連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

1、第四節(jié)第四節(jié) 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn) 1 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度 2 正態(tài)分布正態(tài)分布要求：要求：1 1、連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)的定義和性質(zhì)，、連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)的定義和性質(zhì)， 2 2、均勻、均勻分布、指數(shù)分布的分布、指數(shù)分布的定義及性質(zhì)；定義及性質(zhì)；4 4、分布的定義、性質(zhì)、密度函數(shù)及幾何性質(zhì)；、分布的定義、性質(zhì)、密度函數(shù)及幾何性質(zhì)；5 5、一般正態(tài)分布函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的關(guān)系；、一般正態(tài)分布函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的關(guān)系；6 6、會(huì)利用正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)求積分、會(huì)利用正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)求積分一一 連續(xù)

2、型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量 1 定義定義( )( )xF xf t dt ,XFxfxx設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，若存在一個(gè)非負(fù)函數(shù)使對(duì)于任意 ，恒有 xXfxX連續(xù)型隨機(jī)變量分布成立，則稱X為，F(xiàn)稱為的，稱為函數(shù)概率密度函數(shù)的，簡(jiǎn)稱密度函數(shù)由定義知道：由定義知道：連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)2 概率密度的性質(zhì)概率密度的性質(zhì) 1 非負(fù)性非負(fù)性( )0f x ( )1f x dx2 規(guī)范性規(guī)范性這兩個(gè)性質(zhì)是判這兩個(gè)性質(zhì)是判斷一個(gè)函數(shù)是否斷一個(gè)函數(shù)是否為一個(gè)連續(xù)型為一個(gè)連續(xù)型r.v.X的概率密度的概率密度的充要條件的充要條件 f (x)xo分布曲分布曲線線面積為

3、面積為121121221, ()()()( )xxx xp xXxF xF xf x dx3 對(duì)利用概率密度可確利用概率密度可確定隨機(jī)點(diǎn)落在某個(gè)定隨機(jī)點(diǎn)落在某個(gè)范圍內(nèi)的概率范圍內(nèi)的概率4( )( )( )f xxF xf x 若在點(diǎn) 處連續(xù)，則有0( )limxxxxxf t dt 若若x是是 f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則：的連續(xù)點(diǎn)，則：xxxXxPx )(lim0=f(x) 故故 X的密度的密度 f(x) 在在 x 這一點(diǎn)的值，恰好是這一點(diǎn)的值，恰好是X落在區(qū)間落在區(qū)間 上的概率與區(qū)間長(zhǎng)度上的概率與區(qū)間長(zhǎng)度 之比的極限之比的極限. 這里，如果把概率理解為質(zhì)量，這里，如果把概率理解為質(zhì)量， f (x)

4、相當(dāng)于線密度相當(dāng)于線密度.x ,(xxx (1) 連續(xù)型連續(xù)型r.v.取任一指定實(shí)數(shù)值取任一指定實(shí)數(shù)值a 的概率均為的概率均為0. 即即這是因?yàn)檫@是因?yàn)檎?qǐng)注意請(qǐng)注意: xaFaFaXxaPaXP 0 0 .P Xa0,x 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)得到得到 0 .P Xa由由P(B)=1, 不能推出不能推出 B=S由由P(A)=0, 不能推出不能推出A 00(3): 0.,0,p XxXx注 ： 由 可 知故 一 個(gè) 事 件的 概 率 為 只 表 示 這 事 件 發(fā) 生 的 可 能 性 很 小但 這 事 件并 不 一 定 是 不 可 能 事 件 。)()(bXaPbXaP)(bXaP 對(duì)連續(xù)型對(duì)連續(xù)型 r.v

5、. X,有有)(bXaP 取取值值的的概概率率為為，也也可可以以是是無(wú)無(wú)窮窮區(qū)區(qū)間間）上上間間；可可以以是是有有限限區(qū)區(qū)間間，閉閉區(qū)區(qū)間間，或或半半開開半半閉閉區(qū)區(qū)也也可可以以是是可可以以是是開開區(qū)區(qū)間間（在在任任意意區(qū)區(qū)間間則則，的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為已已知知連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量若若,GGXxfX說說 明明: :由上述性質(zhì)可知，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，我們由上述性質(zhì)可知，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，我們關(guān)心它在某一點(diǎn)取值的問題沒有太大的意義；關(guān)心它在某一點(diǎn)取值的問題沒有太大的意義；我們所關(guān)心的是它在我們所關(guān)心的是它在某一區(qū)間某一區(qū)間上取值的問題上取值的問題 GdxxfGXP(此公式非常重要此公

6、式非常重要) 要注意的是，密度函數(shù)要注意的是，密度函數(shù) f (x)在某點(diǎn)處在某點(diǎn)處a的高度，并不反映的高度，并不反映X取值的概率取值的概率. 但是，這但是，這個(gè)高度越大，則個(gè)高度越大，則X取取a附近的值的概率就越附近的值的概率就越大大. 也可以說，在某點(diǎn)密度曲線的高度反也可以說，在某點(diǎn)密度曲線的高度反映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度. f (x)xo若不計(jì)高階無(wú)窮小，有：若不計(jì)高階無(wú)窮小，有： 它表示隨機(jī)變量它表示隨機(jī)變量 X 取值于取值于 的的概率近似等于概率近似等于 .,(xxxxxf)(xxf)(在連續(xù)型在連續(xù)型r.v理論中所起的作用與理論中所起的作用與kkpxX

7、P)(在離散型在離散型r.v理論中所起的理論中所起的作用相類似作用相類似.( )P xXxxf xx例題選講例題選講例題例題1 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X具有隨機(jī)密度函數(shù)具有隨機(jī)密度函數(shù)2( )1cf xx(3) 01PX試求試求 (1) c (2) X的分布函數(shù)；的分布函數(shù)； 22 |1( )10 |11(2113).22XAxfxxxAX例題設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 試求 ( )系數(shù) ； ) 隨機(jī)變量的分布函數(shù)； （ ） 隨機(jī)變量落在區(qū)間（-，1. 均勻分布均勻分布則稱則稱X在區(qū)間在區(qū)間( a, b)上服從均勻分布上服從均勻分布，X U(a, b)(xfab其它, 0,1)(bxaabxf三、三

8、種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量三、三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量若若 r .v X的概率密度為：的概率密度為：記作記作 abldxablcXcPblccalcclbaUXlcc 1,),(.1),(有有為的區(qū)間為的區(qū)間對(duì)于長(zhǎng)度對(duì)于長(zhǎng)度若若與c無(wú)關(guān)子子區(qū)區(qū)間間的的位位置置無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度成成正正比比，而而與與該該取取值值的的概概率率與與該該子子區(qū)區(qū)間間上上的的任任意意一一個(gè)個(gè)子子區(qū)區(qū)間間上上，在在區(qū)區(qū)間間則則隨隨機(jī)機(jī)變變量量上上的的均均勻勻分分布布，區(qū)區(qū)間間服服從從如如果果隨隨機(jī)機(jī)變變量量baXbaXXabll0Xx 公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的時(shí)間

9、，即乘客的候車時(shí)間等站的時(shí)間，即乘客的候車時(shí)間等.均勻分布常見于下列情形均勻分布常見于下列情形： 如在數(shù)值計(jì)算中，由于四舍五如在數(shù)值計(jì)算中，由于四舍五 入，小數(shù)點(diǎn)后某入，小數(shù)點(diǎn)后某一位小數(shù)引入的誤差一位小數(shù)引入的誤差； bxbxaabaxaxxXPxFX1, 0)(.2的分布函數(shù)為：的分布函數(shù)為： 例例2 某公共汽車站從上午某公共汽車站從上午7時(shí)起，每時(shí)起，每15分鐘來一班分鐘來一班車，即車，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等時(shí)刻有汽車到達(dá)此等時(shí)刻有汽車到達(dá)此站，如果乘客到達(dá)此站時(shí)間站，如果乘客到達(dá)此站時(shí)間 X 是是7:00 到到 7:30 之間的之間的均勻隨機(jī)變量均勻隨機(jī)變量,

10、 試求他候車時(shí)間少于試求他候車時(shí)間少于5 分鐘的概率分鐘的概率.解解依題意，依題意， X U ( 0, 30 ) 以以7:00為為起點(diǎn)起點(diǎn)0，以分為單位，以分為單位其它, 0300,301)(xxf 為使候車時(shí)間為使候車時(shí)間X少于少于 5 分鐘，乘客必須在分鐘，乘客必須在 7:10 到到 7:15 之間，或在之間，或在7:25 到到 7:30 之間到達(dá)車站之間到達(dá)車站.所求概率為所求概率為：3130130130251510dxdx即乘客候車時(shí)間少于即乘客候車時(shí)間少于5 分鐘的概率是分鐘的概率是1/3.從上午從上午7時(shí)起，每時(shí)起，每15分鐘來一班車，即分鐘來一班車，即 7:00，7:15，7:3

11、0等時(shí)刻有汽車到達(dá)汽車站，等時(shí)刻有汽車到達(dá)汽車站，10152530PXPX 024442 PAP則則32949291916213 dxdx 021 P返回目錄 21 或或P則稱則稱 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布的指數(shù)分布. 指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究中，如元件的壽命中，如元件的壽命.若若 r.v X具有概率密度具有概率密度0001)(xxexfx0常簡(jiǎn)記為常簡(jiǎn)記為 XE( ) .2 指數(shù)分布指數(shù)分布 其其它它, 00,1)(/xexXPxFx 若若X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的指數(shù)分布指數(shù)分布, 則其則其分布函數(shù)分布函數(shù)為為事實(shí)上事實(shí)上 , xF xf t

12、 dt 0 x xx xF xf t dt 0 xdt 0 x 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),0 x 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), xF xf t dt 00dt 01txedt ,0s tP Xst XsP Xt 對(duì)于任意有：PXstXsP Xst XsP XsPXstP Xs注意 1）無(wú)記憶性；s ttseeeP X t 11F stF s 2）電子元件的使用壽命和各種隨機(jī)系統(tǒng)的）電子元件的使用壽命和各種隨機(jī)系統(tǒng)的服務(wù)時(shí)間在一般情形認(rèn)為其服從指數(shù)分布；服務(wù)時(shí)間在一般情形認(rèn)為其服從指數(shù)分布； 3）指數(shù)分布在可靠性理論和排隊(duì)論的應(yīng)用）指數(shù)分布在可靠性理論和排隊(duì)論的應(yīng)用比較廣泛。比較廣泛。3. 正態(tài)分布正態(tài)分布 若連續(xù)型若連續(xù)型

13、 r .v X 的的概率密度為概率密度為 xexfx,21)(222)( 記作記作其中其中 和和 ( 0 )都是常數(shù)都是常數(shù), 則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 和和 的的正態(tài)分布正態(tài)分布或或高斯分布高斯分布. ),(2NX :具具有有下下述述性性質(zhì)質(zhì)xf ;12 dxxf ;01 xf1曲線曲線 關(guān)于關(guān)于 軸對(duì)稱；軸對(duì)稱； fx 3 P hX P Xh 0h 函數(shù)函數(shù) 在在 上單調(diào)增加上單調(diào)增加, ,在在 上上 4單調(diào)減少單調(diào)減少, ,在在 取得最大值；取得最大值； 22()23,2x xfxex x = 為為 f (x) 的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)；的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)； 5 22()2223(),2

14、x xfxex fx,x當(dāng)當(dāng)x 時(shí)，時(shí)，f(x) 0. . xexfx,21)(222)( f (x) 以以 x 軸為漸近線軸為漸近線 6 根據(jù)對(duì)密度函數(shù)的分析，也可初步畫出正態(tài)分布根據(jù)對(duì)密度函數(shù)的分析，也可初步畫出正態(tài)分布的概率密度曲線圖的概率密度曲線圖. . 正態(tài)分布正態(tài)分布 的圖形特點(diǎn)的圖形特點(diǎn)),(2N 正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于 對(duì)對(duì)稱的鐘形曲線稱的鐘形曲線. .特點(diǎn)是特點(diǎn)是“兩頭小，中間大，左右對(duì)稱兩頭小，中間大，左右對(duì)稱”. .稱為位置參數(shù) 決定了圖形的中心位置，決定了圖形的中心位置， 決定了圖形決定了圖形中峰的陡峭程度中峰的陡峭程度. . 正態(tài)分布

15、正態(tài)分布 的圖形特點(diǎn)的圖形特點(diǎn)),(2N 設(shè)設(shè) X ,),(2NX 的分布函數(shù)的分布函數(shù)是是正態(tài)分布正態(tài)分布 的分布函數(shù)的分布函數(shù)),(2N 2 22()21,2txF xedtx dtexxt2221)(4 4 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布1, 0的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. .xexx,21)(22其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用 和和 表示：表示：)(x)(x)(x )(x 的性質(zhì)的性質(zhì) : ;2101 dtet 022210 21212122 dtet ;1,2xxRx dtexxt 2221 事實(shí)上事實(shí)上 , 221()2txxedtx 它的依據(jù)

16、是下面的定理：它的依據(jù)是下面的定理： 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. . 根據(jù)定理根據(jù)定理1,1,只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問題率計(jì)算問題. .定理定理 1)1 , 0(),(2NXZNX則若 .1 ,0,2NXZNX 則則若若證證Z Z 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 dtexXPxXPxZPxt 22221, tu令令則有則有 duexZPxu 2221

17、x .1 ,0 NXZ 故故 xxXPxXPxFNXX2,于是于是 書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算查表以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算查表. .正態(tài)分布表正態(tài)分布表)(1)(xxdtexxt2221)(當(dāng)當(dāng) x 0 時(shí)時(shí), (x)的值的值.4),(2NX若若XYN(0,1) 若若 XN(0,1),)(bYaP)(bXaP)()()(abbXaP)()(ab由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計(jì)算可以求得，由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計(jì)算可以求得，這說明，這說明，X的取值幾乎全部集中在的取值幾乎全部集中在-3,3 區(qū)間區(qū)間內(nèi)，超出這個(gè)范圍的可

18、能性僅占不到內(nèi)，超出這個(gè)范圍的可能性僅占不到0.3%. .當(dāng)當(dāng)XN(0,1)(0,1)時(shí)，時(shí)，P(|X| 1)=2 ( (1)-)-1= =0.6826 P(|X| 2)=2 ( (2)-)-1= =0.9544P(|X| 3)=2 ( (3)-)-1= =0.99745 3 5 3 準(zhǔn)則準(zhǔn)則將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布, ,),(2NY時(shí)，時(shí)，6826. 0)|(|YP9544. 0)2|(|YP9974. 0)3|(|YP可以認(rèn)為，可以認(rèn)為，Y 的取值幾乎全部集中在的取值幾乎全部集中在3,3區(qū)間內(nèi)區(qū)間內(nèi). . 這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱作這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱作“3 3 準(zhǔn)則準(zhǔn)則” （三倍標(biāo)準(zhǔn)差原則）（三倍標(biāo)準(zhǔn)差原則）. .標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上 分位點(diǎn)分位點(diǎn) 0,1 ,XN設(shè)設(shè)若數(shù)若數(shù) 滿足條件滿足條件z , 01P Xz 則稱點(diǎn)則稱點(diǎn) 為為z標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)