高考數(shù)學典型例題詳解

1、高考數(shù)學典型例題詳解奇偶性與單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點和熱點內(nèi)容之一，特別是兩性質(zhì)的應用更加突出 .本節(jié)主要幫助考生學會怎樣利用兩性質(zhì)解題，掌握基本方法，形成應用意識 .難點磁場( )已知偶函數(shù)f(x)在(0，+ )上為增函數(shù)，且f(2)=0,解不等式f log2 (x2+5x+4) 0.案例探究例 1已知奇函數(shù) f(x)是定義在 ( 3， 3)上的減函數(shù)，且滿足不等式f(x3)+f(x2 3)<0,設不等式解集為 A，B=A x|1x5 , 求函數(shù) g(x)=3x2+3x4(x B)的最大值 .命題意圖：本題屬于函數(shù)性質(zhì)的綜合性題目，考生必須具有綜合運用知識分析和解決問題的

2、能力，屬級題目.知識依托：主要依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)去解決問題.錯解分析：題目不等式中的“f”號如何去掉是難點，在求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題時，學生容易漏掉定義域.技巧與方法：借助奇偶性脫去“f”號，轉(zhuǎn)化為 xcos 不等式，利用數(shù)形結(jié)合進行集合運算和求最值 .3x 330 x6解：由x 23 3得x636且 x0,故 0<x<6 ,又 f(x)是奇函數(shù)， f(x3)<f(x23)=f(3 x2),又 f(x)在 (3， 3)上是減函數(shù)， x 3>3 x2, 即 x2+x 6>0, 解得 x>2或 x< 3, 綜上 得 2<x<6 , 即A=

3、 x|2<x< 6 ,B=Ax|1x 5 = x|1x< 6 , 又 g(x)=3x2+3x 1)2 134=3(x42知： g(x)在 B 上為減函數(shù)， g(x)max=g(1)= 4.例 2已知奇函數(shù) f(x)的定義域為 R，且 f(x)在 0，+)上是增函數(shù)，是否存在實數(shù) m,使 f(cos2 3)+f(4m2mcos)>f(0)對所有 0,都成立？2若存在，求出符合條件的所有實數(shù)m 的范圍，若不存在，說明理由.命題意圖：本題屬于探索性問題， 主要考查考生的綜合分析能力和邏輯思維能力以及運算能力，屬題目 .知識依托：主要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性， 利用等價轉(zhuǎn)化的思

4、想方法把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題 .錯解分析：考生不易運用函數(shù)的綜合性質(zhì)去解決問題， 特別不易考慮運用等價轉(zhuǎn)化的思想方法 .技巧與方法：主要運用等價轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想來解決問題.解： f(x)是 R 上的奇函數(shù)，且在 0，+)上是增函數(shù)， f(x)是 R 上的增函數(shù) .于是不等式可等價地轉(zhuǎn)化為 f(cos2 3)>f(2mcos 4m),m24即 cos2 3>2mcos 4m,即 cos2mcos+2m2>0.設 t=cos , 則問題等價地轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t) =t2 mt+2m 2=(t m )2 2+2m2 在 0，1上的值恒為正，又轉(zhuǎn)化為函數(shù)g

5、(t)在0，1上的最小值為正 .當 m <0,即 m<0 時， g(0)=2m 2>0m>1 與 m<0 不符；2當 0 m 1 時，即 0 m2 時， g(m)= m22>02+2m442 2 <m<4+2 2 ,422 <m 2.當 m >1,即 m>2 時， g(1)=m 1>0m>1.m>22綜上，符合題目要求的m 的值存在，其取值范圍是m>422 .錦囊妙計本難點所涉及的問題以及解決的方法主要有：(1)運用奇偶性和單調(diào)性去解決有關函數(shù)的綜合性題目.此類題目要求考生必須具有駕馭知識的能力，并具有綜

6、合分析問題和解決問題的能力.(2)應用問題 .在利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解決實際問題的過程中，往往還要用到等價轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想方法，把問題中較復雜、抽象的式子轉(zhuǎn)化為基本的簡單的式子去解決 .特別是：往往利用函數(shù)的單調(diào)性求實際應用題中的最值問題 .殲滅難點訓練一、選擇題1.( )設 f(x)是( ,+)上的奇函數(shù)， f(x+2)=f(x),當 0x1 時，f(x)=x,則 f(7.5)等于 ()A.0.5B. 0.5C.1.5D. 1.52.( )已知定義域為 ( 1，1)的奇函數(shù) y=f(x)又是減函數(shù)，且 f(a3)+f(9 a2)<0,a 的取值范圍是 ()A.(22 ，3)B.

7、(3， 10 )C.(22 ，4)D.( 2，3)二、填空題3.( )若 f(x)為奇函數(shù)，且在 (0，+)內(nèi)是增函數(shù)，又 f(3)=0,則 xf(x)<0的解集為 _.4.( )如果函數(shù) f(x)在 R 上為奇函數(shù)，在 (1，0)上是增函數(shù)，且 f(x+2)= f(x),試比較 f( 1 ),f( 2 ),f(1)的大小關系 _.33三、解答題5.( )已知 f(x)是偶函數(shù)而且在 (0，+ )上是減函數(shù)，判斷f(x)在( ,0)上的增減性并加以證明 .6.( )已知 f(x)= a2 xx1 (aR)是 R 上的奇函數(shù)，12(1)求 a 的值；(2)求 f(x)的反函數(shù) f1(x);

8、(3)對任意給定的+ 11 x .k R ,解不等式 f (x)>lgk7.( )定義在 ( ,4上的減函數(shù)f(x)滿足 f(msinx) f(12m 7 +cos2x)對任意 x R 都成立，求實數(shù) m 的取值范圍 .48.( )已知函數(shù) y=f(x)= ax21bxc(a,b,c R,a>0,b>0)是奇函數(shù)，當 x>05時， f(x)有最小值 2，其中 bN 且 f(1)<.(1)試求函數(shù) f(x)的解析式；(2)問函數(shù) f(x)圖象上是否存在關于點 (1，0)對稱的兩點，若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.參考答案難點磁場2解： f(2)=0,原不等

9、式可化為flog2(x +5x+4) f(2). f(x)在( ,0）上為減函數(shù)且 f(2)=f(2)=0不等式可化為 log2(x2+5x+4)2或 log2(x2+5x+4) 2由得 x2+5x+44x 5 或 x0由得 0x2+5x+4 1 得5 10 x 4 或 1 x5 10422由得原不等式的解集為 x|x 5 或510 x 4 或 1x25 10 或 x 02殲滅難點訓練一、 1.解析： f(7.5)=f(5.5+2)= f(5.5)= f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)= f(1.5)=f(0.5+2)=f(0.5)=f(0.5)=0.5.答案： B2.解析： f

10、(x)是定義在 (1，1）上的奇函數(shù)又是減函數(shù)，且 f(a3)+f(9a2)0. f(a3)f(a2 9).1a31 1a 29 1 a (2 2 ,3).a3a 29答案： A二、 3.解析：由題意可知： xf(x)0x0或 x 0f ( x)0f ( x) 0x 0或 x 0x0 或 x0f ( x ) f ( 3)f ( x) f ( 3)x3x 3 x(3,0)(0,3)答案： ( 3， 0） (0， 3）4.解析： f(x)為 R 上的奇函數(shù) f( 1 )= f( 1 ),f( 2 )=f( 2 ),f(1)=f(1),又 f(x)在 (1，0)上是增函數(shù)且3333 1 >3

11、2 >1.3 f( 1 )>f( 2 )>f(1),f( 1 ) f( 2 ) f(1).3333答案： f( 1 ) f( 2 )f(1)33三、5.解：函數(shù) f(x)在( ,0）上是增函數(shù)， 設 x1 x2 0,因為 f(x)是偶函數(shù)，所以f(x1)=f(x1),f(x2)=f(x2),由假設可知 x1> x2>0,又已知f(x)(0，+)上是減函數(shù)，于是有f( x1)f(x2),即 f(x1) f(x2),由此可知，函數(shù)f(x)在( ,0)上是增函數(shù) .6.解： (1）a=1.(2)f(x)= 2x1(xR)f-1(x)=log2 1x (1x1 ) .x2

12、11x(3)由 log2 1x21x22時，不等式解集為1x>logklog (1 x)log k,當 0 k 2 x|1 k x 1;當 k2時，不等式解集為 x|1x1.msin x4m4sin x7cos2 x7.解：12m4即12m7sin 2 xsin x，對4m1msin x12m7cos2 x44xR 恒成立 ,m3m 3 ,3 1 .m3 或 m122228.解：(1)f(x)是奇函數(shù)， f( x)=f(x),即 ax21ax 21bx cbx cbxcbx cc=0,a>0,b>0,x>0,f(x)= ax21a x1 2a，當且僅當 x=1 時等bxbbxb2a號成立，于是2a2 =2,a=b2,由 f(1) 5 得 a 1 5 即 bb2b221 5 ,2b2 5b+2b2 0,解得 1 b 2，又 b