高中數(shù)學(xué)第一章解三角形1

1、1.1.2 余弦定理課本在引入余弦定理內(nèi)容時(shí)，首先提出探究性問(wèn)題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角 , 根據(jù)三角形全等的判定方法，這個(gè)三角形是大小、形狀完全確定的三角形. 我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋?lái)研究這個(gè)問(wèn)題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊和兩個(gè)角的問(wèn)題”這樣，用聯(lián)系的觀點(diǎn)，從新的角度看過(guò)去的問(wèn)題，使學(xué)生對(duì)過(guò)去的知識(shí)有了新的認(rèn)識(shí)，同時(shí)使新知識(shí)建立在已有知識(shí)的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)上，使學(xué)生能夠形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)設(shè)置這樣的問(wèn)題，是為了更好地加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)比如對(duì)于余弦定理的證明，常用的方法是借助于三角的方法，需要對(duì)三角形進(jìn)行討論，方法不夠簡(jiǎn)潔，通過(guò)向量知識(shí)給予證明, 引起學(xué)生

2、對(duì)向量知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣, 同時(shí)感受向量法證明余弦定理的簡(jiǎn)便之處. 教科書(shū)就是用了向量的方法，發(fā)揮了向量方法在解決問(wèn)題中的威力在證明了余弦定理及其推論以后，教科書(shū)從余弦定理與勾股定理的比較中，提出了一個(gè)思考問(wèn)題“勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？”并進(jìn)而指出，“從余弦定理以及余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是直角；如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是鈍角；如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是銳角. 由上可知，余弦定理是勾股定理的推廣”還要啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生

3、注意余弦定理的各種變形式, 并總結(jié)余弦定理的適用題型的特點(diǎn), 在解題時(shí)正確選用余弦定理達(dá)到求解、求證目的.啟發(fā)學(xué)生在證明余弦定理時(shí)能與向量數(shù)量積的知識(shí)產(chǎn)生聯(lián)系, 在應(yīng)用向量知識(shí)的同時(shí), 注意使學(xué)生體會(huì)三角函數(shù)、正弦定理、向量數(shù)量積等多處知識(shí)之間的聯(lián)系.教學(xué)重點(diǎn)余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程及其基本應(yīng)用. 教學(xué)難點(diǎn)1. 向量知識(shí)在證明余弦定理時(shí)的應(yīng)用, 與向量知識(shí)的聯(lián)系過(guò)程;2. 余弦定理在解三角形時(shí)的應(yīng)用思路;3. 勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程中的作用教具準(zhǔn)備投影儀、幻燈片兩張第一張 : 課題引入圖片( 記作 1.1.2a)如圖 (1), 在 rtabc中, 有a2+b2=c2問(wèn)題 : 在圖

4、(2) 、(3) 中, 能否用b、c、a求解a?第二張 : 余弦定理 ( 記作 1.1.2b)余弦定理 : 三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍 .形式一 : a2=b2+c2-2bccosa，b2=c2+a2-2cacosb,c2=a2+b2-2abcosc,形式二 :cosa=bcacb2222,cosb=cabac2222,cosc=abcba2222.三維目標(biāo)一、知識(shí)與技能1. 掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法;2. 會(huì)利用余弦定理解決兩類基本的解三角形問(wèn)題;3. 能利用計(jì)算器進(jìn)行運(yùn)算.二、過(guò)程與方法1. 利用向量的數(shù)量積推出

5、余弦定理及其推論;2. 通過(guò)實(shí)踐演算掌握運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問(wèn)題.三、情感態(tài)度與價(jià)值觀1. 培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問(wèn)題的運(yùn)算能力；2. 通過(guò)三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的關(guān)系，來(lái)理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一教學(xué)過(guò)程導(dǎo)入新課師 上一節(jié) , 我們一起研究了正弦定理及其應(yīng)用, 在體會(huì)向量應(yīng)用的同時(shí), 解決了在三角形已知兩角、一邊和已知兩邊與其中一邊對(duì)角這兩類解三角形問(wèn)題. 當(dāng)時(shí)對(duì)于已知兩邊夾角求第三邊問(wèn)題未能解決, 下面我們來(lái)看幻燈片1.1.2a,如圖 (1) ，在直角三角形中, 根據(jù)兩直角邊及直角可表示斜邊 , 即勾股定理 , 那么對(duì)于任意三角形, 能否

6、根據(jù)已知兩邊及夾角來(lái)表示第三邊呢?下面我們根據(jù)初中所學(xué)的平面幾何的有關(guān)知識(shí)來(lái)研究這一問(wèn)題.在abc中, 設(shè)bc=a,ac=b,ab=c, 試根據(jù)b、c、a來(lái)表示a.師 由于初中平面幾何所接觸的是解直角三角形問(wèn)題，所以應(yīng)添加輔助線構(gòu)成直角三角形，在直角三角形內(nèi)通過(guò)邊角關(guān)系作進(jìn)一步的轉(zhuǎn)化工作，故作cd垂直于ab于d， 那么在 rtbdc中，邊a可利用勾股定理用cd、db表示 , 而cd可在 rtadc中利用邊角關(guān)系表示,db可利用ab-ad轉(zhuǎn)化為ad, 進(jìn)而在 rtadc內(nèi)求解 .解： 過(guò)c作cdab, 垂足為d, 則在 rtcdb中, 根據(jù)勾股定理可得a2=cd2+bd2.在 rtadc中,cd

7、2=b2-ad2,又bd2=(c-ad)2=c2-2cad+ad2,a2=b2-ad2+c2-2cad+ad2=b2+c2-2cad.又在 rt adc中,ad=bcosa,a2=b2+c2-2abcosa.類似地可以證明b2=c2+a2-2cacosb.c2=a2+b2-2abcosc.另外 , 當(dāng)a為鈍角時(shí)也可證得上述結(jié)論, 當(dāng)a為直角時(shí)，a2+b2=c2也符合上述結(jié)論, 這也正是我們這一節(jié)將要研究的余弦定理, 下面我們給出余弦定理的具體內(nèi)容.( 給出幻燈片1.1.2b)推進(jìn)新課1. 余弦定理 : 三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍 .在幻燈片1.

8、1.2b中我們可以看到它的兩種表示形式:形式一 :a2=b2+c2-2bccosa,b2=c+a2-2cacosb,c2=a2+b2-2abcosc.形式二 :bcacba2cos222,cabacb2cos222,abcbac2cos222.師 在余弦定理中 , 令c =90時(shí) , 這時(shí)cosc=0, 所以c2=a2+b2, 由此可知余弦定理是勾股定理的推廣 . 另外 , 對(duì)于余弦定理的證明, 我們也可以仿照正弦定理的證明方法二采用向量法證明, 以進(jìn)一步體會(huì)向量知識(shí)的工具性作用. 合作探究 2. 向量法證明余弦定理(1) 證明思路分析師 聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)和方法，可用什么途徑來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題？

9、用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因a、b均未知，所以較難求邊c由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出現(xiàn) , 從而可以考慮用向量來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題由于涉及邊長(zhǎng)問(wèn)題，那么可以與哪些向量知識(shí)產(chǎn)生聯(lián)系呢?生 向量數(shù)量積的定義式ab=|a|b|cos, 其中 為a、b的夾角 .師 在這一點(diǎn)聯(lián)系上與向量法證明正弦定理有相似之處, 但又有所區(qū)別 . 首先因?yàn)闊o(wú)須進(jìn)行正、余弦形式的轉(zhuǎn)換, 也就少去添加輔助向量的麻煩. 當(dāng)然 , 在各邊所在向量的聯(lián)系上仍然通過(guò)向量加法的三角形法則, 而在數(shù)量積的構(gòu)造上則以兩向量夾角為引導(dǎo), 比如證明形式中含有角c,則構(gòu)造cacb ?這一數(shù)量積以使出現(xiàn)cosc. 同樣在證明過(guò)程中應(yīng)注意兩向量夾角

10、是以同起點(diǎn)為前提 .(2) 向量法證明余弦定理過(guò)程:如圖，在abc中, 設(shè)ab、bc、ca的長(zhǎng)分別是c、a、b.由向量加法的三角形法則，可得bcabac,cos2)180cos(22)()(222222abaccbcbbcababbcbcababbcabbcabacac?即b2=c2+a2-2ac cosb.由向量減法的三角形法則，可得abacbc,222222cos2cos22)()(cabcbabaabacacababacacabacabacbcbc?即a2=b2+c2-2bccosa.由向量加法的三角形法則, 可得bcaccbacab,cos2cos22)()(222222acbabbc

11、cbcacacbcbcacacbcacbcacabab?即c2=a2+b2-2abcosc. 方法引導(dǎo) (1) 上述證明過(guò)程中應(yīng)注意正確運(yùn)用向量加法( 減法 ) 的三角形法則 .(2) 在證明過(guò)程中應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意的是兩向量夾角的確定,ac與ab屬于同起點(diǎn)向量, 則夾角為a;ab與bc是首尾相接 , 則夾角為角b的補(bǔ)角 180-b;ac與bc是同終點(diǎn) , 則夾角仍是角c. 合作探究 師 思考：這個(gè)式子中有幾個(gè)量？從方程的角度看已知其中三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量，能否由三邊求出一角？生（留點(diǎn)時(shí)間讓學(xué)生自己動(dòng)手推出）從余弦定理，又可得到以下推論：bacabcacbcabbcacba2cos,2cos,

12、2cos222222222.師 思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？生（學(xué)生思考片刻后會(huì)總結(jié)出）若abc中，c =90，則cosc=0，這時(shí)c2=a2+b2. 由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例師 從余弦定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，在一個(gè)三角形中，如果兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是直角；如果兩邊的平方和小于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是鈍角，如果兩邊的平方和大于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是銳角從上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推廣現(xiàn)在，三角函數(shù)把幾

13、何中關(guān)于三角形的定性結(jié)果都變成可定量計(jì)算的公式了師 在證明了余弦定理之后, 我們來(lái)進(jìn)一步學(xué)習(xí)余弦定理的應(yīng)用(給出幻燈片1.1.2b)通過(guò)幻燈片中余弦定理的兩種表示形式我們可以得到, 利用余弦定理, 可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問(wèn)題:(1) 已知三邊 , 求三個(gè)角 .這類問(wèn)題由于三邊確定, 故三角也確定 , 解唯一 , 課本 p8例 4 屬這類情況 .(2) 已知兩邊和它們的夾角, 求第三邊和其他兩個(gè)角.這類問(wèn)題第三邊確定, 因而其他兩個(gè)角唯一, 故解唯一 , 不會(huì)產(chǎn)生類似利用正弦定理解三角形所產(chǎn)生的判斷取舍等問(wèn)題.接下來(lái) , 我們通過(guò)例題來(lái)進(jìn)一步體會(huì)一下.例題剖析【例 1】在abc中，已知b=

14、60 cm ，c=34 cm ，a=41，解三角形（角度精確到1，邊長(zhǎng)精確到 1 cm ）.解： 根據(jù)余弦定理，a2=b2+c2-2bccosa=602+342- 26034cos413 600+1 156- 4 0800.754 71 676.82,所以a41 cm.由正弦定理得sinc=4141sin34sinaac41656. 0340.544 0,因?yàn)閏不是三角形中最大的邊，所以c是銳角 . 利用計(jì)數(shù)器可得c33,b=180 -a-c=180 - 41 - 33=106.【例 2】在abc中，已知a =134.6 cm ，b=87.8 cm ，c =161.7 cm ，解三角形 .解：

15、 由余弦定理的推論, 得cosa=7.1618 .8726.1347.1618.872222222bcacb0.554 3,a5620;cosb=7.1616 .13428.877.1616.1342222222cabac0.839 8,b3253;c =180 -(a+b)=180 - (5620+3253)=9047. 知識(shí)拓展 補(bǔ)充例題：【例 1】在abc中, 已知a=7,b=10,c=6, 求a、b和c.( 精確到 1)分析 : 此題屬于已知三角形三邊求角的問(wèn)題, 可以利用余弦定理, 意在使學(xué)生熟悉余弦定理的形式二 .解： 725.0610276102cos222222bcacba,a

16、44.cosc=140113107261072222222abcba0.807 1,c36.b=180 -(a+c)=180 - (44+36)=100. 教師精講 (1) 為保證求解結(jié)果符合三角形內(nèi)角和定理, 即三角形內(nèi)角和為180, 可用余弦定理求出兩角, 第三角用三角形內(nèi)角和定理求出.(2) 對(duì)于較復(fù)雜運(yùn)算, 可以利用計(jì)算器運(yùn)算.【例 2】在abc中, 已知a=2.730,b=3.696,c=8228, 解這個(gè)三角形( 邊長(zhǎng)保留四個(gè)有效數(shù)字, 角度精確到1).分析 : 此題屬于已知兩邊及其夾角解三角形的類型, 可通過(guò)余弦定理形式一先求出第三邊, 在第三邊求出后其余角求解有兩種思路: 一是

17、利用余弦定理的形式二根據(jù)三邊求其余角, 二是利用兩邊和一邊對(duì)角利用正弦定理求解, 但根據(jù)1.1.1斜三角形求解經(jīng)驗(yàn), 若用正弦定理需對(duì)兩種結(jié)果進(jìn)行判斷取舍, 而在 0180之間 , 余弦有唯一解, 故用余弦定理較好.解： 由c2=a2+b2-2abcosc=2.7302+3.6962- 22.7303.696cos8228,得c4.297.cosa=297. 4696. 32730.2297.4696. 32222222bcacb0.776 7,a392.b=180 -(a+c)=180 - (392+8228)=5830. 教師精講 通過(guò)例2, 我們可以體會(huì)在解斜三角形時(shí), 如果正弦定理與余

18、弦定理都可選用,那么求邊用兩個(gè)定理均可, 求角則用余弦定理可免去判斷取舍的麻煩.【例 3】在abc中, 已知a=8,b=7,b=60, 求c及 sabc.分析 : 根據(jù)已知條件可以先由正弦定理求出角a, 再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出角c, 再利用正弦定理求出邊c,而三角形面積由公式sabc=21acsinb可以求出 .若用余弦定理求c,表面上缺少c, 但可利用余弦定理b2=c2+a2-2cacosb建立關(guān)于c的方程 , 亦能達(dá)到求c的目的 .下面給出兩種解法.解法一 : 由正弦定理得60sin7sin8a,a1=81.8,a2=98.2,c1=38.2,c2=21.8.由ccsin60sin7,

19、 得c1=3,c2=5,sabc=36sin211bac或 sabc=310sin212bac.解法二 : 由余弦定理得b2=c+a2-2cacosb,72=c+82- 28ccos60,整理得c2-8c+15=0,解之 , 得c1=3,c2=5. s abc=36sin211bac或 sabc= 310sin212bac. 教師精講 在解法一的思路里, 應(yīng)注意由正弦定理應(yīng)有兩種結(jié)果, 避免遺漏 ; 而解法二更有耐人尋味之處 , 體現(xiàn)出余弦定理作為公式而直接應(yīng)用的另外用處, 即可以用之建立方程, 從而運(yùn)用方程的觀點(diǎn)去解決, 故解法二應(yīng)引起學(xué)生的注意.綜合上述例題, 要求學(xué)生總結(jié)余弦定理在求解三

20、角形時(shí)的適用范圍; 已知三邊求角或已知兩邊及其夾角解三角形, 同時(shí)注意余弦定理在求角時(shí)的優(yōu)勢(shì)以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知兩邊、一角解三角形可用余弦定理解之.課堂練習(xí)1. 在abc中:(1) 已知c=8,b=3,b=60, 求a;(2) 已知a=20,bb=29,c=21，求b;(3) 已知a=33,c=2,b=150, 求b;(4) 已知a=2,b=2，c=3+1, 求a.解： (1) 由a2=b2+c2-2bccosa，得a2=82+32- 283cos60=49.a=7.(2) 由cabacb2cos222, 得021202292120cos222b. b=90.(3) 由b2=c2+a2-2cacosb, 得b2=(33)2+22- 2332cos150=49.b=7.(4) 由bcacba2cos222, 得22) 13(222) 13()2(cos222a. a=45.評(píng)述 : 此練