2021高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 數(shù)列概念及通項(xiàng)公式

1、2021高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 數(shù)列概念及通項(xiàng)公式 1.本講復(fù)習(xí)主要以數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式的求法為主.2.對(duì)于歸納通項(xiàng)公式的題目,歸納出通項(xiàng)后要進(jìn)行驗(yàn)證.3.嫻熟把握求解數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法,尤其是已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)這種基本的方法,另外留意累加法、累積法的敏捷應(yīng)用. 第1講 數(shù)列的概念與簡潔表示法 【2021年高考會(huì)這樣考】 1以數(shù)列的前幾項(xiàng)為背景，考查“歸納推理”思想 2考查已知數(shù)列的通項(xiàng)公式或遞推關(guān)系，求數(shù)列的某項(xiàng) 3考查由數(shù)列的遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，已知sn與an的關(guān)系求an等 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 1本講復(fù)習(xí)主要以數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式的求法為主 2對(duì)于歸納通項(xiàng)公式的題目，歸納出通項(xiàng)后要進(jìn)行

2、驗(yàn)證 3嫻熟把握求解數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法，尤其是已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)這種基本的方法，另外留意累加法、累積法的敏捷應(yīng)用 基礎(chǔ)梳理 1數(shù)列的定義 根據(jù)肯定挨次排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng) 2數(shù)列的分類 1.本講復(fù)習(xí)主要以數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式的求法為主.2.對(duì)于歸納通項(xiàng)公式的題目,歸納出通項(xiàng)后要進(jìn)行驗(yàn)證.3.嫻熟把握求解數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法,尤其是已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)這種基本的方法,另外留意累加法、累積法的敏捷應(yīng)用. 3.數(shù)列的表示法 數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法 4數(shù)列的通項(xiàng)公式 假如數(shù)列an的第n項(xiàng)an與n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)式子那么這個(gè)公式叫

3、做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式 5sn與an的關(guān)系 s1，n1， an已知sn，則an 在數(shù)列an中，若an最大，則 若 s，n2.aa. n11 anan最小，則 ana. 一個(gè)聯(lián)系 數(shù)列是一種特別的函數(shù)，即數(shù)列是一個(gè)定義在非零自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)，當(dāng)自變量依次從小到大取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，就是數(shù)列因此，在討論函數(shù)問題時(shí)既要留意函數(shù)方法的普遍性，又要考慮數(shù)列方法的特別性 兩個(gè)區(qū)分 這有別于集合中元素的無序性 三種方法 由遞推式求通項(xiàng)a的方法： f(n)型，采納疊乘法； 雙基自測(cè) 1(人教a版教材習(xí)題改編)已知數(shù)列an的前4項(xiàng)分別為2,0,2,0，則下列各式不行以作為數(shù)列an的通項(xiàng)公式的一項(xiàng)是(

4、 ) aan1(1)n1 n ban2sin2 1.本講復(fù)習(xí)主要以數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式的求法為主.2.對(duì)于歸納通項(xiàng)公式的題目,歸納出通項(xiàng)后要進(jìn)行驗(yàn)證.3.嫻熟把握求解數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法,尤其是已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)這種基本的方法,另外留意累加法、累積法的敏捷應(yīng)用. can1cos n 解析 依據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng)驗(yàn)證 答案 b 2，n為奇數(shù) dan 0，n為偶數(shù) 2在數(shù)列an中，a11，an2an11，則a5的值為( ) a30 b31 c32 d33 解析 a52a412(2a31)122a32123a2222124a123222131. 答案 b 3已知an1an30，則數(shù)列an是( ) a遞增

5、數(shù)列 c常數(shù)列 b遞減數(shù)列 d不確定 解析 an1an30，an1an30，an1an. 故數(shù)列an為遞增數(shù)列 答案 a 4設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和snn2，則a8的值為( ) a15 b16 c49 d64 解析 由于snn2，a1s11. 當(dāng)n2時(shí)，ansnsn1n2(n1)22n1，又a11適合上式 an2n1，a828115. 答案 a 5(2021泰州月考)數(shù)列1,1,2,3,5,8,13，x,34,55， 中x的值為_ 解析 觀看數(shù)列中項(xiàng)的規(guī)律，易看出數(shù)列從第三項(xiàng)開頭每一項(xiàng)都是其前兩項(xiàng)的和 答案 21 考向一 由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng) 【例1】 寫出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式： (1)

6、3,5,7,9， ； 1371531 (2)2，4，8，16，32， ； 1.本講復(fù)習(xí)主要以數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式的求法為主.2.對(duì)于歸納通項(xiàng)公式的題目,歸納出通項(xiàng)后要進(jìn)行驗(yàn)證.3.嫻熟把握求解數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法,尤其是已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)這種基本的方法,另外留意累加法、累積法的敏捷應(yīng)用. 31313 (3)1，2，3，4，5，6， ； (4)3,33,333,3 333， . 審題視點(diǎn) 先觀看各項(xiàng)的特點(diǎn)，然后歸納出其通項(xiàng)公式，要留意項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系，項(xiàng)與前后項(xiàng)之間的關(guān)系 解 (1)各項(xiàng)減去1后為正偶數(shù)，所以an2n1. n21 (2)每一項(xiàng)的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21,22,23，2

7、4， ，所以an2(3)奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式中含因子(1)n；各項(xiàng)肯定值的分母組成數(shù)列1,2,3,4， ；而各項(xiàng)肯定值的分子組成的數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)為1，偶數(shù)項(xiàng)為 n 2 1 3，即奇數(shù)項(xiàng)為21，偶數(shù)項(xiàng)為21，所以an(1)nn. 1 nn為正奇數(shù)， 也可寫為an 3 nn為正偶數(shù). 9999999 999 (4)將數(shù)列各項(xiàng)改寫為：3，3，3，3 1 分母都是3，而分子分別是101,1021,1031，1041， ，所以an3(10n1) 依據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式時(shí)，需認(rèn)真觀看分析，抓住以下幾方面 的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相鄰項(xiàng)的變化特征；(3)拆項(xiàng)后的特征：把

8、數(shù)列的項(xiàng)分成變化的部分和不變的部分；(4)各項(xiàng)符號(hào)特征若關(guān)系不明顯時(shí)，應(yīng)將部分項(xiàng)作適當(dāng)?shù)淖冃危y(tǒng)一成相同的形式，讓規(guī)律凸現(xiàn)出來 【訓(xùn)練1】 已知數(shù)列an的前四項(xiàng)分別為1,0,1,0，給出下列各式： 1 1 n1 1 n1cos n2nan；a；asin；a；annnn 2222 1 n為正偶數(shù) 1 1 n1 ；an(n1)(n2)其中可以作為數(shù)列an的通 2 0 n為正奇數(shù) 項(xiàng)公式的有_(填序號(hào)) 答案 考向二 由an與sn的關(guān)系求通項(xiàng)an 1.本講復(fù)習(xí)主要以數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式的求法為主.2.對(duì)于歸納通項(xiàng)公式的題目,歸納出通項(xiàng)后要進(jìn)行驗(yàn)證.3.嫻熟把握求解數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法,尤其是已知遞

9、推關(guān)系求通項(xiàng)這種基本的方法,另外留意累加法、累積法的敏捷應(yīng)用. 【例2】 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn3n1，則它的通項(xiàng)公式為an_. 審題視點(diǎn) 利用ansnsn1(n2)求解 解析 當(dāng)n2時(shí)，ansnsn13n1(3n11)23n1；當(dāng)n1時(shí)，a1s12也滿意an23n1. 故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an23n1. 答案 23n1 s1，n1， 數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和sn的關(guān)系是an 當(dāng)n snsn1， n2. 1時(shí)，a1若適合snsn1，則n1的狀況可并入n2時(shí)的通項(xiàng)an；當(dāng)n1時(shí)，a1若不適合snsn1，則用分段函數(shù)的形式表示 【訓(xùn)練2】 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn3n22n1，則其通項(xiàng)公

10、式為_ 解析 當(dāng)n1時(shí)，a1s13122112； 當(dāng)n2時(shí)，ansnsn13n22n13(n1)22(n1)16n5，明顯當(dāng)n1時(shí)，不滿意上式 2，n1，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an 6n5，n2. 2，n1 答案 an 6n5，n2 考向三 由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng) 【例3】 依據(jù)下列條件，確定數(shù)列an的通項(xiàng)公式 (1)a11，an13an2； n1 (2)a11，annan1(n2)； (3)已知數(shù)列an滿意an1an3n2，且a12，求an. 審題視點(diǎn) (1)可用構(gòu)造等比數(shù)列法求解(2)可轉(zhuǎn)化后利用累乘法求解(3)可利用累加法求解 解 (1)an13an2，an113(an1)， an113，數(shù)

11、列an1為等比數(shù)列，公比q3， an1又a112，an123n1，an23n11. 1.本講復(fù)習(xí)主要以數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式的求法為主.2.對(duì)于歸納通項(xiàng)公式的題目,歸納出通項(xiàng)后要進(jìn)行驗(yàn)證.3.嫻熟把握求解數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法,尤其是已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)這種基本的方法,另外留意累加法、累積法的敏捷應(yīng)用. n1n21 (2)annan1(n2)，an1an2， ，a221.以上(n1)個(gè)式子相乘 n1n1a112 得ana1 23nnn(3)an1an3n2，anan13n1(n2)， n 3n1 an(anan1)(an1an2) (a2a1)a1(n2)當(dāng)n1時(shí)， 213na12(311)2符合

12、公式，an222 已知數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，通常用累加、累乘、構(gòu)造法 求解當(dāng)消失anan1m時(shí)，構(gòu)造等差數(shù)列；當(dāng)消失anxan1y時(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列；當(dāng)消失anan1f(n)時(shí)，用累加法求解；當(dāng)消失法求解 【訓(xùn)練3】 依據(jù)下列各個(gè)數(shù)列an的首項(xiàng)和基本關(guān)系式，求其通項(xiàng)公式 (1)a11，anan13n1(n2)； 1 (2)a12，an1anln 1n. 解 (1)anan13n1(n2)，an1an23n2， an f(n)時(shí)，用累乘an1 an2an33n3， a2a131， 以上(n1)個(gè)式子相加得 ana13132 3 n1 1332 3 n1 3n12. 1 1 (2)an1a

13、nln， n n11 1an1anln lnn， n n1n anan1ln，an1an2ln， n1n2 2 a2a11 1.本講復(fù)習(xí)主要以數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式的求法為主.2.對(duì)于歸納通項(xiàng)公式的題目,歸納出通項(xiàng)后要進(jìn)行驗(yàn)證.3.嫻熟把握求解數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法,尤其是已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)這種基本的方法,另外留意累加法、累積法的敏捷應(yīng)用. 以上(n1)個(gè)式相加得， n1n2 ana1ln ln1ln n又a12， n1n2anln n2. 考向四 數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 10 【例4】 已知數(shù)列an的通項(xiàng)an(n1) 11 n(nn)，試問該數(shù)列an有沒有最 大項(xiàng)？若有，求最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)；若沒有，說明理

14、由 審題視點(diǎn) 作差：an1an，再分狀況爭論 10n1 10n 10n9n 解 an1an(n2)11(n1) 11 1111 當(dāng)n9時(shí)，an1an0，即an1an； 當(dāng)n9時(shí)，an1an0，即an1an； 當(dāng)n9時(shí)，an1an0，即an1an； 故a1a2a3 a9a10a11a12 ，所以數(shù)列中有最大項(xiàng)為第9,10項(xiàng) (1)數(shù)列可以看作是一類特別的函數(shù)，因此要用函數(shù)的學(xué)問，函數(shù)的思 想方法來解決 (2)數(shù)列的單調(diào)性是高考?？純?nèi)容之一，有關(guān)數(shù)列最大項(xiàng)、最小項(xiàng)、數(shù)列有界性問題均可借助數(shù)列的單調(diào)性來解決，推斷單調(diào)性時(shí)常用作差法，作商法，結(jié)合函數(shù)圖象等方法 【訓(xùn)練4】 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和snn

15、224n(nn*) (1)求an的通項(xiàng)公式； (2)當(dāng)n為何值時(shí)，sn達(dá)到最大？最大值是多少？ 解 (1)n1時(shí)，a1s123. n2時(shí)，ansnsn1n224n(n1)224(n1)2n25.閱歷證，a123符合an2n25， an2n25(nn*) (2)法一 snn224n，n12時(shí)，sn最大且sn144. 法二 an2n25， 25 an2n250，有n2a120，a130， 1.本講復(fù)習(xí)主要以數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式的求法為主.2.對(duì)于歸納通項(xiàng)公式的題目,歸納出通項(xiàng)后要進(jìn)行驗(yàn)證.3.嫻熟把握求解數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法,尤其是已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)這種基本的方法,另外留意累加法、累積法的敏捷應(yīng)用. 故s12最大，最大值為144. 難點(diǎn)突破13數(shù)列中最值問題的求解 從近幾年新課標(biāo)高考可以看出，對(duì)求數(shù)列中的最大項(xiàng)是高考的熱點(diǎn)，一般難度較大解決這類問題時(shí)，要利用函數(shù)的單調(diào)性討論數(shù)列的最值，但要留意數(shù)列的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性有所不同，其自變量的取值是不連續(xù)的，只能取