全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題詳解

1、20xx年全國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案第一試一、挑選題： （此題滿分42 分，每道題7 分）1 已知 a21， b32 ， c62 ，那么a,b, c 的大小關(guān)系是（ c ）a. abcb.acbc.bacd. bca解答： a21211， b321211， c623221，62312由21明顯： bac2 方程 x22xy3 y234的整數(shù)解 x,y的組數(shù)為（ b ）a 3.b 4.c 5.d 6.解答： x22xy3 y2x22xy3 y22 y2 xy22 y 234由 0、1、2、 3、4、5、6 的平分別是0、1、4、9、16、25、36 知唯有 16+29=34x y5xy5x

2、y5xy5故 xy5、y4，由、得y 4y4y4y4y4y、4y、4y、4x=9x=1x=9x=1共 4 組解；3已知正方形abcd的邊長(zhǎng)為1， e 為 bc邊的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，ce 1，連接 ae，與 cd交于點(diǎn) f，連接bf 并延長(zhǎng)與線段de交于點(diǎn) g，就 bg的長(zhǎng)為（ d）652625a bcd 3333a dgfb che解答： 如圖，做 gh be于 h，易證 rt ab e rt ghb，設(shè) gh=a，就 he=a， bh=2-a，由 gh= bh得 a =2-a 解得 a= 2，故 bg= 25 ；abbe12334 已知實(shí)數(shù)a, b 滿意 a 2b 21 ，就 a 4abb 4

3、的最小值為（ b ）19a .b 0.c 1.d.88解答： a4abb4 =（ a 2b 2）22 a 2b 2ab=2 a2b 2ab1=2ab1 2948考查以 ab 整體為自變量的函數(shù)的圖像為拋物線y=2 ab1 291其對(duì)稱軸為ab由 a 2b22ab0和a 2b22ab4840 知1ab1又 11 11，故當(dāng) ab221時(shí)，函數(shù)取最小值0；424225如方程x22 px3 p20 的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x , x 滿意 x2x34x2x3 ，就實(shí)數(shù) p121122的全部可能的值之和為（ b ）35a 0.b.c1 .d .解答：方程x22 px443p20 兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根故2 p

4、 243p24 p212p80解得-2< p1；x1 , x2 滿意 x1x22 p, x1x23p2故 x2x2 xx 22x x = 4 p223p24 p26 p4121212x3x3 xx x2x xx2 2 p4 p26 p3 p28p318p 24 p12121122由 x2x34x2x3 得 x2x2x3x34112212122即 4 p6p48 p18 p4 p =4 整理得p4 p1 p20 解得 p0, p1 , p2 -2< p11 p2.4123324c 44 個(gè).d 48 個(gè).（ c ）6由 1，2，3，4 這四個(gè)數(shù)字組成四位數(shù)abcd （數(shù)字可重復(fù)使用）

5、 ，要求滿意 acbd .這樣的四位數(shù)共有a 36 個(gè).b 40 個(gè).解答：分為4 類：1）由同一個(gè)數(shù)字組成如 1111共 4 個(gè)數(shù)2）由兩個(gè)不同數(shù)字組成如 1221 112221122211而從 4 個(gè)數(shù)里面取2 個(gè)共六種取法故此類可構(gòu)成 46=24 個(gè)數(shù)3）由三個(gè)不同數(shù)字組成如 1232321221232321 此類只有兩種組合即1+3=2+2 和 2+4=3+3故可構(gòu)成24=8 個(gè)數(shù)4）由四個(gè)不同數(shù)字組成如 12431342421343122134243131243421 共 8 個(gè)綜上全部的數(shù)共4+24+8+8=44 個(gè)二、填空題： （此題滿分28 分，每道題7 分）1111 已知互不

6、相等的實(shí)數(shù)a,b, c 滿意abct ，就 t1bca1解答：由 a11bct 得 b1， cat1 ，1at1tbcataataa整理得at 3t 2a2 t2a 2at10 即 t 21a2at10同理得：t 21b2bt10t 21c2ct10如 t210 ，就 a,b,c 為二次方程x2xt10 的解這與a, b, c 互不相等沖突， 不滿意題意， 故 t 210即 t212 使得 52m1 是完全平方數(shù)的整數(shù)m 的個(gè)數(shù)為1解答： 52m1= 212m12m 12m1，由題知 52m1 為完全平方數(shù)，故設(shè) 2 m 22 m1a 22a11）如 2m 2a2 ,2 a2m 得 2m 22

7、2 m1 解得m42） 2ma2 ,2 a2m 2 解得m1 不合題意；綜上符合題意的m 只有一個(gè)；bc3在 abc 中，已知 ab ac ， a 40°，p 為 ab上一點(diǎn)， acp 20°，就ap3解答：如上圖，作a d bc于點(diǎn) d，交 cp于點(diǎn) f，在 ad上找點(diǎn) d，使 ecd 30°，如上圖， 1 2= 12bac=20 °， 3=20° 4=70° - 20° -30 ° =20° af=fc, ap f cef.在 rt dec 中 cdcos5cos303bc2cd，故3ce2apce4

8、 已知實(shí)數(shù)a,b,c 滿意abc1 ， abc4 ，abc4 ，就a 23a1b23b1c23c19a 2b2c2 332解答：a=abc111a23a1a2bc3abcbca3bca3bcaabc1bc111aabc1bcbc1bc1b bc同理：b11,c1b23b1b 3ac1a1cc23c1c3abc11c23c1c 3ab1a 1b故11141a1b) 1a 1c) 1c1b9化簡(jiǎn)得：914abcacbcababc 解得：2ac2bc2ab12由 abc2a2b2c22ab2bc2ac4 得： a 2b2c21613322其次試（ a ）一、（此題滿分20 分） 已知直角三角形的邊長(zhǎng)

9、均為整數(shù)，周長(zhǎng)為30，求它的外接圓的面積.解設(shè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b, c （ abc ），就abc30 .明顯，三角形的外接圓的直徑即為斜邊長(zhǎng)c ，下面先求 c 的值 .由 abc 及 abc由 abc 及 abc30 得 3030 得 30abcabc3c ，所以 c 2c ，所以 c10 .15 .又由于 c 為整數(shù)，所以11c14 .依據(jù)勾股定理可得a 2b2c2 ，把 c30ab 代入，化簡(jiǎn)得ab30 ab4500 ，所以30a30b45023252 ，30a52 ,a5,由于 a , b 均為整數(shù)且ab ，所以只可能是30b解得232 ,b12.所以，直角三角形的斜邊長(zhǎng)c1

10、3 ，三角形的外接圓的面積為169.4二（ 此題滿分 25 分）如圖，pa 為 o 的切線，pbc 為 o 的割線，ad op于點(diǎn) d.證明：ad 2bd cd .aodpbc證明： 連接 oa ，ob， oc. oa ap， a d op，由射影定理可得pa 2pd po ， ad 2pd od .又由切割線定理可得pa2pb pc ， p b p cpd po ， d 、b 、c、o 四點(diǎn)共圓， pdb pco obc odc ， pbd cod ， pbd cod， pdbd ，cdodad 2pd odbdcd .12三（此題滿分25 分） 已知拋物線yxbxc 的頂點(diǎn)為p，與 x 軸

11、的正半軸交于a x1,0 、6b x2 ,0 （ x1x ）兩點(diǎn)，與y 軸交于點(diǎn)c， pa 是 abc 的外接圓的切線.設(shè) m 0,3 ，如 am/bc ，22求拋物線的解析式.3解易求得點(diǎn) p 3b,2b2c，點(diǎn) c 0, c .設(shè) abc 的外接圓的圓心為d ，就點(diǎn) p 和點(diǎn) d 都在線段 ab 的垂直平分線上， 設(shè)點(diǎn) d 的坐標(biāo)為 3b, m .顯 然 ，x1 , x2 是 一 元 二 次 方 程1 x26bxc0 的 兩 根 ， 所 以x13b9b26c，x23b9b 26c ，又 ab 的中點(diǎn) e 的坐標(biāo)為 3b,0，所以 ae 9b6c .2由于pa 為 d的切線，所以pa ad，

12、又a e pd，所以由射影定理可得ae 2pe de ，即9b26c 232bc |m ，| 2又易知 m0 ，所以可得m6 .又 由 da dc得 da 2dc 2 ，即9b26c2m23b02mc 2 ，把 m6 代入后可解得 c6 （另一解 c0 舍去） .|23 |又由于 am/bc ，所以 oaom ， 即 3boboc3b9b6c9b26c2.|6 |把 c6 代入解得 b5（另一解 b25舍去） .2因此，拋物線的解析式為y1 x25 x6 .62其次試（b）一（此題滿分20 分） 已知直角三角形的邊長(zhǎng)均為整數(shù)，周長(zhǎng)為60，求它的外接圓的面積.解設(shè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,

13、 c （ abc ），就abc60 .明顯，三角形的外接圓的直徑即為斜邊長(zhǎng)c ，下面先求 c 的值 .由 abc 及 abc由 abc 及 abc60 得 6060 得 60abcabc3c ，所以 c 2c ，所以 c20 .30 .又由于 c 為整數(shù)，所以21c29 .依據(jù)勾股定理可得a 2b2c2 ，把 c60ab 代入，化簡(jiǎn)得ab60ab 18000 ，所以60a60b1800233252 ，由于 a , b 均為整數(shù)且ab ，所以只可能是60a235,60a或252 ,60b325,60b2232 ,a 20,a解得或b 15,b10,24.當(dāng) a20, b當(dāng) a10, b15 時(shí)，

14、 c24 時(shí)， c25 ，三角形的外接圓的面積為625；426 ，三角形的外接圓的面積為169.二（此題滿分25 分） 如圖， pa 為 o 的切線， pbc 為 o 的割線， a d op于點(diǎn) d， adc 的外接圓與 bc 的另一個(gè)交點(diǎn)為e.證明： bae acb.證明：連接oa ， ob， oc， bd. oa ap， a d op，由射影定理可得pa 2pd po ， ad 2apd od .又由切割線定理可得pa2pb pc ，o p b p cpd po ， d 、b 、c、o 四點(diǎn)共圓， pdb pco obc odc ，pdbec pbd cod ， pb d cod， pdb

15、d，cdod2bdad bd cdpd odad，.adcd又 bda bdp 90° odc 90° adc ， bda adc， bad acd ， ab 是 adc 的外接圓的切線，bae acb.三（此題滿分25 分）題目和解答與（a）卷第三題相同.其次試（ c）一（此題滿分20 分）題目和解答與（b）卷第一題相同.二（此題滿分25 分）題目和解答與（b）卷其次題相同.三（此題滿分25 分） 已知拋物線y1 x26bxc 的頂點(diǎn)為p，與 x 軸的正半軸交于a x1,0 、b x2 ,0（ x1x2 ）兩點(diǎn)，與y 軸交于點(diǎn)c，pa 是 abc 的外接圓的切線.將拋物線

16、向左平移2431個(gè)單位，得到的新拋物線與原拋物線交于點(diǎn)q，且 qbo obc. 求拋物線的解析式.解拋物線的方程即y1 x3b223bc ，所以點(diǎn)p 3b, 3 b 2c ，點(diǎn) c 0, c .622設(shè) abc 的外接圓的圓心為d ，就點(diǎn) p 和點(diǎn) d 都在線段 ab 的垂直平分線上， 設(shè)點(diǎn) d 的坐標(biāo)為 3b, m .顯 然 ，x1 , x2 是 一 元 二 次 方 程12xbxc60 的 兩 根 ， 所 以x13b29b6c，x23b9b 26c ，又 ab 的中點(diǎn) e 的坐標(biāo)為 3b,0，所以 ae 9b26c .由于pa 為 d的切線，所以pa ad，又a e pd，所以由射影定理可得ae 2pe de ，即9b26c 232c |m ，|b2又易知 m0 ，所以可得m6 .又 由 da dc得 da 2dc 2 ，即9b26c2m23b02mc 2 ，把 m6 代入后可解得 c6 （另一解 c0 舍去） .13b 2將拋物線yx3b 26 向左平移 2431 個(gè)單位后，得到的新拋物線為62123b2y x3b243246 .62易求得兩拋物線的交點(diǎn)為q 3b3b 212123,483102 .2由 q