微積分與概率論的初步設(shè)想

1、第2期楊玉東等：數(shù)學(xué)課程改革中教師角色的分析3微積分與概率論的初步設(shè)想林 群，薛曉歡（中國(guó)科學(xué)院 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院，北京 100190）摘要：微積分中各種測(cè)量都會(huì)出現(xiàn)同一公式：在概率論中，這一比例數(shù)只在概率意義下成立關(guān)鍵詞：微積分；概率論；相對(duì)真理；絕對(duì)真理；比例數(shù)；中圖分類(lèi)號(hào)：G40-03 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：10049894（2014）01000108第1期林 群等：微積分與概率論的初步設(shè)想71 微 積 分微積分是什么？站高些，統(tǒng)一到一個(gè)哲學(xué)公式，帶有比例數(shù) （1）它揭示了追求真理的數(shù)字化過(guò)程：要經(jīng)多道坎（即0.9，0.99，0.999，）再將比例提到1或者說(shuō)，相對(duì)真理不可能10

2、0%正確，只能正確到90%，99%，99.9%，就像“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭”微積分各個(gè)公式，歸根結(jié)底只是這個(gè)公式的具體化舉例：1. 求圓面積，是絕對(duì)真理正多邊形面積是相對(duì)真理，它們的比值1，所以要經(jīng)過(guò)若干坎，0.9，0.99，0.999，簡(jiǎn)言之，有公式（1）2. 更一般，求曲邊圍成的面積，是絕對(duì)真理“達(dá)布小和”（曲邊下面小矩形面積之和）是相對(duì)真理，它們的比值1也要經(jīng)過(guò)若干坎，0.9，0.99，0.999，簡(jiǎn)言之，也有公式（1）但這里的絕對(duì)真理是未知數(shù)，可以通過(guò)下面不等式1來(lái)求面積3. 求圓周長(zhǎng)，是絕對(duì)真理，正多邊形周長(zhǎng)是相對(duì)真理，它們的比值1也要經(jīng)過(guò)若干坎，0.9，0.99，0.999

3、，簡(jiǎn)言之，也有公式（1）4. 求曲線(xiàn)弧長(zhǎng)，是絕對(duì)真理黑色三角形的斜邊長(zhǎng)是相對(duì)真理，它們的比值1，1也要經(jīng)過(guò)若干坎，0.9，0.99，0.999，簡(jiǎn)言之，也有公式（1）甚或曲率，可作為求弧長(zhǎng)的副產(chǎn)品5. 求曲線(xiàn)高，是絕對(duì)真理黑色三角形的高（稱(chēng)微分）是相對(duì)真理，它們的比值1，1也要經(jīng)過(guò)若干坎，0.9，0.99，0.999，簡(jiǎn)言之，也有公式（1）一旦出現(xiàn)，微分和便是一個(gè)無(wú)限加密的過(guò)程，所以有=，這里的絕對(duì)真理（全高）是已知數(shù)這就是微積分的核心牛頓-萊布尼茨公式6. 求物體的體積，是絕對(duì)真理小柱體的體積是相對(duì)真理，它們的比值1，1也要經(jīng)過(guò)若干坎，0.9，0.99，0.999，簡(jiǎn)言之，也有公式（1）7.

4、 求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積，是絕對(duì)真理小柱體的側(cè)面積是相對(duì)真理，它們的比值1，1也要經(jīng)過(guò)若干坎，0.9，0.99，0.999，簡(jiǎn)言之，也有公式（1）2 生活中更簡(jiǎn)單的例子講幾個(gè)故事，它們背后隱藏著微積分的哲學(xué)在中國(guó)，最有名的當(dāng)推莊子·天下篇的一句話(huà)：一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭在這里，所有切去的部分是相對(duì)真理，全長(zhǎng)是絕對(duì)真理，但是切去的部分會(huì)逐漸靠近全長(zhǎng)，即比值（或比例）數(shù)據(jù)化：次數(shù)剩下所占比值切去所占比值10.50.520.250.7530.1250.87540.06250.937550.031250.9687560.0156250.98437570.00781250.9921875即9的

5、個(gè)數(shù)在增多如果改變?nèi)》?，?尺之繩，日取其九，漸得全長(zhǎng)，萬(wàn)世不竭，將有整齊的結(jié)果仔細(xì)說(shuō)，1尺之繩，每次切去剩下的90%，那么剩下的部分會(huì)越來(lái)越短，而切去的部分會(huì)以0.9，0.99，0.999，整齊的方式，越來(lái)越接近1尺數(shù)據(jù)化：次數(shù)剩下所占比值切去所占比值10.10.920.010.9930.0010.99940.00010.999950.000010.99999但不一定日取其半或日取其九，如果日取其一，照樣出現(xiàn)數(shù)據(jù)化：次數(shù)剩下所占比值切去所占比值 10.90.1 20.810.19 30.7290.271 40.65610.3439 50.590490.40951 60.5314410.468

6、559 70.47829690.5217031 80.430467210.56953279 90.3874204890.612579511100.34867844010.6513215599110.31381059610.6861894039120.28242953650.7175704635130.25418658290.7458134171140.22876792460.7712320754150.20589113210.79410886791608146979811170.1667718170.833228183180849905364

7、71908649148282200.12157665460.8784233454210.10941898910.8905810109220.09847709020.9015229098這里，每次切去10%，即每次剩下90%，全長(zhǎng)減去剩下，就是切去的部分從上面的幾個(gè)例子可以看到，不論每次取法如何，都有比值在生活中可以舉出許多例子，卻有著相似的結(jié)果（1）霍金說(shuō)，一本書(shū)多一個(gè)公式，少一半的讀者數(shù)據(jù)化：公式數(shù)讀者比例放棄者比例10.50.520.250.7530.1250.87540.06250.937550.031250.9687560.0156250.98437570.0

8、0781250.9921875這里，隨著公式的不斷增加，放棄閱讀的讀者人數(shù)是相對(duì)真理，所有的讀者人數(shù)是絕對(duì)真理，那么，隨著公式增加，就有比值（2）在洗衣服的時(shí)候，每換一次水，都會(huì)洗去90%的污漬，洗的次數(shù)越多，衣服就會(huì)越干凈數(shù)據(jù)化：次數(shù)剩下的污漬所占比例洗去的污漬所占比例10.10.920.010.9930.0010.99940.00010.999950.000010.99999這里，隨著洗滌次數(shù)的不斷增加，洗去的污漬是相對(duì)真理，所有的污漬是絕對(duì)真理，那么就有比值（3）類(lèi)似的，在冶煉黃金時(shí)，每次都提升90%的純度數(shù)據(jù)化：次數(shù)剩下的雜質(zhì)所占比值黃金純度10.10.920.010.9930.001

9、0.99940.00010.999950.000010.99999這里，隨著冶煉次數(shù)的不斷增加，得到的黃金是相對(duì)真理，純金是絕對(duì)真理，那么，就有比值（4）秋天到了，有一棵樹(shù)每天都會(huì)掉落10%的葉子，還是類(lèi)似的一張表次數(shù)剩下所占比值掉落所占比值 10.90.1 20.810.19 30.7290.271 40.65610.3439 50.590490.40951 60.5314410.468559 70.47829690.5217031 80.430467210.56953279 90.3874204890.612579511100.34867844010.6513215599110.31381

10、059610.6861894039120.28242953650.7175704635130.25418658290.7458134171140.22876792460.7712320754150.20589113210.79410886791608146979811170.1667718170.83322818318084990536471908649148282200.12157665460.8784233454210.10941898910.8905810109220.09847709020.901522909

11、8注：每天掉落10%，即每天剩下90%，全部減去剩下，就是掉落的葉子這里，隨著時(shí)間的不斷增加，落葉是相對(duì)真理，所有的樹(shù)葉是絕對(duì)真理，那么就有比值，當(dāng)葉子掉光的時(shí)候，冬天就到了在測(cè)量一根1米長(zhǎng)的木棒時(shí)，每次都利用刻度更密，精度更高的工具，使得測(cè)量結(jié)果增加一位小數(shù)，測(cè)量結(jié)果如下表：次數(shù)精確到的位數(shù)測(cè)量結(jié)果10.10.920.010.9930.0010.99940.00010.999950.000010.99999這里，測(cè)量結(jié)果0.9，0.99，0999，是相對(duì)真理，實(shí)際長(zhǎng)度1是絕對(duì)真理那么就有比值還有非常類(lèi)似的故事，需要化整為零，也是測(cè)量精度會(huì)影響最后結(jié)果，叫愚公量山愚公家門(mén)前有一座高山，愚公想知

12、道山高，但是方法粗糙，工具有限，只能測(cè)出山高的90%，但是經(jīng)過(guò)不斷改進(jìn)，每次都利用刻度更密工具，精度更高的方法，使得測(cè)量結(jié)果增加一位小數(shù)，測(cè)量結(jié)果如下表：分割次數(shù)測(cè)量精度測(cè)量結(jié)果10.10.920.010.9930.0010.99940.00010.999950.000010.99999這里有一個(gè)巧合，分割精度恰好與測(cè)量精度相等這里，測(cè)量結(jié)果0.9，0.99，0999，相對(duì)真理，實(shí)際長(zhǎng)度1是絕對(duì)真理那么就有比值有人說(shuō)：“你們一家永遠(yuǎn)得不到精確的山高，不要白費(fèi)功夫了！”愚公坦然回答：“汝心之固，固不可徹，子又生孫，孫又生子；子又有子，子又有孫；子子孫孫無(wú)窮匱也，而山不加增，何苦而不得山高？”以上

13、故事各不相同，卻有著驚人的相似，都有一個(gè)共同的特點(diǎn)：不斷重復(fù)，每次都以一定比值進(jìn)行，最后都出現(xiàn)特別是愚公量山的故事，需要化整為零，不斷重復(fù)測(cè)量，并且測(cè)量?jī)x器的刻度越密，測(cè)量方法的精度越高，9的個(gè)數(shù)就會(huì)越多，直至最后出現(xiàn)這樣就可以看到，精度的大小（局部的比值），直接影響了最后的測(cè)量結(jié)果（整體的比值），即9的個(gè)數(shù)3 理論分析從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中已看到規(guī)律，下面通過(guò)理論證明這些規(guī)律首先在曲線(xiàn)求高的例子中，可以證明1對(duì)初等函數(shù)成立（見(jiàn)參考文獻(xiàn)1和2），這時(shí)，分子的微分和由于分割無(wú)限加密，便定義為積分，所以這個(gè)積分就是全高，或牛頓-萊布尼茨公式，所以，一旦變成積分，就能計(jì)算了（假設(shè)被積函數(shù)可以寫(xiě)成導(dǎo)數(shù)的形式）據(jù)

14、此可推出以下許多結(jié)論1. 面積來(lái)看求圓面積的例子，其實(shí)，面積有著實(shí)際的意義：直接可以用來(lái)計(jì)算圖中的角為，半徑為1那么可以計(jì)算得到正n邊形的面積，圓的面積，面積比，數(shù)據(jù)化：正n邊形多邊形面積與圓面積之比 62.59810.8270 72.73640.8710 82.82840.9003 92.89250.9207 102.93890.9355 123.00000.9549 143.03720.9668 163.06150.9745 183.07820.9798 203.09020.9836 253.10860.9895 303.11870.9927 353.12470.9946 403.1287

15、0.9959 503.13330.9974 603.13590.9982 703.13740.9987 803.13840.9990 903.13900.99921003.13950.9993類(lèi)似的，在計(jì)算其它圖形的面積時(shí)，仍采用上述思想，也就是：=0.999，所以分子即面積，或積分，后者可由牛頓-萊布尼茨公式來(lái)算舉個(gè)例子，在，此時(shí)曲邊梯形變?yōu)橐粋€(gè)直角三角形，且面積為0.5利用達(dá)布和來(lái)計(jì)算分割數(shù)達(dá)布和面積比 20.5 3 40.75 50.8 60.83333 70.8571428571 80.875 90.8888888889100.9110.9090909091120.9166666667

16、再來(lái)看一個(gè)計(jì)算面積的問(wèn)題，計(jì)算在區(qū)間與x軸所圍曲邊梯形面積通常的做法是：將區(qū)間分割，利用小矩形面積的和S來(lái)計(jì)算但是，可以看到，這是有誤差的，但是，隨著分割的加密，S也在不斷地增加，取一個(gè)曲邊梯形來(lái)看，用個(gè)數(shù)越多的矩形來(lái)代替小的曲邊梯形，結(jié)果越精確可以看到，分割越密，S越大，但是S不會(huì)超過(guò)曲邊梯形的面積，就像0.999在不斷接近于1卻不會(huì)超過(guò)1一樣，這樣，隨著分割加密，小矩形的和會(huì)逐漸靠近一個(gè)數(shù)，就像0.999逐漸靠近1一樣，那么就是曲邊梯形的面積，顯然，是一個(gè)關(guān)于b的函數(shù)，把它定義為計(jì)算在區(qū)間與x軸所圍曲邊梯形面積等分次數(shù)S與的比值 20.4043358553 30.4274407613 40

17、.4398183896 50.4475200249 60.4527711399 200.9822 400.9910 50*0.9928100*0.9964注：*：*：2. 弧長(zhǎng)公式前面已經(jīng)知道了如何求山高，現(xiàn)在來(lái)看一個(gè)更加有意思的問(wèn)題，如何來(lái)求上山走過(guò)的路程？還是回到曲線(xiàn)求高圖：在每一個(gè)小的直角三角形中，底為h，高微分為，那么根據(jù)勾股定理，可以得到小直角三角形的斜邊長(zhǎng)為，將各個(gè)小直角三角形斜邊之長(zhǎng)加起來(lái)就得到曲線(xiàn)弧長(zhǎng)的近似值，且隨著分割加密，得到的值會(huì)越精確當(dāng)斜邊長(zhǎng)之和在分割加密，即不斷減小時(shí)，越來(lái)越靠近弧長(zhǎng)，那么此時(shí)所以，弧長(zhǎng)即積分，后者可由牛頓-萊布尼茨公式來(lái)算還是舉圓周求長(zhǎng)的例子來(lái)說(shuō)明單

18、位圓在區(qū)間的弧長(zhǎng) 已知所求弧長(zhǎng)為，另一方面，=五次分割點(diǎn)00.20.40.60.8斜邊長(zhǎng)0.20.20410.21820.25000.3333十次分割點(diǎn)00.10.20.30.4斜邊長(zhǎng)0.10.10050.10210.10480.1091點(diǎn)0.50.60.70.80.9斜邊長(zhǎng)0.11550.12500.14000.16670.2294二十次分割點(diǎn)00.050.10.150.2斜邊長(zhǎng)0.050.05010.05030.05060.0510點(diǎn)0.250.30.350.40.45斜邊長(zhǎng)0.05160.05240.05340.05460.0560點(diǎn)0.50.550.60.650.7斜邊長(zhǎng)0.05770

19、.05990.06250.06580.0700點(diǎn)0.750.80.850.90.95斜邊長(zhǎng)0.07560.05020.09490.11470.1601來(lái)看計(jì)算的結(jié)果分割次數(shù)51020斜邊長(zhǎng)的和1.20561.29311.3314比值0.76750.82320.84763. 曲率有了弧長(zhǎng)公式之后，就可以研究曲線(xiàn)在一點(diǎn)處的彎曲程度，曲線(xiàn)的曲率，是角度的變化，是弧長(zhǎng)的變化，定義，帶入計(jì)算即得4. 體積對(duì)于一般物體的體積計(jì)算，將其切片之后利用小的柱體來(lái)計(jì)算，設(shè)小柱體底面積為，高為，柱體體積和，那么隨著切片的加密，會(huì)以0.9*，0.99*，0.999*，的方式不斷靠近1所以立體的體積即積分，可由牛頓-萊

20、布尼茨公式來(lái)算特別的，對(duì)于繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體來(lái)講，此時(shí)小柱體的體積，那么，會(huì)以0.9*，0.99*，0.999*，的方式不斷靠近1所以旋轉(zhuǎn)體的體積即積分，后者可由牛頓-萊布尼茨公式來(lái)算5. 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積小圓臺(tái)的表面積為，其中為弧長(zhǎng)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得：，那么會(huì)以0.9*，0.99*，0.999*，的方式不斷靠近1所以旋轉(zhuǎn)體的體積即積分，后者可由牛頓-萊布尼茨公式來(lái)算6. 級(jí)數(shù)再來(lái)看看在剪繩子的例子中得到的兩種方法，隨著n的不斷增大，左邊的求和項(xiàng)不斷增加，但是從右邊來(lái)看，逐漸減小，和式逐漸靠近1可以得到等比數(shù)列的求和公式，(p1)（根據(jù)（1），兩邊乘以，令即可得到）不是所有的和式都會(huì)隨著n的增大

21、靠近一個(gè)固定常數(shù)（例如），那么，如果隨著n的增大靠近某一個(gè)固定常數(shù)S，即隨著n的增大以0.9，0.99，0.999的方式靠近1，那么稱(chēng)級(jí)數(shù)收斂到S，即，即仍然統(tǒng)一為一個(gè)公式：如果，從（2）已經(jīng)得到，隨著N的增大，會(huì)以0.9，0.99，0.999，的方式不斷靠近1下面給出一個(gè)例子，例如計(jì)算，數(shù)據(jù)化N1610150.33330.91220.98270.9977N202530350.99970.999960.9999950.9999993從例子中可以看到隨著N的不斷增大，以0.9，0.99，0.999，的方式不斷靠近1所以，級(jí)數(shù)也可以用比值的方法來(lái)研究，收斂的級(jí)數(shù)也會(huì)出現(xiàn)7. 測(cè)度在測(cè)度論中，若，則

22、外測(cè)度滿(mǎn)足1康托爾集康托爾集C是由不斷去掉線(xiàn)段的中間三分之一而得出，那么1，隨著過(guò)程的不斷重復(fù)，可得，即康托爾集的“長(zhǎng)度”為0，卻含有無(wú)窮多的元素依測(cè)度收斂：設(shè)在X上依測(cè)度收斂于，即14 概率論初步設(shè)想概率論的兩個(gè)基本定理：大數(shù)定律和中心極限定理，也可能納入前面的哲學(xué)框架統(tǒng)計(jì)學(xué)本身就是研究數(shù)據(jù)和處理數(shù)據(jù)的學(xué)科，可以看到，上述思想在統(tǒng)計(jì)學(xué)中同樣出現(xiàn)下面出現(xiàn)的分式，都假設(shè)是有意義的1. 大數(shù)定律（1）設(shè)在n次伯努利試驗(yàn)中，事件X發(fā)生的次數(shù)為，事件X在每次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的概率為，那么對(duì)于任意的隨著的不斷增大，會(huì)以0.9，099，0.999，的方式靠近1（2）設(shè)隨機(jī)變量列，獨(dú)立同分布，且 (i=1，2，n

23、)，則對(duì)任意的隨著的不斷增大，會(huì)以0.9，099，0.999，的方式靠近12. 中心極限定理（1）若是次Bernoulli實(shí)驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，則對(duì)任意區(qū)間a, b（1.1）若，那么隨著的不斷增大，會(huì)逐漸靠近1，即會(huì)以0.9，099，0.999，的方式靠近1（1.2）隨著的不斷增大，會(huì)逐漸靠近1，即會(huì)以0.9，099，0.999，的方式靠近1（2）設(shè)隨機(jī)變量列，獨(dú)立同分布，且具有有限的期望和方差，(i=1，2，n)，則隨著n的不斷增大，會(huì)逐漸靠近1，即會(huì)以0.9，099，0.999，的方式靠近1其中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)釘板實(shí)驗(yàn)，將小球從頂端釋放，下落的位置如下圖，類(lèi)似正態(tài)分布的鐘形曲線(xiàn)3

24、. 數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)徐美萍、李琴對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)中的上述理論做了計(jì)算，證實(shí)公式（1）在概率意義下會(huì)出現(xiàn)，但她們?cè)谒憷邪l(fā)現(xiàn)：不像一般微積分的數(shù)列那樣出現(xiàn)，只是在概率意義下所以，公式（1）不同領(lǐng)域可能有不同的意義這是值得注意的地方另外，陳竑燾還利用隨機(jī)數(shù)求積分，哲學(xué)公式的比值還是統(tǒng)一到同一數(shù)總的來(lái)說(shuō)，這里只是對(duì)微積分與概率論做了初步考察（這兩個(gè)領(lǐng)域的專(zhuān)著太多，這里僅列舉研究者感興趣的幾篇文獻(xiàn)：3、4以及5、6、7、8、9），別的領(lǐng)域有沒(méi)有類(lèi)似現(xiàn)象，更值得探討所以這里只是拋磚引玉致謝：本文是在天津師范大學(xué)國(guó)培計(jì)劃的一個(gè)講座作者由衷地感謝天津師范大學(xué)王光明教授提供的機(jī)會(huì)以及魏文元教授對(duì)概率部分的指導(dǎo)性意見(jiàn)，他們使本文的最后成文成為可能參 考