函數(shù)解析式求法總結(jié)及練習(xí)題

1、精品資料函數(shù)解析式的七種求法一、 待定系數(shù)法：在已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時(shí)，可用待定系數(shù)法它適用于已知所求函數(shù)類型（如一次函數(shù)，二次函數(shù)，正、反例函數(shù)等）及函數(shù)的某些特征求其解析式的題目。其方法：已知所求函數(shù)類型，可預(yù)先設(shè)出所求函數(shù)的解析式，再根據(jù)題意列出方程組求出系數(shù)。例 1設(shè) f ( x) 是一次函數(shù)，且f f ( x)4x3，求 f (x) 解：設(shè) f (x)axb (a0) ，則 f f ( x)af ( x) b a( axb) ba2 x ab ba24，a2或a2 abb 3b1b3f (x) 2x 1或f (x)2x 3二、配湊法：已知復(fù)合函數(shù)f g (x) 的表達(dá)式，求f ( x

2、) 的解析式，f g (x) 的表達(dá)式容易配成g( x) 的運(yùn)算形式時(shí)，常用配湊法 但要注意所求函數(shù)f ( x) 的定義域不是原復(fù)合函數(shù)的定義域，而是g (x) 的值域例 2已知 f ( x1 ) x 21( x0)，求f ( x) 的解析式xx 2解：f ( x1 ) ( x1 ) 22 ， x12 ，f (x) x22 ( x 2) xxx三、換元法：已知復(fù)合函數(shù)f g( x) 的表達(dá)式時(shí)，還可以用換元法求f ( x) 的解析式 用來處理不知道所求函數(shù)的類型，且函數(shù)的變量易于用另一個(gè)變量表示的問題。它主要適用于已知復(fù)合函數(shù)的解析式，但使用換元法時(shí)要注意新元定義域的變化，最后結(jié)果要注明所求函

3、數(shù)的定義域。例 3 已知 f ( x 1)x 2 x ，求 f ( x 1) 解：令 tx1 ，則 t1 ， x(t 1) 2 f (x 1)x2x ，f (t )(t 1) 22(t 1)t 21,f ( x)x 21 (x 1) ，f ( x 1) (x 1) 21 x22x ( x 0) 四、代入法：求已知函數(shù)關(guān)于某點(diǎn)或者某條直線的對稱函數(shù)時(shí)，一般用代入法例 4 已知：函數(shù) yx 2x與 yg (x) 的圖象關(guān)于點(diǎn) ( 2,3) 對稱，求 g ( x) 的解析式解：設(shè) M (x, y)為 yg( x) 上任一點(diǎn)，且M ( x , y ) 為 M ( x, y) 關(guān)于點(diǎn) ( 2,3) 的對

4、稱點(diǎn)歡迎下載xx2xx42點(diǎn) M(x , y ) 在 yg( x) 上，y x2x 則，解得：，yy63yy2把xx4代入得： 6 y( x4) 2(x4) y6y整理得 yx27x 6 ，g( x)x27 x 6 五、構(gòu)造方程組法：若已知的函數(shù)關(guān)系較為抽象簡約，則可以對變量進(jìn)行置換，設(shè)法構(gòu)造方程組，通過解方程組求得函數(shù)解析式滿足f ( x)2 f (1)x, 求f ( x)例 5設(shè)f (x)x2 f ( 1)，得： f ( 1 )1解f (x)x顯然 x0, 將 x 換成12 f ( x)xx2xxx解 聯(lián)立的方程組，得： f ( x)33x1例 6設(shè) f ( x) 為偶函數(shù)， g( x)

5、為奇函數(shù)，又f ( x)g(x),試求 f ( x)和 g(x) 的解析式x1解f ( x) f ( x), g (x)g( x)， 又f ( x)g(x)1， 用x替 換x得 ：x111f (x) g(x)，即 f ( x)g( x) ，解 聯(lián)立的方程組， 得 f ( x)1，g(x)1xx211x21x x小結(jié)：消元法適用于自變量的對稱規(guī)律。互為倒數(shù)，如f(x) 、 f ( 1) ；互為相反數(shù)，如f(x) 、 f(-x)，通過對稱代換f(x)的解析式。x構(gòu)造一個(gè)對稱方程組，解方程組即得六、賦值法：當(dāng)題中所給變量較多，且含有“任意”等條件時(shí)，往往可以對具有“任意性”的變量進(jìn)行賦值，使問題具體

6、化、簡單化，從而求得解析式例 7已知： f (0)1，對于任意實(shí)數(shù)x、y，等式 f ( xy)f (x)y(2xy 1)恒成立，求 f (x) 解對于任意實(shí)數(shù)x、 y，等式 f ( x y)f (x)y(2 xy1) 恒成立，不妨令 x0 ，則有 f (y)f ( 0)y(y1)1y( y1)y 2y1再令yx得函數(shù)解析式為：f ( x) x 2x1 例 5：已知f (0)1, f (ab)f (a)b(2ab1),求 f ( x) 。解析：令 a0, 則 f (b)f (0)b(1b)b2b1令 bx則 f (x)x2x1小結(jié)：所給函數(shù)方程含有2 個(gè)變量時(shí)，可對這2 個(gè)變量交替用特殊值代入，

7、或使這2 個(gè)變量相等代入，再用已知條件，可求出未知的函數(shù)，至于取什么特殊值，根據(jù)題目特征而定。通過取某些特殊值代入題設(shè)中等式，可使問題具精品資料體化、簡單化，從而順利地找出規(guī)律，求出函數(shù)的解析式。七、遞推法：若題中所給條件含有某種遞進(jìn)關(guān)系，則可以遞推得出系列關(guān)系式，然后通過迭加、迭乘或者迭代等運(yùn)算求得函數(shù)解析式例 8設(shè) f ( x) 是定義在 N 上的函數(shù)， 滿足 f (1) 1 ，對任意的 N a, b 都有 f (a)f (b)f (ab)ab ，求 f ( x)解f (a)f (b)f ( ab)ab， a, bN，不妨令ax,b1， 得 ：f ( x)f (1)f (x1)x ，又 f

8、 (1)1, 故 f ( x1) f (x)x 1令式中的 x 1，2， n 1 得： f (2)f (1)2，f (3)f (2)3， f (n)f ( n1)n將上述各式相加得：f (n) f (1)2 3n ，f ( n)123nn(n1)，21 x21 x, xf ( x)N22三、練習(xí)（一）換元法 1已知 f(3x+1)=4x+3,求 f(x)的解析式 .2若 f ( 1 )x, 求 f (x) .11 ,x1x（二）配變量法 3已知 f (x)x2求 f ( x) 的解析式 .4若 f (x1)x2x , 求 f ( x) .xx 2（三）待定系數(shù)法5設(shè) f (x) 是一元二次函數(shù)

9、,g( x)2 xf ( x) , 且 g (x1)g (x)2x 1x2 ,求 f ( x) 與 g( x) .6設(shè)二次函數(shù)f (x) 滿足 f ( x2)f ( x2) , 且圖象在 y 軸上截距為1, 在 x 軸上截得的線段長為2 2 , 求f ( x) 的表達(dá)式 .（四）解方程組法7設(shè)函數(shù) f ( x) 是定義 ( ,0) (0,+ ) 在上的函數(shù) , 且滿足關(guān)系式 3 f ( x) 2 f ( 1 ) 4x ,x歡迎下載8（ 1）若 f ( x)f ( x 1) 1 x , 求 f ( x) .（2）若 f(x)+f(1-x)=1+x,求 f(x).x（ 五） 特殊值代入法 9若 f

10、 (x y)f (x) f ( y) , 且 f (1)2 ，求值f (2)f (3)f (4)f (2005)f (1)f (2)f (3).f ( 2004)10已知： f (0)1 ，對于任意實(shí)數(shù)x、 y，等式f ( xy)f (x)y(2xy1) 恒成立，求f (x)（六）利用給定的特性求解析式.11設(shè) f (x) 是偶函數(shù) , 當(dāng) x 0 時(shí),f (x)e x2ex , 求當(dāng) x 0 時(shí)， f (x) 的表達(dá)式 .12對 x R, f (x) 滿足 f (x)f ( x 1) , 且當(dāng) x 1,0時(shí), f (x)x22 x 求當(dāng) x9,10時(shí) f ( x) 的表達(dá)式 .例 6、已知函

11、數(shù)f ( x) 對于一切實(shí)數(shù) x, y 都有 f ( xy)f ( y)( x2y1)x 成立，且 f (1)0 。(1) 求 f (0)的值； (2) 求 f ( x) 的解析式。求 f ( x) 的解析式 .練 習(xí)求函數(shù)的解析式例 1已知 f (x)=x22 x ，求 f ( x1)的解析式（ 代入法/ 拼湊法）變式 1已知 f (x)=2x1， 求 f ( x2 )的解析式變式 2已知 f ( x+1) x22x3 ，求 f (x)的解析式例 2若 f f ( x) 4x3，求一次函數(shù)f (x)的解析式（ 待定系數(shù)法）變式 1已知 f ( x)是二次函數(shù)，且fx1fx12x24x4 ，求 f (x)精品資料歡迎下載例 3已知 f (x)2 f ( x)x ，求函數(shù)f (x)的解析式（ 消去法 / 方程組法）變式 1已知 2 f (x)f