D2數(shù)學(xué)方法在級(jí)數(shù)求和教學(xué)中的運(yùn)用

1、數(shù)學(xué)方法在級(jí)數(shù)求弄口教學(xué) 中 的運(yùn)用無(wú)錫市m - m課題組顧曼生（崇安職校214005）無(wú)窮級(jí)數(shù)在數(shù)學(xué)中是出現(xiàn)得很早的，從十八世紀(jì)至今，無(wú)窮級(jí)數(shù)一直被認(rèn)為是微積分不 可缺少的一部分，它是計(jì)算初等超越函數(shù)的最有效的工具。隨著研究領(lǐng)域的逐漸發(fā)展，數(shù)學(xué) 家們運(yùn)用無(wú)窮級(jí)數(shù)所収得的成功越來(lái)越多。而這些成功，可以毫不夸大地說(shuō)，兒乎都運(yùn)用了 數(shù)學(xué)思想方法，也就是說(shuō)，級(jí)數(shù)的成功可以看作是數(shù)學(xué)思想方法的成功。1因此，在級(jí)數(shù) 的教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)方法是顯然的事。也只冇運(yùn)用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行級(jí)數(shù)的教學(xué)，才可以使學(xué)生易 于接受，起到化難為易的效果。%1 遵循“一般化、特殊化”的認(rèn)識(shí)規(guī)律從特殊到一般，由一般到特殊是人類(lèi)認(rèn)識(shí)客觀世

2、界的一個(gè)普遍規(guī)律。在人類(lèi)探索世界的 奧妙的奮斗屮誕牛和發(fā)展起來(lái)的任何一門(mén)學(xué)科都將受到這一規(guī)律的制約。數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng) 然也不例外，同樣要被納入這一規(guī)律的模式之屮。為此，苦名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教冇家g.波利亞 在數(shù)學(xué)與猜想小用了一章的篇幅來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題，認(rèn)為一般化、特殊化和類(lèi)比是獲得發(fā) 現(xiàn)的偉大源泉。g.波利亞在這一章中也正是舉了瑞士數(shù)學(xué)家l.歐拉在級(jí)數(shù)方而的例子：求,1111111h1111 4 91625 36 49的和。2教學(xué)過(guò)程包括教和學(xué)兩個(gè)方而，是教師與學(xué)綸共同活動(dòng)的過(guò)程，然而就其本質(zhì)而言，是 學(xué)生在掌握知識(shí)的基礎(chǔ)上發(fā)展能力的過(guò)程，發(fā)展認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程，即學(xué)生認(rèn)識(shí)客觀世界的過(guò) 程。由于學(xué)牛的認(rèn)

3、識(shí)過(guò)程是受到認(rèn)識(shí)的普遍規(guī)律制約的，因此在教學(xué)中，教師的教不能違背 這一規(guī)律來(lái)組織教學(xué)。在級(jí)數(shù)求和的教學(xué)屮當(dāng)然也必須遵循這一認(rèn)識(shí)規(guī)律。例如，應(yīng)該在級(jí)數(shù)求和的教學(xué)開(kāi)始時(shí)，先復(fù)習(xí)公比小于1的無(wú)窮等比級(jí)數(shù)的求和公式： + g + g +g + qh + = q<.i_qco / qn0以便使學(xué)生可以從一般到特殊地認(rèn)識(shí)到級(jí)數(shù)工- 就是公比為蘭的無(wú)窮等比級(jí)數(shù)，其和只要 幺1丿500 n直接利用公式就可以得到。而級(jí)數(shù)工歸的和可以通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃危瘹w為無(wú)窮等比級(jí)數(shù)來(lái) n=l 3"求。+ - + -的和,然后再將其特57又如，求級(jí)數(shù)t+扛+.的利可以安排在無(wú)窮級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)可微、逐項(xiàng)可積等性質(zhì)的復(fù)習(xí)

4、之后,啟發(fā)學(xué)牛從特殊到一-般地先思考求級(jí)數(shù)a- 3%1 運(yùn)用“關(guān)系映射反演（rmi）”方法把較困難的問(wèn)題化歸為較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，這也是一種非常普遍的思想方法，其應(yīng)用范圍遠(yuǎn) 不限于數(shù)學(xué)領(lǐng)域。20世紀(jì)80年代，人們愈來(lái)愈明白：數(shù)學(xué)可以成為研究關(guān)系結(jié)構(gòu)形式的科學(xué)。 一-般所謂數(shù)學(xué)問(wèn)題無(wú)非是指有待確定的、或需要探求的某種未知關(guān)系。于是提出了 “關(guān) 系映射反演方法”（簡(jiǎn)稱(chēng)為rhi方法），這兒的“映射”是指實(shí)現(xiàn)化難為易的某種對(duì)應(yīng)方法或 變換手段，這兒的“反演”就是把變換后求得的解答再轉(zhuǎn)換成原來(lái)問(wèn)題所耍求的答案。3具 過(guò)程可以用框圖農(nóng)示如下：微分（求導(dǎo)）與積分是高等數(shù)學(xué)的最基木最主要的運(yùn)算，可用作映射反演方法解

5、決數(shù)學(xué) 中的許多問(wèn)題。由于它們互為逆運(yùn)算，所以在rm1程序中彼此成為逆映射。在級(jí)數(shù)求和的教 學(xué)中，充分運(yùn)用這一方法是化難為易的關(guān)鍵。00 2,1 + 18例如，求級(jí)數(shù)工 一的和，先對(duì)它逐項(xiàng)求導(dǎo)，就可以映射為等比級(jí)數(shù)yx2n求和，其 »=0 +1m=0和為一!，再對(duì)它逐項(xiàng)求積，反演為原級(jí)數(shù)的和。1-x2乂如，求級(jí)數(shù)£況1的和，先對(duì)它逐項(xiàng)求積，就可以映射為等比級(jí)數(shù)$>"求和，其和 n=n=為旦,再對(duì)它逐項(xiàng)求導(dǎo)，反演為原級(jí)數(shù)的和。1 -x0c 7? + 10c而求級(jí)數(shù)工 一與工n（n + l）*i的和，就必須使用兩次rm1方法，即先對(duì)它逐項(xiàng)求導(dǎo) 心如+ 1）心（積

6、）兩次，映射為等比級(jí)數(shù)求和后，再逐項(xiàng)求積（導(dǎo)）兩次：%1 級(jí)數(shù)求和的教學(xué)過(guò)程根據(jù)“一般化、特殊化”的認(rèn)識(shí)規(guī)律與“關(guān)系映射反演方法”，對(duì)級(jí)數(shù)求和的教學(xué)過(guò)程作了如下安排（二課時(shí)）：1.復(fù)習(xí)五個(gè)函數(shù)：esinx,cosxjn（l + x）,（l + a）a的馬克勞林展開(kāi)式，強(qiáng)調(diào)丄的展開(kāi)式 -x即無(wú)窮等比級(jí)數(shù)的求和公式。2講練下列問(wèn)題，介紹從一般到特殊的求和法（代公式法）:、2卄17v8 / °hcc -00求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)£ z , y-, y幺15丿!幺（2卄叭4丿3.講練下列問(wèn)題，介紹和式變換法（湊公式法）:(-1)"的和（注意特殊值應(yīng)在收斂區(qū)間內(nèi)）。co noo zcc

7、 /_ih+l求帚級(jí)數(shù)£上，工 _兀“+1的和函數(shù)。n=0 n=（）n=4. 復(fù)習(xí)收斂幕級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，強(qiáng)調(diào)逐項(xiàng)可導(dǎo)與逐項(xiàng)可積性；簡(jiǎn)介rmi方法及其框圖。5. 講練卜-列問(wèn)題，rti淺入深地介紹逐項(xiàng)求導(dǎo)法：g 2/z+l8?+1oo 2n+l求幕級(jí)數(shù)£ , y-, y-的和函數(shù)。（強(qiáng)調(diào)求導(dǎo)時(shí)首項(xiàng)的確定，反演時(shí)如何 ,=o2/7+1心曲+ 1）心0刃確定積分常'數(shù)等注意事項(xiàng)）6. 講練下列問(wèn)題，由淺入深地介紹逐項(xiàng)求積法：求幕級(jí)數(shù)+的和函數(shù)。（引導(dǎo)學(xué)生對(duì)逐項(xiàng)求導(dǎo)法與逐項(xiàng)求72=17z=in=0積法進(jìn)行比較，由學(xué)生小結(jié)何時(shí)用逐項(xiàng)求導(dǎo)法，何時(shí)用逐項(xiàng)求積法）7. 講練下列問(wèn)題，介紹從特殊到一般的求和法（引入變量法）：利用以上結(jié)果，求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)工丄 丄 ，工巴竿的和，并設(shè)求出1_丄+丄一丄+的和。 幺円+ 113丿紀(jì)2-13 5 78. 小結(jié)級(jí)數(shù)求和法為級(jí)數(shù)求和的數(shù)學(xué)方法。參考資料1 （美）m.