MATLAB仿真在自動(dòng)控制中的應(yīng)用

1、MATLAB仿真環(huán)境的熟悉1 MATLAB簡(jiǎn)介MATLAB是Mathworks公司開(kāi)發(fā)的一種集數(shù)值計(jì)算、符號(hào)計(jì)算和圖形可視化三大基本功能于一體的功能強(qiáng)大、操作簡(jiǎn)單的優(yōu)秀工程計(jì)算應(yīng)用軟件。MATLAB不僅可以處理代數(shù)問(wèn)題和數(shù)值分析問(wèn)題，而且還具有強(qiáng)大的圖形處理及仿真模擬等功能。從而能夠很好的幫助工程師及科學(xué)家解決實(shí)際的技術(shù)問(wèn)題。MATLAB的含義是矩陣實(shí)驗(yàn)室（Matrix Laboratory），最初主要用于方便矩陣的存取，其基本元素是無(wú)需定義維數(shù)的矩陣。經(jīng)過(guò)十幾年的擴(kuò)充和完善，現(xiàn)已發(fā)展成為包含大量實(shí)用工具箱（Toolbox）的綜合應(yīng)用軟件，不僅成為線(xiàn)性代數(shù)課程的標(biāo)準(zhǔn)工具，而且適合具有不同專(zhuān)業(yè)研

2、究方向及工程應(yīng)用需求的用戶(hù)使用。MATLAB最重要的特點(diǎn)是易于擴(kuò)展。它允許用戶(hù)自行建立完成指定功能的擴(kuò)展MATLAB函數(shù)（稱(chēng)為M文件），從而構(gòu)成適合于其它領(lǐng)域的工具箱，大大擴(kuò)展了MATLAB的應(yīng)用范圍。目前，MATLAB已成為國(guó)際控制界最流行的軟件，控制界很多學(xué)者將自己擅長(zhǎng)的CAD方法用MATLAB加以實(shí)現(xiàn)，出現(xiàn)了大量的MATLAB配套工具箱，如控制系統(tǒng)工具箱（control systems toolbox），系統(tǒng)識(shí)別工具箱（system identification toolbox），魯棒控制工具箱（robust control toolbox），信號(hào)處理工具箱（signal process

3、ing toolbox）以及仿真環(huán)境SIMULINK等。（2）MATLAB桌面系統(tǒng)MATLAB的桌面系統(tǒng)由桌面平臺(tái)以及桌面組件共同構(gòu)成，如圖3。桌面平臺(tái)是各桌面組件的展示平臺(tái)，它提供了一系列的菜單操作以及工具欄操作，而不同功能的桌面組件構(gòu)成了整個(gè)MATLAB操作平臺(tái)。其組件主要包含如下8個(gè)組件部分：命令窗口（Command Window）歷史命令窗口（Command History）組件平臺(tái)（Launch Pad）路徑瀏覽器（Current Directory Browser）幫助瀏覽器（Help Browser）工作空間瀏覽器（Workspace Browser）數(shù)組編輯器（Array Ed

4、itor）M文件編輯調(diào)試器（Editor-Debugger）。用戶(hù)可以在View菜單下選擇打開(kāi)或關(guān)閉某個(gè)窗口。圖3MATLAB桌面平臺(tái)（3） MATLAB命令窗口MATLAB可以認(rèn)為是一種解釋性語(yǔ)言。在MATLAB命令窗口中，標(biāo)志>>為命令提示符，在命令提示符后面鍵入一個(gè)MATLAB命令時(shí)，MATLAB會(huì)立即對(duì)其進(jìn)行處理，并顯示處理結(jié)果。這種方式簡(jiǎn)單易用，但在編程過(guò)程中要修改整個(gè)程序比較困難，并且用戶(hù)編寫(xiě)的程序不容易保存。如果想把所有的程序輸入完再運(yùn)行調(diào)試，可以用鼠標(biāo)點(diǎn)擊快捷或File|New|M-file菜單，在彈出的編程窗口中逐行輸入命令，輸入完畢后點(diǎn)擊Debug|Run(或F

5、5)運(yùn)行整個(gè)程序。運(yùn)行過(guò)程中的錯(cuò)誤信息和運(yùn)行結(jié)果顯示在命令窗口中。整個(gè)程序的源代碼可以保存為擴(kuò)展名為“.m”的M文件。在介紹MATLAB的強(qiáng)大計(jì)算和圖象處理功能前，我們可以先運(yùn)行一個(gè)簡(jiǎn)單的程序。設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:求系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)圖，可輸入下面的命令：>> num=1,4; den=1,2,8; step(num,den)圖4動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)域圖程序運(yùn)行后會(huì)在一個(gè)新的窗口中顯示出系統(tǒng)的時(shí)域動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線(xiàn)，如圖4。用鼠標(biāo)左鍵點(diǎn)擊動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線(xiàn)的某一點(diǎn)，系統(tǒng)會(huì)提示其響應(yīng)時(shí)間和幅值。按住左鍵在曲線(xiàn)上移動(dòng)鼠標(biāo)的位置可以很容易的根據(jù)幅值觀察出上升時(shí)間、調(diào)節(jié)時(shí)間、峰值及峰值時(shí)間，進(jìn)而求出超調(diào)量。如果

6、想求根軌跡，可將程序的第三行變?yōu)閞locus(num,den)，求伯德圖可改為bode(num,den)。所不同的是，在根軌跡和伯德圖中，G(s)為開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。MATLAB的語(yǔ)法規(guī)則類(lèi)似于C語(yǔ)言，變量名、函數(shù)名都與大小寫(xiě)有關(guān)，即變量A和a是兩個(gè)完全不同的變量。應(yīng)該注意所有的函數(shù)名均由小寫(xiě)字母構(gòu)成。MATLAB是一個(gè)功能強(qiáng)大的工程應(yīng)用軟件，它提供了相當(dāng)豐富的幫助信息，同時(shí)也提供了多種獲得幫助的方法。如果用戶(hù)第一次使用MATLAB，則建議首先在>>提示符下鍵入DEMO命令，它將啟動(dòng)MATLAB的演示程序。用戶(hù)可以在此演示程序中領(lǐng)略MATLAB所提供的強(qiáng)大的運(yùn)算和繪圖功能。2MATLA

7、B基本操作命令本節(jié)簡(jiǎn)單介紹與本書(shū)內(nèi)容相關(guān)的一些基本知識(shí)和操作命令。（1）簡(jiǎn)單矩陣的輸入MATLAB是一種專(zhuān)門(mén)為矩陣運(yùn)算設(shè)計(jì)的語(yǔ)言，所以在MATLAB中處理的所有變量都是矩陣。這就是說(shuō)，MATLAB只有一種數(shù)據(jù)形式，那就是矩陣，或者數(shù)的矩形陣列。標(biāo)量可看作為1×1的矩陣，向量可看作為n×1或1×n的矩陣。這就是說(shuō)，MATLAB語(yǔ)言對(duì)矩陣的維數(shù)及類(lèi)型沒(méi)有限制，即用戶(hù)無(wú)需定義變量的類(lèi)型和維數(shù)，MATLAB會(huì)自動(dòng)獲取所需的存儲(chǔ)空間。輸入矩陣最便捷的方式為直接輸入矩陣的元素，其定義如下：（1） 元素之間用空格或逗號(hào)間隔；（2） 用中括號(hào)（）把所有元素括起來(lái)；（3） 用分號(hào)（

8、；）指定行結(jié)束。例如，在MATLAB的工作空間中，輸入：>> 則輸出結(jié)果為：矩陣a被一直保存在工作空間中，以供后面使用，直至修改它。MATLAB的矩陣輸入方式很靈活，大矩陣可以分成n行輸入，用回車(chē)符代替分號(hào)或用續(xù)行符號(hào)（）將元素續(xù)寫(xiě)到下一行。例如：以上三種輸入方式結(jié)果是相同的。一般若長(zhǎng)語(yǔ)句超出一行，則換行前使用續(xù)行符號(hào)（）。在MATLAB中，矩陣元素不限于常量，可以采用任意形式的表達(dá)式。同時(shí)，除了直接輸入方式之外，還可以采用其它方式輸入矩陣，如：（1） 利用內(nèi)部語(yǔ)句或函數(shù)產(chǎn)生矩陣；（2） 利用M文件產(chǎn)生矩陣；（3） 利用外部數(shù)據(jù)文件裝入到指定矩陣。（2）復(fù)數(shù)矩陣輸入MATLAB允許

9、在計(jì)算或函數(shù)中使用復(fù)數(shù)。輸入復(fù)數(shù)矩陣有兩種方法：（1） a=12;34+i*56;78（2） a=1+5i 2+6i;3+7i 4+8i注意，當(dāng)矩陣的元素為復(fù)數(shù)時(shí)，在復(fù)數(shù)實(shí)部與虛部之間不允許使用空格符。如1 5i將被認(rèn)為是1和5i兩個(gè)數(shù)。另外，MATLAB表示復(fù)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)單位也可以用j。（3） MATLAB語(yǔ)句和變量MATLAB是一種描述性語(yǔ)言。它對(duì)輸入的表達(dá)式邊解釋邊執(zhí)行，就象BASIC語(yǔ)言中直接執(zhí)行語(yǔ)句一樣。MATLAB語(yǔ)句的常用格式為：變量表達(dá)式;或簡(jiǎn)化為：表達(dá)式;表達(dá)式可以由操作符、特殊符號(hào)、函數(shù)、變量名等組成。表達(dá)式的結(jié)果為一矩陣，它賦給左邊的變量，同時(shí)顯示在屏幕上。如果省略變量名和

10、“”號(hào)，則MATLAB自動(dòng)產(chǎn)生一個(gè)名為ans的變量來(lái)表示結(jié)果，如：190081結(jié)果為：ans是MATLAB提供的固定變量，具有特定的功能，是不能由用戶(hù)清除的。常用的固定變量還有eps、pi、Inf、NaN等。其特殊含義可以用7.2.10節(jié)介紹的方法查閱幫助。MATAB允許在函數(shù)調(diào)用時(shí)同時(shí)返回多個(gè)變量,而一個(gè)函數(shù)又可以由多種格式進(jìn)行調(diào)用，語(yǔ)句的典型格式可表示為：返回變量列表fun-name(輸入變量列表)例如用bode()函數(shù)來(lái)求取或繪制系統(tǒng)的Bode圖，可由下面的格式調(diào)用：其中變量num、den表示系統(tǒng)傳遞函數(shù)分子和分母，W表示指定頻段，mag為計(jì)算幅值，phase為計(jì)算相角。（4）語(yǔ)句以“”

11、開(kāi)始和以分號(hào)“；”結(jié)束的特殊效用在MATLAB中以“”開(kāi)始的程序行，表示注解和說(shuō)明。符號(hào)“”類(lèi)似于C+中的“/”。這些注解和說(shuō)明是不執(zhí)行的。這就是說(shuō)，在MATLAB程序行中，出現(xiàn)“”以后的一切內(nèi)容都是可以忽略的。分號(hào)用來(lái)取消打印，如果語(yǔ)句最后一個(gè)符號(hào)是分號(hào)，則打印被取消，但是命令仍在執(zhí)行，而結(jié)果不再在命令窗口或其它窗口中顯示。這一點(diǎn)在M文件中大量采用，以抑制不必要的信息顯示。（5）獲取工作空間信息MATLAB開(kāi)辟有一個(gè)工作空間，用于存儲(chǔ)已經(jīng)產(chǎn)生的變量。變量一旦被定義，MATLAB系統(tǒng)會(huì)自動(dòng)將其保存在工作空間里。在退出程序之前，這些變量將被保留在存儲(chǔ)器中。為了得到工作空間中的變量清單，可以在命令

12、提示符>>后輸入who 或whos 命令，當(dāng)前存放在工作空間的所有變量便會(huì)顯示在屏幕上。命令clear能從工作空間中清除所有非永久性變量。如果只需要從工作空間中清除某個(gè)特定變量，比如“x”,則應(yīng)輸入命令clear x。（6）常數(shù)與算術(shù)運(yùn)算符MATLAB采用人們習(xí)慣使用的十進(jìn)制數(shù)。如：3990.00019.63972382i-3.14159i 3e5i其中。數(shù)值的相對(duì)精度為eps，它是一個(gè)符合IEEE標(biāo)準(zhǔn)的16位長(zhǎng)的十進(jìn)制數(shù)，其范圍為：。MATLAB提供了常用的算術(shù)運(yùn)算符：+，（），（冪指數(shù)）。應(yīng)該注意：（）右除法和（）左除法這兩種符號(hào)對(duì)數(shù)值操作時(shí)，其結(jié)果相同，其斜線(xiàn)下為分母，如14

13、與41,其結(jié)果均為0.25，但對(duì)矩陣操作時(shí)，左、右除法是有區(qū)別的。（7）選擇輸出格式輸出格式是指數(shù)據(jù)顯示的格式，MATLAB提供format命令可以控制結(jié)果矩陣的顯示，而不影響結(jié)果矩陣的計(jì)算和存儲(chǔ)。所有計(jì)算都是以雙精度方式完成的。（1） 如果矩陣的所有元素都是整數(shù)，則矩陣以不帶小數(shù)點(diǎn)的格式顯示。如輸入：則顯示：（2） 如果矩陣中至少有一個(gè)元素不是整數(shù)，則有多種輸出格式。常見(jiàn)格式有以下四種：format short（短格式,也是系統(tǒng)默認(rèn)格式）format short e（短格式科學(xué)表示）format long（長(zhǎng)格式）format long e（長(zhǎng)格式科學(xué)表示）如：對(duì)于以上四種格式，其顯示結(jié)果分

14、別為：短格式5位表示短格式科學(xué)表示長(zhǎng)格式16位表示長(zhǎng)格式科學(xué)表示一旦調(diào)用了某種格式，則這種被選用的格式將保持，直到對(duì)格式進(jìn)行了改變?yōu)橹埂＃?）MATLAB圖形窗口當(dāng)調(diào)用了一個(gè)產(chǎn)生圖形的函數(shù)時(shí)，MATLAB會(huì)自動(dòng)建立一個(gè)圖形窗口。這個(gè)窗口還可分裂成多個(gè)窗口，并可在它們之間選擇，這樣在一個(gè)屏上可顯示多個(gè)圖形。圖形窗口中的圖形可通過(guò)打印機(jī)打印出來(lái)。若想將圖形導(dǎo)出并保存，可用鼠標(biāo)點(diǎn)擊菜單File|Export,導(dǎo)出格式可選emp、bmp、jpg等。命令窗口的內(nèi)容也可由打印機(jī)打印出來(lái)：如果事先選擇了一些內(nèi)容，則可打印出所選擇的內(nèi)容；如果沒(méi)有選擇內(nèi)容，則可打印出整個(gè)工作空間的內(nèi)容。（9）剪切板的使用利用W

15、indows的剪切板可在MATLAB與其它應(yīng)用程序之間交換信息。（1） 要將MATLAB的圖形移到其它應(yīng)用程序，首先按Alt-Print Screen鍵，將圖形復(fù)制到剪切板中，然后激活其它應(yīng)用程序，選擇edit（編輯）中的paste（粘貼），就可以在應(yīng)用程序中得到MATLAB中的圖形。當(dāng)然還可以借助于copy to Bitmap或copy to Metafile選項(xiàng)來(lái)傳遞圖形信息。（2） 要將其它應(yīng)用程序中的數(shù)據(jù)傳遞到MATLAB，應(yīng)先將數(shù)據(jù)放入剪切板，然后在MATLAB中定義一個(gè)變量來(lái)接收。如鍵入：q= 然后選擇Edit中的paste，最后加上“”,這樣可將應(yīng)用程序中的數(shù)據(jù)送入MATLAB的

16、q變量中。（10）MATLAB編程指南MATLAB的編程效率比BASIC、C、FORTRAN和PASCAL等語(yǔ)言要高，且易于維護(hù)。在編寫(xiě)小規(guī)模的程序時(shí)，可直接在命令提示符>>后面逐行輸入，逐行執(zhí)行。對(duì)于較復(fù)雜且經(jīng)常重復(fù)使用的程序，可按7.1.3介紹的方法進(jìn)入程序編輯器編寫(xiě)M文件。M文件是用MATLAB語(yǔ)言編寫(xiě)的可在MATLAB環(huán)境中運(yùn)行的磁盤(pán)文件。它為腳本文件（Script File）和函數(shù)文件（Function File）,這兩種文件的擴(kuò)展名都是.m。（1） 腳本文件是將一組相關(guān)命令編輯在一個(gè)文件中，也稱(chēng)命令文件。腳本文件的語(yǔ)句可以訪問(wèn)MATLAB工作空間中的所有數(shù)據(jù)，運(yùn)行過(guò)程中

17、產(chǎn)生的所有變量都是全局變量。例如下述語(yǔ)句如果以.m為擴(kuò)展名存盤(pán)，就構(gòu)成了M腳本文件,我們不妨將其文件名取為“Step_Response”。 % 用于求取一階躍響應(yīng)。 num=1 4; den=1 2 8;step(num,den)當(dāng)你鍵入help Step_Response時(shí)，屏幕上將顯示文件開(kāi)頭部分的注釋?zhuān)河糜谇笕∫浑A躍響應(yīng)。很顯然，在每一個(gè)M文件的開(kāi)頭，建立詳細(xì)的注釋是非常有用的。由于MATLAB提供了大量的命令和函數(shù)，想記住所有函數(shù)及調(diào)用方法一般不太可能，通過(guò)聯(lián)機(jī)幫助命令help可容易地對(duì)想查詢(xún)的各個(gè)函數(shù)的有關(guān)信息進(jìn)行查詢(xún)。該命令使用格式為：help命令或函數(shù)名注意：若用戶(hù)把文件存放在自

18、己的工作目錄上，在運(yùn)行之前應(yīng)該使該目錄處在MATLAB的搜索路徑上。當(dāng)調(diào)用時(shí)，只需輸入文件名，MATLAB就會(huì)自動(dòng)按順序執(zhí)行文件中的命令。（2） 函數(shù)文件是用于定義專(zhuān)用函數(shù)的，文件的第一行是以function作為關(guān)鍵字引導(dǎo)的，后面為注釋和函數(shù)體語(yǔ)句。函數(shù)就像一個(gè)黑箱，把一些數(shù)據(jù)送進(jìn)去，經(jīng)加工處理，再把結(jié)果送出來(lái)。在函數(shù)體內(nèi)使用的除返回變量和輸入變量這些在第一行functon語(yǔ)句中直接引用的變量外，其它所有變量都是局部變量，執(zhí)行完后，這些內(nèi)部變量就被清除了。函數(shù)文件的文件名與函數(shù)名相同（文件名后綴為.m）,它的執(zhí)行與命令文件不同，不能鍵入其文件名來(lái)運(yùn)行函數(shù)，M函數(shù)必須由其它語(yǔ)句來(lái)調(diào)用，這類(lèi)似于C

19、語(yǔ)言的可被其它函數(shù)調(diào)用的子程序。M函數(shù)文件一旦建立，就可以同MATLAB基本函數(shù)庫(kù)一樣加以使用。例1求一系列數(shù)的平均數(shù)，該函數(shù)的文件名為“mean.m” function y=mean(x)% 這是一個(gè)用于求平均數(shù)的函數(shù)w=length(x); % length函數(shù)表示取向量x的長(zhǎng)度y=sum(x)/w; % sun函數(shù)表示求各元素的和該文件第一行為定義行，指明是mean函數(shù)文件，y 是輸出變量，x是輸入變量，其后的開(kāi)頭的文字段是說(shuō)明部分。真正執(zhí)行的函數(shù)體部分僅為最后二行。其中變量w是局部變量，程序執(zhí)行完后，便不存在了。在MATLAB命令窗口中鍵入>> r=1:10; % 表示r變

20、量取1到10共10個(gè)數(shù)mean(r)運(yùn)行結(jié)果顯示ans = 5.5000 該例就是直接使用了所建立的M函數(shù)文件，求取數(shù)列r的平均數(shù)。3 MATLAB在控制系統(tǒng)中的應(yīng)用MATLAB是國(guó)際控制界目前使用最廣的工具軟件，幾乎所有的控制理論與應(yīng)用分支中都有MATLAB工具箱。本節(jié)結(jié)合前面所學(xué)自控理論的基本內(nèi)容，采用控制系統(tǒng)工具箱（Control Systems Toolbox）和仿真環(huán)境（Simulink），學(xué)習(xí)MATLAB的應(yīng)用。（1） 用MATLAB建立傳遞函數(shù)模型1有理函數(shù)模型線(xiàn)性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型可一般地表示為： (1)將系統(tǒng)的分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)按降冪的方式以向量的形式輸入給兩個(gè)變量和，就

21、可以輕易地將傳遞函數(shù)模型輸入到MATLAB環(huán)境中。命令格式為：; （2）; （3）在MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中，定義了tf() 函數(shù)，它可由傳遞函數(shù)分子分母給出的變量構(gòu)造出單個(gè)的傳遞函數(shù)對(duì)象。從而使得系統(tǒng)模型的輸入和處理更加方便。該函數(shù)的調(diào)用格式為：Gtf(num，den);（4）例2一個(gè)簡(jiǎn)單的傳遞函數(shù)模型:可以由下面的命令輸入到MATLAB工作空間中去。>>num=1，5;den=1，2，3，4，5;G=tf(num，den)運(yùn)行結(jié)果：Transfer function: s + 5-s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 5這時(shí)對(duì)象G可以用來(lái)描述給定的傳遞函數(shù)模型,作為其

22、它函數(shù)調(diào)用的變量。例3一個(gè)稍微復(fù)雜一些的傳遞函數(shù)模型：該傳遞函數(shù)模型可以通過(guò)下面的語(yǔ)句輸入到MATLAB工作空間。>> num=6*1，5; den=conv(conv(1，3，1，1，3，1)，1，6);tf(num,den)運(yùn)行結(jié)果Transfer function: 6 s + 30-s5 + 12 s4 + 47 s3 + 72 s2 + 37 s + 6其中conv()函數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)的MATLAB函數(shù)）用來(lái)計(jì)算兩個(gè)向量的卷積，多項(xiàng)式乘法當(dāng)然也可以用這個(gè)函數(shù)來(lái)計(jì)算。該函數(shù)允許任意地多層嵌套，從而表示復(fù)雜的計(jì)算。2.零極點(diǎn)模型線(xiàn)性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)還可以寫(xiě)成極點(diǎn)的形式： （5）將系統(tǒng)

23、增益、零點(diǎn)和極點(diǎn)以向量的形式輸入給三個(gè)變量、Z和P，就可以將系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型輸入到MATLAB工作空間中，命令格式為： (6) (7) (8)在MATLAB控制工具箱中，定義了zpk()函數(shù)，由它可通過(guò)以上三個(gè)MATLAB變量構(gòu)造出零極點(diǎn)對(duì)象，用于簡(jiǎn)單地表述零極點(diǎn)模型。該函數(shù)的調(diào)用格式為：G=zpk(Z,P,KGain) (9)例4某系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型為：該模型可以由下面的語(yǔ)句輸入到MATLAB工作空間中。>> KGain=6;z=-1.9294；-0.0353+0.9287j；-0.0353-0.9287j;p=-0.9567+1.2272j；-0.9567-1.2272j；0.0

24、433+0.6412j；0.0433-0.6412j;G=zpk(Z，P，KGain)運(yùn)行結(jié)果:Zero/pole/gain: 6 (s+1.929) (s2 + 0.0706s + 0.8637)-(s2 - 0.0866s + 0.413) (s2 + 1.913s + 2.421)注意：對(duì)于單變量系統(tǒng)，其零極點(diǎn)均是用列向量來(lái)表示的，故Z、P向量中各項(xiàng)均用分號(hào)（;）隔開(kāi)。3. 反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖模型設(shè)反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖5所示。圖5反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 控制系統(tǒng)工具箱中提供了feedback()函數(shù)，用來(lái)求取反饋連接下總的系統(tǒng)模型，該函數(shù)調(diào)用格式如下：G=feedback(G1,G2,sign); （

25、10）其中變量sign用來(lái)表示正反饋或負(fù)反饋結(jié)構(gòu)，若sign=-1表示負(fù)反饋系統(tǒng)的模型，若省略sign變量，則仍將表示負(fù)反饋結(jié)構(gòu)。G1和G2分別表示前向模型和反饋模型的LTI(線(xiàn)性時(shí)不變)對(duì)象。例5若反饋系統(tǒng)圖5中的兩個(gè)傳遞函數(shù)分別為： ，則反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可由下列的MATLAB命令得出>> G1=tf(1,1,2,1); G2=tf(1,1,1); G=feedback(G1,G2)運(yùn)行結(jié)果:Transfer function: s + 1-s3 + 3 s2 + 3 s + 2若采用正反饋連接結(jié)構(gòu)輸入命令>> G=feedback(G1,G2,1)則得出如下結(jié)果:

26、Transfer function: s + 1-s3 + 3 s2 + 3 s例6若反饋系統(tǒng)為更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)如圖6所示。其中，則閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以由下面的MATLAB命令得出：>>G1=tf(1,7,24,24,1,10,35,50,24);G2=tf(10,5,1,0);H=tf(1,0.01,1);G_a=feedback(G1*G2,H)得到結(jié)果：Transfer function: 0.1 s5 + 10.75 s4 + 77.75 s3 + 278.6 s2 + 361.2 s + 120-0.01 s6 + 1.1 s5 + 20.35 s4 + 110.5 s3

27、+ 325.2 s2 + 384 s + 120 圖6復(fù)雜反饋系統(tǒng) 4. 有理分式模型與零極點(diǎn)模型的轉(zhuǎn)換有了傳遞函數(shù)的有理分式模型之后，求取零極點(diǎn)模型就不是一件困難的事情了。在控制系統(tǒng)工具箱中，可以由zpk()函數(shù)立即將給定的LTI對(duì)象G轉(zhuǎn)換成等效的零極點(diǎn)對(duì)象G1。該函數(shù)的調(diào)用格式為： G1=zpk(G) (11)例7 給定系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：對(duì)應(yīng)的零極點(diǎn)格式可由下面的命令得出>>num=6.8, 61.2, 95.2;den=1, 7.5, 22, 19.5, 0;G=tf(num,den);G1=zpk(G)顯示結(jié)果：Zero/pole/gain: 6.8 (s+7) (s+2)-

28、s (s+1.5) (s2 + 6s + 13)可見(jiàn)，在系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型中若出現(xiàn)復(fù)數(shù)值，則在顯示時(shí)將以二階因子的形式表示相應(yīng)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)。同樣，對(duì)于給定的零極點(diǎn)模型，也可以直接由MATLAB語(yǔ)句立即得出等效傳遞函數(shù)模型。調(diào)用格式為： G1=tf(G) (12)例8給定零極點(diǎn)模型：可以用下面的MATLAB命令立即得出其等效的傳遞函數(shù)模型。輸入程序的過(guò)程中要注意大小寫(xiě)。>>Z=-2,-7;P=0,-3-2j,-3+2j,-1.5;K=6.8;G=zpk(Z,P,K);G1=tf(G)結(jié)果顯示：Transfer function: 6.8 s2 + 61.2 s + 95.2-s4 +

29、7.5 s3 + 22 s2 + 19.5 s5. Simulink建模方法在一些實(shí)際應(yīng)用中，如果系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)過(guò)于復(fù)雜，不適合用前面介紹的方法建模。在這種情況下，功能完善的Simulink程序可以用來(lái)建立新的數(shù)學(xué)模型。Simulink是由Math Works 軟件公司1990年為MATLAB提供的新的控制系統(tǒng)模型圖形輸入仿真工具。它具有兩個(gè)顯著的功能：Simul(仿真)與Link(連接)，亦即可以利用鼠標(biāo)在模型窗口上“畫(huà)”出所需的控制系統(tǒng)模型。然后利用SIMULINK提供的功能來(lái)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真或線(xiàn)性化分析。與MATLAB中逐行輸入命令相比，這樣輸入更容易，分析更直觀。下面簡(jiǎn)單介紹SIMULINK

30、建立系統(tǒng)模型的基本步驟：（1） SIMULINK的啟動(dòng)：在MATLAB命令窗口的工具欄中單擊按鈕或者在命令提示符>>下鍵入simulink命令，回車(chē)后即可啟動(dòng)Simulink程序。啟動(dòng)后軟件自動(dòng)打開(kāi)Simullink模型庫(kù)窗口，如圖 7所示。這一模型庫(kù)中含有許多子模型庫(kù)，如Sources(輸入源模塊庫(kù))、Sinks(輸出顯示模塊庫(kù))、Nonlinear(非線(xiàn)性環(huán)節(jié))等。若想建立一個(gè)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖，則應(yīng)該選擇File| New菜單中的Model選項(xiàng)，或選擇工具欄上new Model按鈕，打開(kāi)一個(gè)空白的模型編輯窗口如圖 8所示。圖 7simulink 模型庫(kù)圖8模型編輯窗口(2) 畫(huà)

31、出系統(tǒng)的各個(gè)模塊：打開(kāi)相應(yīng)的子模塊庫(kù)，選擇所需要的元素，用鼠標(biāo)左鍵點(diǎn)中后拖到模型編輯窗口的合適位置。(3) 給出各個(gè)模塊參數(shù)：由于選中的各個(gè)模塊只包含默認(rèn)的模型參數(shù)，如默認(rèn)的傳遞函數(shù)模型為1/(s+1)的簡(jiǎn)單格式，必須通過(guò)修改得到實(shí)際的模塊參數(shù)。要修改模塊的參數(shù)，可以用鼠標(biāo)雙擊該模塊圖標(biāo)，則會(huì)出現(xiàn)一個(gè)相應(yīng)對(duì)話(huà)框，提示用戶(hù)修改模塊參數(shù)。(4) 畫(huà)出連接線(xiàn)：當(dāng)所有的模塊都畫(huà)出來(lái)之后，可以再畫(huà)出模塊間所需要的連線(xiàn)，構(gòu)成完整的系統(tǒng)。模塊間連線(xiàn)的畫(huà)法很簡(jiǎn)單，只需要用鼠標(biāo)點(diǎn)按起始模塊的輸出端（三角符號(hào)），再拖動(dòng)鼠標(biāo)，到終止模塊的輸入端釋放鼠標(biāo)鍵，系統(tǒng)會(huì)自動(dòng)地在兩個(gè)模塊間畫(huà)出帶箭頭的連線(xiàn)。若需要從連線(xiàn)中引出

32、節(jié)點(diǎn)，可在鼠標(biāo)點(diǎn)擊起始節(jié)點(diǎn)時(shí)按住Ctrl鍵，再將鼠標(biāo)拖動(dòng)到目的模塊。(5) 指定輸入和輸出端子：在Simulink下允許有兩類(lèi)輸入輸出信號(hào)，第一類(lèi)是仿真信號(hào)，可從source(輸入源模塊庫(kù))圖標(biāo)中取出相應(yīng)的輸入信號(hào)端子，從Sink(輸出顯示模塊庫(kù))圖標(biāo)中取出相應(yīng)輸出端子即可。第二類(lèi)是要提取系統(tǒng)線(xiàn)性模型，則需打開(kāi)Connection(連接模塊庫(kù))圖標(biāo)，從中選取相應(yīng)的輸入輸出端子。例9典型二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖9所示。用SIMULINK對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析。圖9典型二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖按前面步驟，啟動(dòng)simulink并打開(kāi)一個(gè)空白的模型編輯窗口。（1） 畫(huà)出所需模塊，并給出正確的參數(shù)：l 在sources子

33、模塊庫(kù)中選中階躍輸入（step）圖標(biāo)，將其拖入編輯窗口，并用鼠標(biāo)左鍵雙擊該圖標(biāo)，打開(kāi)參數(shù)設(shè)定的對(duì)話(huà)框，將參數(shù)step time(階躍時(shí)刻)設(shè)為0。l 在Math(數(shù)學(xué))子模塊庫(kù)中選中加法器（sum）圖標(biāo)，拖到編輯窗口中，并雙擊該圖標(biāo)將參數(shù)List of signs(符號(hào)列表)設(shè)為|+-（表示輸入為正，反饋為負(fù)）。l 在continuous(連續(xù))子模塊庫(kù)中、選積分器（Integrator）和傳遞函數(shù)（Transfer Fcn）圖標(biāo)拖到編輯窗口中，并將傳遞函數(shù)分子（Numerator）改為900，分母（Denominator）改為1，9。l 在sinks(輸出)子模塊庫(kù)中選擇scope(示波器)

34、和Out1(輸出端口模塊)圖標(biāo)并將之拖到編輯窗口中。（3）將畫(huà)出的所有模塊按圖9用鼠標(biāo)連接起來(lái)，構(gòu)成一個(gè)原系統(tǒng)的框圖描述如圖10所示。（4）選擇仿真算法和仿真控制參數(shù)，啟動(dòng)仿真過(guò)程。 在編輯窗口中點(diǎn)擊Simulation|Simulation parameters菜單，會(huì)出現(xiàn)一個(gè)參數(shù)對(duì)話(huà)框，在solver模板中設(shè)置響應(yīng)的仿真范圍StartTime(開(kāi)始時(shí)間)和StopTime(終止時(shí)間)，仿真步長(zhǎng)范圍Maxinum step size(最大步長(zhǎng))和Mininum step size(最小步長(zhǎng))。對(duì)于本例，StopTime可設(shè)置為2。最后點(diǎn)擊Simulation|Start菜單或點(diǎn)擊相應(yīng)的熱鍵啟

35、動(dòng)仿真。雙擊示波器，在彈出的圖形上會(huì)“實(shí)時(shí)地”顯示出仿真結(jié)果。輸出結(jié)果如圖11所示。圖10 二階系統(tǒng)的simulink實(shí)現(xiàn)在命令窗口中鍵入whos命令，會(huì)發(fā)現(xiàn)工作空間中增加了兩個(gè)變量tout和yout，這是因?yàn)镾imulink中的Out1 模塊自動(dòng)將結(jié)果寫(xiě)到了MATLAB的工作空間中。利用MATLAB命令plot(tout,yout),可將結(jié)果繪制出來(lái)，如圖12所示。比較11和12，可以發(fā)現(xiàn)這兩種輸出結(jié)果是完全一致的。 示圖12 MATLAB命令得出的系統(tǒng)響應(yīng)曲線(xiàn)(2) 利用MATLAB進(jìn)行時(shí)域分析1. 線(xiàn)性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析 線(xiàn)性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)的特征根均位于S平面的左半部分。系統(tǒng)的零極

36、點(diǎn)模型可以直接被用來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。另外，MATLAB語(yǔ)言中提供了有關(guān)多項(xiàng)式的操作函數(shù)，也可以用于系統(tǒng)的分析和計(jì)算。（1）直接求特征多項(xiàng)式的根設(shè)p為特征多項(xiàng)式的系數(shù)向量，則MATLAB函數(shù)roots()可以直接求出方程p=0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的解v,該函數(shù)的調(diào)用格式為：v=roots(p) (13)例10 已知系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為： 特征方程的解可由下面的MATLAB命令得出。>> p=1,0,3,2,1,1; v=roots(p)結(jié)果顯示：v = 0.3202 + 1.7042i 0.3202 - 1.7042i -0.7209 0.0402 + 0.6780i 0.0402 - 0.

37、6780i利用多項(xiàng)式求根函數(shù)roots(),可以很方便的求出系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)，然后根據(jù)零極點(diǎn)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性和其它性能。（2）由根創(chuàng)建多項(xiàng)式如果已知多項(xiàng)式的因式分解式或特征根，可由MATLAB函數(shù)poly()直接得出特征多項(xiàng)式系數(shù)向量，其調(diào)用格式為：p=poly(v) (14)如上例中：v=0.3202+1.7042i;0.3202-1.7042i; -0.7209;0.0402+0.6780i; 0.0402-0.6780i; >> p=poly(v)結(jié)果顯示p = 1.0000 -0.0000 3.0000 2.0000 1.0000 1.0000由此可見(jiàn)，函數(shù)roots()與函

38、數(shù)poly()是互為逆運(yùn)算的。（3）多項(xiàng)式求值在MATLAB 中通過(guò)函數(shù)polyval()可以求得多項(xiàng)式在給定點(diǎn)的值，該函數(shù)的調(diào)用格式為： polyval(p,v) (15)對(duì)于上例中的p值，求取多項(xiàng)式在x點(diǎn)的值，可輸入如下命令：>> p=1,0,3,2,1,1;x=1 polyval(p,x)結(jié)果顯示ans =8 (4)部分分式展開(kāi) 考慮下列傳遞函數(shù)： 式中，但是和中某些量可能為零。MATLAB函數(shù)可將展開(kāi)成部分分式，直接求出展開(kāi)式中的留數(shù)、極點(diǎn)和余項(xiàng)。該函數(shù)的調(diào)用格式為： （16）則的部分分式展開(kāi)由下式給出： 式中, ,為極點(diǎn)，, 為各極點(diǎn)的留數(shù)，為余項(xiàng)。例11 設(shè)傳遞函數(shù)為：

39、 該傳遞函數(shù)的部分分式展開(kāi)由以下命令獲得：>> num=2,5,3,6; den=1,6,11,6; r,p,k=residue(num,den)命令窗口中顯示如下結(jié)果r= p= k= -6.0000 -3.0000 2 -4.0000 -2.0000 3.0000 -1.0000中留數(shù)為列向量r，極點(diǎn)為列向量p，余項(xiàng)為行向量k。由此可得出部分分式展開(kāi)式：該函數(shù)也可以逆向調(diào)用，把部分分式展開(kāi)轉(zhuǎn)變回多項(xiàng)式之比的形式，命令格式為： num,den=residue(r,p,k) (17)對(duì)上例有： >> num,den=residue(r,p,k)結(jié)果顯示 num=2.000

40、0 5.0000 3.0000 6.0000 den=1.0000 6.0000 11.0000 6.0000應(yīng)當(dāng)指出，如果p(j)=p(j+1)=p(j+m-1),則極點(diǎn)p(j)是一個(gè)m重極點(diǎn)。在這種情況下，部分分式展開(kāi)式將包括下列諸項(xiàng)： 例12 設(shè)傳遞函數(shù)為： 則部分分式展開(kāi)由以下命令獲得：>> v=-1,-1,-1num=0,1,2,3; den=poly(v);r,p,k=residue(num,den)結(jié)果顯示r=1.00000.00002.0000p=-1.0000-1.0000-1.0000k= 其中由poly()命令將分母化為標(biāo)準(zhǔn)降冪排列多項(xiàng)式系數(shù)向量den, k=

41、為空矩陣。由上可得展開(kāi)式為： （5）由傳遞函數(shù)求零點(diǎn)和極點(diǎn)。在MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中，給出了由傳遞函數(shù)對(duì)象G求出系統(tǒng)零點(diǎn)和極點(diǎn)的函數(shù)，其調(diào)用格式分別為：Z=tzero(G) (18)P=G.P1 (19)注意：式19中要求的G必須是零極點(diǎn)模型對(duì)象，且出現(xiàn)了矩陣的點(diǎn)運(yùn)算“.”和大括號(hào)表示的矩陣元素，詳細(xì)內(nèi)容參閱后面章節(jié)。例13 已知傳遞函數(shù)為： 輸入如下命令：num=6.8,61.2,95.2; den=1,7.5,22,19.5,0; G=tf(num,den); G1=zpk(G);Z=tzero(G)P=G1.P1結(jié)果顯示Z = -7 -2P = 0 -3.0000 + 2.0000

42、i -3.0000 - 2.0000i -1.5000 其結(jié)果與例8完全一致。（6）零極點(diǎn)分布圖。 在MATLAB中，可利用pzmap()函數(shù)繪制連續(xù)系統(tǒng)的零、極點(diǎn)圖，從而分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，該函數(shù)調(diào)用格式為：pzmap(num,den) (20)例 14 給定傳遞函數(shù): 利用下列命令可自動(dòng)打開(kāi)一個(gè)圖形窗口，顯示該系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布圖，如圖13所示。>> num=3,2,5,4,6; den=1,3,4,2,7,2;pzmap(num,den)title(¹Pole-Zero Map¹)% 圖形標(biāo)題。圖13 MATLAB函數(shù)零、極點(diǎn)分布圖2. 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性分析。（

43、1）時(shí)域響應(yīng)解析算法部分分式展開(kāi)法。用拉氏變換法求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，可直接得出輸出c(t)隨時(shí)間t變化的規(guī)律，對(duì)于高階系統(tǒng)，輸出的拉氏變換象函數(shù)為： （21）對(duì)函數(shù)c(s)進(jìn)行部分分式展開(kāi)，我們可以用num,den,0來(lái)表示c(s)的分子和分母。例 15 給定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)： 用以下命令對(duì)進(jìn)行部分分式展開(kāi)。>> num=1,7,24,24 den=1,10,35,50,24r,p,k=residue(num,den,0)輸出結(jié)果為r= p= k= -1.0000 -4.0000 2.0000 -3.0000 -1.0000 -2.0000 -1.0000 -1.0000 1.00

44、00 0 輸出函數(shù)c(s)為： 拉氏變換得： （2）單位階躍響應(yīng)的求法：控制系統(tǒng)工具箱中給出了一個(gè)函數(shù)step()來(lái)直接求取線(xiàn)性系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，如果已知傳遞函數(shù)為：則該函數(shù)可有以下幾種調(diào)用格式：step(num,den) (22)step(num,den,t) (23)或 step(G) (24)step(G,t) (25)該函數(shù)將繪制出系統(tǒng)在單位階躍輸入條件下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)圖，同時(shí)給出穩(wěn)態(tài)值。對(duì)于式23和25，t為圖像顯示的時(shí)間長(zhǎng)度，是用戶(hù)指定的時(shí)間向量。式22和24的顯示時(shí)間由系統(tǒng)根據(jù)輸出曲線(xiàn)的形狀自行設(shè)定。如果需要將輸出結(jié)果返回到MATLAB工作空間中，則采用以下調(diào)用格式： c=step(G

45、) (26)此時(shí)，屏上不會(huì)顯示響應(yīng)曲線(xiàn)，必須利用plot()命令去查看響應(yīng)曲線(xiàn)。plot 可以根據(jù)兩個(gè)或多個(gè)給定的向量繪制二維圖形，詳細(xì)介紹可以查閱后面的章節(jié)。例16 已知傳遞函數(shù)為： 利用以下MATLAB命令可得階躍響應(yīng)曲線(xiàn)如圖14所示。圖14 MATLAB繪制的響應(yīng)曲線(xiàn)>> num=0,0,25; den=1,4,25;step(num,den)grid % 繪制網(wǎng)格線(xiàn)。title(¹Unit-Step Response of G(s)=25/(s2+4s+25) ¹) % 圖像標(biāo)題我們還可以用下面的語(yǔ)句來(lái)得出階躍響應(yīng)曲線(xiàn)>> G=tf(0,0,

46、25,1,4,25); t=0:0.1:5; % 從0到5每隔0.1取一個(gè)值。 c=step(G,t);% 動(dòng)態(tài)響應(yīng)的幅值賦給變量c plot(t,c) % 繪二維圖形，橫坐標(biāo)取t,縱坐標(biāo)取c。 Css=dcgain(G) % 求取穩(wěn)態(tài)值。系統(tǒng)顯示的圖形類(lèi)似于上一個(gè)例子，在命令窗口中顯示了如下結(jié)果 Css= 1（3）求階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)MATLAB提供了強(qiáng)大的繪圖計(jì)算功能，可以用多種方法求取系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)指標(biāo)。我們首先介紹一種最簡(jiǎn)單的方法游動(dòng)鼠標(biāo)法。對(duì)于例16，在程序運(yùn)行完畢后，用鼠標(biāo)左鍵點(diǎn)擊時(shí)域響應(yīng)圖線(xiàn)任意一點(diǎn)，系統(tǒng)會(huì)自動(dòng)跳出一個(gè)小方框，小方框顯示了這一點(diǎn)的橫坐標(biāo)（時(shí)間）和縱坐標(biāo)（幅值）。按

47、住鼠標(biāo)左鍵在曲線(xiàn)上移動(dòng)，可以找到曲線(xiàn)幅值最大的一點(diǎn)即曲線(xiàn)最大峰值，此時(shí)小方框中顯示的時(shí)間就是此二階系統(tǒng)的峰值時(shí)間，根據(jù)觀察到的穩(wěn)態(tài)值和峰值可以計(jì)算出系統(tǒng)的超調(diào)量。系統(tǒng)的上升時(shí)間和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí)間可以依此類(lèi)推。這種方法簡(jiǎn)單易用，但同時(shí)應(yīng)注意它不適用于用plot()命令畫(huà)出的圖形。另一種比較常用的方法就是用編程方式求取時(shí)域響應(yīng)的各項(xiàng)性能指標(biāo)。與上一段介紹的游動(dòng)鼠標(biāo)法相比，編程方法稍微復(fù)雜，但通過(guò)下面的學(xué)習(xí)，讀者可以掌握一定的編程技巧，能夠?qū)⒖刂圃碇R(shí)和編程方法相結(jié)合，自己編寫(xiě)一些程序，獲取一些較為復(fù)雜的性能指標(biāo)。通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)可以用階躍響應(yīng)函數(shù)step( )獲得系統(tǒng)輸出量，若將輸出量返回到變量y中，可以調(diào)用如下格式 y,t=step(G) (27)該函數(shù)還同時(shí)返回了自動(dòng)生成的時(shí)間變量t，對(duì)返回的這一對(duì)變量y和t的值進(jìn)行計(jì)算，可以得到時(shí)域性能指標(biāo)。 峰值時(shí)間(timetopeak)可由以下命令獲得： Y,k=max(y); (28) timetopeak=t(k) (29)應(yīng)用取最大值函數(shù)max()求出y的峰值及相應(yīng)的時(shí)間，并存于變量Y和k中。然后在變量t中取出峰值時(shí)間，并將它賦給變量time