大學(xué)基礎(chǔ)物理學(xué)答案(習(xí)崗)第2章

1、第二章氣體動(dòng)理論1. 氣體的微觀圖像與宏觀性質(zhì)氣體是由大量分子組成的，1mol氣體所包含的分子數(shù)為6.023 1023。分 子之間存在相互作用力。分子在做永不停息的無規(guī)則的運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)程度與溫度 有關(guān)。在分子層次上，理想氣體滿足如下條件：(1) 分子本身的大小與分子之間平均距離相比可以忽略不計(jì)，分子可看作 質(zhì)點(diǎn)。(2) 除碰撞的瞬間以外，分子之間的相互作用力可以忽略不計(jì)，分子所受 的重力也忽略不計(jì)。(3) 氣體分子間的碰撞以及分子與器壁之間的碰撞為完全彈性碰撞。2. 理想氣體壓強(qiáng)與溫度理想氣體的壓強(qiáng)公式其中，丁 =mv2，稱分子平均平動(dòng)動(dòng)能，它表征了分子運(yùn)動(dòng)的劇烈程度。2理想氣體的溫度公式溫度

2、公式表明，溫度是大量分子熱運(yùn)動(dòng)劇烈程度的標(biāo)志。3. 阿伏伽德羅定律在相同的溫度和壓強(qiáng)下，各種氣體在相同體積內(nèi)所包含的分子數(shù)相同。4. 道爾頓分壓定律混合氣體的壓強(qiáng)等于各種氣體的分壓強(qiáng)之和。5. 麥克斯韋速率分布在平衡態(tài)下，氣體分子服從如下麥克斯韋速率分布規(guī)律麥克斯韋速率分布函數(shù)其表征了處于起點(diǎn)速率為v的單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。6. 分子速率的三種統(tǒng)計(jì)值從麥克斯韋速率分布規(guī)律可以導(dǎo)出分子速率的三種統(tǒng)計(jì)值最概然速率Vp表明氣體分子速率并非從小到大平均分配，速率太大或太小的分子數(shù)很少，速率在Vp附近的分子數(shù)最多。平均速率平均速率V是描述分子運(yùn)動(dòng)狀況的重要參量，為所有分子的速率之和除

3、以總分子 數(shù)。方均根速率7. 能量均分定理描述一個(gè)物體空間位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)稱該物體的自由度。單原子分子的自由度為3,剛性雙原子分子的自由度為5,非剛性雙原子分子的自由度為6。能量均分定理在溫度為T的氣體中，分子熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能平均分配到分子的每個(gè)自由度上，每個(gè)自由度的平均動(dòng)能都是1 kT。每個(gè)氣體分子的熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能以及分子與分子之間相互作用勢(shì)能的和構(gòu)成 了氣體的總能量，這個(gè)能量稱為氣體的內(nèi)能。 1mol理想氣體的內(nèi)能為 質(zhì)量為M，摩爾質(zhì)量為的理想氣體的內(nèi)能為 由此可見，對(duì)于一定量的理想氣體，其內(nèi)能只是溫度的單值函數(shù)。 巴氣體分子的輸運(yùn)規(guī)律氣體的黏滯現(xiàn)象牛頓黏滯定律對(duì)氣體同樣適用其中， 為氣體黏度，

4、f為作用在相互接觸的兩氣層上的作用力，S為兩氣層的作用面積。氣體的熱傳導(dǎo)現(xiàn)象氣體的熱傳導(dǎo)遵守如下的傅立葉熱傳導(dǎo)定律該定律表明，單位時(shí)間內(nèi)沿x方向通過面積AS的熱量與該方向上的溫度梯度成 正比，與面積 S也成正比。負(fù)號(hào)表示傳熱的方向與溫度梯度的方向相反。其中 的比例系數(shù)稱熱導(dǎo)率。氣體分子的擴(kuò)散氣體擴(kuò)散的基本規(guī)律是菲克擴(kuò)散定律，其表達(dá)式為 其中，D為比例系數(shù)，稱擴(kuò)散系數(shù)，負(fù)號(hào)表示氣體分子擴(kuò)散的方向與分子數(shù)密度 梯度的方向相反。思考題2-1若給出一個(gè)矩形容器，設(shè)內(nèi)部充有同一種氣體，每一個(gè)分子的質(zhì)量為m， 分子數(shù)密度為n，由此可以導(dǎo)出理想氣體的壓強(qiáng)公式。若容器是一個(gè)球形的，壓 強(qiáng)公式的形式仍然是不變的

5、。請(qǐng)證明之。答：在球形容器內(nèi)，分子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖 2-1中帶箭頭實(shí)線所示。設(shè)分子i 的速率為vi，分子與器壁的碰撞為完全彈性碰撞， 分子碰撞器壁只改變分子運(yùn)動(dòng) 方向，不改變速度的大小，并且，“入射角”等于“反射角”。對(duì)分子i來說，在每次和器壁的碰撞中，分子對(duì)器壁作用的法向沖量為在冬天與夏天，打入輪胎內(nèi)2mvcos日。該分子每秒鐘內(nèi)與器壁的碰撞次數(shù)為 « 2Rco，所以，該分子每秒內(nèi)作用在器壁上 的作用力為v2Rcos-22mvcosB = -R由于球形內(nèi)壁的總面積為4二R2，氣體的體積對(duì)于總數(shù)為N的全部分子（分子是全同的, 每一個(gè)分子的質(zhì)量均為 m。）來說，球形內(nèi)壁每 秒內(nèi)所受到的總

6、作用力等于 為4二R3。所以，按照壓強(qiáng)的定義得3證畢。2-2對(duì)汽車輪胎打氣，使之達(dá)到所需要的壓強(qiáng)。的空氣質(zhì)量是否相同？為什么？答：不相同，在冬天打入輪胎內(nèi)的空氣質(zhì)量要大一些。因?yàn)橄奶鞖鉁馗?，?氣分子的平均平動(dòng)能較大；冬天氣溫低，空氣分子的平均平動(dòng)能較小。根據(jù)理想 氣體的壓強(qiáng)公式 可知，當(dāng)壓強(qiáng)相同時(shí)，在冬天打入輪胎內(nèi)的空氣密度(即質(zhì)量)要大一些。2-3根據(jù)理想氣體的溫度公式，當(dāng)T =0K時(shí)，；=0。由此可推斷，T=0K(即 -273C)時(shí)，分子將停止運(yùn)動(dòng)。對(duì)此推論，你有何看法？請(qǐng)?jiān)u判之。答：這種看法是錯(cuò)誤的。因?yàn)槔硐霘怏w的溫度公式只適用于理想氣體，而在-273C時(shí)，已經(jīng)不存在理想氣體了，溫度公

7、式也就不成立了，如此的推論自然 也就是錯(cuò)誤的。事實(shí)上，即使達(dá)到-273C，分子也還在作微小的振動(dòng)，運(yùn)動(dòng)仍 不會(huì)停止。2-4 范德瓦耳斯方程是從理論上推出的，更精確的昂內(nèi)斯方程則是一個(gè)半經(jīng)驗(yàn)方程。從形式上看，范德瓦耳斯方程可視為昂內(nèi)斯方程的一個(gè)特例，請(qǐng)證明之。式(2-31 )是由體積V表達(dá)的昂內(nèi)斯方程，你能否給出由壓強(qiáng) p表達(dá)的昂內(nèi) 斯方程？答：(1)由得 整理得a abpV = pb RT丁V v 2令A(yù) = pb RT則B=_a， C =ab把、帶入此式即為昂內(nèi)斯方程。(2) 以壓強(qiáng)展開的昂內(nèi)斯方程為2-5麥克斯韋速率分布是指氣體在平衡態(tài)下的統(tǒng)計(jì)分布。 一般而言，速率分 布函數(shù)還可以有其他形

8、式。但是，無論何種形式，它們的意義是相同的。設(shè)f(v) 為速率分布函數(shù)，請(qǐng)思考下列各式所代表的意義：V2V2(1) f (v)dv ;(2) Nf (v)dv ;(3)f (v)dv ;(4)Nf (v)dv。v1M答：(1) f (v)dv表示速率分布在v v dv區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。(2) Nf (v)dv表示速率分布在v v dv區(qū)間內(nèi)的氣體分子數(shù)。(3) f(v)dv表示速率分布在w v2區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分(4) Nf (v)dv表示速率分布在v1 v2區(qū)間內(nèi)的氣體分子數(shù)。2-6 若引入無量綱的量u二vvp，試證明麥克斯韋速率分布規(guī)律可表達(dá)為 并由此說明V&l

9、t;Vp的分子數(shù)與總分子數(shù)之比與溫度無關(guān)。答：令U二V Vp，貝u帶入麥克斯韋速度分布公式可得令 f (u) - -e u2，即有v<Vp的分子數(shù)與總分子數(shù)之比即為u從01的分子數(shù)與與總分子數(shù) 之比。于是，其比率為 用分布積分法可解出 由此可見，V<vp的分子數(shù)與總分子數(shù)之比與溫度無關(guān)。2-7氣體分子的平均速率、最概然速率和均方根速率的物理意義有什么區(qū) 別？最概然速率是否是速率分布中最大速率的值？在數(shù)值上，這三個(gè)速率哪個(gè)最大？那個(gè)最??？答：由平均速率可以了解氣體分子平均的運(yùn)動(dòng)快慢，由方均根速率可知分子平均平動(dòng)動(dòng)能的大小，而最概然速率則表明速率在此速率附近的分子數(shù)占總分子 數(shù)的比率最

10、大。顯然，最概然速率不是速率分布中最大速率的值。在數(shù)值上，此三個(gè)速率大小關(guān)系是2-8 1mol的水蒸汽(H20)分解成同溫度的氧氣和氫氣，內(nèi)能增加了百分 之幾？(提示：將水蒸汽視為理想氣體，不計(jì)振動(dòng)自由度，水蒸汽的自由度為6)答：由水分解成同溫度的氧氣和氫氣的化學(xué)方程式為 根據(jù)理想氣體的內(nèi)能公式E=2RT，分別計(jì)算H2O、H2、02的內(nèi)能為 根據(jù)化學(xué)方程式可知水分解后的內(nèi)能 E2為 水分解前的內(nèi)能為 分解前后內(nèi)能增量為 于是，內(nèi)能增加的百分比為2-9若盛有某種理想氣體的容器漏氣，使氣體的壓強(qiáng)和分子數(shù)密度各減為原 來的一半，氣體的內(nèi)能和分子平均動(dòng)能是否改變？為什么？答：根據(jù)理想氣體的溫度公式由于

11、溫度不變，氣體分子平均動(dòng)能沒有改變。但由于分子數(shù)密度減少了，容器中 的氣體質(zhì)量減小，根據(jù)理想氣體的內(nèi)能公式 可知，氣體的內(nèi)能減少。2-10 在氣體的遷移現(xiàn)象中本質(zhì)上是那些量在遷移？分子熱運(yùn)動(dòng)和分子碰 撞在遷移現(xiàn)象中起什么作用？答：在氣體的遷移現(xiàn)象中本質(zhì)上是氣體的動(dòng)量、 能量或質(zhì)量從一部分向另一 部分的定向遷移。動(dòng)量、能量或質(zhì)量的定向遷移是通過分子熱運(yùn)動(dòng)和分子碰撞實(shí) 現(xiàn)的。練習(xí)題2-1每秒有1023個(gè)氧分子以500m s-1的速度沿與器壁法線成45o角的方向 撞在面積為2 10, m2的器壁上，問這群分子作用在器壁上的壓強(qiáng)為多大？解：每個(gè)分子對(duì)器壁碰撞時(shí)，對(duì)器壁的作用沖量為 每秒內(nèi)全部N個(gè)分子對(duì)

12、器壁的作用沖量，即沖力為根據(jù)壓強(qiáng)定義式得：2-2 目前，真空設(shè)備內(nèi)部的壓強(qiáng)可達(dá)1.01 10°Pa,在此壓強(qiáng)下溫度為27C 時(shí)1m3體積中有多少個(gè)氣體分子？解：由p=nKT得2-3 一個(gè)容器內(nèi)儲(chǔ)有氧氣，其壓強(qiáng)為1.01 105Pa,溫度為27C，計(jì)算:（1） 氣體分子數(shù)密度；（2）氧氣的密度；（3）分子平均平動(dòng)動(dòng)能；（4）分子間的平均 距離（設(shè)分子均勻等距排列）。解：由題意知 p =1.01x105Pa、T=273.15K（1）分子數(shù)密度可由下式求出：（2）設(shè)氧氣分子的密度為，每個(gè)分子的質(zhì)量為m,則設(shè)分子的摩爾質(zhì)量為J，1mol氣體所含的分子數(shù)為Na （阿伏伽德羅常數(shù)）， 則J =

13、NAm， mN A，將其帶入上式得（3）分子平均平動(dòng)動(dòng)能可由溫度公式求出（4）由分子數(shù)密度可知每一個(gè)分子所占據(jù)的空間為此空間為正方體，相鄰的兩個(gè)分子的間距即為2-42.0 10，kg的氫氣裝在4.0 10；m3的容器內(nèi)，當(dāng)容器內(nèi)的壓強(qiáng)為3.9 105Pa時(shí)，氫氣分子的平均平動(dòng)動(dòng)能為多大？解：由理想氣體狀態(tài)方程pV = M RT解出將其帶入理想氣體的溫度公式可得2-5某些恒星的溫度可達(dá)到1.0 108K，這是發(fā)生聚變反應(yīng)（也稱熱核反應(yīng)） 所需的溫度。在此溫度下的恒星可視為由質(zhì)子組成。試求（1）質(zhì)子的平均動(dòng)能；（2）質(zhì)子的方均根速率。（提示：大量質(zhì)子可視為由質(zhì)點(diǎn)組成的理想氣體）解：（1）將質(zhì)子視為理想氣體，由理想氣體的溫度公式得質(zhì)子的平均動(dòng)能為（2）質(zhì)子的方均根速率可由下式求出2-6在容積為1 m3的密閉容器內(nèi)，有900g水和1.6kg的氧氣。計(jì)算溫度為 500 C時(shí)容器中的壓強(qiáng)。解：在500r時(shí)，水變?yōu)樗羝?，容器?nèi)的壓強(qiáng)為 帶入已知條件可得2-7若使氫分子和氧分子的方均根速率等于它們?cè)诘厍虮?/p>