拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)講義教案

1、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 知識匯，總成績課程名稱教研室高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（人教版）教案開卷A卷E閉卷B卷J高三數(shù)學(xué)組復(fù)習(xí)時(shí)間年月日時(shí)分至?xí)r分適用專業(yè)班級班級姓名學(xué)號考生注童：舞弊萬莫償，那祥要退學(xué)，自愛當(dāng)守諾，最怕錯(cuò)上第，若真不及格，努力下次過。 答案耳在答題娥上，耳在試愿飯上無效。一、教學(xué)目標(biāo)會求頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；理解拋物線的兒何性質(zhì)；會處理簡單的直線與拋物線的位置關(guān)系。二、基礎(chǔ)知識回顧與梳理“知識梳理”回顧：閱讀教材2-1第50頁至第53頁線1. 列出拋物線的兒何性質(zhì)的表格.2. 完成教材第51頁的例1.例2.第52頁的例1.例2.要點(diǎn)解析1. 拋物線的定義實(shí)質(zhì)上給出一個(gè)重要的

2、內(nèi)容：可將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離 轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，可以使運(yùn)算化繁為簡。2. 拋物線方程中，字母p的兒何意義是拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離，號等于 焦點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離.牢記它對解題非常有益。3. 拋物線沒有中心，只有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線，一條對稱軸且離心 率e=l,所以與橢圓、雙曲線相比，它有許多特殊性質(zhì)，可以借助兒何知識來命題人： 審題人：解決。4. 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，要掌握拋物線的方程與圖形的對應(yīng)法則，將 拋物線b = 2px關(guān)于y軸、直線x+y=O與x-y=O對稱變換可以得到拋物線 的其他三種形式；或者將拋物線y2 = 2px繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)±90?；?80。

3、也可得到拋物 線的其他三種形式，這是它們的內(nèi)在聯(lián)系。5. 求拋物線方程時(shí)，要依據(jù)題設(shè)條件，弄清拋物線的對稱軸和開口方向，正確 地選擇拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程。6. 解決直線與拋物線問題時(shí)，要注意以下兒點(diǎn)： 設(shè)拋物線上的點(diǎn)為（X, yj,（X2，y?）; 因?yàn)椋▁i，yi）,（X2，y?）在拋物線上，故滿足yi=2pxi，y=2px2; 利用yiy2=4p2x|X2可以整體得到y(tǒng)y或xix2o試題共頁第頁（2）利用拋物線的定義把過焦點(diǎn)的弦分成兩個(gè)焦半徑的和，轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距 離，再求解。7. 拋物線的焦點(diǎn)弦：設(shè)過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A（xi，yi）, B（x2, y2），則（1）yiy2=-p2

4、，xix2=弓：（2）若直線AB的傾斜角為6,則IABI = ；1 1 2若F為拋物線焦點(diǎn)，則有松+胡三、診斷練習(xí)1、教學(xué)處理：課前山學(xué)生自主完成3道小題，并要求將解題過程扼要地寫在學(xué)習(xí)筆記欄。 課前抽查批閱部分同學(xué)的解答，了解學(xué)生的思路及主要錯(cuò)誤。將知識問題化， 通過問題驅(qū)動，使教學(xué)言而有物，幫助學(xué)生內(nèi)化知識，加深理解。2、診斷練習(xí)點(diǎn)評題1.若雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線/=4x的焦點(diǎn)重合，則a =【分析與點(diǎn)評】分別求出雙曲線和拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)即可。題2、已知F是拋物線C： /=4x的焦點(diǎn)，A, B是拋物線C上的兩個(gè)點(diǎn)，線段 AB的中點(diǎn)為N4 (2, 2)則ZkABF的面積等于。【分析與點(diǎn)評】本題

5、涉及了中點(diǎn)弦問題，由于要回避韋達(dá)定理(事實(shí)上可以適 當(dāng)滲透韋達(dá)定理的方法，但不能提過高要求)，因而用“點(diǎn)差法”不失為一種 基本方法。問題：依據(jù)題設(shè)中“中點(diǎn)為M (2, 2) ”這一條件，能得到直線AB的方程嗎？ 略解:設(shè) A(XjB(x2 , y2),代入 y2 = 4x ,相減可得：yx - y2 =x - x2, 所以kAli = 1,從而將AB的方程與y2 = 4x聯(lián)立，即可解得A(0,0),B(4,4) 這樣，可得所求面積為2題3.拋物線y2 =8.r±兩點(diǎn)M、N到焦點(diǎn)F的距離分別是心,若(1. =5, 則線段MN的中點(diǎn)到軸的距離為oIT【分析與點(diǎn)評】本題就是抓拋物線的定義，

6、注意圖形結(jié)合.答案為：3.丄2.i;線！3、診斷練習(xí)點(diǎn)評：(1) 要重視拋物線的定義在解題中的應(yīng)用，如：基礎(chǔ)回顧中的第3、4題和診 斷練習(xí)第3題。(2) 學(xué)習(xí)并體會“點(diǎn)差法”在解決涉及弦、中點(diǎn)問題時(shí)的作用.四、范例導(dǎo)析例1：已知拋物線C： / = 2/?a-(/? >0)的焦點(diǎn)為F,過F的直線1與此拋物線C 相交于P，Q兩點(diǎn)，且TP = -2FQ.(1) 求直線1的斜率：(2) 若PQ = -,求此時(shí)拋物線的方程.2【教學(xué)處理】讓學(xué)生畫圖觀察,嘗試?yán)斫鈼l件“帀二-2瓦”怎么轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之 間的關(guān)系？再者，要大膽滲透解方程組，求得坐標(biāo)這一基本的方法，從而真正 實(shí)現(xiàn)條件的應(yīng)用?！疽龑?dǎo)分析與精講

7、建議】1、設(shè)出直線PQ的方程中，除了含有要求的斜率R外，還含有未知數(shù)”,根據(jù)條 件“序二_2施轉(zhuǎn)化得到的坐標(biāo)關(guān)系是否與無關(guān)？要引導(dǎo)學(xué)生大膽解方程組。2、弦長的處理方法，除答案上提供的方法外，是否可以用拋物線的定義，結(jié)合 第(1)問中求得的斜率k = ±2近,能否結(jié)合圖形用兒何方法來求解？試題共頁第頁例2：過直線y = -l±的動點(diǎn)心,-1)作拋物線y = F的兩切線AP.AQ, P.Q為切 點(diǎn).(1) 若切線AP.AQ的斜率分別為R叢，求證：&心為定值；(2) 求證:直線P0過定點(diǎn).【教學(xué)處理】第1問教師要讓學(xué)生畫圖來分析，主要是分析/，心之間是通過什 么變量聯(lián)系起

8、來的.第2問，要在如何求出PQ直線方程這一思路上，要給學(xué)生 嘗試的時(shí)間。然后再進(jìn)行點(diǎn)評。【引導(dǎo)分析與精講建議】1. 在解決第1問時(shí)，作圖如何表示人,燈，它們之間有什么關(guān)系2. 如何表示出PQ的直線方程.參考答案為：(1)設(shè)過作拋物線= x2的切線的斜率為£ ,則切線的方程為y + = k(x-a),與方程y = x2聯(lián)立，消去，得x2-kx + ak + l = O.因?yàn)橹本€與拋物線相切，所以= “ 一訊族+ 1) = 0,即疋-4族-4 = 0.由題意知,此方程兩根為何，為，所以畢2 =-4(定值)(2)設(shè) PUpy,),(2(x2,y2),由 y = x2,得 y =2x.所以在

9、點(diǎn)處的切線斜率為：y，l_i = 2x1 ,因此，切線方程為：y 兒=2坷(% - %!).由 Ji = xj，化簡可得,2x)x-y-y, =0.同理,得在點(diǎn)0處的切線方程為2x2A-y-y2=0.因?yàn)閮汕芯€的交點(diǎn)為A(a,-1),故2恥-“+1 = 0, 2x2a-y2+=Q.所以P, 0兩點(diǎn)在直線2俶- y +1 = 0上，即直線PQ的方程為：2血-y +1 = 0.當(dāng)x = 0時(shí)，y = l,所以直線PQ經(jīng)過定點(diǎn)(0,1)例3、在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線C:y2=4x,F為其焦點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo) 為(2,0),設(shè)M為拋物線C上異于頂點(diǎn)的動點(diǎn)，直線MF交拋物線C與另一點(diǎn)/V, 連結(jié)ME,N

10、E并延長分別交拋物線C于點(diǎn)P、Q°(1) 當(dāng)MN丄Ox時(shí)，求直線PQ與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2) 當(dāng)直線MN,PQ的斜率存在且分別記為/蟲時(shí)，求證：= 2k, o【教學(xué)處理】可與學(xué)生共同探討完成，以學(xué)生的想法為主，老師適當(dāng)調(diào)整?！疽龑?dǎo)分析與精講建議】1、根據(jù)條件MN丄Ox可直接得出直線MN方程，從而得出點(diǎn)H,N的坐標(biāo)，再分 別求出P,Q的坐標(biāo)即可。2、設(shè)”(州)"(勺，'2)屮(兀3，'3)，0(兀4，兒)，直線MN的方程為A =/ny + l線MP的方程為x = (y + 2,與拋物線連理方程組，得到卩2=-4,兒兒=一& X2X4 =4兒=2兒,花=4

11、花,兒=2)2 =4x,就得到兩條直線的斜率之間關(guān)系。參考解答：(1)拋物線C: y2 = 4x,焦點(diǎn)(1,0)。當(dāng)MN丄Ox時(shí)，直線MN的 方程為2 1。將x=l代入拋物線C:y2 =4%,得嚴(yán)±2。不妨設(shè)M(1,2),N(1,-2), y = 2x + 4則直線ME的方程是y = _2x + 4,由冷解得尤=1或尤=4,于是得y" = 4xP(4,-4),同理得0(4,4),所以直線PQ:x = 49所以直線PQ與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為7試題共頁第頁(3)設(shè)直線 MN 的方程為 x = my +1, 并設(shè)x = my +1 .“M（X| J）,Ng，從Pg 從Og 兒）llK2

12、 得）廠 _4iy_4 = 0,.）廠=4x于是yy2 =-4 ,從而xx2 = 1 ,設(shè)直線MP的方程為x = ty+ 2 ,4-4由（X, t） +2 得）,2_4門,_8 = 0 ,所以牙兒=一&xrv3 = 4 ,同理 y"=4x>T2>4 = 一&兀2兀4 = 4 ,所以 = 2V2,X3 = 4吃4 = 2十"=佔(zhàn),厶_兒一兒_ 2兒一2兒_1 X兒A «,x4 _ x3 4X _ 4x22 x- x2備用題：已知A,B是拋物線y2=2/7x,（/7>0）±的兩點(diǎn)，且04丄03（0為坐標(biāo) 原點(diǎn)）o求證：（1）

13、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為定值，縱坐標(biāo)之積也為定值；（2）直線ABH定點(diǎn)；（3）求線段中點(diǎn)M的軌跡方程.【教學(xué)處理】本題中的核心條件為04丄OB,條件的運(yùn)用有多種辦法，關(guān)鍵是 用哪一種合適?？煞攀肿寣W(xué)生先行獨(dú)立思考條件的轉(zhuǎn)化路徑及設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)的方 法?！疽龑?dǎo)分析與精講建議】1、分析條件04丄03的作用：因?yàn)槲覀円芯奎c(diǎn)的坐標(biāo)的乘積，所以設(shè)點(diǎn)的坐 標(biāo)是必然的。2、點(diǎn)坐標(biāo)的設(shè)法一般有種形式：一是直接設(shè)A（xvy,B（xliy1）；二是將坐 標(biāo)中的用表示2 2人（學(xué) J）,/%）；三是利用參數(shù)方程表示為A（2pt2ptB（2pt2ph）.三 2廠 2'種設(shè)法有各自不同的特點(diǎn)，也有不同的作用.在解題過程

14、中要讓學(xué)生體會和領(lǐng) 悟.參考解答：（1）設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為也,開）,（勺,力），依題意有y； =2px,y；=2px29OA 丄 OB.：. xx2 + yy2 =0,.=4p2xx2,. xx； =4/）2%2,. xx2 =4p2,從而”兒=一4/異.（2）直線AB的方程為丄二1 = 2）,由（1）知21_ = Xi,21 = x7代入，整 ）2一'1 吃 一 X2/72/7理得到（>i+>,2）y = 2/-4/?2,所以，直線 A3 經(jīng)過定點(diǎn)（2/7,0）.牛4（3）設(shè)點(diǎn)則有2 ,變?yōu)関 = 2i±2iL2_州+花 _x2 + y；A24p” + 兒 »2 =）f + y； + 2y2 =斤+ £-盼244所以）,2二斤+衣-盼=如空=PX-2P即/ = px-2/r.44【思考】已知A"是拋物線r =2/7A-,（r