微積分與概率論的初步設(shè)想

1、第2期楊玉東等：數(shù)學(xué)課程改革中教師角色的分析3微積分與概率論的初步設(shè)想林 群，薛曉歡（中國科學(xué)院 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院，北京 100190）摘要：微積分中各種測量都會出現(xiàn)同一公式：在概率論中，這一比例數(shù)只在概率意義下成立關(guān)鍵詞：微積分；概率論；相對真理；絕對真理；比例數(shù)；中圖分類號：G40-03 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：10049894（2014）01000108第1期林 群等：微積分與概率論的初步設(shè)想71 微 積 分微積分是什么？站高些，統(tǒng)一到一個哲學(xué)公式，帶有比例數(shù) （1）它揭示了追求真理的數(shù)字化過程：要經(jīng)多道坎（即0.9，0.99，0.999，）再將比例提到1或者說，相對真理不可能10

2、0%正確，只能正確到90%，99%，99.9%，就像“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”微積分各個公式，歸根結(jié)底只是這個公式的具體化舉例：1. 求圓面積，是絕對真理正多邊形面積是相對真理，它們的比值1，所以要經(jīng)過若干坎，0.9，0.99，0.999，簡言之，有公式（1）2. 更一般，求曲邊圍成的面積，是絕對真理“達(dá)布小和”（曲邊下面小矩形面積之和）是相對真理，它們的比值1也要經(jīng)過若干坎，0.9，0.99，0.999，簡言之，也有公式（1）但這里的絕對真理是未知數(shù)，可以通過下面不等式1來求面積3. 求圓周長，是絕對真理，正多邊形周長是相對真理，它們的比值1也要經(jīng)過若干坎，0.9，0.99，0.999

3、，簡言之，也有公式（1）4. 求曲線弧長，是絕對真理黑色三角形的斜邊長是相對真理，它們的比值1，1也要經(jīng)過若干坎，0.9，0.99，0.999，簡言之，也有公式（1）甚或曲率，可作為求弧長的副產(chǎn)品5. 求曲線高，是絕對真理黑色三角形的高（稱微分）是相對真理，它們的比值1，1也要經(jīng)過若干坎，0.9，0.99，0.999，簡言之，也有公式（1）一旦出現(xiàn)，微分和便是一個無限加密的過程，所以有=，這里的絕對真理（全高）是已知數(shù)這就是微積分的核心牛頓-萊布尼茨公式6. 求物體的體積，是絕對真理小柱體的體積是相對真理，它們的比值1，1也要經(jīng)過若干坎，0.9，0.99，0.999，簡言之，也有公式（1）7.

4、 求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積，是絕對真理小柱體的側(cè)面積是相對真理，它們的比值1，1也要經(jīng)過若干坎，0.9，0.99，0.999，簡言之，也有公式（1）2 生活中更簡單的例子講幾個故事，它們背后隱藏著微積分的哲學(xué)在中國，最有名的當(dāng)推莊子·天下篇的一句話：一尺之錘，日取其半，萬世不竭在這里，所有切去的部分是相對真理，全長是絕對真理，但是切去的部分會逐漸靠近全長，即比值（或比例）數(shù)據(jù)化：次數(shù)剩下所占比值切去所占比值10.50.520.250.7530.1250.87540.06250.937550.031250.9687560.0156250.98437570.00781250.9921875即9的

5、個數(shù)在增多如果改變?nèi)》ǎ?尺之繩，日取其九，漸得全長，萬世不竭，將有整齊的結(jié)果仔細(xì)說，1尺之繩，每次切去剩下的90%，那么剩下的部分會越來越短，而切去的部分會以0.9，0.99，0.999，整齊的方式，越來越接近1尺數(shù)據(jù)化：次數(shù)剩下所占比值切去所占比值10.10.920.010.9930.0010.99940.00010.999950.000010.99999但不一定日取其半或日取其九，如果日取其一，照樣出現(xiàn)數(shù)據(jù)化：次數(shù)剩下所占比值切去所占比值 10.90.1 20.810.19 30.7290.271 40.65610.3439 50.590490.40951 60.5314410.468

6、559 70.47829690.5217031 80.430467210.56953279 90.3874204890.612579511100.34867844010.6513215599110.31381059610.6861894039120.28242953650.7175704635130.25418658290.7458134171140.22876792460.7712320754150.20589113210.79410886791608146979811170.1667718170.833228183180849905364

7、71908649148282200.12157665460.8784233454210.10941898910.8905810109220.09847709020.9015229098這里，每次切去10%，即每次剩下90%，全長減去剩下，就是切去的部分從上面的幾個例子可以看到，不論每次取法如何，都有比值在生活中可以舉出許多例子，卻有著相似的結(jié)果（1）霍金說，一本書多一個公式，少一半的讀者數(shù)據(jù)化：公式數(shù)讀者比例放棄者比例10.50.520.250.7530.1250.87540.06250.937550.031250.9687560.0156250.98437570.0

8、0781250.9921875這里，隨著公式的不斷增加，放棄閱讀的讀者人數(shù)是相對真理，所有的讀者人數(shù)是絕對真理，那么，隨著公式增加，就有比值（2）在洗衣服的時候，每換一次水，都會洗去90%的污漬，洗的次數(shù)越多，衣服就會越干凈數(shù)據(jù)化：次數(shù)剩下的污漬所占比例洗去的污漬所占比例10.10.920.010.9930.0010.99940.00010.999950.000010.99999這里，隨著洗滌次數(shù)的不斷增加，洗去的污漬是相對真理，所有的污漬是絕對真理，那么就有比值（3）類似的，在冶煉黃金時，每次都提升90%的純度數(shù)據(jù)化：次數(shù)剩下的雜質(zhì)所占比值黃金純度10.10.920.010.9930.001

9、0.99940.00010.999950.000010.99999這里，隨著冶煉次數(shù)的不斷增加，得到的黃金是相對真理，純金是絕對真理，那么，就有比值（4）秋天到了，有一棵樹每天都會掉落10%的葉子，還是類似的一張表次數(shù)剩下所占比值掉落所占比值 10.90.1 20.810.19 30.7290.271 40.65610.3439 50.590490.40951 60.5314410.468559 70.47829690.5217031 80.430467210.56953279 90.3874204890.612579511100.34867844010.6513215599110.31381

10、059610.6861894039120.28242953650.7175704635130.25418658290.7458134171140.22876792460.7712320754150.20589113210.79410886791608146979811170.1667718170.83322818318084990536471908649148282200.12157665460.8784233454210.10941898910.8905810109220.09847709020.901522909

11、8注：每天掉落10%，即每天剩下90%，全部減去剩下，就是掉落的葉子這里，隨著時間的不斷增加，落葉是相對真理，所有的樹葉是絕對真理，那么就有比值，當(dāng)葉子掉光的時候，冬天就到了在測量一根1米長的木棒時，每次都利用刻度更密，精度更高的工具，使得測量結(jié)果增加一位小數(shù)，測量結(jié)果如下表：次數(shù)精確到的位數(shù)測量結(jié)果10.10.920.010.9930.0010.99940.00010.999950.000010.99999這里，測量結(jié)果0.9，0.99，0999，是相對真理，實際長度1是絕對真理那么就有比值還有非常類似的故事，需要化整為零，也是測量精度會影響最后結(jié)果，叫愚公量山愚公家門前有一座高山，愚公想知

12、道山高，但是方法粗糙，工具有限，只能測出山高的90%，但是經(jīng)過不斷改進，每次都利用刻度更密工具，精度更高的方法，使得測量結(jié)果增加一位小數(shù)，測量結(jié)果如下表：分割次數(shù)測量精度測量結(jié)果10.10.920.010.9930.0010.99940.00010.999950.000010.99999這里有一個巧合，分割精度恰好與測量精度相等這里，測量結(jié)果0.9，0.99，0999，相對真理，實際長度1是絕對真理那么就有比值有人說：“你們一家永遠(yuǎn)得不到精確的山高，不要白費功夫了！”愚公坦然回答：“汝心之固，固不可徹，子又生孫，孫又生子；子又有子，子又有孫；子子孫孫無窮匱也，而山不加增，何苦而不得山高？”以上

13、故事各不相同，卻有著驚人的相似，都有一個共同的特點：不斷重復(fù)，每次都以一定比值進行，最后都出現(xiàn)特別是愚公量山的故事，需要化整為零，不斷重復(fù)測量，并且測量儀器的刻度越密，測量方法的精度越高，9的個數(shù)就會越多，直至最后出現(xiàn)這樣就可以看到，精度的大?。ň植康谋戎担?，直接影響了最后的測量結(jié)果（整體的比值），即9的個數(shù)3 理論分析從實驗數(shù)據(jù)中已看到規(guī)律，下面通過理論證明這些規(guī)律首先在曲線求高的例子中，可以證明1對初等函數(shù)成立（見參考文獻(xiàn)1和2），這時，分子的微分和由于分割無限加密，便定義為積分，所以這個積分就是全高，或牛頓-萊布尼茨公式，所以，一旦變成積分，就能計算了（假設(shè)被積函數(shù)可以寫成導(dǎo)數(shù)的形式）據(jù)

14、此可推出以下許多結(jié)論1. 面積來看求圓面積的例子，其實，面積有著實際的意義：直接可以用來計算圖中的角為，半徑為1那么可以計算得到正n邊形的面積，圓的面積，面積比，數(shù)據(jù)化：正n邊形多邊形面積與圓面積之比 62.59810.8270 72.73640.8710 82.82840.9003 92.89250.9207 102.93890.9355 123.00000.9549 143.03720.9668 163.06150.9745 183.07820.9798 203.09020.9836 253.10860.9895 303.11870.9927 353.12470.9946 403.1287

15、0.9959 503.13330.9974 603.13590.9982 703.13740.9987 803.13840.9990 903.13900.99921003.13950.9993類似的，在計算其它圖形的面積時，仍采用上述思想，也就是：=0.999，所以分子即面積，或積分，后者可由牛頓-萊布尼茨公式來算舉個例子，在，此時曲邊梯形變?yōu)橐粋€直角三角形，且面積為0.5利用達(dá)布和來計算分割數(shù)達(dá)布和面積比 20.5 3 40.75 50.8 60.83333 70.8571428571 80.875 90.8888888889100.9110.9090909091120.9166666667

16、再來看一個計算面積的問題，計算在區(qū)間與x軸所圍曲邊梯形面積通常的做法是：將區(qū)間分割，利用小矩形面積的和S來計算但是，可以看到，這是有誤差的，但是，隨著分割的加密，S也在不斷地增加，取一個曲邊梯形來看，用個數(shù)越多的矩形來代替小的曲邊梯形，結(jié)果越精確可以看到，分割越密，S越大，但是S不會超過曲邊梯形的面積，就像0.999在不斷接近于1卻不會超過1一樣，這樣，隨著分割加密，小矩形的和會逐漸靠近一個數(shù)，就像0.999逐漸靠近1一樣，那么就是曲邊梯形的面積，顯然，是一個關(guān)于b的函數(shù)，把它定義為計算在區(qū)間與x軸所圍曲邊梯形面積等分次數(shù)S與的比值 20.4043358553 30.4274407613 40

17、.4398183896 50.4475200249 60.4527711399 200.9822 400.9910 50*0.9928100*0.9964注：*：*：2. 弧長公式前面已經(jīng)知道了如何求山高，現(xiàn)在來看一個更加有意思的問題，如何來求上山走過的路程？還是回到曲線求高圖：在每一個小的直角三角形中，底為h，高微分為，那么根據(jù)勾股定理，可以得到小直角三角形的斜邊長為，將各個小直角三角形斜邊之長加起來就得到曲線弧長的近似值，且隨著分割加密，得到的值會越精確當(dāng)斜邊長之和在分割加密，即不斷減小時，越來越靠近弧長，那么此時所以，弧長即積分，后者可由牛頓-萊布尼茨公式來算還是舉圓周求長的例子來說明單

18、位圓在區(qū)間的弧長 已知所求弧長為，另一方面，=五次分割點00.20.40.60.8斜邊長0.20.20410.21820.25000.3333十次分割點00.10.20.30.4斜邊長0.10.10050.10210.10480.1091點0.50.60.70.80.9斜邊長0.11550.12500.14000.16670.2294二十次分割點00.050.10.150.2斜邊長0.050.05010.05030.05060.0510點0.250.30.350.40.45斜邊長0.05160.05240.05340.05460.0560點0.50.550.60.650.7斜邊長0.05770

19、.05990.06250.06580.0700點0.750.80.850.90.95斜邊長0.07560.05020.09490.11470.1601來看計算的結(jié)果分割次數(shù)51020斜邊長的和1.20561.29311.3314比值0.76750.82320.84763. 曲率有了弧長公式之后，就可以研究曲線在一點處的彎曲程度，曲線的曲率，是角度的變化，是弧長的變化，定義，帶入計算即得4. 體積對于一般物體的體積計算，將其切片之后利用小的柱體來計算，設(shè)小柱體底面積為，高為，柱體體積和，那么隨著切片的加密，會以0.9*，0.99*，0.999*，的方式不斷靠近1所以立體的體積即積分，可由牛頓-萊

20、布尼茨公式來算特別的，對于繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體來講，此時小柱體的體積，那么，會以0.9*，0.99*，0.999*，的方式不斷靠近1所以旋轉(zhuǎn)體的體積即積分，后者可由牛頓-萊布尼茨公式來算5. 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積小圓臺的表面積為，其中為弧長，根據(jù)弧長公式可得：，那么會以0.9*，0.99*，0.999*，的方式不斷靠近1所以旋轉(zhuǎn)體的體積即積分，后者可由牛頓-萊布尼茨公式來算6. 級數(shù)再來看看在剪繩子的例子中得到的兩種方法，隨著n的不斷增大，左邊的求和項不斷增加，但是從右邊來看，逐漸減小，和式逐漸靠近1可以得到等比數(shù)列的求和公式，(p1)（根據(jù)（1），兩邊乘以，令即可得到）不是所有的和式都會隨著n的增大

21、靠近一個固定常數(shù)（例如），那么，如果隨著n的增大靠近某一個固定常數(shù)S，即隨著n的增大以0.9，0.99，0.999的方式靠近1，那么稱級數(shù)收斂到S，即，即仍然統(tǒng)一為一個公式：如果，從（2）已經(jīng)得到，隨著N的增大，會以0.9，0.99，0.999，的方式不斷靠近1下面給出一個例子，例如計算，數(shù)據(jù)化N1610150.33330.91220.98270.9977N202530350.99970.999960.9999950.9999993從例子中可以看到隨著N的不斷增大，以0.9，0.99，0.999，的方式不斷靠近1所以，級數(shù)也可以用比值的方法來研究，收斂的級數(shù)也會出現(xiàn)7. 測度在測度論中，若，則

22、外測度滿足1康托爾集康托爾集C是由不斷去掉線段的中間三分之一而得出，那么1，隨著過程的不斷重復(fù)，可得，即康托爾集的“長度”為0，卻含有無窮多的元素依測度收斂：設(shè)在X上依測度收斂于，即14 概率論初步設(shè)想概率論的兩個基本定理：大數(shù)定律和中心極限定理，也可能納入前面的哲學(xué)框架統(tǒng)計學(xué)本身就是研究數(shù)據(jù)和處理數(shù)據(jù)的學(xué)科，可以看到，上述思想在統(tǒng)計學(xué)中同樣出現(xiàn)下面出現(xiàn)的分式，都假設(shè)是有意義的1. 大數(shù)定律（1）設(shè)在n次伯努利試驗中，事件X發(fā)生的次數(shù)為，事件X在每次實驗中發(fā)生的概率為，那么對于任意的隨著的不斷增大，會以0.9，099，0.999，的方式靠近1（2）設(shè)隨機變量列，獨立同分布，且 (i=1，2，n

23、)，則對任意的隨著的不斷增大，會以0.9，099，0.999，的方式靠近12. 中心極限定理（1）若是次Bernoulli實驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，則對任意區(qū)間a, b（1.1）若，那么隨著的不斷增大，會逐漸靠近1，即會以0.9，099，0.999，的方式靠近1（1.2）隨著的不斷增大，會逐漸靠近1，即會以0.9，099，0.999，的方式靠近1（2）設(shè)隨機變量列，獨立同分布，且具有有限的期望和方差，(i=1，2，n)，則隨著n的不斷增大，會逐漸靠近1，即會以0.9，099，0.999，的方式靠近1其中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)釘板實驗，將小球從頂端釋放，下落的位置如下圖，類似正態(tài)分布的鐘形曲線3

24、. 數(shù)據(jù)實驗徐美萍、李琴對概率與統(tǒng)計中的上述理論做了計算，證實公式（1）在概率意義下會出現(xiàn)，但她們在算例中發(fā)現(xiàn)：不像一般微積分的數(shù)列那樣出現(xiàn)，只是在概率意義下所以，公式（1）不同領(lǐng)域可能有不同的意義這是值得注意的地方另外，陳竑燾還利用隨機數(shù)求積分，哲學(xué)公式的比值還是統(tǒng)一到同一數(shù)總的來說，這里只是對微積分與概率論做了初步考察（這兩個領(lǐng)域的專著太多，這里僅列舉研究者感興趣的幾篇文獻(xiàn)：3、4以及5、6、7、8、9），別的領(lǐng)域有沒有類似現(xiàn)象，更值得探討所以這里只是拋磚引玉致謝：本文是在天津師范大學(xué)國培計劃的一個講座作者由衷地感謝天津師范大學(xué)王光明教授提供的機會以及魏文元教授對概率部分的指導(dǎo)性意見，他們使本文的最后成文成為可能參 考