余弦三角函數(shù)值及知識(shí)點(diǎn)匯總

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載余弦三角函數(shù)值及學(xué)問點(diǎn)匯總【本講訓(xùn)練信息 】一.教學(xué)內(nèi)容：1.3.2 余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.3.3 已知三角函數(shù)值求角二.教學(xué)目的1、把握余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)，明白正切函數(shù)的漸近線；2、會(huì)由已知的三角函數(shù)值求角，并明白反正弦、反余弦、反正切的意義，且會(huì)用符號(hào) arcsinx 、arccosx 、arctanx表示角；三.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：1、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象及其主要性質(zhì)；2、已知三角函數(shù)值求角；難點(diǎn)：1、利用正弦曲線和誘導(dǎo)公式畫出余弦曲線，利用正切線畫出函數(shù)的圖象，并使直線的確成為此圖象的兩條漸近線；2、（

2、1）依據(jù) 0 ，2 范疇確定有已知三角函數(shù)值的角；（2）對(duì)符號(hào) arcsinx、arccosx 、arctanx的正確熟悉；（3）用符號(hào) arcsinx、arccosx 、arctanx表示所求角；四.學(xué)問分析學(xué)習(xí)必備歡迎下載1、余弦函數(shù)的圖象變換（1）函數(shù)圖象的左右變換，即由變換得到的圖象；函數(shù)的圖象， 可以看作把的圖象上全部的點(diǎn)向左（當(dāng)時(shí)）或向右（當(dāng)時(shí)）平行移動(dòng)個(gè)單位而得到的；（2）函數(shù)圖象的橫向伸縮變換，即由變換得到圖象；函數(shù)（且）的圖象，可以看作把的圖象上的全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短（當(dāng)時(shí)）或伸長（當(dāng)時(shí)）到原先的倍（縱坐標(biāo)不變）而得到的；（3）函數(shù)圖象的縱向伸縮變換，即由變換得到的圖象函數(shù)（a

3、>0 且 a1）的圖象，可以看作是把函數(shù)的圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（當(dāng)a>1時(shí)）或縮短（當(dāng) 0<a<1時(shí)）到原先的 a 倍（橫坐標(biāo)不變而得到的）；（4）一般地，函數(shù)的圖象可以看作是用下面的方法得到的： 先把圖象上全部的點(diǎn)向左 （）或向右（）平行移動(dòng)個(gè)單位， 再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短 （）或伸長（）到原先的倍（縱坐標(biāo)不變） ，再把所得各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長 （a>1）或縮短（ 0<a<1）到原先的 a 倍（橫坐標(biāo)不變）；2、余弦曲線如圖是的圖象；學(xué)習(xí)必備歡迎下載余弦曲線是中心對(duì)稱圖形， 其全部的對(duì)稱中心坐標(biāo)是；余弦曲線是軸對(duì)稱圖形，其全部對(duì)稱軸方程是，余弦曲線的

4、對(duì)稱軸肯定是過余弦曲線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，此時(shí)余弦值為最大值或最小值；余弦曲線的對(duì)稱中心肯定是過余弦曲線與x 軸的交點(diǎn)，此時(shí)余弦值為零；由上述圖象可以看出，余弦曲線上有五個(gè)點(diǎn)起關(guān)鍵作用，這五個(gè)點(diǎn)是：，我們可以利用這五個(gè)點(diǎn)畫出余弦函數(shù)的簡圖；3、余弦函數(shù)的性質(zhì)（1）余弦函數(shù)的定義域與值域；余弦函數(shù)的定義域?yàn)閞，值域從圖象上可以看出是1， 1；留意：當(dāng)定義域不是r時(shí)，值域就不肯定是1，1了；（2）余弦函數(shù)的周期性；余弦函數(shù)的周期可參照誘導(dǎo)公式：cosx+2k cosxk z ，因而周期是 2k（kz 且 k0），最小周期是 2；一般地，函數(shù)（a、為常數(shù)且 a0，>0）的最小 正周期 t；留意：

5、假如就最小正周期為 t；（3）余弦函數(shù)的奇偶性；由圖像可以看出余弦曲線關(guān)于y 軸對(duì)稱，因而是偶函數(shù)；也可由誘導(dǎo)公式cos x cosx 知，余弦函數(shù)為偶函數(shù)；（4）余弦函數(shù)的單調(diào)性；學(xué)習(xí)必備歡迎下載由余弦曲線可以知道：余弦函數(shù)ycosx 在每一個(gè)閉區(qū)間上，都從 1 增大到 1，是增函數(shù)，在每一個(gè)閉區(qū)間上，都從 1 減小到 1，是減函數(shù)，也不是說，余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是及；4、正切函數(shù)的性質(zhì)（1）定義域： x|x r 且 x， k z（2）值域： r，函數(shù)無最大值、最小值；（3）周期：；（4）奇偶性：是奇函數(shù)；（5）單調(diào)性：在每一個(gè)開區(qū)間， k z 內(nèi)均為增函數(shù)，須留意的兩個(gè)問題：正切函數(shù) yta

6、nx ，x（ k z）是單調(diào)增函數(shù)，但不能說函數(shù)在其定義域內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)；函數(shù) yatana>0 ，>0 ，其定義域由不等式（k z）得到，其周期為；5、正切函數(shù)的圖象依據(jù)正切函數(shù)的定義域和周期， 我們?nèi)?，利用單位圓中的正切線，通過平行移動(dòng)，作出的圖象（如圖 1），而后向左、右擴(kuò)展得到函的圖象（如圖 2），并把它叫做正切曲線；學(xué)習(xí)必備歡迎下載圖1圖 26、正切函數(shù)與正、余弦函數(shù)的比較正切函數(shù)，其定義域不是 r，又正切函數(shù)與正、余弦函數(shù)對(duì)應(yīng)法就不同， 因此一些性質(zhì)與正、 余弦函數(shù)的性質(zhì)有了較大的差別，如正、余弦函數(shù)是有界函數(shù)，而正切函數(shù)是無界函數(shù)；正、余弦函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，反應(yīng)在圖象上

7、是連續(xù)無間斷點(diǎn)，而正切函數(shù)在r上不連續(xù)，它有很多條垂直于x軸的漸近線，圖象被這些漸近線分隔開來；正、余弦函數(shù)既有單調(diào)增區(qū)間又有單調(diào)減區(qū)間， 而正切函數(shù)在每一個(gè)區(qū)間上都是增函數(shù)；它們也存在大量的共性，如均為周期函數(shù)，且對(duì)而言，是奇函數(shù)，它的圖像既可以類似地用正切線的幾何方法作圖，又可以類似于“五點(diǎn)法”用“三點(diǎn)兩線法”作簡圖，這里三個(gè)點(diǎn)為（）、（）、（），直線，直線（其中）；作出這三個(gè)點(diǎn)和這兩條漸近線，便可得到在一個(gè)周期上的簡圖； 正弦函數(shù)與正切函數(shù)同是中心對(duì)稱圖形（留意余弦函數(shù)同時(shí)也是軸對(duì)稱圖形）；函數(shù)的對(duì)稱中心的坐標(biāo)是，的值域?yàn)?r 是明顯的；學(xué)習(xí)必備歡迎下載仍須留意的是，對(duì)正、余切函數(shù)相關(guān)的

8、表示式的一些性質(zhì)不能由正、余弦函數(shù)的結(jié)論作一般的推廣，須論證后加以應(yīng)用，例如：的周期是的周期的一半，而與的周期卻相同，均為；再如的周期可用最小公倍數(shù)法求， 而的周期用最小公倍數(shù)運(yùn)算時(shí)不肯定是最小正周期；7、已知三角函數(shù)值求角的有關(guān)概念依據(jù)正弦函數(shù)的圖象的性質(zhì)，為了使符合條件sinx a 1a1 的角 x有且只有一個(gè)，我們挑選閉區(qū)間作為基本的范疇；在這個(gè)閉區(qū)間上，符合條件 sinx a 1 a 1 的角 x，記作 arcsina ，即 xarcsina ，其中 x，且 asinx ；依據(jù)余弦函數(shù)的圖象的性質(zhì)，為了使符合條件cosx a 1 a 1 的角 x有且只有一個(gè)，我們挑選閉區(qū)間作為基本的范

9、疇；在這個(gè)閉區(qū)間上，符合條件 cosx a 1 a 1 的角 x，記作 arccosa ，即 xarccosa ，其中 x，且 acosx. ；依據(jù)正切函數(shù)的圖象的性質(zhì)， 為了使符合條件tanx aa 為任意實(shí)數(shù) 的角 x有且只有一個(gè)，我們挑選開區(qū)間（）作為基本的范疇；在這個(gè)開區(qū)間內(nèi)，符合條件 tanx aa為任意實(shí)數(shù) 的角 x，記作 arctana ，即 xarctana ，其中x（），且 a tanx ；留意：（ 1） arcsina 、arccosa 、arctana都表示一個(gè)角，它們的正弦值、余弦值、正切值分別都是a；并且 arcsina 、arccosa 、arctana（）；（2）

10、arcsina 、arccosa 中的 a，而 arctana中的 a r；8、已知三角函數(shù)值時(shí)角的表示三角函數(shù)值與角都在某一范疇內(nèi)變化時(shí)，三角函數(shù)值與角的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：學(xué)習(xí)必備歡迎下載9、已知三角函數(shù)值求角應(yīng)留意的問題（1）已知角 x 的一個(gè)三角函數(shù)值求x，所得的角不肯定只有一個(gè)， 角的個(gè)數(shù)要依據(jù)角的取值范疇來確定， 這個(gè)范疇?wèi)?yīng)當(dāng)在題目中給定； 假如在這個(gè)范疇內(nèi)已知三角函數(shù)值對(duì)應(yīng)的角不止一個(gè)，可分為以下幾步求解：第一步，確定角x 的可能是第幾象限角；其次步，如函數(shù)值為正數(shù)，就先求出對(duì)應(yīng)的銳角x1；假如函數(shù)值為負(fù)數(shù)，就 先求出與其肯定值對(duì)應(yīng)的銳角x1 ；第三步，假如函數(shù)值為負(fù)數(shù)，就依據(jù)角x

11、可能是第幾象限角得出（0， 2）內(nèi)對(duì)應(yīng)的角假如它是其次象限角，那么可表示為x1+；假如它是第三或第四象限角，那么可表示為或；第四步，假如要求出以外對(duì)應(yīng)的角，就可利用終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值這一規(guī)律寫出結(jié)果；（2） arcsinx、arccosx 、arctanx這些符號(hào)， 在解決某些非特別角的問題 （例如立體幾何中求兩條異面直線的角、直線與平面所成的角、二面角等）經(jīng)常用， 所以應(yīng)當(dāng)明白它們的意義，并學(xué)會(huì)正確使用它們；（3）假如求得的角是特別角，就最好用弧度來表示；學(xué)習(xí)必備歡迎下載【典型例題】例 1.畫出函數(shù) y cosx，的簡圖；分析： 運(yùn)用五點(diǎn)作圖法，第一要找出起關(guān)鍵作用的五個(gè)點(diǎn)，然后

12、描點(diǎn)連線；解析： 按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表：x0cosx10101cosx10101描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線連接起來（如圖）：點(diǎn)評(píng)：你能否從函數(shù)圖象變換的角度動(dòng)身，利用函數(shù)的圖象來得到的圖象？同樣的，能否從函數(shù)的圖象得到函數(shù)的圖象？例 2.求以下函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間：（1）；（2）分析： 依據(jù)基本函數(shù)的單調(diào)性來求解；解析： （1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間由下式確定：，學(xué)習(xí)必備歡迎下載即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，由下式確定：， x，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是點(diǎn)評(píng)： 求形如的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以通過解不等式的方法去解答，列不等式的原就是：把“”視為一個(gè)“整體”；時(shí)，所列不等式的方向與的單調(diào)區(qū)間

13、對(duì)應(yīng)的不等式方向相同或相反；例 3.求以下函數(shù)的周期：（1）（2）；（3） ；分析：（ 1）先用誘導(dǎo)公式將轉(zhuǎn)為正值，再用 t；（2）可利用肯定值 的意義；（ 3）可用最小公倍數(shù)法；解析： （1）；學(xué)習(xí)必備歡迎下載（2）由于 y|sinx|的周期是，故 y|sin2x|的周期是；（3）y1cos3x 的周期是 t1，y2sin2x的周期 t2；由于且 4 與 6 的最小公倍數(shù)是 12，所以；點(diǎn)評(píng)： 周期的求法除應(yīng)用定義及有關(guān)結(jié)論外，仍可作出函數(shù)的圖象，由圖象直觀判定求出周期，也是一種重要方法；如（2）題作出圖象簡單觀看得出周期為；例4.求函數(shù)的定義域、周期和單調(diào)區(qū)間；分析： 依據(jù)正切函數(shù)的定義域

14、、值域、單調(diào)性求解；解析： 函數(shù)的自變量應(yīng)滿意：即；函數(shù)的定義域?yàn)橛捎谝虼撕瘮?shù)的周期為；由是增函數(shù)；學(xué)習(xí)必備歡迎下載即；因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為點(diǎn)評(píng)： 一般地，函數(shù)的周期為，經(jīng)常使用此公式來求周期，此函數(shù)周期可直接由得到；例 5.如 ，且 tan<cot，就必有（）a.<b.<c.+<d.+>分析： 利用誘導(dǎo)公式化為同名的三角函數(shù)，再利用單調(diào)性進(jìn)行比較；解析： 、；，且在（）上單調(diào)遞增，【答案】 c點(diǎn)評(píng)：比較三角函數(shù)值的大小要留意將不同名的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為同名的三角函數(shù)，再將自變量化在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，利用單調(diào)性比較大?。粚W(xué)習(xí)必備歡迎下載例 6.已知 sin ，如滿

15、意：（1）（ 2） ；（3）為第三象限角；（ 4） r；試分別求 ；分析： 依據(jù)正弦函數(shù)圖象的性質(zhì)及誘導(dǎo)公式求解；解析：（ 1）由于正弦函數(shù)在閉區(qū)間上是增函數(shù)，所以符合sin 條件的角只有一個(gè)；又由于 sin， sin ， 所以 ；（2）由于 sin <0，所以是第三或第四象限角，由正弦函數(shù)的單調(diào)性，符合 sin 的角有兩個(gè)；依據(jù)三角式sin sin和 sin2 sin 得 或；（3）由于 是第三象限角，在閉區(qū)間內(nèi)有，所以符合條件sin 的第三象限角的集合是z；（4）由正弦函數(shù)的周期性可知：當(dāng)或k z 時(shí)， sin，即所求的角的集合是或， k z；點(diǎn)評(píng)：對(duì)于，|a | 1，這個(gè)方程的角可以表示成x1 +arcsina或