專題與圓有關(guān)的最值問題

1、 B yCxAOD BOC ABOyAx PBOyAxPBOyAxP 與圓有關(guān)的最值（取值范圍）問題 引例1：在坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為(3，0)，點B為y軸正半軸上的一點，點C是第一象限內(nèi)一點，且AC=2設(shè)tanBOC=m，則m的取值范圍是_ 引例2：如圖，在邊長為1的等邊OAB中，以邊AB為直徑作D，以O(shè)為圓心OA長為半徑作O，C為半圓弧?AB上的一個動點（不與A、B兩點重合），射線AC交O于點E，BC=a，AC=b，求ab?的最大值. 引例3：如圖，BAC=60°，半徑長為1的圓O與BAC的兩邊相切，P為圓O上一動點，以P為圓心，PA長 為半徑的圓P交射線AB、AC于D、E 兩點

2、，連接DE，則線段DE長度的最大值為( ). A3 B6 C332 D33 一、題目分析： 此題是一個圓中的動點問題，也是圓中的最值問題，主要考察了圓內(nèi)的基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思維方法，注重了初、高中知識的銜接 1引例1：通過隱藏圓（高中軌跡的定義），尋找動點C與兩個定點O、A構(gòu)成夾角的變化規(guī)律，轉(zhuǎn)化為特殊位置（相切）進(jìn)行線段、角度有關(guān)計算，同時對三角函數(shù)值的變化（增減性）進(jìn)行了延伸考查，其實質(zhì)是高中“直線斜率”的直接運用； 2引例2：通過圓的基本性質(zhì)，尋找動點C與兩個定點A、B構(gòu)成三角形的不變條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，其實質(zhì)是高中“柯西不等式”的直接運用； 3引例3：本例動點的個數(shù)由

3、引例1、引例2中的一個動點，增加為三個動點，從性質(zhì)運用、構(gòu)圖形式、動點關(guān)聯(lián)上增加了題目的難度，解答中還是注意動點D、E與一個定點A構(gòu)成三角形的不變條件（DAE=60°），構(gòu)造弦DE、直徑所在的直角三角形，從而轉(zhuǎn)化為弦DE與半徑AP之間的數(shù)量關(guān)系，其實質(zhì)是高中“正弦定理”的直接運用； 綜合比較、回顧這三個問題，知識本身的難度并不大，但其難點在于學(xué)生不知道轉(zhuǎn)化的套路，只能憑直觀感覺去尋找、猜想關(guān)鍵位置來求解，但對其真正的幾何原理卻無法通透. 二、解題策略 1直觀感覺，畫出圖形； 2特殊位置，比較結(jié)果； 3理性分析動點過程中所維系的不變條件，通過幾何構(gòu)建，尋找動量與定量（常量）之間的關(guān)系，

4、建立等式，進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 三、中考展望與題型訓(xùn)練 例一、斜率運用 如圖，A點的坐標(biāo)為（-2，1），以A為圓心的A切x軸于點B，P()ab，為A上的一個動點，請分別探索：ba?的最大值；ba?的最小值；ba?的最大值；ba?的最大值； B A C MDDOPCBA 【拓展延伸】：2ba?的范圍；2ba?的范圍； 例二、圓外一點與圓的最近點、最遠(yuǎn)點 1 如圖，在RtABC中，ACB=90°，AC=4，BC=3，點D是平面內(nèi)的一個動點，且AD=2，M為BD的中點，在D點運動過程中，線段CM長度的取值范圍是 . 2如圖，O的直徑為4，C為O上一個定點，ABC=30°，動點P從A點出發(fā)沿

5、半圓弧?AB向B點運動（點P與點C在直徑AB的異側(cè))，當(dāng)P點到達(dá) B點時運動停止，在運動過程中，過點C作CP的垂線CD交PB 的延長線于D點 （1）在點P的運動過程中，線段CD長度的取值范圍為 ； （2）在點P的運動過程中，線段AD長度的最大值為 . 例三、正弦定理 1如圖，ABC中，BAC=60°，ABC=45°，AB=22 ，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑作O分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點，連接EF，則線段EF長度的最小值為 2. 如圖，定長弦CD在以AB為直徑的O上滑動（點C、D與點A、 B不重合），M是CD的中點，過點C作CPAB于點P，若CD=3，AB=8，

6、則PM長度的最大值是 例四、柯西不等式、配方法 1如圖，已知半徑為2的O與直線l相切于點A，點P是直徑AB左側(cè)半圓上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為C ，PC與O 交于點D，連接PA、PB，設(shè)PC的長為x（2x4），則當(dāng)x= 時，PD?CD的值最大，且最大值是為 . OAB COPQANMB ACO DODCEAB 2如圖，線段AB=4，C為線段AB上的一個動點，以AC、BC為邊作等邊ACD和等邊BCE，O外接于CDE ，則O半徑的最小值為( ). A.4 B.233 C.322 D. 2 3在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點O為圓心，2為半徑畫O， P是O上一動點，且P在第一象限內(nèi)，過點P作

7、O的切線與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，線段AB長度的最小值是 . 例四、相切的應(yīng)用（有公共點、最大或最小夾角） 1如圖，在RtABC中，C=90 °，AC=6，BC=8，D為AB邊上一點，過點D作CD的垂線交直線BC于點E，則線段CE長度的最小值是 . 2如圖，RtABC中，C=90°，A=30°，AB=4，以AC上的一點O為圓心OA為半徑作O，若O與邊 BC始終有交點（包括B、C兩點），則線段AO的取值范圍是 . 3如圖，射線PQ射線MN，PMMN，A為PM的中點，O為射線PQ上的一個動點，ACAB交MN于點C，當(dāng)以O(shè)為圓心，以O(shè)B為半徑的圓與線段PM有公

8、共點時（包括P、M兩點），則線段OP長度的最小值為 . l QPN MABCFECBAOG DOABDCP例五、其他幾何知識的運用 如圖所示，ACAB，AB=6，AC=4，點D是以AB為直徑的半圓O上一動點，DECD交直線AB于點E，設(shè)DAB=?，（0°?90°）若要使點E在線段OA上（包括O、A 兩點），則tan?的取值范圍為 . 【題型訓(xùn)練】 1如圖，已知直線l與O相離，OAl于點A，OA=5，OA與O相交于點P，AB與O相切于點B，BP的延長線交直線l于點C，若在 O上存在點Q，使QAC是以AC為底邊的等腰三角形，則O的半徑r的取值范圍為 . 2已知：如圖，RtABC

9、中，B=90o， A=30o，BC=6cm，點O從A點出發(fā)，沿AB以每秒3cm的速度向B點方向運動，當(dāng)點O運動了t秒(t0)時，以O(shè)點為圓心的圓與邊AC相切于點D，與邊AB相交于E、F兩點，過E作EGDE交射線BC 于G. （1）若點G在線段BC上，則t的取值范圍是 ； （2）若點G在線段BC的延長線上，則t的取值范圍是 . 3如圖，M，N的半徑分別為2cm，4cm，圓心距MN=10cmP為M上的任意一點，Q為N上的任意一點，直線PQ與連心線l所夾的銳角度數(shù)為?，當(dāng)P 、Q在兩圓上任意運動時，tan?的最大值為( ). (A)612 (B)43 (C)33 (D)34 4如圖，在矩形ABCD中

10、，AB=3，BC=4，O 為矩形ABCD的中心，以D為圓心1為半徑作D ，P為D 上的一個動點，連接AP、 OP，則AOP面積的最大值為( ). (A)4 (B)215 (C)358 (D)174 AQC P BOAD BCE FCADBQ POAxyP5如圖，在RtABC中，C=90°，AC=8，BC=6，經(jīng)過點C且與邊AB相切的動圓與CA、CB分別相交于點P、Q，則線段PQ 長度的最小值是( ). A194 B245 C5 D42 6如圖，在等腰RtABC中，C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點，點E在AB邊上運動（點E 不與點 A重合），過A、D、E三點作 O，

11、O交AC于另一點F，在此運動變化的過程中，線段EF長度的最小值為 7如圖，A、B兩點的坐標(biāo)分別為(2，0)、(0，2)，C的圓心的坐標(biāo)為(-1，0)，半徑為1，若D是C上的一個動點，線段DA與 y軸交于點E，則ABE 面積的最小值是( ). A2 B1 C.222? D.22? 8如圖，已知A、B 兩點的坐標(biāo)分別為(-2，0)、(0， 1)，C的圓心坐標(biāo)為(0，-1)，半徑為1，D是C上的一個動點，射線AD與y軸交于點E，則ABE面積的最大值是( ). A3 B113 C103 D4 9如圖，等腰Rt ABC中，ACB=90°，AC=BC=4，C的半徑為1，點P在斜邊AB上，PQ切O于點Q，則切線長PQ長度的最小值為( ). A. 7 B.22 C. 3 D.4 10如圖BAC60°，半徑長1的O與BAC的兩邊相切，P為O上一動點，以P為圓心，PA長為半徑的P交射線AB、AC于D、E兩點，連接DE，則線段DE長度的范圍為 . 11在直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（3，0），點P（mn，）是第一象限內(nèi)一點，且AB=2，則mn?的范圍為 . OABxyP12在坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（3，0），點B是y軸右側(cè)一點，且AB=2，點C上直線y=x+1上一動點，且CBAB于點B，則 ta