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文檔簡介
1、實用文檔 文案大全 1996年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學三試題 一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.) (1) 設方程yxy?確定y是x的函數(shù),則dy? _. (2) 設()arcsinxfxdxxC?, 則1()dxfx? _. (3) 設?00,xy是拋物線2yaxbxc?上的一點,若在該點的切線過原點,則系數(shù)應滿足的關系是 _. (4) 設 123222212311111231111nnnnnnnaaaaAaaaaaaaa? ?,123nxxXxx? ?,1111B? ?, 其中(;,1,2,)ijaaijijn? ?.則線性方程組TAXB?的解是
2、 _. (5) 設由來自正態(tài)總體2(,0.9)XN?容量為9的簡單隨機樣本, 得樣本均值5X?,則未知參數(shù)?的置信度為0.95的置信區(qū)間為 _. 二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內.) (1) 累次積分cos200(cos,sin)dfrrrdr?可以寫成 ( ) (A) 2100(,)yydyfxydx? (B) 21100(,)ydyfxydx? (C) 1100(,)dxfxydy? (D) 2100(,)xxdxfxydy? (2) 下述各選項正確的是 ( ) (A) 若21nnu?和21nn
3、v?都收斂,則21()nnnuv?收斂 (B) 1nnnuv?收斂,則21nnu?與21nnv?都收斂 (C) 若正項級數(shù)1nnu?發(fā)散, 則1nun? 實用文檔 文案大全 (D) 若級數(shù)1nnu?收斂,且(1,2,)nnuvn? ?,則級數(shù)1nnv?也收斂 (3) 設n階矩陣A非奇異(2n?),A?是矩陣A的伴隨矩陣,則 ( ) (A) 1()nAAA? (B) 1()nAAA? (C) 2()nAAA? (D) 2()nAAA? (4) 設有任意兩個n維向量組1,m? ?和1,m? ?,若存在兩組不全為零的數(shù)1,m? ? 和1,mk k,使111111()()()()0mmmmmmkkkk
4、? ?,則 ( ) (A) 1,m? ?和1,m? ?都線性相關 (B) 1,m? ?和1,m? ?都線性無關 (C) 1111,mmmm? ?線性無關 (D) 1111,mmmm? ?線性相關 (5) 已知0()1PB?且?1212()()PAABPABPAB?,則下列選項成立的是( ) (A) ? ?1212()()PAABPABPAB? (B) ?1212()()PABABPABPAB? (C) ?1212()()PAAPABPAB? (D) ?1122()()()PBPAPBAPAPBA? 三、(本題滿分6分) 設(),0,()0,0,xgxexfxxx?其中()gx有二階連續(xù)導數(shù),且
5、(0)1,(0)1gg?. (1)求()fx?; (2)討論()fx?在(,)?上的連續(xù)性. 四、(本題滿分6分) 實用文檔 文案大全 設函數(shù)()zfu?,方程()()xyuuptdt?確定u是,xy的函數(shù),其中(),()fuu?可微;()pt,()u?連續(xù),且()1u?. 求()()zzpypxxy?. 五、(本題滿分6分) 計算20(1)xxxedxe?. 六、(本題滿分5分) 設()fx在區(qū)間0,1上可微,且滿足條件120(1)2()fxfxdx?.試證:存在(0,1)?使 ()()0.ff? 七、(本題滿分6分) 設某種商品的單價為p時,售出的商品數(shù)量Q 可以表示成aQcpb?,其中a
6、b、 c均為正數(shù),且abc?. (1) 求p在何范圍變化時,使相應銷售額增加或減少. (2) 要使銷售額最大,商品單價p應取何值?最大銷售額是多少? 八、(本題滿分6分) 求微分方程22yxydydxx?的通解. 九、(本題滿分8分) 設矩陣010010000010012Ay?. (1) 已知A的一個特征值為3,試求y; (2) 求矩陣P,使()()TAPAP為對角矩陣. 十、(本題滿分8分) 設向量12,t? ?是齊次線性方程組0AX?的一個基礎解系,向量?不是方程組 實用文檔 文案大全 0AX?的解,即0A?.試證明:向量組12,t? ?線性無關. 十一、(本題滿分7分) 假設一部機器在一
7、天內發(fā)生故障的概率為0.2,機器發(fā)生故障時全天停止工作,若一周5個工作日里無故障,可獲利潤10萬元;發(fā)生一次故障仍可獲得利潤5萬元;發(fā)生兩次故障所獲利潤0元;發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬元.求一周內期望利潤是多少? 十二、(本題滿分6分) 考慮一元二次方程20xBxC?,其中BC、分別是將一枚色子(骰子)接連擲兩次先后出現(xiàn)的點數(shù).求該方程有實根的概率p和有重根的概率q. 十三、(本題滿分6分) 假設12,nXX X是來自總體X的簡單隨機樣本;已知(1,2,3,4)kkEXak?. 證明:當n充分大時, 隨機變量211nniiZXn?近似服從正態(tài)分布,并指出其分布參數(shù). 實用文檔 文案大全
8、 1996年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學三試題解析 一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分,把答案填在題中橫線上.) (1)【答案】? ?1lndxxy? 【解析】方法1:方程yxy?兩邊取對數(shù)得lnlnlnyxyyy?,再兩邊求微分 , ? ?11ln1ln1dxydydydxxxy?ln10xy?. 方法2:把yxy?變形得lnyyxe?,然后兩邊求微分得 ?lnln1ln1lnyyydxedyyyydyxydy?, 由此可得 ? ?1.1lndydxxy? (2)【答案】 ?32113xC? 【解析】由()arcsinxfxdxxC?,兩邊求導數(shù)有 ? ?2211()arcs
9、in1()1xfxxxxfxx? ?, 于是有 1()dx f x ?2221112xxdxxdx ? ? ?221112xdx?32113xC ?. (3)【答案】0ca?(或20axc?),b任意 【解析】對2yaxbxc?兩邊求導得?0022yaxb,yxaxb,? 所以過?00x,y的切線方程為?0002yyaxbxx,?即 ?200002yaxbxcaxbxx.? 又題設知切線過原點?00,把0xy?代入上式,得 2200002axbxcaxbx,?即20axc.? 實用文檔 文案大全 由于系數(shù)0a?,所以,系數(shù)應滿足的關系為0ca?(或20axc?),b任意. (4)【答案】?10
10、00T, , 【解析】因為A是范德蒙行列式,由ijaa?知?0ijAaa?.根據(jù)解與系數(shù)矩陣秩的關系,所以方程組TAXB?有唯一解. 根據(jù)克萊姆法則,對于 2111112122222133332111111111nnnnnnnnxaaaxaaaxaaaxaaa? ?, 易見 1230nDA,DDD.? ? 所以TAXB?的解為12310nx,xxx? ?,即?1000T, , . 【相關知識點】克萊姆法則:若線性非齊次方程組 11112211211222221122,.nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb? ? 或簡記為 112nijjijaxb,i,n? ? 其系數(shù)
11、行列式 1112121222120 n nn nnnaa aaaaDaaa? ?, 則方程組有唯一解 12jjDx ,j,n.D? 其中jD是用常數(shù)項12nb,b,b替換D中第j列所成的行列式,即 實用文檔 文案大全 1111111121212212111,j,j n, j, jnjnn,jnn,jnnaabaaaabaaDaabaa? ? ?. (5)【答案】(4.412,5.588) 【解析】可以用兩種方法求解: (1)已知方差22 0.9 ?,對正態(tài)總體的數(shù)學期望?進行估計,可根據(jù) 因2 (,0.9)XN ?,設有n個樣本, 樣本均值11niiXXn?, 有20.9(,) XNn?,將其
12、標準化,由公式()(0,1)()XEXNDXn?得: )1,0(1NnX? 由正態(tài)分布分為點的定義 211XPu n?可確定臨界值2?u, 進而確定相應的置信區(qū)間2 2(,)xuxunn?. (2)本題是在單個正態(tài)總體方差已知條件下,求期望值?的置信區(qū)間問題. 由教材上已經求出的置信區(qū)間22,xux unn?, 其中21,(0,1)PUuUN? ?,可以直接得出答案. 方法1:由題設,95.01?, 可見.05.0?查標準正態(tài)分布表知分位點.96.12?u本題9n?, 5X?, 因此,根據(jù) 95.096.11?nXP?,有 51.960.9519P?,即 4.4125.5880.95P?, 實
13、用文檔 文案大全 1 x y O 1212 故?的置信度為0.95的置信區(qū)間是(4.412,5.588) . 方法2:由題設,95.01?, 222222()10.95,()0.975PUuPuUuuu? 查得.96 . 12?u 20.9 ?,9n? , 5X?代入22(,)xuxunn?得置信區(qū)間(4.412,5.588). 二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內.) (1)【答案】(D) 【解析】方法1:由題設知,積分區(qū)域在極坐標系cos,sinxryr?中是 ?,|0,0cos, 2 Drr? 即
14、是由221124xy?與x軸在第一象限所圍成的 平面圖形,如右圖. 由于D的最左邊點的橫坐標是0,最右點的橫坐標是1, 下邊界方程是0y,? 上邊界的方程是2yxx?,從而D 的直角坐標表示是 ?2010Dx,y|x,yxx, ? 故(D)正確. 方法2:采取逐步淘汰法.由于(A)中二重積分的積分區(qū)域的極坐標表示為 ?1,|0,0sin,2Drr? 而(B)中的積分區(qū)域是單位圓在第一象限的部分, (C)中的積分區(qū)域是正方形?0101x,y|x,y,? 所以,他們都是不正確的.故應選(D). (2)【答案】(A) 【解析】由于級數(shù)21nnu?和21nnv?都收斂,可見級數(shù)?221nnnuv?收斂
15、.由不等式 222nnnnuvuv? 實用文檔 文案大全 及比較判別法知級數(shù)12nnnuv?收斂,從而12nnnuv?收斂. 又因為?2222nnnnnnuvuvuv,?即級數(shù)?21nnnuv?收斂,故應選(A). 設?21112nnu,vn,n? ?,可知(B)不正確. 設?21112nun,nn? ?,可知(C)不正確. 設? ?11112nnnu,vn,nn? ?,可知(D)不正確. 注:在本題中命題(D)“若級數(shù)1nnu?收斂,且(1,2,)nnuvn? ?,則級數(shù)1nnv?也收斂.”不正確,這表明:比較判別法適用于正項級數(shù)收斂(或級數(shù)絕對收斂)的判別,但對任意項級數(shù)一般是不適用的.這
16、是任意項級數(shù)與正項級數(shù)收斂性判別中的一個根本區(qū)別. (3)【答案】(C) 【解析】伴隨矩陣的基本關系式為AAAAAE?, 現(xiàn)將A?視為關系式中的矩陣A,則有()AAAE?. 方法一:由1nAA? 及1()AAA?,可得 121()().nnAAAAAAAA? 故應選(C). 方法二:由()AAAE?,左乘A得 1()()nAAAAA?,即1()()nAEAAA?. 故應選(C). (4)【答案】(D) 【解析】本題考查對向量組線性相關、線性無關概念的理解.若向量組12,s? ?線性無關,即若11220ssxxx? ?,必有120,0,0sxxx? ?. 既然1,m? ?與1,mk k不全為零,
17、由此推不出某向量組線性無關,故應排除(B)、(C). 一般情況下,對于 1122110,sssskkkll? ? 實用文檔 文案大全 不能保證必有11220,sskkk? ?及110,ssll? ?故(A)不正確.由已知條件,有 ?1111110mmmmmmkk? ?, 又1,m? ?與1,mk k不全為零,故1111,mmmm? ?線性相關. 故選(D). (5)【答案】(B) 【解析】依題意 ? ? ? ? ? ?12121212)(,.()()()()()PAABPABPABPABABPABPABPBPBPBPBPB? 因()0PB?,故有?1212)(PABABPABPAB?.因此應選
18、(B). 注:有些考生錯誤地選擇(D).他們認為(D)是全概率公式,對任何事件B都成立,但是忽略了全概率公式中要求作為條件的事件12,AA應滿足12()0,()0PAPA?,且12,AA是對立事件 . 【相關知識點】條件概率公式:()(|)()PABPBAPA?. 三、(本題滿分6分) 【解析】(1) 由于()gx有二階連續(xù)導數(shù),故當0x?時,()fx也具有二階連續(xù)導數(shù),此時,()fx?可直接計算,且()fx?連續(xù);當0x?時,需用導數(shù)的定義求(0)f?. 當0x?時 , 22()()()()(1)().xxxxgxegxexgxgxxefxxx? 當0x?時,由導數(shù)定義及洛必達法則,有 20
19、00()()()(0)1(0)limlimlim222xxxxxxgxegxegxegfxx?洛洛. 所以 2()()(1),0,()(0)1,0.2xxgxgxxexxfxgx? (2) ()fx?在0x?點的連續(xù)性要用定義來判定.因為在0x?處,有 200()()(1)lim()limxxxxgxgxxefxx? 實用文檔 文案大全 0()()()(1)lim2xxxgxxgxgxexex? 0()(0)1lim(0)22xxgxegf?. 而()fx?在0x?處是連續(xù)函數(shù),所以()fx?在(,)?上為連續(xù)函數(shù). 四、(本題滿分6分) 【解析】由()zfu? 可得(),()zuzufufu
20、xxyy?. 在方程()()xyuuptdt?兩邊分別對,xy求偏導數(shù),得 ()(),()().uuuuupxupyxxyy? 所以 ()(),1()1()upxupyxuyu?. 于是 ()()()()()()()01()1()zzpxpypxpypypxfuxyuu?. 五、(本題滿分6分) 【分析】題的被積函數(shù)是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)兩類不同的函數(shù)相乘,應該用分部積分法. 【解析】方法1:因為 21(1)111xxxxxxexdxdxxdeeee?分部積分 1(1)1111ln(1),1xxxxxxxxxexdxdeeeeexeCe? 所以 20limln(1)ln2.(1)1xxxxxxxe
21、xedxeee? 而 limln(1)limln(1)11xxxxxxxxxxexeeeeee? limln(1)1xxxxxexee? 實用文檔 文案大全 lim001xxxe?, 故原式ln2?. 方法 2: 220001(1)(1)1xxxxxxexedxdxxdeee? 00000011111(1)ln(1)ln2.1xxxxxxxxxdxdxedxeeeedeee? 六、(本題滿分5分) 【分析】由結論可知,若令()()xxfx?,則()()()xfxxfx?.因此,只需證明()x?在0,1內某一區(qū)間上滿足羅爾定理的條件. 【解析】令()()xxfx?,由積分中值定理可知,存在1(0
22、,)2?,使 1122001()()()2xfxdxxdx?, 由已知條件, 有1201(1)2()2()(),2fxfxdx?于是 (1)(1)(),f? 且()x?在(,1)?上可導,故由羅爾定理可知,存在(,1)(0,1),?使得 ()0,?即()()0.ff? 【相關知識點】1.積分中值定理:如果函數(shù)()fx在積分區(qū)間 ,ab上連續(xù),則在 ,ab上至少存在一個點?,使下式成立: ?()()()bafxdxfbaab?. 這個公式叫做積分中值公式. 2.羅爾定理:如果函數(shù)()fx滿足 (1)在閉區(qū)間 ,ab上連續(xù); (2)在開區(qū)間?a,b內可導; 實用文檔 文案大全 (3)在區(qū)間端點處的
23、函數(shù)值相等,即()()fafb?, 那么在?a,b內至少有一點?(ab?),使得?0f?. 七、(本題滿分6分) 【分析】利用函數(shù)的單調性的判定,如果在x的某個區(qū)間上導函數(shù)?0fx?,則函數(shù)?fx單調遞增,反之遞減. 【解析】(1)設售出商品的銷售額為R,則 ? ?22(),().abcpbaRpQpcRppbpb? 令0,R?得 0()0abbpbabccc?. 當0()bpabcc?時,0R?,所以隨單價p的增加,相應銷售額R也將增加. 當()bpabcc?時,有0R?,所以隨單價p的增加,相應銷售額R將減少. (2)由(1)可知, 當()bpabcc?時,銷售額R取得最大值,最大銷售額為
24、 2max()abaRbcabccabc?. 八、(本題滿分6分) 【解析】令yzx?, 則dydzzxdxdx?. 當0x?時, 原方程化為21dzzxzzdx?, 即21dzdxxz?,其通解為21ln(1)lnzzxC? 或 2C1zzx?. 代回原變量, 得通解22(0)yxyCx?. 當0x?時,原方程的解與0x?時相同,理由如下: 令tx?,于是0t?,而且 222222yxyyxyytydydydxdydtdxdtdxxxt?. 實用文檔 文案大全 從而有通解22(0)ytyCt?, 即22(0)yxyCx?. 綜合得, 方程的通解為22yxyC?. 注:由于未給定自變量x的取值
25、范圍,因而在本題求解過程中, 引入新未知函數(shù)yzx?后得 2221xyxz?, 從而,應當分別對0x?和0x?求解,在類似的問題中,這一點應當牢記. 九、(本題滿分8分) 【分析】本題的(1)是考查特征值的基本概念,而(2)是把實對稱矩陣合同于對角矩陣的問題轉化成二次型求標準形的問題,用二次型的理論與方法來處理矩陣中的問題. 【解析】(1)因為3?是A的特征值,故 31001300313138(2)0,003113110011yEAyy? 所以2y?. (2)由于TAA?,要2()()TTAPAPPAP?,而 21000010000540045A? 是對稱矩陣,故可構造二次型2TxAx,將其化
26、為標準形Tyy?.即有2A與?合同.亦即2TPAP?. 方法一:配方法. 由于 22222123434558TxAxxxxxxx? 22222212334444222212344816165()55255495(),55xxxxxxxxxxxxx? 那么, 令1122334444,5yxyxyxxyx?即經坐標變換 實用文檔 文案大全 1122334410000100,400150001xyxyxyxy? 有 222221234955TxAxyyyy?. 所以,取 10000100400150001P?,有 211()()595TTAPAPPAP?. 方法二:正交變換法. 二次型2222212
27、3434558TxAxxxxxxx?對應的矩陣為 21000010000540045A?, 其特征多項式 2310000100(1)(9)00540045EA?. 2A的特征值12341,1,1,9?.由21()0EAx?,即 123400000000000044000440xxxx?, 和24()0EAx?,即 123480000080000044000440xxxx?, 分別求得對應1,2,31?的線性無關特征向量 實用文檔 文案大全 123(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,1)TTT?, 和49?的特征向量4(0,0,1,1)T?. 對123,?用施密特正交化方法得1
28、23,?,再將4?單位化為4?,其中: 12341111(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,),(0,0,)2222TTTT?. 取正交矩陣 ? ?123411100001000000,221122P?, 則 1221119TPAPPAP?, 即 211()()19TTAPAPPAP?. 十、(本題滿分8分) 【解析】證法1: (定義法)若有一組數(shù)12,tkkk k使得 1122()()()0,ttkkkk? ? (1) 則因12,t? ?是0AX?的解,知0(1,2,)iAit? ?,用A左乘上式的兩邊,有 12()0tkkkkA? ?. (2) 由于0A?,故120tkkkk
29、? ?. 對(1)重新分組為121122()0tttkkkkkkk? ?. (3) 把(2)代入(3)得 11220ttkkk? ?. 由于12,t? ?是基礎解系,它們線性無關,故必有120,0,0tkkk? ?. 實用文檔 文案大全 代入(2)式得:0k?. 因此向量組12,t? ?線性無關. 證法2: (用秩)經初等變換向量組的秩不變.把第一列的-1倍分別加至其余各列,有 ?1212,.tt? ? 因此 ?1212,.ttrr? ? 由于12,t? ?是基礎解系,它們是線性無關的,秩?12,trt? ?,又?必不能由12,t? ?線性表出(否則0A?),故?12,1trt? ?. 所以 ?12,1.trt? ? 即向量組12,t? ?線性無關. 十一、(本題滿分7分) 【解析】設一周5個工作日內發(fā)生故障的天數(shù)為X,則X服從二項分布即(5,0.2)B. 由二項分布的概率計算公式,有 ?500.80.32768,PX? ?14510.80.20.4096,PXC?232520.80.20.2048,PXC? ?310120.0
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