數(shù)學(xué)試題練習(xí)題考試題教案高二數(shù)學(xué)教案研究性多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)(一)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載9.10 研究性多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)( 一 )教學(xué)目的：1. 了解多面體與簡(jiǎn)單多面體的概念、發(fā)現(xiàn)歐拉公式.2. 培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探究問題、歸納總結(jié)能力.教學(xué)重點(diǎn)： 歐拉公式的發(fā)現(xiàn)過程.教學(xué)難點(diǎn)： 歐拉定義及其證明.授課類型： 新授課 .課時(shí)安排： 3 課時(shí) .教具 ：多媒體、實(shí)物投影儀.內(nèi)容分析 ：本節(jié)為研究性課題.通過研究歐拉定理的發(fā)現(xiàn)過程，讓學(xué)生了解歐拉公式及其簡(jiǎn)單應(yīng)用，擴(kuò)大學(xué)生的知識(shí)面，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.教學(xué)過程 ：一、復(fù)習(xí)引入：1.歐拉生平事跡簡(jiǎn)說：歐拉 (Euler)，瑞士數(shù)學(xué)家及自然科學(xué)家.1707 年 4 月 15 日出生于瑞士巴塞爾的一個(gè)牧師家庭，自幼受

2、父親的教育，13 歲入讀巴塞爾大學(xué)15 歲大學(xué)畢業(yè)， 16 歲獲碩士學(xué)位，1783 年 9 月 18日于俄國彼得堡去逝.（詳細(xì)資料附后）2.多面體的概念：由若干個(gè)多邊形圍成的空間圖形叫多面體；每個(gè)多邊形叫多面體的面，兩個(gè)面的公共邊叫多面體的棱， 棱和棱的公共點(diǎn)叫多面體的頂點(diǎn)， 連結(jié)不在同一面上的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫多面體的對(duì)角線3凸多面體：把多面體的任一個(gè)面展成平面，如果其余的面都位于這個(gè)平面的同一側(cè)，這樣的多面體叫凸多面體如圖的多面體則不是凸多面體4凸多面體的分類：多面體至少有四個(gè)面，按照它的面數(shù)分別叫四面體、五面體、六面體等.二、講解新課：1簡(jiǎn)單多面體：考慮一個(gè)多面體，例如正六面體，假定它的面

3、是用橡膠薄膜做成的，如果充以氣體，那么它就會(huì)連續(xù)（不破裂）變形，最后可變?yōu)橐粋€(gè)球面 .如圖：象這樣，表面經(jīng)過連續(xù)變形可變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w，叫做簡(jiǎn)單多面體 .說明：棱柱、棱錐、正多面體等一切凸多面體都是簡(jiǎn)單多面體.2五種正多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)及棱數(shù)：正多面體頂點(diǎn)數(shù) V面數(shù) F棱數(shù) E正四面體446正六面體8612正八面體6812正十二面體201230正二十面體122030學(xué)習(xí)必備歡迎下載發(fā)現(xiàn)：它們的頂點(diǎn)數(shù) V 、面數(shù) F 及棱數(shù) E 有共同的關(guān)系式：VFE2上述關(guān)系式對(duì)簡(jiǎn)單多面體都成立.3. 歐拉公式的探究1請(qǐng)查出圖的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù) F、和棱數(shù) E，并計(jì)算 VF E 6+6-10=22查出圖中的頂

4、點(diǎn)數(shù)V、面數(shù) F、和棱數(shù) E，并驗(yàn)證上面公式是否還成立？3. 假如圖圖的多面體表面是像皮膜，向內(nèi)充氣則將變成一個(gè)球面，圖將變成兩個(gè)緊貼的球面，圖將變成一個(gè)環(huán)面 .可以驗(yàn)證：只有像這樣，經(jīng)過連續(xù)變形，表面能變?yōu)橐粋€(gè)球面的多面體才滿足公式V F E 2.這個(gè)公式稱為歐拉公式，這樣的多面體稱為簡(jiǎn)單多面體 .4歐拉定理（歐拉公式） ：簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V 、面數(shù) F 及棱數(shù) E 有關(guān)系式：VFE2證明 :( 方法一 )E1EA1D 1E 1C1B1ADEDA 1CD 1AB11BCBC(10)如圖： 將多面體的底面ABCDE剪掉，抻成平面圖形， 其頂點(diǎn)、棱數(shù)，面數(shù)（剪掉面用右圖中表示）均沒有變，故所有

5、面的內(nèi)角總和不變.設(shè)左圖中共有 F 個(gè)面，分別是 n1, n2 , nF 邊形，頂點(diǎn)數(shù)為V，棱數(shù)為 E, 則 n1 n2nF左圖中，所有面的內(nèi)角總和為ABCDE2E .( n1 2)180(n2 2)180(nF 2)180 (n1 n2nF 2F )180 (2E 2F )180(EF )360右圖中，所有面的內(nèi)角總和為V上360（V下 ）（V下 ）剪掉的底面內(nèi)角和)2 1802180(（V上V上 ）(V02 3602)360學(xué)習(xí)必備歡迎下載 ( EF )360 (V2)3600整理得VFE2.（方法二）以四面體ABCD 為例來說明：將它的一個(gè)面BCD 去掉， 并使其變?yōu)槠矫鎴D形，四面體的頂

6、點(diǎn)數(shù)V 、棱數(shù) E 與剩下的面數(shù) ( F1) 變形后都沒有變.因此，要研究V 、 E 和 F 的關(guān)系，只要去掉一個(gè)面，將它變形為平面圖形即可.對(duì)平面圖形，我們來研究：（ 1）去掉一條棱，就減少一個(gè)面.例如去掉同理，去掉棱CD 、 BD ，也就各減少一個(gè)面BC ，就減少一個(gè)面ACD 、 ABD ABC 所以( F1)E、V的值都不變，因此V(F1)E 的值也不變.（ 2）再從剩下的樹枝形中，去掉一條棱，就減少一個(gè)頂點(diǎn)掉 DA 就減少一個(gè)頂點(diǎn)D ，最后剩下.例如去掉CA ，就減少一個(gè)頂點(diǎn)C 同理，去AB （如圖）在此過程中 VE 的值不變，但這時(shí)面數(shù)F 是 0，所以V (F1)E 的值也不變 .由

7、于最后只剩下AB ，所以 V(F1)E201 1，最后加上去掉的一個(gè)面，就得到VFE2 4歐拉示性數(shù)：在歐拉公式中令 f ( p) V FE ， f ( p) 叫歐拉示性數(shù) .說明：（ 1）簡(jiǎn)單多面體的歐拉示性數(shù)f ( p)2 （ 2）帶一個(gè)洞的多面體的歐拉示性數(shù)f ( p)0 例如：長方體挖去一個(gè)洞連結(jié)底面相應(yīng)頂點(diǎn)得到的多面體 f ( p) 161632 0三、講解范例：例 1.一個(gè) n 面體共有8 條棱， 5 個(gè)頂點(diǎn)，求 n .解：V FE2， FE2 V5， n5學(xué)習(xí)必備歡迎下載例 2 一個(gè)正 n 面體共有8 個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)處共有三條棱，求n .解： V883， E12 ，2 F E2

8、V 6 ， n 6 四、小結(jié)： 歐拉定理及其證明；歐拉示性數(shù).五、課后作業(yè)：六、板書設(shè)計(jì)（略） .七、歐拉（ EulerLonh ard ， 1707 1783）歐拉，瑞士數(shù)學(xué)家及自然科學(xué)家.在1707年 4月15日出生于瑞士的巴塞爾，1783年 9月18日于俄國的彼得堡去逝 .歐拉出生于牧師家庭，自幼已受到父親的教育.13歲時(shí)入讀巴塞爾大學(xué)，15歲大學(xué)畢業(yè)， 16歲獲得碩士學(xué)位.歐拉的父親希望他學(xué)習(xí)神學(xué)，但他最感興趣的是數(shù)學(xué)在上大學(xué)時(shí)，他已受到約翰第一伯努.利的特別指導(dǎo)， 專心研究數(shù)學(xué)， 直至 18歲，他徹底的放棄當(dāng)牧師的想法而專攻數(shù)學(xué)，于19歲時(shí)（1726年）開始創(chuàng)作文章，并獲得巴黎科學(xué)院

9、獎(jiǎng)金.1727年，在丹尼爾伯努利的推薦下，到俄國的彼得堡科學(xué)院從事研究工作.并在 1731年接替丹尼爾第一伯努利，成為物理學(xué)教授 .在俄國的14 年中，他努力不懈地投入研究，在分析學(xué)、數(shù)論及力學(xué)方面均有出色的表現(xiàn).此外，歐拉還應(yīng)俄國政府的要求，解決了不少如地圖學(xué)、造船業(yè)等的實(shí)際問題.1735 年，他因工作過度以致右眼失明在 1741 年，他受到普魯士腓特烈大.帝的邀請(qǐng)到德國科學(xué)院擔(dān)任物理數(shù)學(xué)所所長一職.他在柏林期間，大大的擴(kuò)展了研究的內(nèi)容，如行星運(yùn)動(dòng)、剛體運(yùn)動(dòng)、熱力學(xué)、彈道學(xué)、人口學(xué)等，這些工作與他的數(shù)學(xué)研究互相推動(dòng)著.與此同時(shí)，他在微分方程、曲面微分幾何及其它數(shù)學(xué)領(lǐng)域均有開創(chuàng)性的發(fā)現(xiàn).176

10、6年，他應(yīng)俄國沙皇喀德林二世敦聘重回彼得堡.在1771 年，一場(chǎng)重病使他的左眼亦完全失明.但他以其驚人的記憶力和心算技巧繼續(xù)從事科學(xué)創(chuàng)作.他通過與助手們的討論以及直接口授等方式完成了大量的科學(xué)著作，直至生命的最后一刻.歐拉是 18 世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他不但為數(shù)學(xué)界作出貢獻(xiàn)，更把數(shù)學(xué)推至幾乎整個(gè)物理的領(lǐng)域.此外，他是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，寫了大量的力學(xué)、分析學(xué)、幾何學(xué)、變分法的課本，無窮小分析引論（1748），微分學(xué)原理（ 1755），以及積分學(xué)原理（1768-1770 ）都成為數(shù)學(xué)中的經(jīng)典著作.歐拉最大的功績(jī)是擴(kuò)展了微積分的領(lǐng)域，為微分幾何及分析學(xué)的一些重要分支（如無窮級(jí)數(shù)、微分方

11、程等）的產(chǎn)生與發(fā)展奠定了基礎(chǔ) .歐拉把無窮級(jí)數(shù)由一般的運(yùn)算工具轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)重要的研究科目.他計(jì)算出 函數(shù)在偶數(shù)點(diǎn)的值.他證明了a2k 是有理數(shù)，而且可以伯努利數(shù)來表示.此外，他對(duì)調(diào)和級(jí)數(shù)亦有所研究，并相當(dāng)精確的計(jì)算出歐拉常數(shù) 的值 , 其值近似為在 18 世紀(jì)中葉，歐拉和其它數(shù)學(xué)家在解決物理方面的問過程中，創(chuàng)立了微分方程學(xué).當(dāng)中，在常微分方程方面，他完整地解決了n 階常系數(shù)線性齊次方程的問題，對(duì)于非齊次方程，他提出了一種降低方程階的解法；而在偏微分方程方面，歐拉將二維物體振動(dòng)的問題，歸結(jié)出了一、二、三維波動(dòng)方程的解法.歐拉所寫的方程的積分法研究更是偏微分方程在純數(shù)學(xué)研究中的第一篇論文.在微分幾何

12、方面（微分幾何是研究曲線、曲面逐點(diǎn)變化性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支），歐拉引入了空間曲線的參數(shù)方程，給出了空間曲線曲率半徑的解析表達(dá)方式.在 1766 年，他出版了關(guān)于曲面上曲線的研究，這是歐拉對(duì)微分幾何最重要的貢獻(xiàn)，更是微分幾何發(fā)展史上一個(gè)里程碑.他將曲面表為 z=f(x,y)，并引入一系列標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)以表示z 對(duì) x，y 的偏導(dǎo)數(shù)， 這些符號(hào)至今仍通用 此外，在該著作中，他亦得到了曲面在任意截面上截線的曲率公式.歐拉在分析學(xué)上的貢獻(xiàn)不勝枚舉，如他引入了G 函數(shù)和 B 函數(shù)，這證明了橢圓積分的加法定理，以及最早引入二重積分等等 .在代數(shù)學(xué)方面，他發(fā)現(xiàn)了每個(gè)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式必分解為一次或二次因子之積，即a+bi 的

13、形式 .歐拉還給出了費(fèi)馬小定理的三個(gè)證明，并引入了數(shù)論中重要的歐拉函數(shù) (n) ，他研究數(shù)論的一系列成果奠定了數(shù)論成為數(shù)學(xué)中的一個(gè)獨(dú)立分支 歐拉又用解析方法討論數(shù)論問題，發(fā)現(xiàn)了函數(shù)所滿足的函數(shù)方程，并引入歐拉乘積.而且還解決了著名的柯尼斯堡七橋.問題 .歐拉的風(fēng)格是很高的，拉格朗日是稍后于歐拉的大數(shù)學(xué)家從 19 歲起和歐拉通信、討論等周問題的一般解法，從而引起.了變分法的誕生 等周問題是歐拉多年來苦心考慮的問題，拉格朗日的解法， 博得了歐拉的熱烈贊揚(yáng)， 1759 年 10 月 2 日歐拉.學(xué)習(xí)必備歡迎下載在回信中盛贊拉格朗日的成就，并謙恭地壓下自己在這方面較不成熟的作品暫不發(fā)表，使年輕的拉格朗日的著作得以發(fā)表和流傳，贏得巨大聲譽(yù).1783 年 9 月 18 日下午， 歐拉為了慶祝他計(jì)算氣球上升定律的成功，請(qǐng)朋友們吃飯 .那時(shí)天王星剛發(fā)現(xiàn)不久，歐拉寫出計(jì)算天王星軌道的要領(lǐng)，還和他的孫子逗笑，喝茶后，突然疾病發(fā)作， 煙斗從手中落下歐拉就這樣“停止了生命和計(jì)算”.歷史學(xué)家把歐拉和阿基米德、牛頓、高斯并列為有史以來貢獻(xiàn)最大的四位數(shù)學(xué)家他們有一個(gè)值得注意的共同點(diǎn)，就是在創(chuàng)建純粹理論的同時(shí)，還應(yīng)用這些數(shù)學(xué)工具去解決大量天文、物理、力學(xué)等方面的實(shí)際問題.他們的工作常常是跨學(xué)科的，他們不斷地從實(shí)