解、變形、重疊等，使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進(jìn)行計(jì)算;另外需要掌握和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)律。常用方法：1. 連輔助線方法2. 利用等底等高的兩個(gè)三角形面積相等。3. 大膽假設(shè) （有些點(diǎn)的設(shè)置題目中說的是任意點(diǎn)，解題時(shí)可把任意點(diǎn)設(shè)置在特殊位置上）。4. 利用特殊規(guī)律 等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。（斜邊的平方除以4等于等腰直角三角形的面積 ） 梯形對(duì)角線連線后，兩腰部分面積相等。 圓的面積占外接正方形面積的78.5%。29.立體圖形名稱 圖形 特征 表面積 體積長(zhǎng)方

32、體 8 個(gè)頂點(diǎn) ;6 個(gè)面;相對(duì)的面相等 ;12 條棱;相對(duì)的棱相等 ; S=2（ab+ah+bh） V=abh=Sh 正方體 8 個(gè)頂點(diǎn) ;6 個(gè)面;所有面相等 ;12 條棱;所有棱相等 ; S=6a2 V=a3 圓柱體 上下兩底是平行且相等的圓；側(cè)面展開后是長(zhǎng)方形；S=S側(cè)+2S底S 側(cè)=Ch V=Sh圓錐體 下底是圓；只有一個(gè)頂點(diǎn)；1：母線，頂點(diǎn)到底圓周上任意一點(diǎn)的距離；S=S側(cè)+S底S 側(cè)=rl V=Sh球體 圓心到圓周上任意一點(diǎn)的距離是球的半徑。 S=4r2 V=r330.時(shí)鐘問題快慢表問題基本思路：1、 按照行程問題中的思維方法解題；2、不同的表當(dāng)成速度不同的運(yùn)動(dòng)物體3、路程的單位

33、是分格 （表一周為 60分格 ）；4、時(shí)間是標(biāo)準(zhǔn)表所經(jīng)過的時(shí)間 合理利用行程問題中的比例關(guān)系 ；1. xy,zw分別表示一個(gè)兩位數(shù)，若xy+zw=139,那么x+y+z+w=?因?yàn)閭€(gè)位是 9,所以個(gè)位相加沒有進(jìn)位個(gè)位即:個(gè)位數(shù)的和 Y+W=9而不會(huì)是19,29,39所以十位數(shù)的和 X+Z=13于是 :x+y+z+w=222有一條長(zhǎng)500米的環(huán)行跑道，甲乙兩人同時(shí)從跑道上的某一點(diǎn)出發(fā)，如果反向而跑，則1分鐘后相遇 ；如果同向而跑 ,則 10分鐘后追上 以知甲比已跑的快 ,問:甲已兩人每分鐘各跑多少米?反向，二人的速度和是： 500/1=500 同向，二人的速度差是： 500/10=50 甲的速度

34、是： （500+50）/2=275 米/分乙的速度是： （500-50）/2=225 米/分3 一個(gè)圓形跑道上，下午1:00,小明從A點(diǎn),小強(qiáng)從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)相對(duì)而行，下午1:06兩人相遇， 下午1:10,小明到達(dá)B點(diǎn)，下午1:18,兩人再次相遇問:小明環(huán)行一周要多少分鐘 ？ 由題目得知，小強(qiáng)第一次相遇 前行了 6分鐘的距離小明行了 4 分鐘，那么小明的速度是小 強(qiáng)的： 6/4=1 。5倍。又從第一次相遇 到第二次相遇 一共用了： 18-6=12分。 所以小強(qiáng)的速度是： （1/12）/（1+1。5）=1/30即小明的速度是： 1/30*1 。5=1/20 那么小明行一圈的時(shí)間是：1/（1/20）

35、=20分。4、 a、b和c都是兩位的自然數(shù)，a、b的個(gè)位數(shù)分別是7和5, c的十位數(shù)是1如果滿足等 式 ab+c=2005，則 a+b+c=?首先我們可以通過 B的個(gè)位為5來判斷C的個(gè)位應(yīng)該為0這樣可以知道C的個(gè)位與十位是 10則 AB 應(yīng)該為 2005-10=1995 ，相乘得 1995的兩位數(shù)中，只有 57與35的個(gè)位數(shù)分別為 7和5，因此判定a+b+c=57+35+10=1025、2222000個(gè)2除以13所得的余數(shù)是多少？6、1的平方+2的平方+3的平方+2001的平方+2002的平方除以 4的余數(shù)是多少？7、數(shù)1998*1998*1998*19982000個(gè)1998連乘的積除以7的余

36、數(shù)是多少？8、 一個(gè)整數(shù)除以 84 的余數(shù)是 46，那么他分別除以 3、 4、 7所得的三個(gè)余數(shù)之和是多少？9、 甲、乙、丙、丁四個(gè)旅行團(tuán)分別有游客69人、 85人、 93人、 97人。現(xiàn)在要把四個(gè)旅行 團(tuán)分別進(jìn)行分組，使每組都是 A 名游客，以便乘車前往參觀旅游。已知甲、乙、丙三個(gè)團(tuán) 分成每組 A 人的若干組后，所剩下的人數(shù)相同，問丁旅行團(tuán)分成每組 A 人的若干組后還剩下幾人？10、號(hào)碼分別為 37、57、77、和 97 的四名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球比賽，規(guī)定每?jī)扇吮荣惖谋P數(shù) 是他們號(hào)碼的和除以 3 的余數(shù)，那么打球盤數(shù)最多的運(yùn)動(dòng)員是幾號(hào)？他打了多少盤？答案：5、222222 可以整除 13，所以

37、 2000 個(gè) 2 的話包含 333 組循環(huán)，剩下最后的 22，所以余數(shù)是 96、因?yàn)槊颗紨?shù)項(xiàng)都能整除 4，所以只剩下奇數(shù)項(xiàng)，我們能知道：1 的平方 +3的平方 +5的平方+7 的平方剛好也能被 4 整除，同樣 11 的平方 +13 的平方 +15 的平方 +17 的平方他們也能 被四整除， 最后只剩下 250 個(gè) 9的平方 +2001的平方， 所以最后只剩下 250+1=251,所以余數(shù) 為37、1998 除以 7 余數(shù)是 3，所以我們可以把 1998=7*n+3總共有2000個(gè)1998=7*n+3，所以最后就是 2000個(gè)3相乘，即為3人2000=9人1000=(7+2)人1000 , 所

38、以又變成求 2A1000除以7的余數(shù)了，2A1000=1024A100=(146*7+2)A100,變成了 2A100除以7的余數(shù)了，同理，最后變成1024除以7的余數(shù)了，也就是 8，所以1998*1998*1998*19982000 個(gè) 1998 連乘的積除以 7 的余數(shù)是 2.9、設(shè)為84a+46，則84a能被3, 4, 7整除，答案即為 46除以3、4、7所得的三個(gè)余數(shù)之 和 1+2+4=710、 此題目的意思為，69=n1*A+a、 85=n2*A+a、 93=n3*A+a16=(n2-n1)*A 8=(n3-n2)*A 24=(n3-n1)*A所以我們可以知道 A=8或者4,或者2,

39、若為8貝丁所剩的人數(shù)為1，若A為4,余數(shù)為：1 , 所以不管 A 為 8，還是 4，還是 2，余數(shù)都是 1.11、 因?yàn)?37 號(hào)的各位和十位的和為10， 57 的為 12， 77 的為 14， 97 的為 16，所以我么知 道 10+12 除以 3余數(shù)為 1， 10+14 除以 3 余數(shù)為 0， 10+16 的余數(shù)為 2， 12+14 的余數(shù)為 2， 12+16的余數(shù)為 1， 14+16 的余數(shù)為 0，所以我們知道， 37 號(hào)要打 3 場(chǎng)， 57 要打 4 場(chǎng)， 77 要 打 2 場(chǎng)， 97 要打 3 場(chǎng)，所以最多的是 57 號(hào)11 一部書，甲、乙兩個(gè)打字員需要 10 天完成，兩人合打 8

40、天后，余下的由乙單獨(dú)打，若這 部書由甲單獨(dú)打需要 28 天完成。問乙又干了幾天完成？13. 一批貨物，A、B兩輛汽車合運(yùn)6天能運(yùn)完這批貨物的 5/6，若單獨(dú)運(yùn)，A運(yùn)完1/3 , B運(yùn) 完 1/2 。若單獨(dú)運(yùn)， A、 B 各需要多少天？13. 有一些機(jī)器零件，甲單獨(dú)完成需要17 天，比乙單獨(dú)完成多用了 1 天。兩人合作 8 天后，剩下 420 個(gè)零件由甲單獨(dú)制作，甲共制作了多少個(gè)零件？甲共干了幾天？14. 水池上裝有甲、乙兩個(gè)水管，齊開兩水管12 小時(shí)注滿水池。若甲管開 5 小時(shí)，乙管開 6小時(shí)，只能注水池的 9/20。若單獨(dú)開甲管和乙管各需要幾小時(shí)注滿？答案：11. 甲單獨(dú)打需要 28 天，所

41、以甲每天可以完成任務(wù)的 1/28，甲乙合打十天完成， 所以甲乙合 打每天可以完成任務(wù)的 1/10，所以乙每天可以完成任務(wù)的 1/10-1/28=9/140 ，兩人合打 8 天 后還剩下任務(wù)的 1/5，所以乙又干了 1/5 除以 9/140=28/9 天12兩輛汽車合運(yùn)6天完成5/6 ,所以合運(yùn)一天可以完成 5/36 , A運(yùn)完1/3的時(shí)候B可以運(yùn)完 1/2，所以B的速度是A的1.5倍，所以A每天可以運(yùn)完這批貨物的 2/36 , B可以運(yùn)完3/36 , 所以A單獨(dú)運(yùn)需要18天，B單獨(dú)運(yùn)需要12天。13.甲每天能完成 1/17，乙每天能完成 1/16 ，合干 8 天共完成 33/34，剩下 1/3

42、4 為 420 個(gè)， 所以這些零件一共有 420*34=14280 個(gè)，甲共制作了 14280*8/17+420=7140 個(gè)，一共干了 1/34 除以 1/17+8=8.5 天，所以甲一共干了 8 天半14. 甲乙齊開12小時(shí)注滿，所以甲乙齊開每小時(shí)注入 1/12，設(shè)甲每小時(shí)注入為 X,乙為Y, 5X+6Y=9/20,上式合并為 5 (x+y) +y=9/20 , x+y是甲乙齊開的效率，就是 1/12，帶入式子 得y=1/30,所以x=1/12-1/30=1/20，所以單開甲20小時(shí)注滿，單開乙 30小時(shí)注滿普喬柯是原蘇聯(lián)著名的數(shù)學(xué)家。 1951 年寫成小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)法一書。這本書中有下面一

43、 道有趣的題。商店里三天共賣出 1026 米布。第二天賣出的是第一天的 2倍；第三天賣出的是第二天的 3 倍。求三天各賣出多少米布？這道題可以這樣想：把第一天賣出布的米數(shù)看作 1 份。就可以畫出下面的線段圖：第一天為1份；第二天為第一天的2倍；第三天為第二天的3倍，也就是第一天的2X 3倍。 列綜合算式可求出第一天賣布的米數(shù)：1026 -(I + 2 + 6 )= 1026 - 9 = 114 (米)而 114 X 2= 228 (米)228 X 3 = 684 (米)所以三天賣的布分別是： 114米、228米、684米。請(qǐng)你接這種方法做一道題。有四人捐款救災(zāi)。 乙捐款為甲的 2倍,丙捐款為乙

44、的 3倍,丁捐款為丙的 4倍。 他們共捐款 132元。求四人各捐款多少元？牛頓問題英國偉大的科學(xué)家牛頓, 曾經(jīng)寫過一本數(shù)學(xué)書。 書中有一道非常有名的、 關(guān)于牛在牧場(chǎng)上吃 草的題目,后來人們就把這類題目稱為“牛頓問題” ?！芭ｎD問題”是這樣的： “有一牧場(chǎng),已知養(yǎng)牛 27頭, 6天把草吃盡；養(yǎng)牛 23頭, 9天把草 吃盡。如果養(yǎng)牛 21 頭,那么幾天能把牧場(chǎng)上的草吃盡呢？并且牧場(chǎng)上的草是不斷生長(zhǎng)的?！边@類題目的一般解法是：把一頭牛一天所吃的牧草看作 1,那么就有：(1) 27 頭牛 6 天所吃的牧草為： 27X 6= 162(這 162 包括牧場(chǎng)原有的草和 6 天新長(zhǎng)的草。 )(2) 23 頭牛

45、 9 天所吃的牧草為： 23X 9= 207(這 207 包括牧場(chǎng)原有的草和 9 天新長(zhǎng)的草。 )(3) 1 天新長(zhǎng)的草為：(207- 162)-( 9-6)= 15(4) 牧場(chǎng)上原有的草為：27X 615X 6= 72(5) 每天新長(zhǎng)的草足夠 15頭牛吃, 21 頭牛減去 15頭,剩下 6頭吃原牧場(chǎng)的草：72-( 21 - 15)= 72- 6= 12 (天)所以養(yǎng) 21 頭牛, 12天才能把牧場(chǎng)上的草吃盡。請(qǐng)你算一算。有一牧場(chǎng),如果養(yǎng) 25 只羊, 8天可以把草吃盡；養(yǎng) 21 只羊, 12天把草吃盡。如果養(yǎng) 15 只 羊,幾天能把牧場(chǎng)上不斷生長(zhǎng)的草吃盡呢？答：應(yīng)該是 48 天！(1) 25

46、 只羊 8 天所吃的草為：25X 8= 200 (這 200 包括牧場(chǎng)原有的草和 8天新長(zhǎng)的草。 )(2) 21 只羊 12天所吃的牧草為： 21X 12=252 (這 252 包括牧場(chǎng)原有的草和 12 天新長(zhǎng)的草。 )(3) 1 天新長(zhǎng)的草為： (252-200)-( 12-8)=13(4)牧場(chǎng)上原有的草為： 25X8- 13X 8=96(5)每天新長(zhǎng)的草足夠 13 頭羊吃, 15 只羊減去 13頭，剩下2頭吃原牧場(chǎng)的草：96+( 15- 13)= 96十2 = 48 (天) 所以養(yǎng)15只羊，48天才能把牧場(chǎng)上的草吃盡。1. 把 789連續(xù)寫()次,所組成的數(shù)能被 9整除,并且這個(gè)數(shù)最小 .2. 商店有 6箱貨物,分別重 15、16、18、19、20、31 千克，兩個(gè)顧客買走了其中5箱。已知一個(gè)顧客買的貨物重量是領(lǐng)一個(gè)顧客的 2倍，問：商店里