復(fù)數(shù)題型歸納

1、北師大版數(shù)學(xué)選修 2-2第五章數(shù)系的擴(kuò)大與復(fù)數(shù)的引入自我總結(jié)卷一、選擇題：1、復(fù)數(shù)z 1 i i是虛數(shù)單位，那么復(fù)數(shù)（z 1）（z 1）虛部是（）【答案】DA、-1+2 iB、-1C、2 iD、21、a 0是復(fù)數(shù)abi (a,bR）為純虛數(shù)的【答案】BA、充分條件B、必要條件c、充要條件D、非充分非必要條件1、復(fù)數(shù)Z13 4i， Z2t i，且召是實(shí)數(shù)，那么實(shí)數(shù)t等于（A ） 期中考試題3 443A.一D一4 3343解析 Z1 Z2 = (3 +4i)( t i) =(3t + 4) + (4t 3)i.因?yàn)?z1 Z 是實(shí)數(shù)，所以 4t 3 = 0，所以 t 一.因此選 A.41、假設(shè)復(fù)數(shù)

2、(m2 3m 4) (m2 5m 6)i是虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)m滿足【答案】DAm1 Bm 6 (C) m1或m 6(D) m1 且 m 61、假設(shè)z, Z2C，那么召z2 召Z2是【答案】BA純虛數(shù)B 實(shí)數(shù)C虛數(shù)D 無法確定1、假設(shè)（x21) (x2 3x 2)i是純虛數(shù),那么實(shí)數(shù)x的值是【答案】AA1B1C1D 以上都不對1 .復(fù)數(shù)乙m 2i,Z23 4i,若互為實(shí)數(shù)，Z，那么實(shí)數(shù)m的值為（)【答案】DA、2B.2C、3D .3222 . i表示虛數(shù)單位，那么i1 i2 i3i2008的值是答案 AC. iD. i,那么150 zz100的值為AB. 2 21C. 2 21D.2A、 iB、1C

3、、2 iD、32、復(fù)數(shù)（2（12i)45等于3i)5答案：BA. 13iB.1 3iC. 13iD.1 3i12、復(fù)數(shù)（-1-）10的值是i【答案】AA. 1B. 1C. 32D . 3212、x -x1，那么 x19961-W96的值為x【答案】AA 1B 1C iD i2、 f(n) ii ,(n N）的值域中，元素的個數(shù)是BA、2B、3C、4D、 無數(shù)個3、在復(fù)平面，假設(shè)復(fù)數(shù)滿足|z 1| |z i |，那么所對應(yīng)的點(diǎn)的集合構(gòu)成的圖形直線y x3 .如果復(fù)數(shù)z滿足|z + i| + |z i| = 2，那么|z + 1 + i|的最小值是().A. 1 B. /2C. 2 D.解析|z

4、+ i| + |z - i| = 2，那么點(diǎn)Z在以(0,1)和(0, 1)為端點(diǎn)的線段上，|z + 1 + i|表示點(diǎn)Z到(一1 , 1)的距離.由圖知最小值為1.答案 A3 .假設(shè) |z 2且 z i| |z 1|，那么復(fù)數(shù) z=z 72(1 i)或 z "(1 i)3 .如果z C,且z 1，那么|z 1 2i的最大值為【答案】 岳13 .假設(shè)z C且|z 2 2i | 1,則|z 2 2i |的最小值是答案:BA . 2B. 3C. 4D . 513 .復(fù)數(shù)z x yi (x,y R，x -)，滿足z 1 x，那么z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)(x, y)的軌跡是().A .圓 B .橢

5、圓C.雙曲線D .拋物線1解析 :x + yi(x，ye R，x，滿足 |z1| = x，.(x 1)2 + y2 = x2，故 y2= 2x 1.答案 D3、方程|z 2| |z 2| a表示等軸雙曲線，那么實(shí)數(shù)a的值為A A、2 2B、2、2 C、2D、24 .復(fù)數(shù)z 1 i，那么z在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限()【答案】CA. 一B. 二C. 三D .四4 .在復(fù)平面，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于 ()【答案】D1 iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限4 .在復(fù)平面，復(fù)數(shù) (1 J3i)2對應(yīng)的點(diǎn)位于() 【答案】B1 iA .第一象限B .第二象限C.第三象限D(zhuǎn) .第四象限）【答案】A

6、D 第四象限4 . i為虛數(shù)單位，那么丄所對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面點(diǎn)（1 iA 第一象限B 第二象限 C.第三象限A 2cos 222cos 26 .復(fù)數(shù)z1 2；的值是（1 3i丁衛(wèi)的虛部是（1 i2 26 .7等于(A. 3 4i4iC 2sin2D2ta n 2【答案】CC . 0D .-5【答案】BC . 2iD .2i【答案】BC . 34iD .3 4i5、（m i）3 R，那么實(shí)數(shù)m的值為B A、2 3B、3C、.3 D、仝25、假設(shè)xC，那么方程|x|1 3ix的解是C1A、-_iiB、 x4,X21C、14 3iD、一22225、復(fù)數(shù)z1 cosi sin ,(2 ）的模是B1 a

7、i6 .假設(shè)復(fù)數(shù) ”i是虛數(shù)單位的實(shí)部和虛部相等，那么實(shí)數(shù) a等于（）【答案】D11A . -1B .C .D . 3336 .復(fù)數(shù)乙3 bi,Z2 1 2i,假設(shè)亙是實(shí)數(shù)，那么實(shí)數(shù)b的值為（）【答案】AZ21A . 6B . -6C . 0 D .-67 .對于兩個復(fù)數(shù)1, 丄 i，有以下四個結(jié)論：1 ;一1 ; 1 :1，其中正確的結(jié)論的個數(shù)為【答案】B7 .下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z2的四個命題:1 i【答案】CPi : z 2,P2: z2 2i P3：z的共軛復(fù)數(shù)為1 i p4 : z的虛部為1其中真命題為(A .P2, P3B .Pl,P2C. P2, P4D . P3, P48 .假設(shè)復(fù)數(shù)

8、z滿足方程z22 0,那么z3的值為【答案】CB.2 2C .2 2iz1z2iab12 .定義運(yùn)算=ad be ,那么對復(fù)數(shù)z = x + y i(x, y R)符合條件cdz1解析由定義運(yùn)算，得z2i3 + 2i的復(fù)數(shù)z等于3 + 2i=2zi-z =3 +2i，那么"3 =3 + 2i 1 2i 18=i.1 + 2i 1 2i 551 8答案 一一一i5 5二、填空題：1 .假設(shè)復(fù)數(shù)z2t23t 2 (t2 4)i(t R)為純虛數(shù)，那么t的值為1【答案】丄22 . i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z 2 1，那么| z | =.【答案】 二01 i2【答案】1 2i3 .假設(shè)i為虛數(shù)單位

9、，那么復(fù)數(shù)1 i4. -m 1 ni，其中m, n是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位，那么m ni【答案】2 i 1 i5 .假設(shè)(a 2i)i b i，其中a,b R , i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)a bi【答案】1 2ia 3i6 .假設(shè)復(fù)數(shù)a R , i為虛數(shù)單位是純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的值為1 2i【答案】7、設(shè)2-3 i ,那么集合A= x | xk(k Z)中元素的個數(shù)是8、復(fù)數(shù)Z1 2 i,Z2 1 3i，那么復(fù)數(shù)Z210答案:3 2. i2三、解答題:【復(fù)數(shù)的分類問題】1、實(shí)數(shù)m取什么值時,復(fù)數(shù)zm(m 1)(m1)i是(I實(shí)數(shù) (U純虛數(shù)(川虛數(shù)【答案】(1m=1(2m=02、復(fù)數(shù) z (2 m2 3

10、m 2) (m2m 2)i , (m R)根據(jù)以下條件，求m值.(I) z是實(shí)數(shù)；(n )z是虛數(shù)；(m z是純虛數(shù)；)z 0.【答案】(1)當(dāng)m2+m 2=0，即卩m= 2或m=1時，z為實(shí)數(shù);(2)當(dāng)m 2+m 2工0，即卩m工一2且 m工1時，z為虛數(shù);22m + 3m 2 = 0當(dāng)2，解得m + m 20即m = 1時，z為純虛數(shù);222m + 3m 2 = 0m =:-或 m = 2當(dāng)2，解得2，即 m= 2 時，z=0m + m 20m2或m 12 63、m取何值時，復(fù)數(shù)z m一口(m22m 15)im 3(I )是實(shí)數(shù)；(II)是純虛數(shù).【答案】(1)2m 2m 150(2) m

11、 30m 3 或 m 22m m 60當(dāng)m 3或m 2時，z是純虛數(shù).4、設(shè)復(fù)數(shù)z lg m2 2m 2 m2 3m 2 i，當(dāng)m取何實(shí)數(shù)時?(I )z是純虛數(shù)； (I )z對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第二象限2【答案】1z是純虛數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)lg m 2m 202m 3m 20解得，m 32lg m 2m 20(2由 2m 3m 201 m 1-3,或 1. 3 m 3m2 或 m1所以當(dāng) 1 m 1 .3或 13 m 3時,z對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第二象限?！厩髲?fù)數(shù)類型】1、設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z 10，且1 2i z( i是虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在直線y x上，求z.【答案】設(shè)z x yi X、y Ry

12、2 10而(12i)z (1 2i)(x yi) (x 2y)(2x y)i又 12i z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在直線y x 上, x 2y2x2 2x yx 3y10 x? y31或 x(3 i)2、求虛數(shù)zR，且z3.解：設(shè)z abi (a, b0),那么:9 z - z9ba bi9a bi(aa2又由9a(b9ba2，由a20，又b 0，故a2b29;3 得：(a 3)2 b2由得3、323、把復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)記作z , (1 2i)z 43i，解：設(shè) z a bi (a, b R)，那么 za bi，由得(12i)(a bi)3i，化簡得：(a 2b)(2a b)i 43i，所以 a 2

13、b 4,2a b解得a2,b1，所以z 2 i，z2i34.i。z2i554、設(shè)a,b為共軛復(fù)數(shù)，且(ab)23abi 4 12i，求 a,b 的值【教師用書】解：設(shè)a xyi,byi,( x, y R)。帶入原方程得4x2 3(x2y )i12i，由復(fù)數(shù)相等的條件得4x23(x24,y2) 12.x解得y.對應(yīng)四組解略5、乙為復(fù)數(shù)，(1 3i) z為純虛數(shù),| 5.2。求復(fù)數(shù)。教師用書章末小結(jié)題解法1 ：設(shè)zx yi,(x,yR)，那么(13i) z= (x 3y)(3x y)i為純虛數(shù)，所以x 3y0,因?yàn)閨5.2，所以 | z | . xy 5.10 ；又 x 3y。解得x15, y 5

14、; x15, y所以15 5i(7 i)。還可以直接計(jì)算解法 2 :設(shè)=x+yi(x , y R),(xyi) 2 i依題意得(1+3i)(2+i)=(-1+7i)為實(shí)數(shù),7x y2 2x y050x解之得y=1+7i或=-1 - 7i。解法3 :提示：設(shè)復(fù)數(shù)Z,直接按照計(jì)算，先純虛數(shù)得3b，再模長得7b bi56、復(fù)數(shù)滿足| z 4| |z 4i |,且z14 z為實(shí)數(shù)，求。解：z x yi,( x, y R),因?yàn)?| z4II z 4iI，帶入得x y，所以zxi, x R又因?yàn)閦z14 -為實(shí)數(shù)，所以114 zz 114化簡得，所以有1|2130 ; 由 | z 1|2 13得 x2,

15、或 x 3。所以z 0; z2i;z 3 3i也可以直接用代數(shù)形式帶入運(yùn)算7、求同時滿足以下兩個條件的所有復(fù)數(shù);1z 10 R，且 1 z 106 ;2丨的實(shí)部與虛部都是整數(shù)。解：設(shè) z x yi,(x,y R)10 z zx yi10x yiyi10(x yi)x(1y(i因?yàn)閦10所以y(i102x0。所以y0或 x2 y210。0時，zx，又110所以x，而z102.10以在實(shí)數(shù)圍無解。2y 10 時，10 z z2x1 2x因?yàn)閤, y為正整數(shù)，所以x的值為1，或2，或當(dāng)x 1時,y 3;當(dāng)x 2時,y. 6(舍)；當(dāng) x3時，y那么z1 3i 或,z 3【根的問題】1、關(guān)于x的方程是

16、x2 (tani)x (2 i) 0;假設(shè)方程有實(shí)數(shù)根，求銳角和實(shí)數(shù)根;2即 aatan2 (a1)i0，-,ra ata n 2 0,a、tanR，a 10;a1,且 tan1，又0， ,a1242、假設(shè)關(guān)于x的方程x2(12i)x3mi 0有實(shí)根，那么實(shí)數(shù)m等于()11 .11 .A.B.iC.-D.i121212122解：設(shè)實(shí)數(shù)根是 a，那么a (tani)x (2 i) 0，【答案】A【向量計(jì)算】1、在復(fù)平面上，設(shè)點(diǎn)A、B、C ,對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為i,1,4 2i。過A、B、C平行四邊形ABCD ，求此平行四邊形的對角線 BD的長。解：由題知平行四邊形三頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,1), B(1,

17、0), C(4,2)，一 一xD(x, y)。因?yàn)?BA CD，得(1,1) (x 4, y 2)，得設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)1,得x1. y即D(3,3)所以BD(2,3)，那么 |BD| .13。2、(本小題總分值12在復(fù)平面上，正方形ABCD的兩個頂點(diǎn)A，B對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1 2i，5i。求另外兩個頂點(diǎn)C，D對應(yīng)的復(fù)數(shù)。yAD2)i (x 1,y 2)解：設(shè) D x,yADAB(x1) 27(y 2) 0AD AB53J:x 1)2 (y2)253x6x8或Zd6或Zd8 4iy 0y4由 ZBCZADzcZBZDZAZDZyi(12i) x 1 (yZbZd6Zc4 7iZd或Zc8104i3i3 2i，1 5i，3、在復(fù)平面，O是原點(diǎn)，OA，OC，AB表示的復(fù)數(shù)分別為 2 i，那么BC表示的復(fù)數(shù)為4-4i4 .如圖在復(fù)平面上，一個正方形的三個頂點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是正方形的第四個頂點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為().1 2i，c3i D+