限時(shí)集訓(xùn)(七)函數(shù)的奇偶性與周期性

1、限時(shí)集訓(xùn) (七 )函數(shù)的奇偶性與周期性(限時(shí)： 60 分鐘滿分： 110 分 )一、填空題 (本大題共10 小題，每小題 5 分，共 50 分 )1(2012 陜·西高考 )下列函數(shù)中， y x 1； y x3； y1； y x|x|.既是奇函數(shù)x又是增函數(shù)的有 _(填序號(hào) )2若函數(shù) f( x) ax2 bx 3a b 是偶函數(shù)，定義域?yàn)?a 1,2a ，則 ab _.3 (2013 揚(yáng)·州期中 )若 f(x)是 R 上周期為 5的奇函數(shù)，且滿足f(1) 1，f(2) 2，則 f(3)f(4) _.4設(shè)偶函數(shù) f(x)在 (0， ) 上為減函數(shù)，且f(2) 0，則不等式f

2、 x f x>0 的解集為x_5 (2012 臨·沂模擬 )已知 f(x)是定義在 R 上的偶函數(shù)，對(duì)任意x R 都有 f(x4) f(x)2f(2) ，且 f( 1) 2，則 f(2 013)_.6設(shè)偶函數(shù) f(x) 滿足 f(x) 2x 4(x 0)，則不等式 f(x 2)>0 的解集為 _17(2012 揚(yáng)·州調(diào)研 )已知命題 p1：函數(shù) y ln( x 1x2)是奇函數(shù)， p2：函數(shù) yx2為偶函數(shù)，則下列四個(gè)命題：p1 p2； p1 p2； (綈 p1) p2； p1 (綈 p2)中是真命題的有_(填序號(hào) )2a 1，8(2012 徐·州模擬

3、 )設(shè)函數(shù) f(x)是定義在 R 上周期為3 的奇函數(shù)，若 f(1)<1 ，f(2) a 1則 a 的取值范圍是 _bx c9(2012 蘇·州調(diào)研 )已知函數(shù) f(x) ax2 1(a，b，c R，a>0)是奇函數(shù)，若f(x)的最小值為 1，且 f(1)> 2，則 b 的取值范圍是 _2510 (2012 ·通二模南 )定義在R 上的函數(shù)f( x)滿足 f(x) f(x 2)，當(dāng) x 3,5 時(shí)， f(x) 2 |x 4|.給出下列不等式： f sin 6 <f cos 6 ； f(sin 1)> f(cos 1)； f cos2<f

4、sin2； f(cos 2)>f(sin 2)33其中正確的是_(用序號(hào)表示 )二、解答題 (本大題共4 小題，共60 分)11 (滿分 14 分 )判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f(x)x2 1· 1 x2；1(2)f(x)x x；x2 x 1， x>0，(3)f(x)x2 x 1， x<0.a12 (滿分 14 分 )(2013 鹽·城期中 )已知函數(shù) f(x) x2 (x 0，常數(shù) a R)x(1)討論函數(shù) f(x)的奇偶性，并說(shuō)明理由；(2)若函數(shù) f(x)在 x 2， )上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍13(滿分 16 分 )設(shè) f( x)是 (，

5、)上的奇函數(shù)， f( x 2) f(x)，當(dāng) 0 x 1 時(shí)， f(x) x.(1)求 f()的值；(2)當(dāng) 4 x 4 時(shí)，求 f(x)的圖象與x 軸所圍成圖形的面積；(3)寫出 (， )內(nèi)函數(shù) f(x)的單調(diào)增 (或減 )區(qū)間14(滿分 16 分)(2011 鎮(zhèn)·江調(diào)研 )定義域?yàn)镽 的奇函數(shù)f(x)滿足 f(x) f(x 2k)(k Z)，且2 x當(dāng) x (0,1) 時(shí)， f(x) x 1.4(1)求 f(x)在 1,1上的解析式；(2)證明 f(x)在 (0,1)上是減函數(shù)；(3)當(dāng) m 取何值時(shí)，方程f(x) m 在(0,1)上有解？答案限時(shí)集訓(xùn) (七)1 解析： 由函數(shù)的

6、奇偶性排除，由函數(shù)的單調(diào)性排除、，由y x|x|的圖象可知當(dāng) x 0 時(shí)此函數(shù)為增函數(shù)，又該函數(shù)為奇函數(shù)答案： 2 解析： 因?yàn)榕己瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以a 1 2a，解得1a 3.又函數(shù)f(x) 13x2 bx b 1 為二次函數(shù)，結(jié)合偶函數(shù)圖象的特點(diǎn)，易得b 0.答案： 1033 解析： 由于函數(shù)f(x)的周期為5，所以 f(3) f(4) f( 2) f( 1)又 f(x) 為 R 上的奇函數(shù)，則 f( 2) f(1) f(2) f(1) 2 1 1.答案： 1f x f x2f x4 解析： f(x)為偶函數(shù)，xx >0，xf(x)>0 ，x>0，x<0

7、，或又 f( 2) f(2) 0， f( x)在 (0， )上為減函數(shù)，f x >0，f x <0.x (0,2)或 x ( ， 2)答案： (， 2) (0,2)5 解析： 在 f(x 4) f(x) 2f(2) 中，令 x 2，得 f(2) f( 2) 2f(2)即 f(2) f(2) 2f(2) ，故 f(2) 0.則 f(x 4) f(x)，即函數(shù)f(x)是以 4 為周期的函數(shù)又2 013 4× 503 1，因此 f(2 013) f(1) f( 1) 2.答案： 26 解析： 由于 f(x)是偶函數(shù)，故當(dāng)x<0 時(shí)， f(x)2 x 4，當(dāng) x 2<

8、0 時(shí)，由 f(x 2)2 (x2) 4>0 ，解得 x<0 ；當(dāng) x 2 0 時(shí)，由 f(x 2) 2x 2 4>0，解得 x>4.綜上可知不等式解集為 x|x<0，或 x>4 答案： x|x<0，或 x>47解析： 對(duì)于 yln( x1 x2)，因?yàn)?f( x)f(x) ln(x1 x2) ln( x 1 x2)0，故此函數(shù)是奇函數(shù)，命題p1 正確；因?yàn)?yx1 x的定義域?yàn)镽 ，故此函數(shù)不是偶2函數(shù)，命題 p2 錯(cuò)誤，根據(jù)真值表可知為真命題答案： 8 解析： f(x)是奇函數(shù)， f(1) f( 1)<1.f( 1)> 1.又f(

9、x)的周期為 3，f( 1)f(2)2a 13a> 1.即>0，解得 a>0 或 a< 1.a1a 1答案： (， 1) (0， )9 解析： 顯然函數(shù) f(x)的定義域?yàn)镽.又函數(shù) f(x) 是奇函數(shù)，所以 f(0) 0，故 c0，從bxb2b，得當(dāng) ax11時(shí)，而 f(x)，由 f(1) > ，a>0，得 b>0. 由 f(x)1x，即 x ±aax2 1a 15ax xb1b21原函數(shù)有最值， 從而 ，即 ab2，于是>，化簡(jiǎn)得 2b25b 2<0，解得 <b<2.2a2b2152答案：1， 2210 解析： 當(dāng)

10、 x 1,1 時(shí)， x 4 3,5 從而 f(x) f(x 4) 2 |x|，因 sin6<cos 6，22所以 f sin 6>f cos 6 ；因 sin 1 >cos 1，所以 f(sin 1)<f(cos1)；因 cos 3< sin3，所以2f cos 3 >2f sin 3；因 |cos 2|<|sin 2|，所以 f(cos 2)>f(sin 2)，綜上所述，正確的是 .答案： x2 10，11 解： (1)由得 x±1，1 x2 0，f(x) 0，又它的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(x) f( x) f(x) 0，f(x)既是

11、奇函數(shù)又是偶函數(shù)x 0，(2)由得 x>0，函數(shù) f(x)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(x)既不是奇函數(shù)也不是x 0，偶函數(shù)(3)函數(shù)的定義域?yàn)?( ， 0) (0， )，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱當(dāng)x>0 時(shí)， x<0， f(x) x2 x 1，f( x) ( x)2 ( x) 1x2 x 1 f(x) ；當(dāng) x<0 時(shí)， x>0 ，f(x) x2 x1，f(x) ( x)2 ( x) 1 x2 x 1 f( x)函數(shù) f( x)為偶函數(shù)12解： (1)當(dāng) a0 時(shí)， f(x) x2 對(duì)任意 x ( ，0) (0， )， f( x) (x)2 x2f(x)故 f(x) 為偶函數(shù)

12、；當(dāng) a 0 時(shí)， f(x) x2 ax(x 0，常數(shù) aR )，取 x ±1，得 f( 1) f(1) 2 0；f(1) f(1) 2a 0，即 f( 1) f(1) ，f( 1)f(1) 故函數(shù) f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)(2)設(shè) 2 x < x ，12f(x ) f(x2a2a) x x1 x x21212x1 x2x1x2(x1 x2) a ，x1x2要使函數(shù) f(x)在 x2， )上為增函數(shù)，必須f(x ) f(x)<0 恒成立，12x x <0 ，x x(x x ) a>0，121212即 x1x2(x1 x2)>a 恒成立又x1 x

13、2>4 ， x1x2>4，x1x2(x1 x2)>16.a 的取值范圍是( ， 1613.解： (1) 由 f(x 2) f(x)得，f(x4) f(x 2)2 f(x 2) f(x)，所以 f(x)是以 4 為周期的周期函數(shù)，所以 f() f(4) f(4 ) (4 ) 4.(2)由 f(x)是奇函數(shù)與f(x 2) f(x)，得 f(x1) 2 f(x 1)f (x1) ，即 f(1 x) f(1 x) 故知函數(shù) y f(x) 的圖象關(guān)于直線x 1 對(duì)稱又 0 x1 時(shí)， f(x)x，且 f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則1 x 0 時(shí) f(x) x，則 f(x)的圖象如

14、圖所示1×2× 1當(dāng) 4 x 4 時(shí)，設(shè) f(x)的圖象與 x 軸圍成的圖形面積為S，則 S 4S OAB 4×24.(3)函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為4k 1,4k 1( k Z)，單調(diào)遞減區(qū)間為4k 1,4k 3(k Z)14 解： (1) 設(shè) 1<x<0，則 0< x<1，f(x)為奇函數(shù)，f( x)2 x2x f(x)，4 x11 4x即 f(x) x2x， x ( 1,0)4 1又 f(x) 為奇函數(shù)， f(0) f(0) ，從而 f(0) 0；又 f(x) f(x 2k)， k Z ，f(1) f( 1)而 f( 1) f(1) ，從而 f(1) 0，且 f( 1) 0.2x， x 0， 1 ，x4 1綜上所述， f(x)0， x 1，0， 1 ，2x， x 1， 0 .x4 1(2)證明：設(shè)0<x1<x2<1，則2x12x2f(x1) f(x2)