初三數(shù)學(xué)圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、 初三數(shù)學(xué) 圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、本章知識(shí)框架二、本章重點(diǎn)1圓的定義：(1)線段oa繞著它的一個(gè)端點(diǎn)o旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)a所形成的封閉曲線，叫做圓(2)圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合2判定一個(gè)點(diǎn)p是否在o上設(shè)o的半徑為r，opd，則有d>r點(diǎn)p在o 外；dr點(diǎn)p在o 上；d<r點(diǎn)p在o 內(nèi)3與圓有關(guān)的角(1)圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)(2)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角圓周角的性質(zhì)：圓周角等于它所對(duì)的弧所對(duì)的圓心角的一半同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等90°的圓周角所對(duì)

2、的弦為直徑；半圓或直徑所對(duì)的圓周角為直角如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；外角等于它的內(nèi)對(duì)角(3)弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角弦切角的性質(zhì)：弦切角等于它夾的弧所對(duì)的圓周角弦切角的度數(shù)等于它夾的弧的度數(shù)的一半4圓的性質(zhì)：(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來(lái)圖形重合；圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)中心是圓心在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對(duì)應(yīng)的其他各組分別相等(2)軸對(duì)稱(chēng)：圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，經(jīng)過(guò)圓心的任一直線都是它的對(duì)稱(chēng)軸垂徑定理及推論：(

3、1)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧(2)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧(3)弦的垂直平分線過(guò)圓心，且平分弦對(duì)的兩條弧(4)平分一條弦所對(duì)的兩條弧的直線過(guò)圓心，且垂直平分此弦(5)平行弦?jiàn)A的弧相等5三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心(1)三角形的內(nèi)心：是三角形三個(gè)角平分線的交點(diǎn)，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“i”表示(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，通常用o表

4、示(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點(diǎn)，在三角形內(nèi)部；它到頂點(diǎn)的距離是到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍，通常用g表示(4)垂心：是三角形三邊高線的交點(diǎn)6切線的判定、性質(zhì)：(1)切線的判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線(2)切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑經(jīng)過(guò)圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)經(jīng)過(guò)切點(diǎn)作切線的垂線經(jīng)過(guò)圓心(3)切線長(zhǎng)：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度叫做切線長(zhǎng)(4)切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角7圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形(1)四個(gè)點(diǎn)都在圓上的四邊形

5、叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對(duì)角(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對(duì)邊之和相等8直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)o 半徑為r，點(diǎn)o到直線l的距離為d(1)直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)直線和圓相離d>r(2)直線和o有唯一公共點(diǎn)直線l和o相切dr(3)直線l和o 有兩個(gè)公共點(diǎn)直線l和o 相交d<r9圓和圓的位置關(guān)系：（不考了）設(shè)的半徑為r、r(r>r)，圓心距(1)沒(méi)有公共點(diǎn)，且每一個(gè)圓上的所有點(diǎn)在另一個(gè)圓的外部外離d>rr(2)沒(méi)有公共點(diǎn)，且的每一個(gè)點(diǎn)都在外部?jī)?nèi)含d<rr(3)有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓外部外切drr

6、(4)有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，的每個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)部?jī)?nèi)切drr(5)有兩個(gè)公共點(diǎn)相交rr<d<rr10兩圓的性質(zhì)：(1)兩個(gè)圓是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是兩圓連心線(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)11圓中有關(guān)計(jì)算：圓的面積公式：，周長(zhǎng)c2r圓心角為n°、半徑為r的弧長(zhǎng)圓心角為n°，半徑為r，弧長(zhǎng)為l的扇形的面積弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來(lái)計(jì)算圓柱的側(cè)面圖是一個(gè)矩形，底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l的圓柱的體積為，側(cè)面積為2rl，全面積為（補(bǔ)考圓錐面積了）圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，高為h的圓錐的側(cè)面積為rl

7、，全面積為，母線長(zhǎng)、圓錐高、底面圓的半徑之間有【經(jīng)典例題精講】例1 如圖23-2，已知ab為o直徑，c為上一點(diǎn)，cdab于d，ocd的平分線cp交o于p，試判斷p點(diǎn)位置是否隨c點(diǎn)位置改變而改變？分析：要確定p點(diǎn)位置，我們可采用嘗試的辦法，在上再取幾個(gè)符合條件的點(diǎn)試一試，觀察p點(diǎn)位置的變化，然后從中觀察規(guī)律解：連結(jié)op，p點(diǎn)為中點(diǎn)小結(jié)：此題運(yùn)用垂徑定理進(jìn)行推斷例2 下列命題正確的是( )a相等的圓周角對(duì)的弧相等b等弧所對(duì)的弦相等c三點(diǎn)確定一個(gè)圓d平分弦的直徑垂直于弦解：a在同圓或等圓中相等的圓周角所對(duì)的劣弧相等，所以a不正確b等弧就是在同圓或等圓中能重合的弧，因此b正確c三個(gè)點(diǎn)只有不在同一直線上

8、才能確定一個(gè)圓d平分弦(不是直徑)的直徑垂直于此弦故選b例3 四邊形abcd內(nèi)接于o，abc123，求d分析：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角之和相等，圓外切四邊形對(duì)邊之和相等解：設(shè)ax，b2x，c3x，則dacb2xx2x3x2x360°，x45°d90°小結(jié)：此題可變形為：四邊形abcd外切于o，周長(zhǎng)為20，且abbccd123，求ad的長(zhǎng)例4 為了測(cè)量一個(gè)圓柱形鐵環(huán)的半徑，某同學(xué)采用如下方法：將鐵環(huán)平放在水平桌面上，用一個(gè)銳角為30°的三角板和一個(gè)刻度尺，用如圖23-4所示方法得到相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)而可以求得鐵環(huán)半徑若測(cè)得pa5cm，則鐵環(huán)的半徑是_cm分析：測(cè)量鐵環(huán)半

9、徑的方法很多，本題主要考查切線長(zhǎng)性質(zhì)定理、切線性質(zhì)、解直角三角形的知識(shí)進(jìn)行合作解決，即過(guò)p點(diǎn)作直線oppa，再用三角板畫(huà)一個(gè)頂點(diǎn)為a、一邊為ap、大小為60°的角，這個(gè)角的另一邊與op的交點(diǎn)即為圓心o，再用三角函數(shù)知識(shí)求解解：小結(jié)：應(yīng)用圓的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，應(yīng)將實(shí)際問(wèn)題變成數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型例5 已知相交于a、b兩點(diǎn)，的半徑是10，的半徑是17，公共弦ab16，求兩圓的圓心距解：分兩種情況討論：(1)若位于ab的兩側(cè)(如圖23-8)，設(shè)與ab交于c，連結(jié)，則垂直平分ab，又ab16ac8在中，在中，故(2)若位于ab的同側(cè)(如圖23-9)，設(shè)的延長(zhǎng)線與ab交于c，連結(jié)垂直平分ab

10、，又ab16，ac8在中，在中，故注意：在圓中若要解兩不等平行弦的距離、兩圓相切、兩圓相離、一個(gè)點(diǎn)到圓上各點(diǎn)的最大距離和最小距離、相交兩圓圓心距等問(wèn)題時(shí)，要注意雙解或多解問(wèn)題1.相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。（經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條線，各弦被這點(diǎn)所分成的兩段的積相等）說(shuō)明：幾何語(yǔ)言：若弦ab、cd交于點(diǎn)p，則pa·pb=pc·pd（相交弦定理） 例1 已知p為o內(nèi)一點(diǎn)，o半徑為，過(guò)p任作一弦ab，設(shè)，則關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為     。解：由相交弦定理得，即，其中2.切割線定理推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的

11、一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng) 說(shuō)明：幾何語(yǔ)言：若ab是直徑，cd垂直ab于點(diǎn)p，則pc2=pa·pb例2 已知pt切o于t，pba為割線，交oc于d，ct為直徑，若oc=bd=4cm，ad=3cm，求pb長(zhǎng)。解：設(shè)td=，bp=，由相交弦定理得：即   ，（舍）由切割線定理，  由勾股定理，      四、輔助線總結(jié)（重要）1.圓中常見(jiàn)的輔助線1）作半徑，利用同圓或等圓的半徑相等2）作弦心距，利用垂徑定理進(jìn)行證明或計(jì)算，或利用“圓心、弧、弦、弦心距”間的關(guān)系進(jìn)行證明3）作半徑和弦心距，構(gòu)造由“半徑、半弦和

12、弦心距”組成的直角三角形進(jìn)行計(jì)算4）作弦構(gòu)造同弧或等弧所對(duì)的圓周角5)作弦、直徑等構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角直角6)遇到切線，作過(guò)切點(diǎn)的弦，構(gòu)造弦切角7)遇到切線，作過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造直角8)欲證直線為圓的切線時(shí)，分兩種情況：(1)若知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連結(jié)公共點(diǎn)和圓心證明直線垂直；(2)不知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí)，常過(guò)圓心向直線作垂線，證明垂線段的長(zhǎng)等于圓的半徑9)遇到三角形的外心常連結(jié)外心和三角形的各頂點(diǎn)10)遇到三角形的內(nèi)心，常作：(1)內(nèi)心到三邊的垂線；(2)連結(jié)內(nèi)心和三角形的頂點(diǎn)11)遇相交兩圓，常作：(1)公共弦；(2)連心線12)遇兩圓相切，常過(guò)切點(diǎn)作兩圓的公切線13)求公切線時(shí)常

13、過(guò)小圓圓心向大圓半徑作垂線，將公切線平移成直角三角形的一條直角邊2、圓中較特殊的輔助線1)過(guò)圓外一點(diǎn)或圓上一點(diǎn)作圓的切線2)將割線、相交弦補(bǔ)充完整3)作輔助圓例1如圖23-10，ab是o的直徑，弦cdab，垂足為e，如果ab10，cd8，那么ae的長(zhǎng)為( )a2b3c4d5分析：連結(jié)oc，由ab是o的直徑，弦cdab知cdde設(shè)aex，則在rtceo中，即，則，(舍去)答案：a 例2如圖23-11，ca為o的切線，切點(diǎn)為a，點(diǎn)b在o上，如果cab55°，那么aob等于( )a35°b90°c110°d120°分析：由弦切角與所夾弧所對(duì)

14、的圓心角的關(guān)系可以知道aob2bac2×55°110°答案：c例3 如果圓柱的底面半徑為4cm，母線長(zhǎng)為5cm，那么側(cè)面積等于( )a b c d分析：圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形，這個(gè)矩形的一邊長(zhǎng)等于圓柱的高，即圓柱的母線長(zhǎng)；另一邊長(zhǎng)是底面圓的周長(zhǎng)，所以圓柱的側(cè)面積等于底面圓的周長(zhǎng)乘以圓柱的高，即答案：b 例4 如圖23-12，在半徑為4的o中，ab、cd是兩條直徑，m為ob的中點(diǎn)，延長(zhǎng)cm交o于e，且em>mc，連結(jié)oe、de，求：em的長(zhǎng)簡(jiǎn)析：(1)由dc是o的直徑，知deec，于是設(shè)emx，則am·mbx(7x)，即所以而em>mc，即em4 例5如圖23-13，ab是o的直徑，pb切o于點(diǎn)b