通信原理教程+樊昌信+習(xí)題答案第二章

1、通信原理習(xí)題第二章第二章習(xí)題習(xí)題2.1 設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)可以表示成：式中，是一個(gè)離散隨機(jī)變量，它具有如下概率分布：P(=0)=0.5，P(=/2)=0.5試求EX(t)和。解：EX(t)=P(=0)2+P(= /2)習(xí)題2.2 設(shè)一個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)可以表示成：判斷它是功率信號(hào)還是能量信號(hào)？并求出其功率譜密度或能量譜密度。解：為功率信號(hào)。習(xí)題2.3 設(shè)有一信號(hào)可表示為：試問(wèn)它是功率信號(hào)還是能量信號(hào)？并求出其功率譜密度或能量譜密度。解：它是能量信號(hào)。X(t)的傅立葉變換為：則能量譜密度 G(f)= 習(xí)題2.4 X(t)=，它是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，其中和是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量，數(shù)學(xué)期望均為0，方

2、差均為。試求：(1)EX(t)，E；(2)X(t) 的概率分布密度；(3) 解：(1)因?yàn)橄嗷オ?dú)立，所以。又因?yàn)?，所以。?(2)因?yàn)榉母咚狗植迹木€(xiàn)性組合，所以也服從高斯分布，其概率分布函數(shù)。(3) 習(xí)題2.5 試判斷下列函數(shù)中哪些滿(mǎn)足功率譜密度的條件：(1)； (2)； (3)解：根據(jù)功率譜密度P(f)的性質(zhì)：P(f)，非負(fù)性；P(-f)=P(f) ，偶函數(shù)?？梢耘袛?1)和(3)滿(mǎn)足功率譜密度的條件，(2)不滿(mǎn)足。習(xí)題2.6 試求X(t)=A的自相關(guān)函數(shù)，并根據(jù)其自相關(guān)函數(shù)求出其功率。解：R(t，t+)=EX(t)X(t+) =功率P=R(0)= 習(xí)題2.7 設(shè)和是兩個(gè)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的平穩(wěn)隨

3、機(jī)過(guò)程，其自相關(guān)函數(shù)分別為。試求其乘積X(t)=的自相關(guān)函數(shù)。解：RX(t,t+)=EX(t)X(t+)=E=習(xí)題2.8 設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)=m(t)，其中m(t)是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，且其自相關(guān)函數(shù)為(1)試畫(huà)出自相關(guān)函數(shù)的曲線(xiàn)；(2)試求出X(t)的功率譜密度和功率P。解：(1)-101其波形如圖2-1所示。圖2-1信號(hào)波形圖(2)因?yàn)閺V義平穩(wěn)，所以其功率譜密度。由圖2-8可見(jiàn)，的波形可視為一個(gè)余弦函數(shù)與一個(gè)三角波的乘積，因此習(xí)題2.9設(shè)信號(hào)x(t)的傅立葉變換為X(f) =。試求此信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)RX。解：x(t)的能量譜密度為G(f)=其自相關(guān)函數(shù)習(xí)題2.10 已知噪聲的自相關(guān)函數(shù)，k為

4、常數(shù)。(1)試求其功率譜密度函數(shù)和功率P；(2)畫(huà)出和的曲線(xiàn)。解：(1) 0(2)和的曲線(xiàn)如圖2-2所示。10圖2-2習(xí)題2.11 已知一平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)是以2為周期的周期性函數(shù)：試求X(t)的功率譜密度并畫(huà)出其曲線(xiàn)。解：詳見(jiàn)例2-12習(xí)題2.12 已知一信號(hào)x(t)的雙邊功率譜密度為試求其平均功率。解： 習(xí)題2.13 設(shè)輸入信號(hào) ，將它加到由電阻R和電容C組成的高通濾波器（見(jiàn)圖2-3）上，RC。試求其輸出信號(hào)y(t)的能量譜密度。解：高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 H(f)=CR圖2-3RC 高通濾波器輸入信號(hào)的傅里葉變換為X(f)=輸出信號(hào)y(t)的能量譜密度為習(xí)題2.14 設(shè)有一

5、周期信號(hào)x(t)加于一個(gè)線(xiàn)性系統(tǒng)的輸入端，得到的輸出信號(hào)為y(t)=式中，為常數(shù)。試求該線(xiàn)性系統(tǒng)的傳輸函數(shù)H(f).解：輸出信號(hào)的傅里葉變換為Y(f)=,所以H(f)=Y(f)/X(f)=j習(xí)題2.15 設(shè)有一個(gè)RC低通濾波器如圖2-7所示。當(dāng)輸入一個(gè)均值為0、雙邊功率譜密度為的白噪聲時(shí)，試求輸出功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)。解：參考例2-10習(xí)題2.16 設(shè)有一個(gè)LC低通濾波器如圖2-4所示。若輸入信號(hào)是一個(gè)均值為0、雙邊功率譜密度為的高斯白噪聲時(shí)，試求LC圖2-4LC低通濾波器(1) 輸出噪聲的自相關(guān)函數(shù)。(2)輸出噪聲的方差。解：(1)LC低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 H(f)=輸出過(guò)程的功率譜密度

6、為對(duì)功率譜密度做傅立葉反變換，可得自相關(guān)函數(shù)為(2) 輸出亦是高斯過(guò)程，因此 習(xí)題2.17若通過(guò)圖2-7中的濾波器的是高斯白噪聲，當(dāng)輸入一個(gè)均值為0、雙邊功率譜密度為 的白噪聲時(shí)，試求輸出噪聲的概率密度。解：高斯白噪聲通過(guò)低通濾波器，輸出信號(hào)仍然是高斯過(guò)程。由2.15題可知E(y(t)=0 , 所以輸出噪聲的概率密度函數(shù)習(xí)題2.18設(shè)隨機(jī)過(guò)程可表示成，式中是一個(gè)離散隨變量，且，試求及。解：習(xí)題2.19設(shè)是一隨機(jī)過(guò)程，若和是彼此獨(dú)立且具有均值為 0、方差為的正態(tài)隨機(jī)變量，試求：（1）、；（2）的一維分布密度函數(shù)；（3）和。解：（1） 因?yàn)楹褪潜舜霜?dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量，和是彼此互不相關(guān)，所以又; 同

7、理代入可得 （2）由=0； 又因?yàn)槭歉咚狗植伎傻?(3) 令 習(xí)題2.20求乘積的自相關(guān)函數(shù)。已知與是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，且它們的自相關(guān)函數(shù)分別為、。 解：因與是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，故 習(xí)題2.21若隨機(jī)過(guò)程，其中是寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，且自相關(guān)函數(shù)為 是服從均勻分布的隨機(jī)變量，它與彼此統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。（1） 證明是寬平穩(wěn)的；（2） 繪出自相關(guān)函數(shù)的波形； （3） 求功率譜密度及功率S 。解：（1）是寬平穩(wěn)的為常數(shù)；只與有關(guān)：令所以只與有關(guān)，證畢。（2）波形略；而的波形為 可以對(duì)求兩次導(dǎo)數(shù)，再利用付氏變換的性質(zhì)求出的付氏變換。功率S：習(xí)題2.22已知噪聲的自相關(guān)函數(shù)，a為常數(shù)： 求和S；解：因?yàn)?所以 習(xí)題2.

8、23是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，它的自相關(guān)函數(shù)是周期為 2 S 的周期函數(shù)。在區(qū)間（-1，1）上，該自相關(guān)函數(shù)。試求的功率譜密度 。解：見(jiàn)第2. 4 題 因?yàn)?所以據(jù)付氏變換的性質(zhì)可得而故習(xí)題2.24將一個(gè)均值為 0，功率譜密度為為的高斯白噪聲加到一個(gè)中心角頻率為、帶寬為B的理想帶通濾波器上，如圖（1） 求濾波器輸出噪聲的自相關(guān)函數(shù)； （2） 寫(xiě)出輸出噪聲的一維概率密度函數(shù)。解：（1）因?yàn)?故又由 付氏變換的性質(zhì) 可得（2）；所以又因?yàn)檩敵鲈肼暦植紴楦咚狗植伎傻幂敵鲈肼暦植己瘮?shù)為習(xí)題2.25設(shè)有RC低通濾波器，求當(dāng)輸入均值為 0，功率譜密度為的白噪聲時(shí)，輸出過(guò)程的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)。解：(1) (

9、2) 因?yàn)樗粤?xí)題2.26將均值為0，功率譜密度為高斯白噪聲加到低通濾波器的輸入端，（1） 求輸出噪聲的自相關(guān)函數(shù)； （2） 求輸出噪聲的方差。解：(1) (2) ；習(xí)題2.27設(shè)有一個(gè)隨機(jī)二進(jìn)制矩形脈沖波形，它的每個(gè)脈沖的持續(xù)時(shí)為，脈沖幅度取的概率相等。現(xiàn)假設(shè)任一間隔內(nèi)波形取值與任何別的間隔內(nèi)取值統(tǒng)計(jì)無(wú)關(guān)，且過(guò)程具有寬平穩(wěn)性，試證：（1） 自相關(guān)函數(shù)（2） 功率譜密度。解：（1）當(dāng)時(shí)，與無(wú)關(guān)，故=0當(dāng)時(shí)，因脈沖幅度取的概率相等，所以在內(nèi)，該波形取-1 -1、1 1、-1 1、1 -1 的概率均為。（A） 波形取-1-1、11 時(shí)，在圖示的一個(gè)間隔內(nèi)，（B） 波形取-1 1、1 -1 時(shí)，在圖示的一個(gè)間隔內(nèi)，當(dāng)時(shí)，故（2） ,其中為時(shí)域波形的面積。所以。習(xí)題2.28有單個(gè)輸入、兩個(gè)輸出的線(xiàn)形過(guò)濾器，若輸入過(guò)程，是平穩(wěn)的，求與的互功率譜密度的表示式。（提示：互功率譜密度與互相關(guān)函數(shù)為付利葉