【玩轉(zhuǎn)壓軸題】考題2：一元二次方程綜合（解析版）-北師大版2022年初三數(shù)學(xué)期末壓軸題精選匯.

1、【玩轉(zhuǎn)壓軸題】考題2： 一元二次方程綜合（解析版）一、單選j1. 如圖，在中，zabc = 90°,ab = 8cm,bc = 6cm,動點 p,。分別從點 a, b 同時開始移動（移動方向如圖所示），點p的速度為lcm/s,點。的速度為2cm/s,點。移動到c點后停止，點p也隨之停止運動，當(dāng)p8q的面積為15cn?時，則點p運動的時間是（）a. 3sb. 3s或5sc. 4sd. 5s【答案】a【分析】 設(shè)出動點f，q運動，秒，能使p&q的面積為15cm2 ,用t分別表示出bp和bq的長,利用三角形的面積計算公式即可解答.【詳解】 解：設(shè)動點p,。運動秒，能使的面積為15c

2、n?, 則bp為（8-dcm, bq為2tcm,由三角形的面積公式列方程得?(8")x2ul5,解得=3,切=5 （當(dāng)，2=5, b（2=10,不合題意，舍去）.動點p，。運動3秒，能使p8q的面積為15cn?.故選a.【點睛】 本題考查了一元二次方程的應(yīng)用.借助三角形的面積計算公式來研究圖形中的動點問題.732. 已知m=§-2, n = t “為任意實數(shù)），則m,n的大小關(guān)系為（a. m>nb. m <nc. m=nd.不能確定【答案】b【分析】 利用作差法比較即可.【詳解】 根據(jù)題意，得 q 1)2+曰0:.m<n, 故選b.【點睛】 本題考查了代數(shù)

3、式的大小比較，熟練作差法，靈活運用完全平方公式，配方法的應(yīng)用, 使用實數(shù)的非負性是解題的關(guān)鍵.3. 若關(guān)于x的一元二次方程#2.2+1.農(nóng)=0有兩個相等的實數(shù)根，則代數(shù)式（k-2) 2+2k (1-/1)的值為()a. 3b. -37c -2【答案】d【分析】 先根據(jù)一元二次方程根的判別式求出k的值，再代入求值即可得.【詳解】 解：由題意得：方程:亍_2奴+14比=0根的判別式 = 4k2_4x：（l-4比）=0,整理得：2尸+4如1=0,即k2+2k = -, 則 伙-2)2 + 2比(1 a)=爐一4比+ 4 + 2化一2爐,二-比2 2+4,=(k + 2k) + 4 ,- + 4,27

4、3'故選：d.【點睛】 本題考查了一元二次方程根的判別式、代數(shù)式求值，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題關(guān)鍵.4.已知關(guān)于x的一元二次方程標奴2_（2s1）x+s2 = 0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（）7 1b k < 4d. k<-ko47 1a. k > 4c. k> 且 r 豐 04【答案】c【分析】 由一元二次方程定義得出二次項系數(shù)導(dǎo)0；由方程有兩個不相等的實數(shù)根，得出“ >0”, 解這兩個不等式即可得到k的取值范圍.【詳解】解：由題可得：_（2卜1）了_4«2）>0,解得：且m0；4故選：c.【點睛】本題考查了一

5、元二次方程的定義和根的判別式，涉及到了解不等式等內(nèi)容，解決本題的 關(guān)鍵是能讀懂題意并牢記一元二次方程的概念和根的判別式的內(nèi)容，能正確求出不等式（組）的解集等，本題對學(xué)生的計算能力有一定的要求.5. 已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=q （ao）,下列命題是真命題的有（） 若a+2b+4c=0,則方程ax2+bx+c=0必有實數(shù)根； 若b=3a+2, c=2a+29則方程ax2+bx+c=0必有兩個不相等的實根； 若c是方程ax1+bx+c=q的一個根，則一定有ac+b+l=q成立； 若，是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，則b2 - 4ac= （2血+力）2.a.b.c.d.【答案

6、】c【分析】 正確，利用判別式判斷即可.錯誤，奸-2時，方程有相等的實數(shù)根.錯誤，c=0時，結(jié)論不成立.正確，利用求根公式，判斷即可.【詳解】解:：o+2z?+4c=0，.a=-2b-4c,.方程為（2b-4c） x2+/?x+c=0,.*.z/=z?2-4 （-2/?-4c） c=z?2+8/?c+16c2= （/?+4c） 2>0,.方程 履+版+c=。必有實數(shù)根，故正確. ,。=3。+2, c=2o+2,方程為 ox2+ （3。+2） x+26/4-2=0,（3。+2） 2_4。（2。+2） =/+4。+4= （。+2） 2,當(dāng)。=-2時，=0,方程有相等的實數(shù)根，故錯誤， 當(dāng)c=

7、0時，c是方程ax2-bx=0的根，但是。+1不一定等于0,故錯誤. '.”是一元二次方程o?+*+c=0的根，.-b± j屏-4，c. . i,2a.2m+b=±w 4ac， /.b2-4ac= (2at+b) 2,故正確,故選：c.【點睛】 本題考查命題與定理，一元二次方程的根的判別式，公式法解一元二次方程等知識，解!1!題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考?？碱}型.6. 下列命題：順次連接菱形各邊中點得到的四邊形是矩形；平行四邊形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；西的算術(shù)平方根是3；對于任意實數(shù)，關(guān)于x的方 程x2+（m + 3）x + /7i + 2 =

8、0有兩個不相等的實數(shù)根.其中正確的命題個數(shù)是（）a. 1個b. 2個c. 3個d. 4個【答案】a【分析】利用中點四邊形的判定、平行四邊形的對稱性、算術(shù)平方根的定義及一元二次方程的根的情況進行判斷后即可確定正確的答案.【詳解】解：順次連接菱形各邊中點得到的四邊形是矩形，正確，符合題意； 平行四邊形是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，故原命題錯誤，不符合題意； 西的算術(shù)平方根是右，故原命題錯誤，不符合題意； ，.,對于任意實數(shù) 皿 關(guān)于的方程x2 +(m+3)x+m + 2 = 0的八=b24ac= (/7/+3) 2-4(m+2)=(機一1) 2>0,.有兩個實數(shù)根，故原命題錯誤，不符合題意

9、，正確的有1個，故選：a.【點睛】考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解中點四邊形的判定、平行四邊形的對稱性、 算術(shù)平方根的定義及一元二次方程的根的情況，難度不大.7. 若整數(shù)。使得關(guān)于工的一元二次方程(。+ 2)尸+2勿;+0-1 = 0有實數(shù)根，且關(guān)于尤的不等式組a-x<0有解且最多有&個整數(shù)解，則符合條件的整數(shù)“的個數(shù)為a. 3b. 4c. 5d. 6【答案】c【分析】 利用根的判別式確定。的一個取值范圍,根據(jù)不等式組的解集，確定一個&的取值范圍, 綜合兩個范圍確定答案即可.【詳解】 .整數(shù)。使得關(guān)于尤的一元二次方程(。+ 2)了2+2&+。-1=0有實數(shù)

10、根, .+2#), (2)2 4(-+ 2)愆一 1)20,a<2 且醇-2；a-x<0x + 2<!(x + 7)的解集為iv爛3,且最多有6個整數(shù)解,-3<6?<3, /. -3<a<29 存-2,i的值為-3, -1, 0, 1, 2共有5個，故選c.【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，根的判別式，不等式組的特殊解，熟練掌握根的判別 式，不等式組解法是解題的關(guān)鍵.8.已知。，力是方程j+x-3 = 0的兩個實數(shù)根，則人+ 2021的值是(d. 2021a. 2025b. 2023c. 2022【答案】a【分析】根據(jù)一元二次方程的解與根與系數(shù)的關(guān)

11、系計算即可；【詳解】" 力是方程j+x_3 = 0的兩個實數(shù)根, q+q 3 = 0, + /? = 1, . 02 + 2021 = 3 一。一人 + 2021 = 3 (" + /?) + 2021 = 2025；【點睛】 本題主要考查了一元二次方程的解與根與系數(shù)的關(guān)鍵，準確計算是解題的關(guān)鍵.9. 若關(guān)于尤的一元二次方程奴2 + 2工_1 = 0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范四是(a. k>c.比>1且化主0 d. 1且比。0【答案】c【分析】根據(jù)一元二次方程的定義以及根的判別式得到符0,且>(),然后解兩個不等式即可得 到實數(shù)k的取值范圍.【

12、詳解】解：根據(jù)題意得，好0,且>(),即22-4xkx (-1) >0,解得k>-l9.實數(shù)&的取值范圍為k>.l且寫0故選c.【點睛】本題考查了一元二次方程 邳+版+c=0(a判)根的判別式=屏-4次：當(dāng)>(),方程有兩 個不相等的實數(shù)根；當(dāng)=(),方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)<(),方程沒有實數(shù)根； 也考查了一元二次方程的定義.ii10. 若。、。為方程2x2-5x-1=0的兩個實數(shù)根，貝!2+3祁+ 50的值為()a. -13be 12c. 14d. 15【答案】b【詳解】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，可知2疽-5(1-1=0,(x+p=m=

13、：,郵=£=-才，a 2 ci 2 因此可得 2疽=5(1+1,代入 2疽+3邱+50=501+1+3鄧+50=5 (a+p) +3ap+l=5x +3x (?)2+ 1 = 12.故選b.點睛：此題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是利用一元二次方程的一 hc般式，得到根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2, x1x2二一，然后變形代入即可.aa二、填空題11. 將關(guān)于x的一元二次方程x2-px-q = q變形為亍= px_q,就可以將必表示為關(guān)于 '的一次多項式，從而達到“降次”的目的，又如p=xx2=x(px 0)=.，我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡次數(shù)

14、較高的代數(shù)式.根據(jù)“降次法”，已知:x2 +x-1 =0 ,且工>0fi則%4 - 2x3 + 3x的值為【答案】6-25【分析】先利用x2+x-l = 0得到x2=l-x,再利用x的一次式表示出p和尤七則了4_2尸+3了化 為-2工+4,然后解方程x2+x-l = 0得工=t + b ,從而得到x4-2x3+3x的值.2【詳解】解：x2 4-x-1 = 0 , 1 x ?%3 = x»x2 = x（- x） = x-x2 = x-（-x） = 2x- ,x4 =x-x =x（2x-l） = 2x2 - x = 2（l-x）-x = -3x+2 ,%4 + 3x 3x+22（2

15、工-1） + 3x = 4x+4解方程/ +工一1 = 0得而 = i'贓， x2 =，.x> 0,-1 + v5.x ,2/-2x3+3x = -4x1 + +4 = 6-2>/5 2故答案為：6-25 .【點睛】本題考查了高次方程：通過適當(dāng)?shù)姆椒?，把高次方程化為次?shù)較低的方程求解.所以解 高次方程一般要降次，即把它轉(zhuǎn)化成二次方程或一次方程.也有的通過因式分解來解通 過把一元二次方程變形為用一次式表示二次式，從而達到“降次”的目的，這是解決本題 的關(guān)鍵.12. 定義運算a&=a2-2ab+l,下面給出了關(guān)于這種運算的幾個結(jié)論其中正確的()a. 2®5=-

16、15；b.不等式組(-3)®x-1<0_a a ,32®x-5<0的解集為y 一 萬；c.方程2x01 =。是一元一次方程;d.方程-®r=-+x的解是x= 1.x r【答案】ad【分析】 根據(jù)定義的運算規(guī)則】勵=。22。+1,對各選項逐一進行計算判斷，即可得到答案.【詳解】解：a. 2g5=22.2x2x5+1=15,故 a 正確;b.不等式組(-3)1 <02®x-5<0二卵二c解得該不等式組無解,故b錯誤;d. ixc. (2x) 2-2x2xx 14-1 =4x2-4x+1 =。是一元二次方程，故 c 錯誤;_2x +則

17、x=-,故 d 正確；xxx故答案為：ad.【點睛】 本題考查了不等式組的解集、實數(shù)的運算、一元二次方程的定義等，其中利用。怨2。+1是解題關(guān)鍵，本題對計算要求較高，要求學(xué)生具備觀察仔細、計算細心等品質(zhì).13. 己知等腰三角形的三邊長分別為心b、4,且衣力是關(guān)于x的一元二次方程尸- 12x+m+2=0的兩根，則m的值是【答案】34【分析】 分三種情況討論，當(dāng)。=4時，當(dāng)。二4時，當(dāng)好。時；結(jié)合韋達定理即可求解;【詳解】 解：當(dāng)。=4 時，/?<8,a、b是關(guān)于x的一元二次方程%2-12x+m+2=0的兩根,. 4+。= 12，"二8不符合;當(dāng) b=4 時，iv8, a、h是關(guān)于

18、x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的兩根,奸8不符合;當(dāng)a-b時, a、b是關(guān)于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的兩根,12=2口二2。,' a=h=6，m+2=36, m=34；故答案為：34.【點睛】 本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)進行分類討論，結(jié)合 元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和三角形三邊關(guān)系進行解題是關(guān)鍵.14. 如圖所示，某小區(qū)想借助互相垂直的兩面墻（墻體足夠長），在墻角區(qū)域40m長的籬笆圍成一個面積為384m2矩形花園.設(shè)寬ab= xm9貝m =【答案】16 【分析】 根據(jù)ab = xm可知bc =（40-x）m,再根據(jù)矩形的面積公式即可

19、得出結(jié)論;【詳解】 解：由題意得：abbc = s即：x（40-） = 384.解這個方程得：叫=16,易=24.9：ab<bc故答案為16.【點睛】 本題考查一元二次方程的應(yīng)用，能利用數(shù)形結(jié)合列出方程是解答此題的關(guān)鍵.15. 若一兀二次方程（6f + l）x -ax-cr -1 =0的一個根為0,則口 =【答案】1【分析】 把% = 0代入原方程求得。的值，結(jié)合一元二次方程的定義綜合得到答案.【詳解】 解：把工=0代入得： 解得：。=±1, 又因為：（。+ 1）了2一0¥ +。2_1=。為一元二次方程,所以：a- 故答案為：1.【點睛】 本題考查的是一元二次方程的概

20、念及一元二次方程的解，掌握相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵.16.若方程2x2+x-5 =。的兩個根是玉，易0易）【答案】亨【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得而+*=-!而易=-：，然后利用完全平方公式的變形可求出。"尊，即可求解【詳解】 解：,方程2x2 +x-5 = 0的兩個根是易，.而+工2=_! ， 12 =-|、2（尤+%2）2 =工；+ 尤;+ 2工易，21t41t/ 2o o21.（氣-x2）=氣+冬2罰冬=才_ 2 x.x-才2v41 11 _ (x( x2) _2 _工| x2 xj x2 故答案為：f 【點睛】 本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和完全平方公式的

21、變形，熟練掌握一元 二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.17.關(guān)于x的方程/+ (2k - 1) x+k2 - 1=0有兩個實數(shù)根xl, x29若xi, x2滿足x1x2+xi+x2=3,則a的值為【答案】-1 【分析】 根據(jù)判別式求出r的取值范圍，再根據(jù)韋達定理進行計算即可.【詳解】 解：.方程有兩個實數(shù)根 a>().(2z:-l)2-4(p-l)>0解得：*vxi, x2是關(guān)于x的方程(2k- 1) x+矽-1= 0的兩個實數(shù)根.工+式2 = 1 2化x/2k2-xx2x +松=3號一 1 + 1-2s3. k2-2k-3 = 0.(s3)(k + l) = 0即 s3 = 0

22、或 k + l = o 解得：k =3*2 =t'：k<-2:.k = - 故答案為：-1【點睛】本題考查一元二次方程的判別式，一元二次方程的解法，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,r<牢記知識點是解題關(guān)鍵.18. 如果（a2+fe2-l） （a2+b2+3） =5,貝!| a2+b2 的值為【答案】2【分析】 運用因式分解法解方程，再進行選擇即可.【詳解】解：(a2+h2-1) (。2+朋+3) =5 .l （+屏）2+2（。2+，2）一8 = 0（。2+。2_2） （。2+屏+4） -q ,: a2 +b2 >0：. a2+/?2-2=0,即 a2 4- b2 =2故答

23、案為2.【點睛】此題主要考查了因式分解法解一元二次方程，明確a2b2>0是解答本題的關(guān)鍵.19. 對于實數(shù)m9 n,定義運算mn=mn2 - n.若2®z=10( - 2)則a=3 【答案】2或§【分析】根據(jù)題意，列出關(guān)于。的方程，解方程即可.【詳解】解：根據(jù)定義，2&=1® ( - 2)轉(zhuǎn)化為：2a2 -(2=1 x ( - 2) 2 - ( - 2),解方程得，心,故答案為：2或號【點睛】本題考查了新定義運算和一元二次方程，解題關(guān)鍵是理解題意，把等式轉(zhuǎn)化為一元二次 方程，準確求解.20. 商家通常依據(jù)“樂觀系數(shù)準則”確定商品的銷售價格，即根據(jù)商品

24、的最低銷售限價。,最高銷售限價機人>。）以及實數(shù)x（o<x< 1）確定實際銷售價格c =。+工傳-。）,這里的1=11被稱為樂觀系數(shù).經(jīng)驗表明，最佳樂觀系數(shù)1恰好使得據(jù)此可得，最c-a b-c佳樂觀系數(shù)i的值等于【答案】姬二1【分析】由 b-a = c-a 得到：（c_q）2=0 。）2一（方q）（cf）,再根據(jù)c = a + x（b-a）9 可得 c-a b-cc cl 再列方程，解方程可得答案； b-a【詳解】解：由。=得至lj： (c-a)2 =(b-a)(b-c),c-a b-c即：(c-q)2 =0-q)0-o)-(c-q) = 0-q)2-(/?-q)(c-ci)

25、,c y c-a 1 八.()一+1=0,b-a b-ac = a + x(b-a),c-a:.xb-al xt + x 1 = 0，解得：%=與-打-1-2q0<x< 1,不合題意,-2v5-1二 x =,12故答案為：姬土2【點睛】 本題考查了等式的變形，一元二次方程的解法等知識，關(guān)鍵是根據(jù)己知條件生£ =乒£c-a b-c變形為.（戶）2 +?*-1 = 0 ,從而可轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程. b-a b-a21.三、解答題 尊老愛幼是中華民族的傳統(tǒng)美德，九九重陽節(jié)前夕，某商店為老人推出一款特價商 品，每件商品的進價為15元，促銷前銷售單價為25元，平均

26、每天能售出80件；根據(jù) 市場調(diào)查，銷售單價每降低0.5元，平均每天可多售出20件.(1) 若每件商品降價5元，則商店每天的平均銷量是件(直接填寫結(jié)果);1=1(2) 不考慮其他因素的影響，若商店銷售這款商品的利潤要平均每天達到1280元，每件商品的定價應(yīng)為多少元？(3) 在(2)的前提下，若商店平均每天至少要銷售200件該商品，求商品的銷售單價.【答案】(1) 280； (2) 23元或19元；(3) 19元【分析】(1) 根據(jù)每天的平均銷售量二80+降低的價格-0.5x20,即可求出結(jié)論；(2) 設(shè)每件商品降價x元，則銷售每件商品的利潤為(25-15-x)元，根據(jù)每天的總利 潤=銷售每件商品

27、的利潤x平均每天的銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即 可得出結(jié)論；(3) 由(2)的結(jié)論結(jié)合平均每天至少要銷售200件該商品，可確定x的值，再將其代 入(25-x)中即可求出結(jié)論.【詳解】解：(1) 80+50.5x20=280 (件).故答案為：280.(2)設(shè)每件商品降價x元，則銷售每件商品的利潤為(25-15-x)元，平均每天可售出x80+ x20= (40x+80)件，0.5依題意，得：(25-15-x) (40x+80) =1280,整理，得：x2-8x+12=0,解得:xi=2, x2=6,a25-x=23 或 19.答：每件商品的定價應(yīng)為23元或19元.(3)當(dāng) x=2

28、 時，40x4-80= 160<200,不合題意，舍去;當(dāng) x=6 時，40x+80=320>200,符合題意，a25-x=19.答：商品的銷售單價為19元.【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用利潤問題，讀懂題意，根據(jù)商品降價表示出商品銷售 件數(shù)從而列出方程是解題關(guān)鍵.22.已知關(guān)于x的方程x22mx=m2+2x的兩個實數(shù)根xi, x2滿足|xi|=x2,求實數(shù)ml¥【答案】【詳解】試題分析：首先由關(guān)于x的方程x2-2mx=-m2+2x的兩個實數(shù)根可得：根的判別式?(),由此 可求出“m”的取值范圍；再由閔=工2可得：x】=工2；x| =-工2,即x +尤2 =。，結(jié)合“

29、一 元二次方程根的判別式”和“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”分兩種情況討論即可求得“m” 的值.試題解析：原方程可化為：x2 2(m+ l)x + m2=o,vxi, x2是方程的兩個根，aa>0,艮1： 4(m+l)2-4m2>0,/. 8m+4>0,解得：m> x, x2 ,兩足|x11x29.x1=x2 或 xl = x2, 即 a=0 或 x1+x2=o, 由=(),即8m+4=0,解得m二一? 由 xi + x2=0,即：2(m+l)=0,解得 m= 1vm>,m=?點睛：本題解題的關(guān)鍵是能夠把|昭=易這一條件轉(zhuǎn)化為兩種情況：(1)也=易；(2)叫=-易即

30、f +易=。；這樣結(jié)合“一元二次根的判別式”和“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系” 就能求得“m”的值了.23.如圖，在平面直角坐標系中，矩形oabc的頂點a在)軸正半軸上，邊ab、oada 2(犯>。4)的長分別是方程x2 - llx+24=0的兩個根，是砧上的點,且滿足捋=，db 5(1) 矩形oabc的面積是,周長是(2) 求直線oq的解析式；(3) 點p是射線。町上的一個動點，當(dāng)是等腰三角形時，求點p的坐標.3 3【答案】(l)s=24,c=22；(2)y=-x；(3)p點的坐標為(0,0)； -3 +-3,3 +i i 2 j【分析】(1) 根據(jù)邊ab.oacab>oa)的長分

31、別是方程點.11尤+24=0的兩個根，即可得到ao=3,ab=89進而得出矩形oabc的面積以及矩形oabc的周長；r)a 3(2) 根據(jù)仙=8,可得ad=3,再根據(jù)ao=3,進而得出。(-3, 3),再根據(jù)db 5待定系數(shù)法即可求得直線。的解析式；(3) 根據(jù)網(wǎng)。是等腰三角形，分情況討論，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，求得點p的坐標.【詳解】解：(1) lx2-111+24=0,. (x-3) (x-8) =0, /.xi=3, 12=8,旭、oa (ab>oa)的長分別是方程x2-11x+24=0的兩個根,ab=s,.矩形oabc的面積=3x8=24,矩形oabc的周長=2x (3+8)

32、 =22,故答案為24, 22；da _ 3d5_5ab=s,又 vao=3,：.d (-3, 3),設(shè)直線od解析式為y=kx9則3=-3k,即 k=-l,.直線od的解析式為y=-x；(3) va£>=ao=3, zda0=90°,.aod是等腰直角三角形, naoo=45。，do=3 &根據(jù)bo是等腰三角形，分4種情況討論： 如圖所示，當(dāng)ad=ap=3時，點r的坐標為（0, 0）； 如圖所示，當(dāng)da=dp2=3時，過戶2作工軸的垂線，垂足為e則"2=3扼.3, 。匹d是等腰直角三角形，a p2e=oe=叱 3 =3.甌,v2 2.點p2的坐標為

33、（3+甌，3.皎）；22 如圖所示，當(dāng)ap3=dp3時，zd4p3=匕4。=45。,.aop3是等腰直角三角形,ad 3j25卞*:.入。=3 v2 -=一 22過己作x軸的垂線，垂足為f,則左op.f是等腰直角三角形,33.點p3的坐標為（萬，-）；如圖所示，當(dāng)da=dp4=3時,凡。=3+3 72，過r作工軸的垂線，垂足為g,則八op.g是等腰直角三角形,:.p4g=og=+3,2.點p4的坐標為（3*1, 3+皎）；22綜上所述，f點的坐標為（-；，二）；（0, 0）； （一 3 + 3” ,3 一 3”） ； （_3一蟲叵,3 +玉反）2 22222【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形

34、的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，解一元二次 方程以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的綜合應(yīng)用，解題時注意：當(dāng)b4。是等腰三角 形時，需要分情況討論，解題時注意分類思想的運用.解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造 等腰直角三角形.24.如圖，平面直角坐標系中，直線1分別交x軸、y軸于a、b兩點(oavob)且oa、ob的長分別是一元二次方程x? _(右+1)x +右=0的兩個根，點c在x軸負半軸 上，且 ab： ac=1： 2(1)求a、c兩點的坐標;(2)若點m從c點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線cb運動，連接am,設(shè)左abm的面積為s,點m的運動時間為t,寫出s關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的

35、取值 范圍;(3)點p是y軸上的點，在坐標平面內(nèi)是否存在點q,使以a、b、p、q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出q點的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】(1) a (1, 0), c ( - 3, 0)； (2) s=2a/3 -t (0<t<2 )；s=t - 2/3 (t>20)； (3)存在，qi ( - 1, 0), q2 (1, -2), q3 (1, 2), qi (1, ).3【分析】(1) 通過解一元二次方程x2_(右+ l)x +占=0,求得方程的兩個根，從而得到a、b 兩點的坐標，再根據(jù)勾股定理可求ab的長，根據(jù)ab： ac=1： 2,可求ac的

36、長，從 而得到c點的坐標.(2) 分當(dāng)點m在cb邊上時；當(dāng)點m在cb邊的延長線上時；兩種情況討論可求 s關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.(3) 分ab是邊和對角線兩種情況討論可求q點的坐標【詳解】(1) x2-(v3 4-1)x + v3=0(x-0) (x - 1) =0,解得 x1二 , x2=l.oavob, .oa=1, ob=y/3 .a (1, 0), b (0, v3 ).ab=2.xvab: ac=1： 2,a acm.ac ( - 3, 0)；(2) 由題意得：cm=t, cb=2右. 當(dāng)點 m 在 cb 邊上時，林= ?x2x(20t)=20 - t (0<1<23 )；

37、當(dāng)點 m 在 cb 邊的延長線上時，s=-ab.mb = -x2xt-2=t - 23 (023 ).(3) 存在，qi ( - 1, 0), q2 (1, -2), q3 (1, 2), qi (1, ).325. 已知關(guān)于工的一元二次方程（。-3）x2 _4尤+ 3 = 0有兩個不等的實根.（1）求的取值范（2）當(dāng)。取最大整數(shù)值時，aabc的三條邊長均滿足關(guān)于工的一元二次方程(。3)/_4工 + 3 = 0,求aabc的周長.13【答案】（1）。 且。更3； （2） aabc的周長為3或9或7.【分析】（1）根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程，可判斷二次項系數(shù)不為0；根據(jù)方程有兩個不相等 的實數(shù)根，

38、可判斷判別式大于0,列出不等式組求解即可.（2）在此范圍內(nèi)找出最大的整數(shù)，解方程，然后分類討論，求出三角形周長即可.【詳解】解：（1）關(guān)于尤的一元二次方程（6/-3）x2-4x + 3 = 0有兩個不相等的實數(shù)根，p-30. 16-4（。-3»3>013彳導(dǎo)。v h q更3（2）由（1）得的最大整數(shù)值為4；/. x 4x + 3 = 0解得：而=1工2 = 3.a4bc的三條邊長均滿足關(guān)于x的一元二次方程（。-3）x2 -4尤+ 3 = 0 ,三邊都為1,則aabc的周長為3； 三邊都為3,則aabc的周長為9； 三邊為1, 1, 3,因為1 + 1<3,不符合題意，舍去

39、; 三邊為1, 3, 3,則aa8c的周長為7.的周長為3或9或7.【點睛】 本題考查了一元二次方程根的情況與判別式bmac的關(guān)系，也考查了構(gòu)成三角形的條 件.解題時注意二次項系數(shù)不為。這個隱含條件.26. 問題再現(xiàn)：數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽 象的數(shù)學(xué)知識變得直觀起來并且具有可操作性，從而可以幫助我們快速解題.初中數(shù)學(xué) 里的一些代數(shù)公式，很多都可以通過表示幾何圖形面積的方法進行直觀推導(dǎo)和解釋.例 如：利用圖形的幾何意義推證完全平方公式.將一個邊長為“的正方形的邊長增加旗形成兩個矩形和兩個正方形，如圖1,這個圖 形的面積可以表示成:(a+b) 2或 a2+2

40、ab+b2, :. (+) 2=a2+2ab-b2 這就驗證了兩數(shù)和的完全平方公式問題提出：如何利用圖形幾何意義的方法推證：13+23=32如圖2, a表示1個1x1的正方形，即：1x1x1 = 13, 8表示1個2x2的正方形，c與d 試卷第2（）頁，共3（）頁恰好可以拼成1個2x2的正方形，因此：b、c、。就可以表示2個2x2的正方形，艮2x2x2=23,而a、b、c、£恰好 可以拼成一個（1+2） x （1+2）的大正方形，由此可得：13+23= （1+2） 2=32（1）嘗試解決：請你類比上述推導(dǎo)過程，利用圖形幾何意義方法推證：f+23+33= （1+ 2+3） 2 （要求自

41、己構(gòu)造圖形并寫出推證過程）（2）類比歸納：請用上面的表示幾何圖形面積的方法探究：13+23+33+.+3=（要求直接寫出結(jié)論，不必寫出解題過程）（3）實際應(yīng)用：圖3是由棱長為1的小正方體搭成的大正方體，圖中大小正方體一共有多少個？為了正確數(shù)出大小正方體的總個數(shù)，我們可以分類統(tǒng)計，即分別數(shù)出棱長是1, 2, 3和4的正方體的個數(shù)，再求總和.例如：棱長是1的正方體有：4x4x4=43個，棱長是2的正方體有：3x3x3=33個，棱 長是3的正方體有：2x2x2=23個，棱長是4的正方體有：lxlxl = p個，然后利用類 比歸納的結(jié)論，可得：+23+33+43= （1+2+3+4） (1+2+3 +

42、 . + ") 2； (3) 441； (4) 8000【分析】（1）根據(jù)規(guī)律可以利用相同的方法進行探究推證，由于是探究13 +23 +33 =?,肯定構(gòu)成大正方形有9個基本圖形（3個正方形6個長方形）組成，如圖所示可以推證. ,圖4是由棱長為1的小正 方體成的大正方體，圖中大小正方體一共有個.（4）逆向應(yīng)用：如果由棱長為1的小正方體搭成的大正方體中，通過上面的方式數(shù)出的大小正方體一共有44100個,那么棱長為1的小正方體一共有個.ab圖1圖3ad%cb12圖2【答案】（1）見解析;(2) 實際應(yīng)用：根據(jù)規(guī)律求大正方體中含有多少個正方體，可以轉(zhuǎn)化為f + 23 +33 + + 3 =

43、(1 + 2 + 3 +)2來求得(3) 根據(jù)規(guī)律即可求得大小正方體的個數(shù).(4) 逆向應(yīng)用：可將總個數(shù)看成然后再寫成山2= (1+2 + 3 +.+ )2,得出大 正方形每條邊上有幾個棱長為1的小正方體，進而計算出棱長為1的小正方體的個數(shù).【詳解】(1 )如圖，a表示1個1x1的正方形，即1x1x1 = 13；3表示1個2x2的正方形，。與。恰好可以拼成1個2x2的正方形，因此6、。、。就可以拼成2個2x2的正方形，即：2x2x2 = 23；g與h、與凡/可以拼成3個3x3的正方形，即：3x3x3 = 33；而整個圖形恰好可以拼成一個(1+2+3) x (1+2+3)的大正方形，即(1 +

44、2 + 3尸個大正方形，因此可得：u+23+33= ( 1 +2+3) 2=62.故答案為：(1+2 + 3) 2或62.123adgcbhefi用.數(shù)形結(jié)合使得復(fù)雜的計算變得簡單而且直觀易懂，這就是數(shù)形結(jié)合的魅力所在.“數(shù) 缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好”，這是數(shù)學(xué)家華羅庚對數(shù)形結(jié)合的 精辟論述！27. （問題提出）用"個圓最多能把平面分成幾個區(qū)域?（問題探究）為了解決上面的數(shù)學(xué)問題，我們采取一般問題特殊化的策略，先從最簡單 情形入手，再逐次遞進，最后猜想得出結(jié)論.探究一：如圖1, 一個圓能把平面分成2個區(qū)域.探究二：用2個圓最多能把平面分成幾個區(qū)域?如圖2,在探究一

45、的基礎(chǔ)上，為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前1個圓有2 個交點，將新增加的圓分成2部分，從而增加2個區(qū)域，所以，用2個圓最多能把平 分成4個區(qū)域.til探究三：用3個圓最多能把平面分成幾個區(qū)域?如圖3,在探究二的基礎(chǔ)上，為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前2個圓分別 有2個交點，將新增加的圓分成2x2 = 4部分，從而增加4個區(qū)域，所以，用3個圓最多能把平面分成8個區(qū)域.isi（1）用4個圓最多能把平面分成幾個區(qū)域?仿照前面的探究方法，寫出解答過程，不需畫圖.ifil（2）（一般結(jié)論）用個圓最多能把平面分成幾個區(qū)域?為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前"1）個圓分別有2

46、個交點，將新增加的分成剖5分，從而增加區(qū)域，所以，用"個最多能把平面分成區(qū)域（將結(jié)果進行化簡）（3）（結(jié)論應(yīng)用）用10個圓最多能把平面分成個區(qū)域;用4圓最多能把平面分成422個區(qū)域.【答案】（1）在探究三的基礎(chǔ)上，為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前3個圓 分別有2個交點，將新增的圓分成2x3=6部分，從而增加6個區(qū)域，所以，用4個圓最多能把平面分成14個區(qū)域；（2） 2一2； 2/1-2；疽一+ 2； （3）92；21【分析】(1) 在探究三的基礎(chǔ)上，新增加的圓與前3個圓分別有2個交點，將新增的圓分成2x3 = 6 部分，所以，用4個圓最多能把平面分成2+2x1+2x2+2x3

47、個區(qū)域；(2) 為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前(n-1)個圓分別有2個交點，將新 增加的圓分成(2-2)部分，從而增加(2止2)個區(qū)域，所以，用，個圓最多能把平面 分成 2+2xl+2x2+2x3+2x4+.+2(n.l)區(qū)域求和即可；(3) 用護10,代入規(guī)律，求代數(shù)式的值即可；設(shè)個圓最多能把平面分成422個區(qū)域，利用規(guī)律構(gòu)造方程，可得方程w+2 = 422 解方程即可.【詳解】解：(1)在探究三的基礎(chǔ)上，為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前3個圓分別 有2個交點，將新增的圓分成2婦=6部分，從而增加6個區(qū)域，所以，用4個圓最多能把 平面分成2+2x1+2x2+2x3=14個區(qū)

48、域；(2) 為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前(n-1)個圓分別有2個交點，將新 增加的圓分成(2/1-2)部分，從而增加(2-2)個區(qū)域，所以，用個圓最多能把平面 分成區(qū)域數(shù)為2+2x 1+2x2+2x3+2x4+.+2(n-l),=2+2(l+2+3+. .+t),二2+2x(l+一 1)(一1),=2+(一 1),=/22 一 +2 ；故答案為：(2*2)； (2.2)； w+2；(3) 用 10 個圓，即護 10,疽一+2 = 1()2一10+2 = 92;設(shè)n個圓最多能把平面分成422個區(qū)域，可得方程必+2 = 422,整理得 h2-71-420 = 0,因式分解得(-21)(

49、 + 20)= 0,解得=21或 = -20 (舍去)，.用21個圓最多能把平面分成422個區(qū)域.故答案為：21.本題考查圖形分割規(guī)律探究問題，圓與圓的位置關(guān)系，利用新增圓被原來每個圓都分成 兩個交點，其交點數(shù)就是新增區(qū)域數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律后列式求和，利用規(guī)律解決問題，涉及 數(shù)列n項和公式，代數(shù)式求值，解一元二次方程，仔細觀察圖形，掌握所學(xué)知識是解題 關(guān)鍵.28.如圖，正方形abcd和正方形aefg有公共點a,點b在線段dg上.d(1) 判斷og與be的位置關(guān)系，并說明理由；(2) 若正方形abcd的邊長為1,正方形aefg的邊長為求的長.【答案】(1) dgj.be,理由見解析；(2) be的長為

50、蟲匝.【分析】(1) 證明 dagbae9 后證明zabd+zabe=90°即可；(2) 連接ge,設(shè)龐* 根據(jù)(1)的結(jié)論在直角三角形bge中根據(jù)勾股定理計算即 可.【詳解】(1) dg-lbe,理由如下：.四邊形abcd,四邊形aefg是正方形，:.ab=adf zdab=zgae, ae=agf zadb= zabd=45°,:.zdag=zbae9在 dag和 &4e中，ad = ab< 匕dag = zbae ,ag = ae(sas).：.dg=be, zadg=zabe=45°,:.zabd+zabe=90°9 即 zgbe=

51、90°.:.dg-lbe；(2) 連接ged.正方形abcd的邊長為1,正方形aefg的邊長為，:bd =皿，ge=2,設(shè) be=x,.'dg=be,:.bg=x - >/2 ,在 眼bge中，利用勾股定理可得：bg2 + be2 = cg2,a (x-v2)2+x2 =22:.x頊+指或x=h_指(舍去)，22戰(zhàn)的長為.2【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形的全等，勾股定理，一元二次方程的解法，熟練證明三角形全等，運用勾股定理，一元二次方程的思想求解是解題的關(guān)鍵.29.如圖1,正方形abcd和正方形aefgf點e在邊bc上,連接og.(1) 求證：dg=be；(2)

52、 如圖2,連接af交cd于點h,連接cf, eh； 求證：eh=be+dh； 設(shè)"=4,是否存在be的長度，使cf/eh2若存在，請求出be的長；若不存在， 請說明理由.圖1圖2【答案】(1)見解析；(2)見解析；存在，42-4【分析】(1) 通過證明21 baeadag,即可推出。g=3&(2) 第一問：證明21 eahagah,證明出 eh=gh,則 eh=be+dh ,得證. 第二問：作fhlbc于點h,證明21 abeaehf,進一步推出be=ch,推導(dǎo)ce=ch, 在r以ceh中，勾股定理求解即可.【詳解】解：(i)：四邊形旭cd和四邊形aefg是正方形:.ab=a

53、d, ae=ag9 zbad=zeag=90°:.zbad- zead= zeag- ze ad即 /bae = /dag.必 baeadag:.be=dg(2) v zl baeadag：.adg=abe=90°： zadc=9q°：.g、d、h三點共線:gh=dg,dh.四邊形aefg是正方形，. /eaf =45。:.如人我+dah=90。一45。=45。即g4h=45。. /eah = /gah在z eah和/ gah中ae=ag, /eah=ngah, ah=ah:.a eah竺gah:.eh =gh:.eh =be+dh存在作fh±bc于點h.四邊形aefg是正方形:ae=ef, zaef =90。zfeh+naeb=9。.匕8=90。z. zbae 事蹄=90。 zfeh= /bae在a abe和/ ehf中zb=zehf, zbae=zfeh, ae=ef:.a abeaehf：fh=be, eh=ab:.eh=bc:.be =ch:.ch =fh:./fch=45。*. /d