空間解析幾何常見的曲面PPT課件

1、本章主要內容1柱面2 錐面3 旋轉曲面4 曲線與曲面的參數(shù)方程5 橢球面6 雙曲面（單葉雙曲面，雙葉雙曲面）7 拋物面（橢圓拋物面，雙曲拋物面）8 二次直紋面9 作圖五種典型的五種典型的二次曲面二次曲面第1頁/共68頁3.5 五種典型的二次曲面 橢球面雙曲面單葉雙曲面雙葉雙曲面拋物面橢圓拋物面雙曲拋物面第2頁/共68頁二次曲面的定義：二次曲面的定義：三元二次方程所表示的曲面稱之為三元二次方程所表示的曲面稱之為二次曲面二次曲面相應地平面被稱為相應地平面被稱為一次曲面一次曲面討論二次曲面形狀的討論二次曲面形狀的截痕法截痕法： 用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面相截

2、，考察其交線（即截痕）的形狀，然后相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌加以綜合，從而了解曲面的全貌以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面第3頁/共68頁1.對稱性：主平面:三坐標平面主軸:三坐標軸中心:坐標原點2.頂點:(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)軸:2a,2b,2c ( )半軸:a,b,c截距:a, b, c,ybzc1 222222 czbyax橢球面)0, 0, 0(cba,ax3.范圍：第4頁/共68頁4.4.主截線：平行截割法：平行截割法： 用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面相截，考察其交線（即截口）的形狀

3、，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌。1222222 czbyax橢球面 與三個坐標面的交線截口是曲面與平面的交線第5頁/共68頁ozyx22221:0yzyOzbcx面橢球面橢球面22221:0 xzxOzacy面22221:0 xyxOyabz面1222222 czbyax橢球面 與三個坐標面的交線第6頁/共68頁1 222222 czbyax5.5.平截線：用z = hz = h截曲面用y = my = m截曲面用x = nx = n截曲面abcyx zo第7頁/共68頁用平行于xoyxoy坐標面的平面截割橢球面，得截線的方程為：2222221(5)xyhabczh ，(5)(5)無圖形；

4、 由于h h是變化的，(5)(5)表示一族橢圓，橢圓面可以看成由一個橢圓變動而生成的，其在變動中始終保持所在的平面與坐標面xoyxoy平行. .ch ch ch 221cha221chb), 0 , 0(c，(5)(5)表示兩個點 ；( (5)5)表示一個橢圓，兩半軸長分別為第8頁/共68頁橢球面的幾種特殊情況：橢球面的幾種特殊情況：,)1(ba 1222222 czayax旋轉橢球面旋轉橢球面 012222yczax由橢圓由橢圓 繞繞 軸旋轉而成軸旋轉而成z122222 czayx方程可寫為方程可寫為第9頁/共68頁,)2(cba 1222222 azayax球面球面.2222azyx .)

5、(12122222 zzzccayx截面上圓的方程截面上圓的方程方程可寫為方程可寫為旋轉橢球面旋轉橢球面與與橢球面橢球面的的區(qū)別區(qū)別：與平面與平面 的交線為圓的交線為圓.1zz )| (1cz 第10頁/共68頁三、橢球面的參數(shù)方程2222221xyzabccoscoscos sin,0222sinxaybzc第11頁/共68頁上?？萍汲菣E球體玻璃幕墻 應用實例：第12頁/共68頁雙曲面雙曲面單葉雙曲面單葉雙曲面 雙葉雙曲面雙葉雙曲面xyoz xyoz第13頁/共68頁單葉雙曲面單葉雙曲面1222222 czbyax一、單葉雙曲面一、單葉雙曲面1 1 對稱性（對稱性（symmetricsymm

6、etric）第14頁/共68頁2 2 頂點、與坐標軸的交點和截距頂點、與坐標軸的交點和截距 (vertex and intercept)(vertex and intercept)（1 1）單葉雙曲面與）單葉雙曲面與x x，y y軸分別交于（軸分別交于（a a，0 0，0 0），）， （0 0，b b，0 0）而與）而與z z軸無實交點軸無實交點. . 上述四點稱為單葉雙曲面的實頂點，上述四點稱為單葉雙曲面的實頂點， 而與而與z z軸的交點（軸的交點（0 0，0 0，cici） 稱為它的兩個虛交點稱為它的兩個虛交點. .（2 2）截距：分別用）截距：分別用y=0,z=0y=0,z=0和和x=0

7、,z=0 x=0,z=0，代入得代入得x,yx,y軸上的截距為軸上的截距為: : ， ；在在z z軸上沒有截距軸上沒有截距. .axby xyoz第15頁/共68頁3 3 圖形的范圍圖形的范圍由方程由方程 知，即曲面存在于橢圓柱面知，即曲面存在于橢圓柱面 之外，從而曲面與之外，從而曲面與z z軸無交點，軸無交點，并且在并且在xoyxoy面的上面的上, ,下半空間延到無窮遠下半空間延到無窮遠. .22221xyab22221xyab xyoz1222222 czbyax第16頁/共68頁2021-11-174 4 主截線主截線與三坐標平面與三坐標平面z = 0z = 0，y = 0y = 0和和

8、x = 0 x = 0交于三條曲線交于三條曲線012222zbyaxxoyxoy面上的橢圓叫做腰橢圓 012222xczby012222yczaxyozyoz面面上的雙曲上的雙曲線線 xozxoz面上面上的雙曲線的雙曲線 有共同的虛軸和虛軸長第17頁/共68頁 (1)(1)用用z = h z = h 截曲面截曲面結論：單葉雙曲面可看作由一結論：單葉雙曲面可看作由一個橢圓的變動（大小位置都改個橢圓的變動（大小位置都改變）而產生，該橢圓在變動中，變）而產生，該橢圓在變動中，保持所在平面與保持所在平面與xOy xOy 面平行，面平行，且兩對頂點分別在兩定雙曲線且兩對頂點分別在兩定雙曲線上滑動上滑動.

9、 .2222221,.z hxyhCabczh橢圓：用平行于坐標面的平面截割用平行于坐標面的平面截割y z5 5 平截線第18頁/共68頁y = hy z(2)(2)用用y = h y = h 截曲面截曲面用平行于坐標面的平面截割用平行于坐標面的平面截割當當 時時hb2222221.y hxzhCacbyh ，：截線為雙曲線截線為雙曲線第19頁/共68頁(2)(2)用用y = h y = h 截曲面截曲面 用平行于坐標面的平面截割用平行于坐標面的平面截割當當 時時hb2222221.y hxzhCacbyh ，：截線為雙曲線截線為雙曲線第20頁/共68頁y = h yx zo用平行于坐標面的平

10、面截割用平行于坐標面的平面截割(2)(2)用用y = h y = h 截曲面截曲面當當 時時hb2222221.y hxzhCacbyh ，：截線為雙曲線截線為雙曲線第21頁/共68頁 用平行于坐標面的平面截割用平行于坐標面的平面截割(2)(2)用用y = h y = h 截曲面截曲面當當 時時hb2222221.y hxzhCacbyh ，：截線為雙曲線截線為雙曲線第22頁/共68頁y = h yx zo當當 時時hb22220.y hxzCacyh，：截線為直線截線為直線用平行于坐標面的平面截割用平行于坐標面的平面截割(2)(2)用用y = h y = h 截曲面截曲面2222221.y

11、hxzhCacbyh ，：第23頁/共68頁(0 , b , 0)用平行于坐標面的平面截割用平行于坐標面的平面截割(2)(2)用用y = h y = h 截曲面截曲面當當 時時hb22220.y hxzCacyh，：截線為直線截線為直線第24頁/共68頁當當 時時hb當當 時時hb當當 時時hb2222221xyzabc單葉雙曲面：單葉雙曲面：用用y = h y = h 截曲面截曲面2222221.y hxzhCacbyh ，：2222221.y hxzhCacbyh ，：22220.y hxzCacyh，：第25頁/共68頁第26頁/共68頁byzo 22221,:0yzbcx222221.

12、xyzbc 當 時, ,ab2222221xyzabc第27頁/共68頁byzox單葉旋轉雙曲面 當 時, ,ab2222221xyzabc22221,:0yzbcx 222221.xyzbc第28頁/共68頁分析：分析：這一族的橢圓方程為這一族的橢圓方程為2222221,xyhabczh 即即 22222222111,.xyhhabcczh從而橢圓焦點坐標為從而橢圓焦點坐標為22221,0,.hxabcyzh 消去參數(shù)消去參數(shù) h h 得得222221,0.xzabcy第29頁/共68頁二、雙葉雙曲面1222222 czbyax雙葉雙曲面雙葉雙曲面xyoz特別的a=b時 為旋轉雙曲面1222

13、222czbyax第30頁/共68頁雙葉雙曲面的性質1 1 對稱性（symmetricsymmetric）2 2 與坐標軸的交點及截距(vertex and intercept)(vertex and intercept) （1 1）雙葉雙曲面與x x軸、y y軸不交，而與z z軸交于（0 0，0 0，c c），此為其實頂點. . （2 2）用x=0,y=0 x=0,y=0代入，得曲線在z z軸上的截距，而在x,yx,y軸上無截距. .xyoz第31頁/共68頁3 3 圖形范圍 ，易知 ，即 或 所以曲面分成兩葉，一葉在 的上方，另一葉在 平面的下方，曲面在面的上半空間下半空間延伸到無窮。 2

14、222221xyzabc 0122czcz czcz czxyoz第32頁/共68頁用y = 0 y = 0 截曲面用x = 0 x = 0 截曲面用z = 0 z = 0 截曲面4 4 主截線2222010.yzxCcay雙曲線，：2222010.xzyCcbx雙曲線，：無交點xy zo第33頁/共68頁5 5 平截線當 時, ,hc 當 時, ,hc0,0, c交點坐標2222221,.z hxyhCabczh：截線為橢圓（1 1）用 截曲面zh hcyx zo結論：雙葉雙曲面可看作由一個橢圓的變動（大小位置都改變）而產生，該橢圓在變動中，保持所在平面與xOy xOy 面平行，且兩軸的端點

15、分別在兩定雙曲線上滑動. .第34頁/共68頁（2 2）用 截曲面yt2222221,.y tzxtCcabyt ：截線為雙曲線yx zo第35頁/共68頁2222221,.x tzytCcbaxt ：截線為雙曲線（3 3）用 截曲面xtyx zo第36頁/共68頁第37頁/共68頁五 單葉雙曲面和雙葉雙曲面的方程的識別： 1 1兩種雙曲面的方程的左邊都是x x，y y，z z的平方項，有正有負，右邊是1 1或1. 1. 把方程的右邊都化成1 1，則左邊有兩項正，一項負的，就表示單葉雙曲面. . 而左邊有兩項負，一項正的，就表示雙葉雙曲面. . 把方程的左邊都化成兩項正，一項負，則右邊是1 1

16、的就表示單葉雙曲面，而右邊是1 1的，就表示雙葉雙曲面. . 2 2繪圖時要注意區(qū)分“實軸”和“虛軸”，并且保證對坐標軸的標注要符合右手系的原則. . 第38頁/共68頁第39頁/共68頁第40頁/共68頁分析：第41頁/共68頁 1222222 czbyax1222222 czbyax0222222 czbyax單葉單葉：雙葉雙葉：. .yx zo 在平面上，雙曲線有漸進線。在平面上，雙曲線有漸進線。 相仿，相仿，單葉雙曲面單葉雙曲面和和雙葉雙曲面雙葉雙曲面有有漸進錐面漸進錐面。 用用z=z=h h去截它們，當去截它們，當| |h h| |無限增大無限增大時，時， 雙曲面雙曲面的截口橢圓與它

17、的的截口橢圓與它的漸進錐漸進錐面面 的截口橢圓任意接近，即：的截口橢圓任意接近，即：雙曲面和錐面任意接近。雙曲面和錐面任意接近。漸進錐面：漸進錐面：錐第42頁/共68頁2021-11-17拋物面拋物面橢圓拋物面橢圓拋物面雙曲拋物面雙曲拋物面xyzo第43頁/共68頁1、橢圓拋物面 方程：)(2222同號與qpzqypx設p、q0,則 0z圖形在xoy平面上方與xoy面的交線0022:220zqypxc為點（0，0，0）與平面 )0(0 zz交線第44頁/共68頁1、橢圓拋物面22222,0 xyz a bab22222222,2,xyabzabxya z當時第45頁/共68頁yoz例 將拋物線

18、 繞它的對稱軸旋轉22:0ypzx第46頁/共68頁yoxz例 將拋物線 繞它的對稱軸旋轉22:0ypzx第47頁/共68頁y.oxz例 將拋物線 繞它的對稱軸旋轉22:0ypzx旋轉拋物面222xypz第48頁/共68頁二、橢圓拋物面的性質1 1 對稱性（symmetricsymmetric） 2 2 有界性(bounded(bounded 3 3 頂點及截距(vertex and intercept)(vertex and intercept) 0 yx0 yz0 zxxyzo第49頁/共68頁2 2用y = 0 y = 0 截曲面3 3用x = 0 x = 0 截曲面1 1用z = 0

19、z = 0 截曲面xzyO00,0,0zC頂點：22020.yxa zCy拋線，：物物22020.xyb zCx拋線，：物物4.4.主截線Cx0Cy0 兩條主拋物線具有相同的頂點, ,對稱軸和開口方向第50頁/共68頁002222zbyax其為點（0，0，0） 0222yzaxxozxoz 面上的拋物線 主拋物線0222xzby yozyoz 面上的拋物線 有相同的定點（0 0，0 0，0 0）相同的對稱軸z z軸，開口均向z z軸正方向第51頁/共68頁xzyO1 1用z = k (kz = k (k00) )截曲面結論：橢圓拋物面可看作由一個橢圓的變動（大小位置都改變）而產生，該橢圓在變動

20、中，保持所在平面與xOy xOy 面平行，且兩對頂點分別在兩主拋物線上滑動5. 5. 平截線22221,22.z kxyCa kb kzk橢圓：第52頁/共68頁 當 時，為原點； 0k 當 時， 為橢圓，其頂點為（0 0， ，k k），（ ，0 0，k k）. . 兩半軸長為： , ., .橢圓拋物面是由xoyxoy平面上方的一系列“平行”的橢圓構成的，這些橢圓的頂點（ ，0 0，k k）, ,（0 0， ，k k）分別在拋物線（2 2）和（3 3）上變化. . 0kkb 2ka 2ka 2kb 2kb 2ka 222221,22.z kxyCa kb kzk橢圓：第53頁/共68頁xzyO

21、用y = ky = k截曲面結論：取這樣兩個拋物線，它們所在的平面互相垂直，它們的頂點和軸都重合，且兩拋物線有相同的開口方向，讓其中一條拋物線平行于自己（即與拋物線所在的平面平行），且使其頂點在另一個拋物線上滑動，那么前一拋物線的運動軌跡是一個橢圓拋物面. .222222.y kyxazCbyk拋線，：物物第54頁/共68頁用z = 0 z = 0 截曲面用y = 0 y = 0 截曲面用x = 0 x = 0 截曲面 22222xyzab用z = h z = h 截曲面用y = k y = k 截曲面用x = t x = t 截曲面xzy0平行截割法主截口輔助截口第55頁/共68頁例 已知橢圓拋物面S S的頂點在原點，對稱面為xOzxOz面與yOzyOz面，且過點 和 ，求這個橢圓拋物面的方程。1, 1