1996年考研數(shù)學(xué)三真題及全面解析匯報(bào)

1、實(shí)用文檔 文案大全 1996年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題 一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.) (1) 設(shè)方程yxy?確定y是x的函數(shù),則dy? _. (2) 設(shè)()arcsinxfxdxxC?, 則1()dxfx? _. (3) 設(shè)?00,xy是拋物線2yaxbxc?上的一點(diǎn),若在該點(diǎn)的切線過原點(diǎn),則系數(shù)應(yīng)滿足的關(guān)系是 _. (4) 設(shè) 123222212311111231111nnnnnnnaaaaAaaaaaaaa? ?,123nxxXxx? ?,1111B? ?, 其中(;,1,2,)ijaaijijn? ?.則線性方程組TAXB?的解是

2、 _. (5) 設(shè)由來自正態(tài)總體2(,0.9)XN?容量為9的簡單隨機(jī)樣本, 得樣本均值5X?,則未知參數(shù)?的置信度為0.95的置信區(qū)間為 _. 二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).) (1) 累次積分cos200(cos,sin)dfrrrdr?可以寫成 ( ) (A) 2100(,)yydyfxydx? (B) 21100(,)ydyfxydx? (C) 1100(,)dxfxydy? (D) 2100(,)xxdxfxydy? (2) 下述各選項(xiàng)正確的是 ( ) (A) 若21nnu?和21nn

3、v?都收斂,則21()nnnuv?收斂 (B) 1nnnuv?收斂,則21nnu?與21nnv?都收斂 (C) 若正項(xiàng)級(jí)數(shù)1nnu?發(fā)散, 則1nun? 實(shí)用文檔 文案大全 (D) 若級(jí)數(shù)1nnu?收斂,且(1,2,)nnuvn? ?,則級(jí)數(shù)1nnv?也收斂 (3) 設(shè)n階矩陣A非奇異(2n?),A?是矩陣A的伴隨矩陣,則 ( ) (A) 1()nAAA? (B) 1()nAAA? (C) 2()nAAA? (D) 2()nAAA? (4) 設(shè)有任意兩個(gè)n維向量組1,m? ?和1,m? ?,若存在兩組不全為零的數(shù)1,m? ? 和1,mk k,使111111()()()()0mmmmmmkkkk

4、? ?,則 ( ) (A) 1,m? ?和1,m? ?都線性相關(guān) (B) 1,m? ?和1,m? ?都線性無關(guān) (C) 1111,mmmm? ?線性無關(guān) (D) 1111,mmmm? ?線性相關(guān) (5) 已知0()1PB?且?1212()()PAABPABPAB?,則下列選項(xiàng)成立的是( ) (A) ? ?1212()()PAABPABPAB? (B) ?1212()()PABABPABPAB? (C) ?1212()()PAAPABPAB? (D) ?1122()()()PBPAPBAPAPBA? 三、(本題滿分6分) 設(shè)(),0,()0,0,xgxexfxxx?其中()gx有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且

5、(0)1,(0)1gg?. (1)求()fx?； (2)討論()fx?在(,)?上的連續(xù)性. 四、(本題滿分6分) 實(shí)用文檔 文案大全 設(shè)函數(shù)()zfu?,方程()()xyuuptdt?確定u是,xy的函數(shù),其中(),()fuu?可微；()pt,()u?連續(xù),且()1u?. 求()()zzpypxxy?. 五、(本題滿分6分) 計(jì)算20(1)xxxedxe?. 六、(本題滿分5分) 設(shè)()fx在區(qū)間0,1上可微,且滿足條件120(1)2()fxfxdx?.試證:存在(0,1)?使 ()()0.ff? 七、(本題滿分6分) 設(shè)某種商品的單價(jià)為p時(shí),售出的商品數(shù)量Q 可以表示成aQcpb?,其中a

6、b、 c均為正數(shù),且abc?. (1) 求p在何范圍變化時(shí),使相應(yīng)銷售額增加或減少. (2) 要使銷售額最大,商品單價(jià)p應(yīng)取何值?最大銷售額是多少? 八、(本題滿分6分) 求微分方程22yxydydxx?的通解. 九、(本題滿分8分) 設(shè)矩陣010010000010012Ay?. (1) 已知A的一個(gè)特征值為3,試求y； (2) 求矩陣P,使()()TAPAP為對(duì)角矩陣. 十、(本題滿分8分) 設(shè)向量12,t? ?是齊次線性方程組0AX?的一個(gè)基礎(chǔ)解系,向量?不是方程組 實(shí)用文檔 文案大全 0AX?的解,即0A?.試證明:向量組12,t? ?線性無關(guān). 十一、(本題滿分7分) 假設(shè)一部機(jī)器在一

7、天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2,機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停止工作,若一周5個(gè)工作日里無故障,可獲利潤10萬元；發(fā)生一次故障仍可獲得利潤5萬元；發(fā)生兩次故障所獲利潤0元；發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬元.求一周內(nèi)期望利潤是多少? 十二、(本題滿分6分) 考慮一元二次方程20xBxC?,其中BC、分別是將一枚色子(骰子)接連擲兩次先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).求該方程有實(shí)根的概率p和有重根的概率q. 十三、(本題滿分6分) 假設(shè)12,nXX X是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本；已知(1,2,3,4)kkEXak?. 證明：當(dāng)n充分大時(shí), 隨機(jī)變量211nniiZXn?近似服從正態(tài)分布,并指出其分布參數(shù). 實(shí)用文檔 文案大全

8、 1996年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題解析 一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分,把答案填在題中橫線上.) (1)【答案】? ?1lndxxy? 【解析】方法1：方程yxy?兩邊取對(duì)數(shù)得lnlnlnyxyyy?,再兩邊求微分 , ? ?11ln1ln1dxydydydxxxy?ln10xy?. 方法2：把yxy?變形得lnyyxe?,然后兩邊求微分得 ?lnln1ln1lnyyydxedyyyydyxydy?, 由此可得 ? ?1.1lndydxxy? (2)【答案】 ?32113xC? 【解析】由()arcsinxfxdxxC?,兩邊求導(dǎo)數(shù)有 ? ?2211()arcs

9、in1()1xfxxxxfxx? ?, 于是有 1()dx f x ?2221112xxdxxdx ? ? ?221112xdx?32113xC ?. (3)【答案】0ca?(或20axc?),b任意 【解析】對(duì)2yaxbxc?兩邊求導(dǎo)得?0022yaxb,yxaxb,? 所以過?00x,y的切線方程為?0002yyaxbxx,?即 ?200002yaxbxcaxbxx.? 又題設(shè)知切線過原點(diǎn)?00,把0xy?代入上式,得 2200002axbxcaxbx,?即20axc.? 實(shí)用文檔 文案大全 由于系數(shù)0a?,所以,系數(shù)應(yīng)滿足的關(guān)系為0ca?(或20axc?),b任意. (4)【答案】?10

10、00T, , 【解析】因?yàn)锳是范德蒙行列式,由ijaa?知?0ijAaa?.根據(jù)解與系數(shù)矩陣秩的關(guān)系,所以方程組TAXB?有唯一解. 根據(jù)克萊姆法則,對(duì)于 2111112122222133332111111111nnnnnnnnxaaaxaaaxaaaxaaa? ?, 易見 1230nDA,DDD.? ? 所以TAXB?的解為12310nx,xxx? ?,即?1000T, , . 【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】克萊姆法則：若線性非齊次方程組 11112211211222221122,.nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb? ? 或簡記為 112nijjijaxb,i,n? ? 其系數(shù)

11、行列式 1112121222120 n nn nnnaa aaaaDaaa? ?, 則方程組有唯一解 12jjDx ,j,n.D? 其中jD是用常數(shù)項(xiàng)12nb,b,b替換D中第j列所成的行列式,即 實(shí)用文檔 文案大全 1111111121212212111,j,j n, j, jnjnn,jnn,jnnaabaaaabaaDaabaa? ? ?. (5)【答案】(4.412,5.588) 【解析】可以用兩種方法求解： (1)已知方差22 0.9 ?,對(duì)正態(tài)總體的數(shù)學(xué)期望?進(jìn)行估計(jì),可根據(jù) 因2 (,0.9)XN ?,設(shè)有n個(gè)樣本, 樣本均值11niiXXn?, 有20.9(,) XNn?,將其

12、標(biāo)準(zhǔn)化,由公式()(0,1)()XEXNDXn?得： )1,0(1NnX? 由正態(tài)分布分為點(diǎn)的定義 211XPu n?可確定臨界值2?u, 進(jìn)而確定相應(yīng)的置信區(qū)間2 2(,)xuxunn?. (2)本題是在單個(gè)正態(tài)總體方差已知條件下,求期望值?的置信區(qū)間問題. 由教材上已經(jīng)求出的置信區(qū)間22,xux unn?, 其中21,(0,1)PUuUN? ?,可以直接得出答案. 方法1：由題設(shè),95.01?, 可見.05.0?查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表知分位點(diǎn).96.12?u本題9n?, 5X?, 因此,根據(jù) 95.096.11?nXP?,有 51.960.9519P?,即 4.4125.5880.95P?, 實(shí)

13、用文檔 文案大全 1 x y O 1212 故?的置信度為0.95的置信區(qū)間是(4.412,5.588) . 方法2：由題設(shè),95.01?, 222222()10.95,()0.975PUuPuUuuu? 查得.96 . 12?u 20.9 ?,9n? , 5X?代入22(,)xuxunn?得置信區(qū)間(4.412,5.588). 二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).) (1)【答案】(D) 【解析】方法1：由題設(shè)知,積分區(qū)域在極坐標(biāo)系cos,sinxryr?中是 ?,|0,0cos, 2 Drr? 即

14、是由221124xy?與x軸在第一象限所圍成的 平面圖形,如右圖. 由于D的最左邊點(diǎn)的橫坐標(biāo)是0,最右點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1, 下邊界方程是0y,? 上邊界的方程是2yxx?,從而D 的直角坐標(biāo)表示是 ?2010Dx,y|x,yxx, ? 故(D)正確. 方法2：采取逐步淘汰法.由于(A)中二重積分的積分區(qū)域的極坐標(biāo)表示為 ?1,|0,0sin,2Drr? 而(B)中的積分區(qū)域是單位圓在第一象限的部分, (C)中的積分區(qū)域是正方形?0101x,y|x,y,? 所以,他們都是不正確的.故應(yīng)選(D). (2)【答案】(A) 【解析】由于級(jí)數(shù)21nnu?和21nnv?都收斂,可見級(jí)數(shù)?221nnnuv?收斂

15、.由不等式 222nnnnuvuv? 實(shí)用文檔 文案大全 及比較判別法知級(jí)數(shù)12nnnuv?收斂,從而12nnnuv?收斂. 又因?yàn)?2222nnnnnnuvuvuv,?即級(jí)數(shù)?21nnnuv?收斂,故應(yīng)選(A). 設(shè)?21112nnu,vn,n? ?,可知(B)不正確. 設(shè)?21112nun,nn? ?,可知(C)不正確. 設(shè)? ?11112nnnu,vn,nn? ?,可知(D)不正確. 注：在本題中命題(D)“若級(jí)數(shù)1nnu?收斂,且(1,2,)nnuvn? ?,則級(jí)數(shù)1nnv?也收斂.”不正確,這表明：比較判別法適用于正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂(或級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂)的判別,但對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)一般是不適用的.這

16、是任意項(xiàng)級(jí)數(shù)與正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別中的一個(gè)根本區(qū)別. (3)【答案】(C) 【解析】伴隨矩陣的基本關(guān)系式為AAAAAE?, 現(xiàn)將A?視為關(guān)系式中的矩陣A,則有()AAAE?. 方法一：由1nAA? 及1()AAA?,可得 121()().nnAAAAAAAA? 故應(yīng)選(C). 方法二：由()AAAE?,左乘A得 1()()nAAAAA?,即1()()nAEAAA?. 故應(yīng)選(C). (4)【答案】(D) 【解析】本題考查對(duì)向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)概念的理解.若向量組12,s? ?線性無關(guān),即若11220ssxxx? ?,必有120,0,0sxxx? ?. 既然1,m? ?與1,mk k不全為零,

17、由此推不出某向量組線性無關(guān),故應(yīng)排除(B)、(C). 一般情況下,對(duì)于 1122110,sssskkkll? ? 實(shí)用文檔 文案大全 不能保證必有11220,sskkk? ?及110,ssll? ?故(A)不正確.由已知條件,有 ?1111110mmmmmmkk? ?, 又1,m? ?與1,mk k不全為零,故1111,mmmm? ?線性相關(guān). 故選(D). (5)【答案】(B) 【解析】依題意 ? ? ? ? ? ?12121212)(,.()()()()()PAABPABPABPABABPABPABPBPBPBPBPB? 因()0PB?,故有?1212)(PABABPABPAB?.因此應(yīng)選

18、(B). 注：有些考生錯(cuò)誤地選擇(D).他們認(rèn)為(D)是全概率公式,對(duì)任何事件B都成立,但是忽略了全概率公式中要求作為條件的事件12,AA應(yīng)滿足12()0,()0PAPA?,且12,AA是對(duì)立事件 . 【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】條件概率公式：()(|)()PABPBAPA?. 三、(本題滿分6分) 【解析】(1) 由于()gx有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),故當(dāng)0x?時(shí),()fx也具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),此時(shí),()fx?可直接計(jì)算,且()fx?連續(xù)；當(dāng)0x?時(shí),需用導(dǎo)數(shù)的定義求(0)f?. 當(dāng)0x?時(shí) , 22()()()()(1)().xxxxgxegxexgxgxxefxxx? 當(dāng)0x?時(shí),由導(dǎo)數(shù)定義及洛必達(dá)法則,有 20

19、00()()()(0)1(0)limlimlim222xxxxxxgxegxegxegfxx?洛洛. 所以 2()()(1),0,()(0)1,0.2xxgxgxxexxfxgx? (2) ()fx?在0x?點(diǎn)的連續(xù)性要用定義來判定.因?yàn)樵?x?處,有 200()()(1)lim()limxxxxgxgxxefxx? 實(shí)用文檔 文案大全 0()()()(1)lim2xxxgxxgxgxexex? 0()(0)1lim(0)22xxgxegf?. 而()fx?在0x?處是連續(xù)函數(shù),所以()fx?在(,)?上為連續(xù)函數(shù). 四、(本題滿分6分) 【解析】由()zfu? 可得(),()zuzufufu

20、xxyy?. 在方程()()xyuuptdt?兩邊分別對(duì),xy求偏導(dǎo)數(shù),得 ()(),()().uuuuupxupyxxyy? 所以 ()(),1()1()upxupyxuyu?. 于是 ()()()()()()()01()1()zzpxpypxpypypxfuxyuu?. 五、(本題滿分6分) 【分析】題的被積函數(shù)是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)兩類不同的函數(shù)相乘,應(yīng)該用分部積分法. 【解析】方法1:因?yàn)?21(1)111xxxxxxexdxdxxdeeee?分部積分 1(1)1111ln(1),1xxxxxxxxxexdxdeeeeexeCe? 所以 20limln(1)ln2.(1)1xxxxxxxe

21、xedxeee? 而 limln(1)limln(1)11xxxxxxxxxxexeeeeee? limln(1)1xxxxxexee? 實(shí)用文檔 文案大全 lim001xxxe?, 故原式ln2?. 方法 2: 220001(1)(1)1xxxxxxexedxdxxdeee? 00000011111(1)ln(1)ln2.1xxxxxxxxxdxdxedxeeeedeee? 六、(本題滿分5分) 【分析】由結(jié)論可知,若令()()xxfx?,則()()()xfxxfx?.因此,只需證明()x?在0,1內(nèi)某一區(qū)間上滿足羅爾定理的條件. 【解析】令()()xxfx?,由積分中值定理可知,存在1(0

22、,)2?,使 1122001()()()2xfxdxxdx?, 由已知條件, 有1201(1)2()2()(),2fxfxdx?于是 (1)(1)(),f? 且()x?在(,1)?上可導(dǎo),故由羅爾定理可知,存在(,1)(0,1),?使得 ()0,?即()()0.ff? 【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.積分中值定理：如果函數(shù)()fx在積分區(qū)間 ,ab上連續(xù),則在 ,ab上至少存在一個(gè)點(diǎn)?,使下式成立： ?()()()bafxdxfbaab?. 這個(gè)公式叫做積分中值公式. 2.羅爾定理：如果函數(shù)()fx滿足 (1)在閉區(qū)間 ,ab上連續(xù)； (2)在開區(qū)間?a,b內(nèi)可導(dǎo)； 實(shí)用文檔 文案大全 (3)在區(qū)間端點(diǎn)處的

23、函數(shù)值相等,即()()fafb?, 那么在?a,b內(nèi)至少有一點(diǎn)?(ab?),使得?0f?. 七、(本題滿分6分) 【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性的判定,如果在x的某個(gè)區(qū)間上導(dǎo)函數(shù)?0fx?,則函數(shù)?fx單調(diào)遞增,反之遞減. 【解析】(1)設(shè)售出商品的銷售額為R,則 ? ?22(),().abcpbaRpQpcRppbpb? 令0,R?得 0()0abbpbabccc?. 當(dāng)0()bpabcc?時(shí),0R?,所以隨單價(jià)p的增加,相應(yīng)銷售額R也將增加. 當(dāng)()bpabcc?時(shí),有0R?,所以隨單價(jià)p的增加,相應(yīng)銷售額R將減少. (2)由(1)可知, 當(dāng)()bpabcc?時(shí),銷售額R取得最大值,最大銷售額為

24、 2max()abaRbcabccabc?. 八、(本題滿分6分) 【解析】令yzx?, 則dydzzxdxdx?. 當(dāng)0x?時(shí), 原方程化為21dzzxzzdx?, 即21dzdxxz?,其通解為21ln(1)lnzzxC? 或 2C1zzx?. 代回原變量, 得通解22(0)yxyCx?. 當(dāng)0x?時(shí),原方程的解與0x?時(shí)相同,理由如下: 令tx?,于是0t?,而且 222222yxyyxyytydydydxdydtdxdtdxxxt?. 實(shí)用文檔 文案大全 從而有通解22(0)ytyCt?, 即22(0)yxyCx?. 綜合得, 方程的通解為22yxyC?. 注：由于未給定自變量x的取值

25、范圍,因而在本題求解過程中, 引入新未知函數(shù)yzx?后得 2221xyxz?, 從而,應(yīng)當(dāng)分別對(duì)0x?和0x?求解,在類似的問題中,這一點(diǎn)應(yīng)當(dāng)牢記. 九、(本題滿分8分) 【分析】本題的(1)是考查特征值的基本概念,而(2)是把實(shí)對(duì)稱矩陣合同于對(duì)角矩陣的問題轉(zhuǎn)化成二次型求標(biāo)準(zhǔn)形的問題,用二次型的理論與方法來處理矩陣中的問題. 【解析】(1)因?yàn)??是A的特征值,故 31001300313138(2)0,003113110011yEAyy? 所以2y?. (2)由于TAA?,要2()()TTAPAPPAP?,而 21000010000540045A? 是對(duì)稱矩陣,故可構(gòu)造二次型2TxAx,將其化

26、為標(biāo)準(zhǔn)形Tyy?.即有2A與?合同.亦即2TPAP?. 方法一：配方法. 由于 22222123434558TxAxxxxxxx? 22222212334444222212344816165()55255495(),55xxxxxxxxxxxxx? 那么, 令1122334444,5yxyxyxxyx?即經(jīng)坐標(biāo)變換 實(shí)用文檔 文案大全 1122334410000100,400150001xyxyxyxy? 有 222221234955TxAxyyyy?. 所以,取 10000100400150001P?,有 211()()595TTAPAPPAP?. 方法二：正交變換法. 二次型2222212

27、3434558TxAxxxxxxx?對(duì)應(yīng)的矩陣為 21000010000540045A?, 其特征多項(xiàng)式 2310000100(1)(9)00540045EA?. 2A的特征值12341,1,1,9?.由21()0EAx?,即 123400000000000044000440xxxx?, 和24()0EAx?,即 123480000080000044000440xxxx?, 分別求得對(duì)應(yīng)1,2,31?的線性無關(guān)特征向量 實(shí)用文檔 文案大全 123(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,1)TTT?, 和49?的特征向量4(0,0,1,1)T?. 對(duì)123,?用施密特正交化方法得1

28、23,?,再將4?單位化為4?,其中： 12341111(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,),(0,0,)2222TTTT?. 取正交矩陣 ? ?123411100001000000,221122P?, 則 1221119TPAPPAP?, 即 211()()19TTAPAPPAP?. 十、(本題滿分8分) 【解析】證法1： (定義法)若有一組數(shù)12,tkkk k使得 1122()()()0,ttkkkk? ? (1) 則因12,t? ?是0AX?的解,知0(1,2,)iAit? ?,用A左乘上式的兩邊,有 12()0tkkkkA? ?. (2) 由于0A?,故120tkkkk

29、? ?. 對(duì)(1)重新分組為121122()0tttkkkkkkk? ?. (3) 把(2)代入(3)得 11220ttkkk? ?. 由于12,t? ?是基礎(chǔ)解系,它們線性無關(guān),故必有120,0,0tkkk? ?. 實(shí)用文檔 文案大全 代入(2)式得:0k?. 因此向量組12,t? ?線性無關(guān). 證法2： (用秩)經(jīng)初等變換向量組的秩不變.把第一列的-1倍分別加至其余各列,有 ?1212,.tt? ? 因此 ?1212,.ttrr? ? 由于12,t? ?是基礎(chǔ)解系,它們是線性無關(guān)的,秩?12,trt? ?,又?必不能由12,t? ?線性表出(否則0A?),故?12,1trt? ?. 所以 ?12,1.trt? ? 即向量組12,t? ?線性無關(guān). 十一、(本題滿分7分) 【解析】設(shè)一周5個(gè)工作日內(nèi)發(fā)生故障的天數(shù)為X,則X服從二項(xiàng)分布即(5,0.2)B. 由二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式,有 ?500.80.32768,PX? ?14510.80.20.4096,PXC?232520.80.20.2048,PXC? ?310120.0