魯教版初中數(shù)學(xué)知識(shí)梳理--幾何

1、-作者xxxx-日期xxxx魯教版初中數(shù)學(xué)知識(shí)梳理-幾何【精品文檔】初中數(shù)學(xué)-（幾何部分）幾何基礎(chǔ)概念（8冊(cè)上）定義：一般地，用來說明一個(gè)名詞或者一個(gè)術(shù)語的意義的語句叫做定義。命題：判斷一件事情的句子叫做命題。（命題就是具有真假意義的一句話）命題通常由條件和結(jié)論兩部分組成，條件是已知的事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推斷的事項(xiàng)，命題寫成“如果那么”的形式。 正確的命題叫做真命題，不正確的命題叫做假命題。證明：判斷一個(gè)命題的推理的過程叫做證明。公理：通過長(zhǎng)期實(shí)踐總結(jié)出來，并且被人們公認(rèn)的真命題叫做公理。定理：通過推理得到證實(shí)的真命題叫做定理。證明一個(gè)命題的正確性，要按“已知”，“求證”，“證明”的順序和格

2、式書寫。一、直線直線的性質(zhì)：直線沒有粗細(xì)、向兩方無限伸展。兩條直線的位置關(guān)系：1、相交，2、平行（重合看做是平行的特例）。1、兩條相交直線（1）斜交。直線AB和直線CD相交于點(diǎn)O。如圖1和2,叫做是對(duì)頂角。它們有公共頂點(diǎn)O，且他們的兩邊是互為反向延長(zhǎng)線。同樣3和4是對(duì)頂角。BACD123403A BEFO1 2定理：對(duì)頂角相等。1和4，1和3, 2和4，2和3是互為補(bǔ)角。即1+4=180º（2）垂直。直線AB和直線EF相交于O點(diǎn)，其中AOF=90º，則稱直線AB和直線EF互相垂直。由此AOE、EOB、BOF都是90º。1+2=BOF=90º，稱1和2是互

3、為余角。定理：同角或等角的余角相等。同角或等角的補(bǔ)角相等。（3）作圖已知線段AB，O是線段AB上中點(diǎn)，過O點(diǎn)作線段CD，使得CDAB。已知直線AB，P是直線AB外一點(diǎn)。過P作直線AB的垂線作已知AOB的平分線已知AOB，作AOB，使得AOB=AOB。作法：略（六冊(cè)下，P53）2、兩條直線平行（1）有關(guān)概念：同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角。如圖，直線AB和直線CD被直線L所截，同位角有：1和2，3和4，5和6，4 2 8 63 17 5LC AD B 7和8。內(nèi)錯(cuò)角有：2和7，5和4。同旁內(nèi)角有：2和5，7和4。（2）兩條直線如果沒有交點(diǎn)，稱這兩條直線平行。（3）兩條直線平行判定定理：兩條直線被第三條

4、直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行。兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行。（4）兩條直線平行性質(zhì)定理：A B C a b c F 如果兩條互相平行的直線被第三條直線所截，那么同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。（5）作圖已知直線AB，求作直線CD，使得CDAB。二、多邊形(三角形)1、概念。由不在同一條直線上的三條線段首尾順次連接所組成的圖形叫做三角形。三角形有三條邊、三個(gè)內(nèi)角和三個(gè)頂點(diǎn)。如圖：頂點(diǎn)是A，B，C的三角形記作ABC。A所對(duì)邊BC用 a來表示。B所對(duì)邊AC用b來表示，邊AB用c來表示

5、。BCF叫ACB的外角。有三個(gè)外角。2、分類。按角分有：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。 按邊分有：一般三角形，等腰三角形、等邊三角形。特殊的有等腰直角三角形。3、三角形的性質(zhì)。（1）三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。（2）三角形三個(gè)內(nèi)角之和等于180º。（3）直角三角形的兩個(gè)銳角互余。（4）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。（5）三角形的邊、角關(guān)系：三角形中，等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊。大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊。（6）三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。（7）角平分線的性質(zhì)：一個(gè)角平分線上的點(diǎn)，到這個(gè)角的兩邊的距離相等；反過來，與一個(gè)角的兩

6、邊等距離的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。（8）內(nèi)心：三角形的三個(gè)內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn)，叫做內(nèi)心。是三角形內(nèi)切圓的圓心。（9）外心：三角形的三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，叫做外心。是三角形外接圓的圓心。（10）垂心：三角形的三條高交于一點(diǎn)，叫做垂心。（11）重心：三角形的三條中線交于一點(diǎn)，叫做重心。且重心和各邊中點(diǎn)的距離等于這邊上中線的三分之一。如圖：E、F、G分別為三邊的中點(diǎn)。 O B F CEAGOF=13AF，OA=23AFOE=13BE，OB=23BEOG=13CG，OC=23CG4、全等三角形（1）定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。例如ABC和DEF能夠完全重合，它們是全等的。記作“AB

7、CDEF”（2）全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。例 如圖ABCBAD，找出它們的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角。A B C D 解：AC與BD，BC與AD，AB與BA是對(duì)應(yīng)邊。ABC與BAD，BAC與ABD，C與D是對(duì)應(yīng)角。（3）全等三角形的判定定理：如果三角形的三條邊分別相等，那么這兩個(gè)三角形全等。記作（邊邊邊）或（SSS）。如果三角形的兩角及夾邊分別相等，那么這兩個(gè)三角形全等。記作（角邊角）或（ASA）。如果三角形的兩邊及夾角分別相等，那么這兩個(gè)三角形全等。記作（邊角邊）或（SAS）。如果三角形的兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等，那么這兩個(gè)三角形全等。記作（角角邊）或（AAS）。

8、例 已知：如圖在ABC中，BF=DE，DEAB，DFAC求證：D為BC的中點(diǎn)。證明：DEAB，DFAC（已知）B D C E F A B=EDC，（平行線性質(zhì)）C=BDF， 在BFD和DEC中 B=EDC，C=BDF，BF=DE BFDDEC（AAS） BD=DC（全等三角形性質(zhì)） 故，D為BC的中點(diǎn)。（4）作圖已知：線段a，c，。求作：ABC，使BC=a，AB=c，ABC=.已知：線段c，求作：ABC使A=，B=，AB=c。5、等腰三角形 軸對(duì)稱圖形及性質(zhì)：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠相互重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸。 在軸對(duì)稱圖形或兩個(gè)成軸對(duì)

9、稱的圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等。 簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形及性質(zhì)：線段是軸對(duì)稱圖形，垂直平分線段的直線是它的一條對(duì)稱軸。線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。角是軸對(duì)稱圖形，角分線所在的直線是它的對(duì)稱軸。角分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。等腰三角形：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形。等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合（也稱三線合一）。它們所在的直線是等腰三角形的對(duì)稱軸。性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等。判定定理：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊相等。等邊三角形：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形。等邊三角形的三個(gè)角都相等

10、。6、直角三角形（1）定義：有一個(gè)角等于90º的三角形叫做直角三角形。（2）性質(zhì)：直角三角形的兩個(gè)銳角互余。推論：等腰直角三角形的底角等于45°。在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30º，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角是30°。勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方的和等于斜邊的平方。如果用a，b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a²+b²=c²。判定定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足，那么這個(gè)三角形是直角三

11、角形。b a c （3）直角三角形全等的判定：兩條直角邊分別相等的兩直角三角形全等。一邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩直角三角形全等。斜邊和一條直角邊分別相等的兩直角三角形全等。（4）、銳角三角函數(shù)三角函數(shù)是講角與兩邊的比值的關(guān)系（就是度數(shù)與數(shù)值的關(guān)系）。不同角的大小，對(duì)應(yīng)不同的數(shù)值（兩邊的比值）。定義：在RtABC中如果銳角A確定，那么A的對(duì)邊與斜邊的比、鄰邊與斜邊的比、對(duì)邊與鄰邊的比也隨之確定。A的對(duì)邊與斜邊的比叫做A的正弦。記作sinAA的鄰邊與斜邊的比叫做A的余弦。記作cosAA的對(duì)邊與鄰邊的比叫做A的正切。記作tgAA的鄰邊與對(duì)邊的比叫做A的余切。記作ctgA， ， ， ， A BaCb C

12、、30º、45、º60º角的三角函數(shù)值sinAcosAtgActgA30º45º1 160º（5）、解直角三角形（九冊(cè)上）由直角三角形中已知的元素，求出其他所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。在RtABC中，C=90º，A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c?？傻孟铝嘘P(guān)系：銳角之間關(guān)系：AB=90º三邊之間關(guān)系：a²b²c²角與邊之間關(guān)系：，。例 在ABC中，A=60º，B=45º，AC=12，求AB的長(zhǎng)。解：過點(diǎn)C作CDAB，垂足為D。在RtADC中，AC=12，A

13、=60ºAD=AC=×12=6 CD=AC·sinA=12×=在RtBDC中，B=45 ºBDC=90 º A D BCBCD=45 ºBD=CD=AB=AD+BD=6三、多邊形（四邊形（七冊(cè)下）分類：四邊形平行四邊形矩形正方形 菱形 梯形等腰梯形 直角梯形1、 平行四邊形（1）定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。連接平行四邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做這個(gè)平行四邊形的對(duì)角線。（2）性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等，對(duì)角相等。0 A B C D 平行四邊形的對(duì)線互相平分。 AB=CD AC=BD OA=OD OB=OC

14、CAB=BDC ACD=ABD。 （3）判定：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。（定義） 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。（定理） 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。（定理） 兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。（定理）2、 菱形（1）定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。（2）性質(zhì)：菱形的四條邊相等；兩條對(duì)角線互相垂直平分；每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。（3）判定：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。 兩條對(duì)角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形。 四條邊都相等四邊形是菱形。3、 矩形（1）定義：有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形叫做矩形。（2）性質(zhì)：矩形的兩條對(duì)角線相等，四個(gè)角都是直角

15、。（3）判定：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。 兩條對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。 有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。4、正方形(1)定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。(2)性質(zhì)：正方形的四條邊都相等；四個(gè)角都是直角。 正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。(3)判定：有一組鄰邊相等的矩形是正方形。 對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形。 有一個(gè)角是直角的菱形是正方形。 對(duì)角線相等的菱形是正方形。5、梯形 (1)概念：一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形。平行是兩邊叫做梯形的底，不平行的兩邊叫做梯形的腰，夾在兩底之間的垂線段叫做梯形的高。連接梯形的兩腰中點(diǎn)的線段叫

16、做梯形的中位線。梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，且等于兩底和的一半。6、等腰梯形定義：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。性質(zhì)：等腰梯形同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等。 等腰梯形的兩條對(duì)角線相等。判定：同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形。7、直角梯形：一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。8、多邊形的內(nèi)角和外角n邊形的內(nèi)角和等于（n2）×180º。多邊形的外角和等于360º。9、中心對(duì)稱圖形（1）中心對(duì)稱圖形：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180º。如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形。 性質(zhì)：中心對(duì)稱圖形上的每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連成的線段都被對(duì)稱

17、中心平分。（2）兩個(gè)圖形關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180º。能與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)成中心對(duì)稱。 性質(zhì)：成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等。四、相似形（8冊(cè)上）1、線段的比定義：在使用同一長(zhǎng)度單位的情況下，表示兩條線段長(zhǎng)度的數(shù)值的比，叫做兩條線段的比。例如線段AB、CD的比可以記作（或AB：CD）。線段AB，CD分別叫做線段比的前項(xiàng)和后項(xiàng)。2、比例線段定義：四條線段a，b，c，d中，如果a與b的比等于c與d的比，即 （或a：b=c：d）那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段。簡(jiǎn)稱比例線段。線段a，b，c，d叫做這個(gè)比例的項(xiàng)。a,d叫做比例的外項(xiàng)

18、，b，c叫做比例的內(nèi)項(xiàng)。當(dāng)兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)相等時(shí)，即a：b= b：d， b 叫做比例中項(xiàng)。比例的性質(zhì)： 如果，那么ad=bc。即比例的兩外項(xiàng)的乘積等于兩內(nèi)項(xiàng)的乘積。（基本性質(zhì)）反之，如果ad=bc，那么（a，b，c，d都不等于0）如果，那么 （反比定理）如果，那么 或 （更比定理）如果，那么 (合比定理)如果，那么 （分比定理）如果，那么 （合分比定理）如果=，那么 （b+d+n0）（等比定理）3、相似三角形（1）定義：三個(gè)角相等，三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。ABC和ABC相似，記作ABCABC。相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。（2）相似三角形的判斷：兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等兩個(gè)三角形相似。三邊對(duì)

19、應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似。（3）相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)角分線的比、對(duì)應(yīng)中線的比都等于相似比。相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方。4、相似多邊形定義：兩個(gè)多邊形的邊數(shù)相同，個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，個(gè)邊對(duì)應(yīng)成比例，這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方。5、位似圖形（8冊(cè)上）定義：如果兩個(gè)相似圖形的每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在直線都交于一點(diǎn)，那么這兩個(gè)相似圖形叫做位似圖形。這個(gè)交點(diǎn)叫做位似中心。這兩個(gè)相似圖形的比叫做它們的位似比。性質(zhì)：位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同

20、一條在線上，任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比。例 如圖，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)（1）如果DEBC，那么ADE和ABCB CA E D 是位似圖形嗎？為什么？（2）如果那么ADE和ABC是位似圖形，那么DEBC嗎？為什么？解：（1）DEBCADE=B，AED=CADEABC又點(diǎn)A是ADE和ABC的公共點(diǎn)，點(diǎn)D和點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)E和點(diǎn)C是對(duì)應(yīng)點(diǎn)， 直線BD和CE相交于點(diǎn)AADE和ABC是位似圖形。（2）ADE和ABC是位似圖形ADEABCADE=BDEBC五、圓1、圓的有關(guān)概念到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓（到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡）其中，定點(diǎn)稱為圓心。定長(zhǎng)稱

21、為半徑。以點(diǎn)O為圓心的圓記作O。半徑相等的兩個(gè)圓叫做等圓。圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。在同圓或等圓中，能夠重合的兩條弧叫做等弧。圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓為兩條等弧，每一條弧都叫做半圓。2、圓的性質(zhì)（1）圓是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是任意一條過圓心的直線，（2）圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為圓心。（3）垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。（4）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。3、圓心角 （1） 定義：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。 （2）性質(zhì)：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等

22、。 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等。 圓心角的度數(shù)與它所對(duì)的弧的度數(shù)相等。4、圓周角（1）定義：頂點(diǎn)在圓上，它們的兩邊在圓內(nèi)的部分分別是圓的弦，叫做圓心角。（2）性質(zhì)：圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于等于它所對(duì)弧的度數(shù)一半。 圓周角的度數(shù)等于等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)一半。 在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。 直徑所對(duì)的圓周角是直角。90°的圓周角所對(duì)的弦是直經(jīng)。5、外接圓（1）定義：經(jīng)過三角形各個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心。這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三

23、角形。（2）不在同一在線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。（3）定義：一般地，如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，那么這個(gè)多邊形叫做圓的內(nèi)接多邊形。這個(gè)圓叫做多邊形的外接圓。（4）定理：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。 圓內(nèi)接四邊形的任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角。6、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系設(shè)點(diǎn)P到圓心O的距離為d，圓O的半徑為 r，當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí)d>r；當(dāng)點(diǎn)P在圓上時(shí)d=r，當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí)d,<r。7、直線和圓的位置關(guān)系（內(nèi)切圓）（1）當(dāng)直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，稱直線和圓相交。兩個(gè)公共點(diǎn)叫做交點(diǎn)。當(dāng)直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，稱直線和圓相切。這條直線叫做圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。當(dāng)直線和圓有沒有公共點(diǎn)時(shí)，稱直線和圓相離。（2）切線的判定：經(jīng)過半徑外端并且垂直于半徑的直線是圓的切線。（3）切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。（4）內(nèi)切圓：與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。內(nèi)切圓的圓心