高二預(yù)習(xí)：空間幾何體的表面積和體積

1、教師 學(xué)生姓名填寫時間2014年 月 日年級高一學(xué)科數(shù)學(xué)上課時間2014年 月 日階段基礎(chǔ)（ ） 提高（ ） 強化（ ）課時計劃第（ ）次課共（ 2 ）次課教學(xué)目標教學(xué)難點教學(xué)過程知識梳理 空間幾何體的表面積與體積多面體的面積和體積公式名稱側(cè)面積(S側(cè))全面積(S全)體 積(V)棱柱棱柱直截面周長×lS側(cè)+2S底S底·h=S直截面·h直棱柱chS底·h棱錐棱錐各側(cè)面積之和S側(cè)+S底S底·h正棱錐ch棱臺棱臺各側(cè)面面積之和S側(cè)+S上底+S下底h(S上底+S下底+)正棱臺 (c+c)h表中S表示面積，c、c分別表示上、下底面周長，h表斜高，h表示斜

2、高，l表示側(cè)棱長。2 / 17旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式名稱圓柱圓錐圓臺球S側(cè)2rlrl(r1+r2)lS全2r(l+r)r(l+r)(r1+r2)l+(r21+r22)4R2Vr2h(即r2l)r2hh(r21+r1r2+r22)R3表中l(wèi)、h分別表示母線、高，r表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑，r1、r2分別表示圓臺 上、下底面半徑，R表示半徑。6.正棱柱、正棱錐、正棱臺的側(cè)面積公式間的內(nèi)在聯(lián)系：正棱臺側(cè)面積公式：正棱柱側(cè)面積公式：正棱錐側(cè)面積公式：旋轉(zhuǎn)體的表面積1.圓柱的側(cè)面積與全面積（1）側(cè)面積：求法：側(cè)面展開（如圖）；公式：（為兩底半徑，為母線長）；（2）表面積：.2.圓錐的側(cè)面積與表面積（

3、1）側(cè)面積求法：側(cè)面展開（如圖）；公式：；（2）表面積：（為兩底半徑，為母線長）.事實上：圓錐側(cè)面展開圖為扇形，扇形弧長為，半徑為圓錐母線，故面積為.3.圓臺的側(cè)面積與表面積（1）側(cè)面積求法：側(cè)面展開（如圖）；公式：；事實上：圓臺側(cè)面展開圖為扇環(huán)，扇環(huán)的弧長分別為、，半徑分別為、，故圓臺側(cè)面積為，.（2）表面積：.（、分別為上、下底面半徑，為母線長）4.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式間的內(nèi)在聯(lián)系：圓臺側(cè)面積公式：圓柱側(cè)面積公式：圓錐側(cè)面積公式：柱體、錐體、臺體的體積棱柱、棱錐、棱臺的體積1.棱柱體積公式：（為高，為底面面積）；2.棱錐體積公式：（為高，為底面面積）；3.棱臺體積公式： （為高，、

4、分別為兩底面面積）.事實上，設(shè)小棱錐高為，則大棱錐高為.于是.，.圓臺側(cè)面積公式： 圓柱側(cè)面積公式： 圓錐側(cè)面積公式：4.棱柱、棱錐、棱臺體積公式間的內(nèi)在聯(lián)系：B.圓柱、圓錐、圓臺的體積1.圓柱的體積：（為高，為底面半徑）.2.圓錐的體積：（為高，為底面半徑）.3.圓臺的體積：（、分別為上、下底半徑，為高）.事實上，設(shè)小圓錐高為，則大圓錐高為（如圖）.于是.，.圓臺體積公式： 圓柱體積公式： 圓錐體積公式：4.圓柱、圓錐、圓臺體積公式間的內(nèi)在聯(lián)系：球的體積與表面積1.球的體積 .2.球的表面積 .經(jīng)典例題直用公式求面積、求體積例1 （1）一個正三棱柱的底面邊長為4，側(cè)棱長為10，求其側(cè)面積、表

5、面積和體積；（2）一個圓臺，上、下底面半徑分別為10、20，母線與底面的夾角為60°，求圓臺的側(cè)面積、表面積和體積；（3）已知球的表面積是，求它的體積. 結(jié)果：.（4）在長方體中，用截面截下一個棱錐，求棱錐的體積與剩余部分的體積之比. 結(jié)果.練習(xí)：1.已知正四棱錐底面正方形的邊長為4cm，高與斜高的夾角為，求正四棱錐的側(cè)面積和表面積. 2.已知平行四邊形中，以為軸旋轉(zhuǎn)一周，得旋轉(zhuǎn)體.求旋轉(zhuǎn)體的表面積.3.正方體的棱長為1，則沿面對角線、截得的三棱錐的體積為 CA. B. C. D.14.已知正四棱臺兩底面均為正方形，邊長分別為4cm、8cm，求它的側(cè)面積和體積. 5.正四棱錐各側(cè)面均

6、為正三角形，側(cè)棱長為5，求它的側(cè)面積、表面積和體積.俯視圖22正（主）視圖2側(cè)（左）視圖2226.若正方體的棱長為，則以該正方體各個面的中心為頂點的凸多面體的體積為 . 根據(jù)三視圖求面積、體積例2 一空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A. B.C. D.練習(xí)：正視圖側(cè)視圖俯視圖41.一個底面為正三角形，側(cè)棱于底面垂直的棱柱的三視圖如圖所示，則這個棱柱的體積為 .2.下圖是一個空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，如果正視圖側(cè)視圖俯視圖直角三角形的直角邊長均為1，那么這個幾何體的體積為A.1 B. C. D.正視圖側(cè)視圖俯視圖3.如圖是某幾何體的三視圖，其中正視圖是腰長為3的等腰三角形

7、，俯視圖是半徑為1的半圓，該幾何體的體積是A. B. C. D.正視圖側(cè)視圖俯視圖101422101424.已知一個組合體的三視圖如圖所示，請根據(jù)具體的數(shù)據(jù)，計算該組合體的體積.5.下圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是 A. B. C. D.幾何體表面上最短距離問題例 三棱錐的側(cè)棱長均為1，且側(cè)棱間的夾角都是，動點在上移動，動點在上移動，求的最小值. 與球有關(guān)的組合問題例1（1）若棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為 . （2）若一個球內(nèi)切于棱長為3的正方體，則該球的體積為 . 結(jié)果:.例2 有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內(nèi)放一

8、個半徑為的鐵球，并注入水，使球浸沒在水中并使水面正好與球相切，然后將球取出，求這時容器中水的深度.練習(xí)：1.長方體中，則其外接球的體積為 .2.求棱長為1的正四面體的外接球、內(nèi)切球的表面積.注：棱長為的正四面體中常用數(shù)據(jù)：（1）高：，中心到頂點距離：，中心到面距離：，中心到頂點距離：中心到面的距離=3：1.（2）全面積：，體積：.幾個重要結(jié)論的補充及應(yīng)用結(jié)論1 錐體平行截面性質(zhì)錐體平行截面與錐體底面相似，且與底面積比等于兩錐側(cè)面積面積比，等于兩錐全面積面積比，等于兩錐對應(yīng)線段（對應(yīng)高、對應(yīng)斜高、對應(yīng)對角線、對應(yīng)底邊長）比的平方.結(jié)論2 若圓錐母線長為，底面半徑為，側(cè)面展開圖扇形圓心角為，則.結(jié)

9、論3 若圓臺母線長為，上、下底面半徑分別為、，側(cè)面展開圖扇環(huán)圓心角為，則.證明：設(shè)小圓錐母線長為，則有.，.應(yīng)用1.一個圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角度數(shù)為 BA. B. C. D.2.一個圓錐的高是10cm，側(cè)面展開圖是半圓，求圓錐的側(cè)面積.3.露露從紙上剪下一個圓形和一個扇形的紙片（如圖），用它們恰好能圍成一個圓錐模型，若圓的半徑為1扇形的圓心角等于120°，則此扇形的半徑為 CA. B. C.3 D.6 4.圓臺的上、下底面半徑分別為10cm和20cm，它的側(cè)面展開圖的扇環(huán)的圓心角是，那么圓臺的表面積是多少？結(jié)果：.5.圓錐母線長為1，側(cè)面展開圖的圓心

10、角為，則圓錐體積為 CA. B. C. D.6.若圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為、半徑為的扇形，則這個圓錐的表面積與側(cè)面積的比是A. B. C. D. 結(jié)果：C.空間幾何體體積求法例析.公式法俯視圖主視圖側(cè)視圖例1 四棱錐的頂點在底面中的射影恰好是，其三視圖如圖，則四棱錐的體積為 .例2 一個幾何體的俯視圖是一個圓，正視圖和側(cè)視圖是全等的矩形，它們水平放置時（一邊在水平位置上），它們的斜二測直觀圖是邊長為6和4的平行四邊形，則該幾何體的體積為 .例3 用一塊長3m，寬2m的矩形木板，在墻面互相垂直的墻角處，圍出一個直三棱柱形谷倉，在下面的四種設(shè)計中，容積最大的是 ABACA22223333解：略.

11、分割法例4 已知一個多面體的表面積為36，它的內(nèi)切球的半徑為2，求該多面體的體積.例5 如圖3，在多面體中，已知面是邊長為3的正方形，與面的距離為2，則該多面體的體積為 .補形法例6 已知三棱柱的一個側(cè)面面積為，相對的棱距離該側(cè)面的距離是，求證：該三棱柱的體積是.例7 已知、兩兩互相垂直，且、的面積分別為，2，6，則過、四點的外接球的體積為 .解：、兩兩互相垂直，則以它們?yōu)榛A(chǔ)，補形成為一個長方體，長方體的對角線是外接球的直徑.設(shè)三條棱長分別為，則，解得，.從而，.點評：對于三條棱兩兩互相垂直或者3個側(cè)面兩兩互相垂直的三棱柱以及正四面體或?qū)夥謩e相等的三棱錐，都可以補形成為長方體或者正方體，它

12、們有共同的外接球，外接球的直徑正好是長方體或正方體的體對角線，這樣就很容易將球體和三棱錐聯(lián)系起來.特殊化法例8 如圖，直三棱柱體積為，點、分別在側(cè)棱、上，則四棱錐的體積為 .解：將條件特殊化，使得和重合，和重合，四棱錐就變成三棱錐，它和直三棱柱等底等高，四棱錐的體積等于.等體積轉(zhuǎn)化（變換角度）例9 如圖，在長方體中，如果分別過、的2個平行平面將長方體分成體積相等的3部分，那么 .解：將長方體站立放置，從而更容易觀察到相關(guān)的幾何體分別是直三棱柱、直四棱柱、直三棱柱.長方體被分成體積相等的三部分，即.由于它們的等高且等體積，底面積也相等，就是說，即，.例10 如圖，已知、分別是棱長為的正方體的棱、

13、的中點，求三棱錐的體積.解：.點評：在三棱錐求體積問題中，變換角度就是換頂點、換底面，它是計算三棱錐體積問題長見的轉(zhuǎn)化策略之一，它的基本依據(jù)是變換前后等體積.轉(zhuǎn)換的標準是相應(yīng)的底面和高是否容易求解.顯然本題直接按照題中所給的角度或者轉(zhuǎn)換成三棱錐都不便于求底面和高.課堂練習(xí)1.正六棱錐中，為的中點，則三棱錐與三棱錐體積之比為 CA. B. C. D.2.如圖，在多面體中，已知是邊長為1的正方形，且、均為正三角形，則該多面體的體積為 AA. B. C. D.3.某幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標出的尺寸（單位：cm），則這個幾何體的體積是B20202020側(cè)視圖1010俯視圖正視圖A. B. C.

14、D.4.一個棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的表面積為 AA. B. C. D.5.若正方體外接球的體積是，則正方體的棱長為A. B. C. D.選D6.如圖，已知多面體，兩兩垂直，平面平面，平面平面，則該多面體的體積為A.2 B.4 C.6 D.87.一個長方體的某3個面的面積分別是，.則這個長方體的體積是 .8.設(shè)等邊三角形的邊長為，是內(nèi)的任意一點，且到三邊，的距離分別為，則有為定值；由以上平面圖形的特性類比空間圖形：設(shè)正四面體的棱長為，是正四面體內(nèi)的任意一點，且到四個面的距離分別為，則有為定值是 . 9.某球的外切圓臺上下底面半徑分別為，則該球的體積是 .9.在三棱錐中，則該三棱錐的外接球的表

15、面積為 .10.各頂點都在一個球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則球的體積是 . 11.體積為的一個正方體，其全面積與球的表面積相等，則球的體積等于 2側(cè)視圖正視圖31俯視圖111.如圖是一個幾何體的三視圖，若它的體積是，則_.12.三棱錐的頂點為，為三條側(cè)棱，兩兩互相垂直，又，則三棱錐的體積為_. 結(jié)果：4.13.半徑為的球的外切圓柱的表面積為 ，體積為 . 結(jié)果：；.14.直三棱柱的各頂點都在同一球面上，若，則此球的表面積等于 .15.三個球的半徑，滿足，則它們的表面積，滿足的關(guān)系是 . 16.如圖，已知底面半徑為的圓柱被一個平面所截，剩下部分母線長的最大值為，最小值為，那么圓柱被截后剩下部分的體積是 .17.某高速公路收費站入口