一種分段曲線(xiàn)擬合方法研究

1、湖南人文科技學(xué)院畢業(yè)論文一種分段曲線(xiàn)擬合方法研究摘 要：分段曲線(xiàn)擬合是一種常用的數(shù)據(jù)處理方法，但在分段點(diǎn)處往往不能滿(mǎn)足連續(xù)與光滑.針對(duì)這一問(wèn)題，本文給出了一種能使分段點(diǎn)處連續(xù)的方法.該方法首先利用分段曲線(xiàn)擬合對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理；然后在相鄰兩段曲線(xiàn)采用兩點(diǎn)三次 Hermite插值的方法，構(gòu)造一條連結(jié)兩條分段曲線(xiàn)的插值曲線(xiàn)， 從而使分段點(diǎn)處滿(mǎn)足一階連續(xù).最后通過(guò)幾個(gè)實(shí)例表明該方法簡(jiǎn)單、實(shí)用、效果較好關(guān)鍵詞：分段曲線(xiàn)擬合Hermite插值 分段點(diǎn) 連續(xù)Study on A Method of Sub-Curve FittingAbstract: Sub-curve fitting is a common

2、ly used processing method of data, but at sub-points it often does not meet the continuation and smooth, in allusion to to solve this problem, this paper presents a way for making sub-point method continuous. Firstly, this method of sub-curve fitting deals with the data; and then uses the way of t w

3、o points ' cubic Hermite interpolation in the adjacent, structures a interpolation curve that links the two sub-curves, so the sub-point meets first-order continuation; lastly, gives several examples shows that this method is simple, practical and effective.Key words: sub-curve fitting Hermite i

4、nterpolation sub-point continuous21、入刖曰數(shù)據(jù)擬合是一種重要的數(shù)據(jù)處理方法，其中最常用的是多項(xiàng)式曲線(xiàn)擬合.然而當(dāng)數(shù) 據(jù)點(diǎn)較多時(shí)，多項(xiàng)式階數(shù)太低，擬合精度和效果不太理想，要提高擬合精度和效果就需要 提高曲線(xiàn)階數(shù)，但階數(shù)太高乂帶來(lái)計(jì)算上的復(fù)雜性及其他方面的不利.因此，如果只采用一種多項(xiàng)式曲線(xiàn)函數(shù)擬合較多的數(shù)據(jù)點(diǎn)，難以取得較好的擬合精度和效果.為有效地解決上 述問(wèn)題，一般采用分段曲線(xiàn)擬合.以往的分段曲線(xiàn)擬合方法主要是針對(duì)在自然科學(xué)領(lǐng)域中 測(cè)量的數(shù)據(jù)而使用的擬合方法，這些數(shù)據(jù)的變化一般都遵循一定的規(guī)律.因此，在對(duì)這些測(cè) 量數(shù)據(jù)擬合時(shí)，傳統(tǒng)的分段曲線(xiàn)擬合方法一般是先根

5、據(jù)主觀經(jīng)驗(yàn)對(duì)數(shù)據(jù)分段，然后進(jìn)行擬合.但是對(duì)于有些實(shí)際問(wèn)題的數(shù)據(jù)，比如社會(huì)、經(jīng)濟(jì)生活中的大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)變 化的機(jī)理一般非常復(fù)雜，往往不像物理定律那樣有著嚴(yán)格的規(guī)律，所以變化的不確定性很 強(qiáng).因此，傳統(tǒng)的分段曲線(xiàn)擬合根據(jù)主觀經(jīng)驗(yàn)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分段的做法就顯現(xiàn)出明顯地不足 針對(duì)這種不足，國(guó)內(nèi)外許多文獻(xiàn)也討論過(guò)，文獻(xiàn)1研究的是最小二乘法在曲線(xiàn)擬合中的 實(shí)現(xiàn)，給出了最小二乘法在多元正交基函數(shù)擬合中的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)方法，以常見(jiàn)的二次曲 線(xiàn)擬合為例說(shuō)明了程序編制的要點(diǎn)，在實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理中具有實(shí)用價(jià)值；文獻(xiàn)2 討論分 段最小二乘曲線(xiàn)擬合方法，本文在一般最小二乘的基礎(chǔ)上提出分段最小二乘曲線(xiàn)擬合的 方案，討論了連

6、接分段擬合曲線(xiàn)的方法，并且給出分段最小二乘多項(xiàng)式擬合的計(jì)算方法； 文獻(xiàn)4主要介紹基于最小二乘原理的分段曲線(xiàn)擬合法，在最小二乘的基礎(chǔ)上，運(yùn)用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的分段曲線(xiàn)擬合法，探討相應(yīng)的模型以及用不同類(lèi)型的曲線(xiàn)擬合同時(shí)擬合數(shù)據(jù)點(diǎn) 的具體應(yīng)用，對(duì)一實(shí)例，應(yīng)用MATLAB編程設(shè)計(jì)，完成模型的求解、顯著性檢驗(yàn)等，可 以得到擬合精度比較高的擬合曲線(xiàn)，該方法原理簡(jiǎn)便，其模型易用MATLAB編程求解；文獻(xiàn)5研究的是基于最小二乘法的分段三次曲線(xiàn)擬合方法研究，多項(xiàng)式曲線(xiàn)擬合是一種較常用的數(shù)據(jù)處理方法，但當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)較多時(shí)，只采用一種多項(xiàng)式曲線(xiàn)函數(shù)擬合所有數(shù)據(jù) 點(diǎn)難以得到較好的擬合效果，針對(duì)傳統(tǒng)分段曲線(xiàn)擬合方法中對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)分段

7、時(shí)經(jīng)驗(yàn)成分較 多的不足，提出了一種基于最小二乘法原理的分段三次曲線(xiàn)擬合方法，建立三次擬合曲 線(xiàn)方程，通過(guò)實(shí)際數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)，驗(yàn)證了該方法的擬合效果；文獻(xiàn)6,7,8主要研究基于分段三次曲線(xiàn)擬合的廣州周發(fā)案量預(yù)測(cè)，隨著城市化進(jìn)程的不斷加快，城市人口不斷增多， 廣州市未來(lái)治安形勢(shì)預(yù)警，支持政府部門(mén)和政法部門(mén)關(guān)于治安工作的決策，首先需要對(duì) 未來(lái)時(shí)期的發(fā)案量做出比較精確的預(yù)測(cè)，由于目前廣州市方案量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)比較少，且發(fā) 案量受農(nóng)歷春節(jié)影響較明顯，針對(duì)傳統(tǒng)時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法在此情況下應(yīng)用不足，提出了 基于分段三次曲線(xiàn)擬合的周發(fā)案量預(yù)測(cè)模型，并給出了具體的建模、計(jì)算步驟，最后通 過(guò)實(shí)際數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)，證明了方法預(yù)測(cè)效果

8、較好；文獻(xiàn)9提出了分段函數(shù)的光滑方法及其 在曲線(xiàn)擬合中的應(yīng)用，在分析復(fù)雜實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，采用分段曲線(xiàn)擬合方法，利用此方法在 段內(nèi)可以實(shí)現(xiàn)最佳逼近，但在段邊界上卻可能不滿(mǎn)足連續(xù)性與可導(dǎo)性.為了克服這種現(xiàn)象，本文主要研究一種能使段邊界連續(xù)的方法，具有一定的理論和 實(shí)際意義.在前人的基礎(chǔ)上，本文總結(jié)分段曲線(xiàn)擬合的方法與步驟，介紹了分段三次曲線(xiàn) 的擬合方法和兩點(diǎn)三次Hermite插值，然后討論如何利用Hermite插值方法使得分段擬合 曲線(xiàn)在連接點(diǎn)處滿(mǎn)足連續(xù)方法，最后通過(guò)一些實(shí)例應(yīng)用，表明本文所介紹的方法具有一 定的應(yīng)用價(jià)值.1最小二乘曲線(xiàn)擬臺(tái)1.1最小二乘法1令待求的未知量為a,&,，at，它們

9、可由n(n芝t)個(gè)直接測(cè)量必必,y通過(guò)下歹0函 數(shù)關(guān)系求得：yi = fi(ai,a2,，at) y2 = f2(ai,a2, ,at) y3 = f3(ai,a2, ,at) yn = fn(ai,a2, ,at)若aj為真值，由上述已知函數(shù)求出真值y、若其測(cè)量值為y"則對(duì)應(yīng)的誤差為二j = yj -yj,(j =i,2, n)職小二乘法可正重表小為：(i.i.i)對(duì)不等精度的測(cè)量，應(yīng)加上各測(cè)量值的權(quán)重因子 Pj ,即:(i.i.2)' Pr、= min最小二乘法是在隨機(jī)誤差為正態(tài)分布時(shí)，由最大似然法推出的這個(gè)結(jié)論.它可使測(cè)量誤差的平方和最小，因此被視為從一組測(cè)量值中求出一

10、組未知量的最可信賴(lài)的方法.i.2最小二乘多項(xiàng)式曲線(xiàn)擬合的基本原理i.2.i線(xiàn)性擬合原理將擬合函數(shù)取線(xiàn)性函數(shù)是一種簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)擬合方法，將數(shù)據(jù)點(diǎn)(Xi, f (Xi),(X2, f(X2), ,(Xm, f(Xm)確定線(xiàn)性擬合函數(shù)(i.2.i.i)'(x) = a bX稱(chēng)為對(duì)數(shù)據(jù)的線(xiàn)性擬合。對(duì)丁線(xiàn)性擬合問(wèn)題，需要求函數(shù)S(a,bT (a + bQ y(i.2.i.2)的最小值點(diǎn)，該問(wèn)題的幾何背景是尋求一條直線(xiàn)，使該直線(xiàn)與數(shù)據(jù)表所確定的平面散點(diǎn) 的縱向距離的平方和最小，如圖i.2.i-i所示.(圖 i.2.i-i)由函數(shù)對(duì)兩個(gè)變量求導(dǎo)得:心m笠=2£ca k =心m竺=2£

11、;的k旦a+bxka +bx”k)-y，x ,其余等丁零，得正規(guī)方程組也可將其矩陣形式寫(xiě)出來(lái)即："mma+£ xkb kmmZ xka+E xjk 1kmm七m Z xkkz!mk：2b =ykm k，xk yk4/ mW ykJmm£ X £ x2IkAkA加mzIk；xkykJ(1.2.1.3)(1.2.1.4)(1.2.1.5)解得a,b的值，將其代入(1.2.1.1)即可得到擬合線(xiàn)性函數(shù)1.2.2多項(xiàng)式擬合原理為了確定數(shù)據(jù)擬合問(wèn)題，選用籍函數(shù)1,x,x2，xn作為函數(shù)類(lèi)，貝U中(x) =a°+a1x+a x2 + anxn (n+1&l

12、t;m)(1.2.2.1)這就是多項(xiàng)式擬合函數(shù).為了確定擬合函數(shù)甲(x) =a°+ax+a2x2 +anxn的系數(shù)，需要求解正規(guī)方程組mmmma。寸 xk-一 x& =、' ykm z kd Lkxk3o=1m+zkT2 xk4 +k=1k=1mnH+ 2xkankmm=£km(1.2.2.2)mzn xkaomn +xka1mm+十£ x：nan=£nxk ykk=1k=1k=1也可以用矩陣形式表示為fmm/ mm£ xkV n-xkzykkmk=1'a。'k =1mmmmw xk2£ xk寸n噂&#

13、163; xkazxk ykk=1k=1 a-k=1aak*ammm )m寸 nE xk一 n-E xk一 2n£ xkzn xkyk<k=1k =1k=1)lk=1J解得a。, a1，an即可，將其代入(1.2.2.1)即可得到擬合多項(xiàng)式.2分段曲線(xiàn)擬臺(tái)2.1分段曲線(xiàn)擬合的基本原理3.擬合函數(shù)一般然后再應(yīng)用最先根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分布的特點(diǎn)，確定分段數(shù)目以及相應(yīng)擬合曲線(xiàn)類(lèi)型 可選為多項(xiàng)式函數(shù)，因?yàn)樵谝欢ǚ秶鷥?nèi)，連續(xù)函數(shù)可用多項(xiàng)式任意逼近, 小二乘法原理求得各分段擬合方程的系數(shù).基本步驟為：第一步：將數(shù)據(jù)點(diǎn)分段，確定基函數(shù) 中0(x),氣(x),，氣(x),第二步：根據(jù)題目要求，建立正

14、規(guī)方程組，第三步：解正規(guī)方程組，求出待定系數(shù)，第四步：寫(xiě)出擬合函數(shù).下面以分段線(xiàn)性擬合與分段三次曲線(xiàn)擬合為例討論分段擬合的基本過(guò)程 2.1.1分段線(xiàn)性擬合我們把給出的數(shù)據(jù)點(diǎn)分成k組N1,N2，Nk,即*、(X11, yi1)，( X12，yi2 )，( X1N1，yiN1 ).* . .* .*.(X21，y21 )，( X22，y22)，( X2N2，y2N2 ).* . .* .*.(Xk1，yk1 )，( Xk2，yk2)，( XkNk，ykNk )其中N1，N2,，Nk為每組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù).首先考慮線(xiàn)性擬合這種簡(jiǎn)單的情形，對(duì)k組數(shù)據(jù)點(diǎn)分別應(yīng)用最小二乘線(xiàn)性擬合，得到各組數(shù)據(jù)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的近似線(xiàn)性

15、函數(shù)，g(X) =a+bX(命小小卬)g2(X) =a2 b X (*卬 £ x ： X2n2)gk(X)=ak bkX(Xjn % x £、)而在整個(gè)考慮的擬合區(qū)間上就得到了 k -1條直線(xiàn)段:現(xiàn)在就這k -1條直線(xiàn)段所在各 區(qū)間的左端點(diǎn)定義g (xm ) = g+3凡)，該函數(shù)就成為整個(gè)區(qū)間上的數(shù)據(jù)擬合函數(shù).這就是 分段最小二乘線(xiàn)性擬合問(wèn)題.然而有些數(shù)據(jù)組并不是每段都呈線(xiàn)性關(guān)系，如數(shù)據(jù) (xyji =1,2，n，根據(jù)其散點(diǎn) 圖卻發(fā)現(xiàn)其前m個(gè)點(diǎn)較接近直線(xiàn)，后n-m個(gè)點(diǎn)呈現(xiàn)非線(xiàn)性關(guān)系，則可分兩段擬合.分別 以一次多項(xiàng)式Y(jié)和n次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，即Y=kx + b(2.1.1.

16、1)為了說(shuō)明具體的方法，不妨選E的階數(shù)為2,即Y2 =a0x2 +%x + a2(2.1.1.2)要保證在邊界點(diǎn)(xym)連續(xù)光滑，所以存在兩個(gè)約束條件 2kXm+b =aoXm+aXm+a2和k=2a°Xm+a，因此，式(2.1.1.1)和(2.1.1.2)的系數(shù)是相關(guān)的.解得 aa0xm，故式(2.1.1.1)為2Y =(2a°Xm +a)x aoXm +a2令S為最小二乘估計(jì)量，則mn2、2，2、2S = '(2 a0xm，a)Xia2'a0Xm yi 一 .二.(a0X|3ixi3 yi )(2.1.1.1)i 4im通過(guò)模型 =0 ; i=0,1,

17、2，可求得最小方差S的a0,a1,a 2的值，從而確定出式 ：ai與(2.1.1.2)中的回歸系數(shù).最后，通過(guò)Il mnZ (Yi -V)2 +£ (Ei 3)2i 4i -mr ：n -:L (" - y)2和F檢驗(yàn)值F =(二)22 ,對(duì)回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，式中22Yi =( 2血 xm + a) x a mx+ ;236i=a0X +ax + a2.當(dāng)然，根據(jù)不同的數(shù)據(jù)，可分三段進(jìn)行擬合，或根據(jù)不同的數(shù)據(jù)特點(diǎn)，采用多次曲 線(xiàn)擬合方式.2.1.2分段三次曲線(xiàn)擬合4,5設(shè)有N個(gè)數(shù)據(jù)乙,Z2,Z3,Zn .因?yàn)樗膫€(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)可確定一條三次曲線(xiàn)，但在選取分段 點(diǎn)時(shí)，必須考慮分

18、段后相鄰曲線(xiàn)必須連續(xù)，即邊界點(diǎn)連續(xù)，因此用五個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合一條三次曲線(xiàn).擬合方法：首先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行一定的分段，將第一到第五數(shù)據(jù)分為第一段，再將第五到第九個(gè)數(shù)據(jù)分為第二段，將第九到第十三個(gè)數(shù)據(jù)分為第三段，依次類(lèi)推進(jìn)行分組，即前一段末尾的數(shù)據(jù)為下一段數(shù)據(jù)的首位，這樣便保證了數(shù)據(jù)分段的連續(xù)性.然后再對(duì)個(gè)分段數(shù)據(jù)進(jìn)行三次曲線(xiàn)擬合即可.令某段數(shù)據(jù)的三次擬合曲線(xiàn)函數(shù)為：Wt =a+bt+ct2 +dt3(t = -2,-1,0,1,2)可以將此曲線(xiàn)函數(shù)分解為奇偶兩個(gè)函數(shù)：奇函數(shù) v=bt+dt3和偶函數(shù)ut=a + ct2.下面應(yīng)用最小二 乘法的基本原理求三次擬合曲線(xiàn)的系數(shù)6,由丁在每段數(shù)據(jù)中第一點(diǎn)和最后一點(diǎn)

19、均兩次 參與擬合，因此，在求一段曲線(xiàn)的擬合方差時(shí)需要加權(quán).按照平均分配的原則口，求方差1的權(quán)值史2=2= ,，=九0=氣=1,得到該段曲線(xiàn)擬合的方差2(2.1.2.1)(2.1.2.2)(2.1.2.3)(2.1.2.4)S2=' "(W-Zt)2 17曲線(xiàn)表小為奇偶函數(shù)的形式如下Wt =Ut Vt,u_t =Ut,v_t = -Vt由(2.1.2.2)可以推導(dǎo)出下式.、1,、ut = 2伽 w_t), vt = 2 (W - w) 令 Zt =x +yt，x_t =x，y_t = % M1_1 _Xt"(Zt *曹=2(乙一*)因此擬合方差為2./_ 、2，、2S

20、t(Wt-Zt)t(Ut VtXt - yt)t瑚t瑚22 ,、2 一 ，、2=' ，t (ut xt ) - ._ - .t (vt - yt)(2.1.2.5)t /t/=S2即wt對(duì)乙的平滑可以看作是奇函數(shù)和偶函數(shù)分別平滑的疊加.從（2.1.2.5）式中可知奇函數(shù)擬合的方差.2S*t(xt -yt)2t / 2=，2人(btdt3 yt)2(2.1.2.6)t a=2(b d - y1)2 (2b 8d - y2)2令b d - y1 = 02b 8d - y2 = 0，解出b=(y2-2y)6 d =(8y y2>.6.因此S奇=0,即奇函數(shù)的擬合方差為0,達(dá)到最佳逼近.

21、同樣，從（2.1.2.5）式中可知偶函數(shù)擬合方差為2S2&（Ut X）2= （ a °x 戶(hù) 2（a -c x） +（ a -4 c2 &）17由（2.1.2.3）式得知在邊界點(diǎn)上1 ,、u2 = (w2 W/) = a 4c .2考慮到邊界點(diǎn)連續(xù)這一約束條件,令(2.1.2.7)(2.3.2.8)因此由式(2.3.2.7)可令S2 =籬 -(a 4c-x2)2 =(a-x。)2 2(a c*)2*-為)2423= (a-X0)2(a4人一含31解令 W=0,有 2(a-x0)+3(a+-e-x1)=0，得fa44a=(12x 8x0 -3e).17從(2.1.2.1

22、0)式可知三次曲線(xiàn)函數(shù)的系數(shù)a,c的取值與邊界點(diǎn)值有關(guān)， 式代入(2.1.2.9)式中可得S12 =編-(a 4c-x2)2 =編-(e-x2)2 =1(3x° e-4x)217(2.1.2.9)(2.1.2.10)將(2.1.2.10)e = a 4c所以得出 S2 =(ex2)2+1(3x0+e4x1)2,再令 旦=0,有17；e、2小,、-2(ex2) (3x0 e4x1) = 0,174x1 - 3< 01 x 2e =.(2.1.2.11)解得18聯(lián)立式(2.1.2.8)、式(2.1.2.10)、式(2.1.2.11),解得 a = (3后 4毛 一 x2) 6 c

23、=(-3-2x1 5x2)18最后得到三次擬合曲線(xiàn)表達(dá)式為(3x° 4x * . (y2 -2y)t (-3x° -2x(8y - y2)1863基于兩點(diǎn)三次Hermite插值的分段曲線(xiàn)擬臺(tái)3.1插值的定義定義3.1.19設(shè)函數(shù)y = f(x)在區(qū)間a,b上有定義，且已知在點(diǎn)a _ 尚：為：x2 ：: xn _ b處的函數(shù)值yj= f(xj),( j =0,1,2，n),若存在n次多項(xiàng)式pn(x) =a0 +%x +a2x2 + +anxn(3.1.1)使得Pn(xj)=yj,(j =0,1,2，,n)(3.1.2)成立，則稱(chēng)Pn(x)為f (x)的插值多項(xiàng)式,為,為法2，

24、X為插值結(jié)點(diǎn),f ( x)為插值函數(shù).3.2 Hermite插值方法Hermite插值方法可以處理插值條件中合導(dǎo)數(shù)值的插值問(wèn)題，即知道插值結(jié)點(diǎn)處的 函數(shù)值以及導(dǎo)數(shù)值，求插值多項(xiàng)式的插值問(wèn)題.3.2.1三次Hermite插值考慮兩個(gè)插值結(jié)點(diǎn)的情形,設(shè)a'xocxb，函數(shù)f(x)在ca,b 且已知f (尚)=y°, f(x)= y，f (均)= m°, f'(x)=m ,在區(qū)間a,b上求三次插值函數(shù)(3.2.1.1)23H (x) =a° ax a2xa3x使其滿(mǎn)足插值條件H(x)=y,H(x3 甲用 0,(3.2.1.2)定理3.2.1.19滿(mǎn)足插值

25、條件(3.2.1.2)的三次Hermite插值多項(xiàng)式是存在且唯一的.證明：由插值條件得線(xiàn)性方程組1100x。x112 x°2 X2x02x,a0aya2 lm0八a3 )<m1 J3x°3 x3x23x2(3.2.1.3)(3.2.1.4)考慮系數(shù)矩陣行列式，利用行列式的拉普拉斯展開(kāi)定理，可得故系數(shù)矩陣非奇異，線(xiàn)性方程組(3.1.2.3)有唯一解，從而三次多項(xiàng)式存在且唯例1求滿(mǎn)足插值條件 "(為)=1,0(00) =0,口(冷)=0,口3) = 0的三次插值多項(xiàng)式 a(x)，以及滿(mǎn)足插值條件 E(A)= 0,E xi * 0P' x0習(xí)1, X(=)

26、"次插值多項(xiàng)式 -(x).解：由丁為是三次多項(xiàng)式口(x)的二重零點(diǎn)，故可設(shè)2一 (x) =(gx C2)(x-x)口(尚)=1,心。)=0得2(Gx0 +0)(x0 x)=1 ,2G(x0-x)2(c1x0 C2)(x0-x)T0由插值條件求解得21G = _,C2 =3(x°xi)(x°xi)(x0x1)2x0代入2-(x) =(Gx C2)(x-x)整理得由插值條件x - x°x 一 x 2:(x) =(1 2 )(一)x - xa x - x°由丁 x1是三次多項(xiàng)式P(x)的二重零點(diǎn)，x0是一重零點(diǎn)，故可設(shè)-(x) =c(x x0)(x

27、x1)2，3) =1得c(x° 次)2 2(x° -處)(><0 -*) =1求解得1c= J(x -x。)所以：(x) = (x-x°)d2X -x°注：例題中的兩個(gè)特殊的插值函數(shù)實(shí)際上是兩點(diǎn)Hermite插值的基函數(shù).定理3.2.1.29兩點(diǎn)Hermite插值函數(shù)可以用基函數(shù)的方法表示為H(x) =)0財(cái)*) + 辯1江 +mA(x) +mR(x) , x" x°,為(3.2.1.5)其中1x02x03x0123Xxx012x03x2012x13x2=一(x1 - xo):o(x) =(1 2°)()2x x

28、o xi xo：i(x) =(1 2)(°)2x1 - xo xi - x0r(x) =(x x)( x x0 )2F(x)=(x*(%)2xi - x01:i(xj) = c0(勺=0注：定理3.2.1.2中的cc0(x)1(x)J0(x)J1(x)為Hermite插值基函數(shù)，其中'=.")=0；i = ji = j.:j"。i = j例 2 給定 f (1) =0, f (1) = 4, "(1) = 2, f (1) = 0 ,求 Hermite 插值多項(xiàng)式. 解：H3(x) =0h0(x) 4h1(x) 2g°(x) 0g(x)

29、.顯然本題不必計(jì)算ho(x), g1 (x).(x-1) 丫一1 一1 人1 _ (一1)¥h(x) 112= (2x)(x+1)2/4)i'x-1 f2 /g°(x) =(x-(-1)(x 1)(x-1) 4-1 -1H3(x) =4h(x) 2g°(x)H3(x) =(2x)(x 1)2 1 (x 1)(x1)2 23.3基于Hermite插值的分段曲線(xiàn)擬合基本原理的主要步驟第一步：根據(jù)給出的數(shù)據(jù)做出其散點(diǎn)圖，第二步：分析散點(diǎn)圖的特點(diǎn)，通過(guò)擬合試驗(yàn)確定分段擬合函數(shù)，第三步：采用MATLAB編程求得分段擬合函數(shù)的表達(dá)式，第四步：利用Hermite插值求出

30、分段邊界點(diǎn)的插值多項(xiàng)式，第五步：將插值多項(xiàng)式與分段擬合函數(shù)連接成連續(xù)的擬合曲線(xiàn)4實(shí)例應(yīng)用例3在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)試驗(yàn)研究中，對(duì)某地區(qū)土豆的產(chǎn)量與化肥的關(guān)系做了一實(shí)驗(yàn), 得到磷肥的施肥量與土豆產(chǎn)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表 4-1所示.表4-1磷肥的施肥量與土豆產(chǎn)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系磷施肥(公 斤/公頃)024497398147196245294342土豆產(chǎn)量(公斤)33.4632.4736.0637.9641.0440.0941.2642.1740.3642.73根據(jù)上表的數(shù)據(jù)給出土豆產(chǎn)量與磷肥的關(guān)系做出其散點(diǎn)圖，如圖 4-1所示.土豆產(chǎn)量（公斤）圖4-1磷肥的施肥量與土豆產(chǎn)量對(duì)應(yīng)關(guān)系的散點(diǎn)圖從圖可看出從0到98、從98到

31、342之間分別呈明顯的線(xiàn)性關(guān)系， 由此 可選取所求擬合函數(shù)為一分段的線(xiàn)性函數(shù)作擬合試驗(yàn)， 換言之，用前5點(diǎn)作一線(xiàn) 性擬合函數(shù)，再用后5個(gè)點(diǎn)也作一線(xiàn)性擬合函數(shù).采用MATLAB編程（見(jiàn)附錄1）求得，對(duì)磷肥的分段擬合函數(shù)0.0844x 32.07710.0090X 39.1303分段擬合圖如圖4-2所示.圖4-2磷肥的施肥量與土豆產(chǎn)量分段擬合曲線(xiàn)圖考慮到邊界點(diǎn)不連續(xù)，采用兩點(diǎn)三次Hermite插值使邊界點(diǎn)連續(xù)的方法，由丁y(98) =40.3483, y(147) =40.4533, y'(98) = 0.0844, y'(147) = 0.0090，故可以設(shè)其 Hermite 插

32、值多項(xiàng)式為H3(x) =40.3483h0(x) 40.4533hi(x) 0.0844g。(x) 0.0090gi(x)40.3483(147 -x)2(2x-147) 40.4533(x - 98)2(343 - 2x) H3(x):經(jīng)計(jì)算得117649-2 .20.0844(147 -x) (x-98) 0.0090(x-98) (x-147)2401即H3（x） =0.0000371155<3 -0.0144093294x2 1.8392571429-36.444499972將插值多項(xiàng)式與分段邊界點(diǎn)連接便可以得到連續(xù)的擬合曲線(xiàn)圖，達(dá)到較好的擬合效果.擬合曲線(xiàn)圖如圖4-3所示（程序

33、見(jiàn)附錄2）.圖4-3磷肥的施肥量與土豆產(chǎn)量的Hermite插值分段擬合曲線(xiàn)圖例4彈簧受力F的作用伸長(zhǎng)x, F與x在一定范圍內(nèi)服從虎克定律：F = kx （ x為 彈性系數(shù)），呈線(xiàn)性關(guān)系；但當(dāng)F增加到一定值后，不再服從虎克定律.一次試驗(yàn)測(cè)得的 數(shù)據(jù)如表4-2所示，其散點(diǎn)圖如圖4-4所示.表4-2彈簧受力與伸長(zhǎng)量的關(guān)系x(cm)135791112141618F(N)1.95.38.612.115.716.819.220.721.421.8(N)圖4-4彈簧受力與伸長(zhǎng)量的關(guān)系的散點(diǎn)圖通過(guò)散點(diǎn)圖先擬合試驗(yàn)，得出前5個(gè)點(diǎn)可用線(xiàn)性擬合，后5個(gè)點(diǎn)可作二次函數(shù)擬合； 同樣采用分段擬合的方法，方法同例3 (可設(shè)

34、y1 =職+b, y2 = a2+a1x2+a0x22).運(yùn)行程序(見(jiàn)附錄 3)可得 ao =-0.1350向=4.5518;a2 =-16.5508;k=1.7200;b = 0.1200.同樣將 擬合函數(shù)的邊界點(diǎn)采用兩點(diǎn)三次 Hermite插值.由 y(9) =15.6000, y(11)=17.1840, y'(9) =1.7200, y(11) = 1.5818，采用 MATLAB 編程 (見(jiàn)附錄4)求得插值多項(xiàng)式為 32H3 =0.4294499999999997 x -12.91805000000000 x 129.8885499999999x -420.103949999

35、9994再用插值多項(xiàng)式連接分段擬合曲線(xiàn)的邊界點(diǎn)便可得到較好的擬合圖形，擬合曲線(xiàn)如圖 4-5所示(程序見(jiàn)附錄5).圖4-5彈簧受力與伸長(zhǎng)量的Hermite插值分段擬合曲線(xiàn)圖例5在油貞高溫分解的過(guò)程中，一種苯有機(jī)分解成瀝宵及其他物質(zhì)，要了解瀝宵在一定溫度下隨時(shí)間t (分鐘)變化的相對(duì)濃度y (%)之間的關(guān)系.試驗(yàn)如表4-3所示,散點(diǎn)圖如圖4-6所示.表4-3瀝宵的相對(duì)濃度與時(shí)間變化的關(guān)系t51520506580100120160180y08.015.120.120.522.020.918.211.55.5圖4-6瀝宵的相對(duì)濃度與時(shí)間變化的關(guān)系的散點(diǎn)圖同樣通過(guò)散點(diǎn)圖先作擬合試驗(yàn)，得出前5個(gè)點(diǎn)可采用三

36、次多項(xiàng)式擬合，后5個(gè)點(diǎn)可 采用二次多項(xiàng)式擬合，可設(shè)分段擬合函數(shù)為32.2y1 = a1x a2x a3x1 a4, y2 = b|X2 b2x2 b3運(yùn)行程序(見(jiàn)附錄6)得出a1 =0.0002;a2 = -0.0285;a3 =1.5456;a4 = -7.4491§ = -0.0013；b =0.1747;b3 =16.2750再將擬合函數(shù)的邊界點(diǎn)采用兩點(diǎn)三次 Hermite插值，由y(65) =20.4974, y(80) =22.2531, y (65) =0.3756, y (80) =0.3827采用MATLAB編程(見(jiàn)附錄7)計(jì)算求得插值多項(xiàng)式為H3 = 0.00232

37、9807407407407c3 - 0.5064964444444440k2 36.68982888888888<-864.2173592592588將插值多項(xiàng)式連接分段擬合曲線(xiàn)的邊界點(diǎn)后得到的擬合曲線(xiàn)圖，擬合曲線(xiàn)見(jiàn)圖4-7(程序見(jiàn)附錄8).圖4-7瀝宵的相對(duì)濃度與時(shí)間變化的關(guān)系的Hermite插值分段擬合圖5結(jié)束語(yǔ)本文介紹最小二乘多項(xiàng)式曲線(xiàn)擬合的基本原理，在具體介紹線(xiàn)性擬合、多項(xiàng)式擬合 的基本及方法的基礎(chǔ)上，給出了分段曲線(xiàn)擬合的方法與步驟.分段曲線(xiàn)擬合是一種常用 的數(shù)據(jù)處理方法，但是在分段點(diǎn)處往往不能滿(mǎn)足連續(xù)與光滑，針對(duì)這一問(wèn)題，本文進(jìn)一 步給出了 Hermite插值的基本原理，并采用

38、兩點(diǎn)三次 Hermite插值連接分段曲線(xiàn)，從而 使分段點(diǎn)處滿(mǎn)足一階連續(xù)，最后通過(guò)三個(gè)實(shí)例表明該方法的擬合效果較好.另外，本文僅討論了使用Hermite插值連接分段線(xiàn)性、分段多項(xiàng)式曲線(xiàn)擬合的方法， 對(duì)其他種類(lèi)的曲線(xiàn)未作討論.事實(shí)上，兩點(diǎn)三次Hermite插值的方法連接其他種類(lèi)的擬合 曲線(xiàn)同樣適用.參考文獻(xiàn)1 聶翔，張瑞林.最小二乘法在曲線(xiàn)擬合中的實(shí)現(xiàn)J.陜西工學(xué)院學(xué)報(bào)，2000, 3: 79-82.2 張東林.分段最小二乘曲線(xiàn)擬合J.沈陽(yáng)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1994, 2: 80-83.3 文U曉莉，陳春梅.基于最小二乘原理的分段曲線(xiàn)擬合法J.伊犁教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2004, 17(3):131

39、-136.4 蔡山，張浩，陳洪輝，等.基于最小二乘法的分段三次曲線(xiàn)擬合方法研究J.科學(xué)技術(shù)與工程，2007, 7(3): 352-355.5 張浩，任義廣，沙基昌.基于分段三次曲線(xiàn)擬合的廣州周發(fā)案量預(yù)測(cè)J.計(jì)算機(jī)仿真，2008, 25(6):257-260.6 Roychowdhury S. Fuzzy curve fitting using least square principlesJ. IEEE International Conference on Systems, Man and Cybemetics, 1998, 4: 4022-4027.7 高偉，姜水生.分段曲線(xiàn)擬合與離散度加

40、權(quán)的數(shù)據(jù)誤差處理方法J.中國(guó)測(cè)試技術(shù)，2005, 11:55-56.8 張興元.分段函數(shù)的光滑方法及其在曲線(xiàn)擬合中的應(yīng)用J.西南民族大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2007, 33(3): 486-490.9 鐘爾杰，黃延祝.數(shù)值分析(第四版)M.北京：高等教育出版社，2004.10 韓中庚.數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用M.北京：高等教育出版社，2005.11 文U衛(wèi)國(guó).MATLAB程序設(shè)計(jì)與應(yīng)用(第二版)M.北京：高等教育出版社，2006.致謝經(jīng)過(guò)幾個(gè)月的努力和忙碌，本次畢業(yè)論文即將完成，對(duì)為一個(gè)本科生的畢業(yè)論文， 由丁經(jīng)驗(yàn)不足，難免有許多地方考慮不全面，如果沒(méi)有指導(dǎo)老師的督促與辛勤的指導(dǎo)， 以及一起學(xué)習(xí)的

41、同學(xué)們的幫助與支持，想順利的完成這篇論文比較難 .值此論文完成之際，首先對(duì)指導(dǎo)老師李軍成老師表示最誠(chéng)摯的感謝與崇高的敬意 李老師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，深厚淵博的學(xué)術(shù)素養(yǎng)，敏銳的思維，積極進(jìn)去的精神，嚴(yán)以律 己，寬以待人的崇高品質(zhì)，樂(lè)觀向上的人生態(tài)度，謙遜和藹的為人品德，平等的師生關(guān) 系，尤其是認(rèn)真負(fù)責(zé)的工作態(tài)度均給我留下了不可磨滅的印象，相信對(duì)我今后的學(xué)習(xí)、 工作以及生活都會(huì)有著深遠(yuǎn)的影響.感謝陳國(guó)華主任、楊篤慶書(shū)記、譚本遠(yuǎn)主任等數(shù)學(xué)系領(lǐng)導(dǎo)們，你們認(rèn)真負(fù)責(zé)的治學(xué) 態(tài)度和高速度、高效率的辦事方式深深的感染了我們， 讓我們能夠時(shí)時(shí)刻刻提醒自己要 認(rèn)真負(fù)責(zé)對(duì)待每件事情、每一個(gè)環(huán)節(jié)，感謝梁經(jīng)瓏?yán)蠋煛顪靿m老

42、師、余星老師、李軍 成老師、鄧華老師、鐘月娥老師、孫紅果老師、李兵老師、龍承星老師等數(shù)學(xué)系的老師 們，你們的授課方式與淵博的知識(shí)深化了我們的知識(shí)面，拓廣了我們的視野，使我們對(duì)數(shù)學(xué)有了更濃厚的興趣與體會(huì).感謝杜鵑老師、鄭麗峰老師，你們熱忱的幫助使我們有 一個(gè)很好的學(xué)習(xí)余圍來(lái)完成論文.在本文的寫(xiě)作過(guò)程中，李軍成老師，石小芳、彭迪、方其斌等同學(xué)提出了許多寶貴 的意見(jiàn)，此論文的完成離不開(kāi)他們的指導(dǎo)，特別是李軍成老師；他們淵博的學(xué)識(shí)與敏銳的頭腦讓我受益匪淺.再次對(duì)幫助我的人表示衷心的感謝.附錄1磷肥的施肥量與土豆產(chǎn)量的分段擬合函數(shù)程序x=0,24,49,73,98,147,196,245,294,342

43、;y=33.46,32.47,36.06,37.96,41.04,40.09,41.26,42.17,40.36,42.73;plot(x,y,'r+')a1=polyfit(x(1:5),y(1:5),1)a2=polyfit(x(6:10),y(6:10),1)xx1=0:98; yy1=a1 (1) *xx1+a1(2);xx2=147:342; yy2=a2(1)*xx2+a2(2);plot(x,y,'r+',xx1,yy1,xx2,yy2)附錄2磷肥的施肥量與土豆產(chǎn)量的Hermite插值的分段擬合曲線(xiàn)圖程序x=0,24,49,73,98,147,19

44、6,245,294,342;y=33.46,32.47,36.06,37.96,41.04,40.09,41.26,42.17,40.36,42.73;plot(x,y,'r+')a1=polyfit(x(1:5),y(1:5),1)a2=polyfit(x(6:10),y(6:10),1)xx1=0:0.01:98; yy1=a1 (1) *xx1+a1(2);xx2=147:0.01:342; yy2=a2 (1) *xx2+a2 (2);xx3=98:0.01:147;yy3=0.0000371155*xx3.A3-0.0144093294*xx3.A2+1.839257

45、1429*xx3-36.444499972;plot(x,y,'r+',xx1,yy1,xx2,yy2,xx3,yy3)附錄3彈簧受力與伸長(zhǎng)量的關(guān)系的分段擬合函數(shù)程序x=1,3,5,7,9,11,12,14,16,18;y=1.9,5.3,8.6,12.1,15.7,16.8,19.2,20.7,21.4,21.8;plot(x,y,'r+')a1=polyfit(x(1:5),y(1:5),1)a2=polyfit(x(6:10),y(6:10),2)xx1=1:0.01:9; yy1=a1 (1) *xx1+a1(2);xx2=11:0.01:18; yy2

46、=a2(1)*xx2.A2+a 2(2) *xx2+a2(3);plot(x,y,'r+',xx1,yy1,xx2,yy2)附錄4彈簧受力與伸長(zhǎng)量的關(guān)系的兩點(diǎn)三次Hermite插值多項(xiàng)式程序format long eclf,clear,x0=9;x1=11;y0=15.6000;y1=17.1840;m0=1.7200;m1=1.5818;x=linspace(9,11,100);y=linspace(15.6000,17.1840,100);m=2*(y0-y1)+(m0+m1)*(x1-x0);n=3*(x0+x1)*y1-3*(x0+x1)*y0-(2*x1+x0)*m0

47、*(x1-x0)-(2*x0+x1)*(x1-x0)*m1;k=6*x0*x1*(y0-y1)+(x1-x0)*(m0*x1.A2+m1*x0.A2)+2*x1*x0*(m0+m1);q=x1.A2*(x1-3*x0)*y0+x0.A2*(3*x1-x0)*y1-x0*x1*(x1-x0)*(x1*m0+x0*m1);p=(x1-x0).A3;a=m/pb=n/pc=k/pd=q/py=a*x.A3+b*x.A2+c*x+d;plot(x,y,'r-')附錄5彈簧受力與伸長(zhǎng)量的Hermite插值的分段擬合曲線(xiàn)圖程序x=1,3,5,7,9,11,12,14,16,18;y=1.9,5.3,8.6,12.1,15.7,16.8,19.2,20.7,21.4,21.8;plot(x,y,'r+')a1=p