七年級數(shù)學培優(yōu)班講義[1]

1、七年級數(shù)學培優(yōu)班講義1 作者: 日期：初一數(shù)學基礎知識講義第一講和絕對值有關(guān)的問題知識結(jié)構(gòu)框圖:23絕對值的意義:(1)幾何意義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù) a的點到原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作 同代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身； 負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；零的絕對值是零。a當a為正數(shù)也可以寫成：|a| 0當a為0a當a為負數(shù)說明：(I ) |a| >0gP|a|是一個非負數(shù)；(n) |a|概念中蘊含分類討論思想。典型例題例1.(數(shù)形結(jié)合思想)已知a、b、c在數(shù)軸上位置如圖:則代數(shù)式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |A . -3a B . 2c-a

2、C . 2a 2b解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a- (a+b)+(c-a)+b-c=-3a的值等于(A ).一D. bh a 0 c分析：解絕對值的問題時，往往需要脫去絕對值符號，化成一般的有理數(shù)計算。脫去絕對值的符 號時，必須先確定絕對值符號內(nèi)各個數(shù)的正負性，再根據(jù)絕對值的代數(shù)意義脫去絕對值符號。這道例題運用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，由 a、b、c在數(shù)軸上的對應位置判斷絕對值符號內(nèi)數(shù)的符號，從而去掉絕對值符號，完成化簡。例 2.已知：x 0 z , xy 0 , H y z x, 那么 x z y z x y的伯：(C )A.是正數(shù)B.是負數(shù)C.

3、是零D.不能確定符號解：由題意，x、v、z在數(shù)軸上的位置如圖所示：所 xzyzxy 以x z (y z) (x y)J：=a u0分析：數(shù)與代數(shù)這一領域中數(shù)形結(jié)合的重要載體是數(shù)軸。這道例題中三個看似復雜的不等關(guān)系借助數(shù)軸直觀、輕松的找到了 x、y、z三個數(shù)的大小關(guān)系，為我們順利化簡鋪平了道路。雖然例題 中沒有給出數(shù)軸，但我們應該有數(shù)形結(jié)合解決問題的意識。例3.(分類討論的思想)已知甲數(shù)的絕對值是乙數(shù)絕對值的3倍，且在數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點的兩側(cè)，兩點之間的距離為 8,求這兩個數(shù)；若數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點同側(cè) 呢？分析：從題目中尋找關(guān)鍵的解題信息，”數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點的兩側(cè)

4、”意味著甲乙兩數(shù) 符號相反，即一正一負。那么究竟誰是正數(shù)誰是負數(shù)，我們應該用分類討論的數(shù)學思想解決這一 問題。解：設甲數(shù)為x,乙數(shù)為y由題意得：x 3 y ,(1)數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點兩側(cè)：若x在原點左側(cè)，y在原點右側(cè)，即x<0 , y>0,則4y=8,所以y=2 ,x= -6若x在原點右側(cè)，y在原點左側(cè)，即x>0 , y<0,則-4y=8,所以y=-2,x=6（2）數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點同側(cè):若x、y在原點左側(cè)，即x<0y<0,則-2y=8,所以 y=-4,x=-12若x、y在原點右側(cè)，即x>0y>0,則 2y=8,所以 y=4,

5、x=12例4.（整體的思想）方程A. 1 個 B . 2 個 C2008.3個2008 x的解的個數(shù)是（D ）分析：這道題我們用整體的思想解決。將 x-2008看成一個整體，問題即轉(zhuǎn)化為求方程的解，利用絕對值的代數(shù)意義我們不難得到，負數(shù)和零的絕對值等于它的相反數(shù)，所以零和任意 負數(shù)都是方程的解，即本題的答案為 a例5.（非負性）已知|ab2|與|a 1|互為相互數(shù)，試求下式的值.12007 b 2007111 L ab a 1 b 1 a 2 b 2 a分析：利用絕對值的非負性，我們可以得到:|ab -2|=|a -1|=0 ,解得：a=1,b=21于是 ab a 11L1 a 2 b 2a

6、2007 b 20071112 2 3 3 4111112 2 3 3 411 20092008200912008 2009112008 2009在上述分數(shù)連加求和的過程中，我們采用了裂項的方法，巧妙得出了最終的結(jié)果.同學們可以再111深入思考，2-7 n r-812008 2010如果題目變成求值，你有辦法求解嗎？有興趣的同學可以在課下繼續(xù)探究。例6.(距離問題)觀察下列每對數(shù)在數(shù)軸上的對應點間的距離4與2, 3與5, 2與6,4與3.并回答下列各題：(1)你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個數(shù)的差的絕對值有什么關(guān)系嗎？答：相等 (2)若數(shù)軸上的x A#示啖 1 x,點B表示的數(shù)為一1,則A與B兩點間的

7、距離 可以表示為.分析：點B表示的數(shù)為一1,所以我們可以在數(shù)軸上找到點 B所在的位置。那么點A呢？因為x可以表示任意有理數(shù)，所以點 A可以位于數(shù)軸上的任意位置。那么，如何求出 A與B兩點間的距離呢?結(jié)合數(shù)軸，我們發(fā)現(xiàn)應分以下三種情況進行討論。 IJAJ _-l 0-1Ox-1 s D當x<-1時，距離為-x-1,當-1<x<0時，距離為x+1, 當x>0,距離為x+1綜上，我們得到A與B兩點間的距離可以表示為I x 1(3)結(jié)合數(shù)軸求得|x 2 |x 3的最小值為 5,取得最小值時x的取伯范圍為 -3 &x 02.分析：|x 2即x與2的差的絕對值，它可以表示數(shù)

8、軸上 x與2之間的距離。x 3 x ( 3)即x與-3的差的絕對值，它也可以表示數(shù)軸上 x與-3之間的距離。如圖，x在數(shù)軸上的位置有三種可能：圖1圖2圖3圖2符合題意(4)滿足x 1 x3的x的取值范圍為 _x<-4或x>-1分析：同理|x 1 |表示數(shù)軸上x與-1之間的距離，|x 4 |表示數(shù)軸上x與-4之間的距離。本 題即求,當x是什么數(shù)時x與-1之間的距離加上x與-4之間的距離會大于3。借助數(shù) 軸，我們可以得到正確答案：x<-4或x>-1。說明：借助數(shù)軸可以使有關(guān)絕對值的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上有關(guān)距離的問題，反之，有關(guān)數(shù)軸上的距離問題也可以轉(zhuǎn)化為絕對值問題。這種相互轉(zhuǎn)化

9、在解決某些問題時可以帶來方便。事實上，A B|表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù) A與數(shù)B的點之間的距離。這是一個很有用的結(jié)論，我們正是利用這一結(jié)論并結(jié)合數(shù)軸的知識解決了（3）、（4）這兩道難題。三、 小結(jié)1 .理解絕對值的代數(shù)意義和幾何意義以及絕對值的非負性2 .體會數(shù)形結(jié)合、分類討論等重要的數(shù)學思想在解題中的應用第二講：代數(shù)式的化簡求值問題一、知識鏈接1.“代數(shù)式”是用運算符號把數(shù)字或表示數(shù)字的字母連結(jié)而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等內(nèi)容，是初中階段同學們應該重點掌握的內(nèi)容之一。2,用具體的數(shù)值代替代數(shù)式中的字母所得的數(shù)值，叫做這個代數(shù)式的值。注：一般來說，代數(shù)式的值隨著字母的取值的

10、變化而變化3.求代數(shù)式的值可以讓我們從中體會簡單的數(shù)學建模的好處，為以后學習方程、函數(shù)等知識打下基礎。、典型例題 例1.若多項式2mx2 x2 5x 8 7x2 3y 5x的值與x無關(guān),求 m2 2m2 5m 4 m 的值.分析：多項式的值與x無關(guān)，即含x的項系數(shù)均為零因為 2mx2 x2 5x 8 7x2 3y 5x22m 8 x 3y 8所以m=4將 m=4代人，m2 2m2 5m 4 mm2 4m 416 16 44利用“整體思想”求代數(shù)式的值例2. x=-2時，代數(shù)式ax5 bx3 cx 6的值為8,求當x=2時，代數(shù)式ax5 bx3 cx 6的值。分析：因為ax5 bx3 cx 6

11、8當 x=-2 時，25a 23b 2c 6 8 得到 25a 23b 2c 68,所以 25a 23b2c8 614當 x=2 時，ax5bx3cx 6=25a 23b 2c 6 (14)620例3.當代數(shù)式x23x5的值為7時，求代數(shù)式3x29x2的值.分析：觀察兩個代數(shù)式的系數(shù)由x2 3x 5 7 得x2 3x 2 ,利用方程同解原理，得3x2 9x 6整體代人，3x2 9x 2 4代數(shù)式的求值問題是中考中的熱點問題，它的運算技巧、解決問題的方法需要我們靈活掌握，整 體代人的方法就是其中之一。例4.已知a2 a 1 0,求a3 2a2 2007的值.分析：解法一(整體代人)：由a2 a

12、1 0 得a3 a2 a 03- 2所以：a 2a 2007322a a a 2007a a2 2007 1 20072008解法二（降次）：方程作為刻畫現(xiàn)實世界相等關(guān)系的數(shù)學模型，還具有降次的功能。由 a2 a 1 0 ,得 a2 1 a ,32所以：a 2a 20072_ 2_a a 2a 2007（1 a）a 2a2 2007a a2 2a2 20072 _a a 20071 20072008解法三（降次、消元）：a2 a 1 （消元、減項）3 _ 2_a 2a 2007a3 a2 a2 2007a（a2 a） a2 20072_a a 20071 20072008例5.（實際應用）A和

13、B兩家公司都準備向社會招聘人才，兩家公司招聘條件基本相同，只有工資待遇有如下差異：A公司，年薪一萬元，每年加工齡工資 200元；B公司，半年薪五千元,每半年加工齡工資50元。從收入的角度考慮，選擇哪家公司有利？分析：分別列出第一年、第二年、第 n年的實際收入（元）第一年：A 公司 10000; B 公司 5000+5050=10050第二年：A 公司 10200; B 公司 5100+5150=10250第 n 年：A公司 10000+200（n-1 ）;B 公司：5000+100(n-1)+5000+100(n-1)+50=10050+200(n-1)50元，如不細心考察很可能選錯。由上可以

14、看出B公司的年收入永遠比A公司多例6.三個數(shù)a、b、c的積為負數(shù)，和為正數(shù)，且 xb c |ab |ac |bcab ac bc '則ax3 bx2 cx 1的值是解:因為abc<0,所以a、b、c中只有一個是負數(shù),或三個都是負數(shù)又因為a+b+c>0,所以a、b、c中只有一個是負數(shù)。不妨設 a<0, b>0, c>0則 ab<0, ac<0, bc>0所以x=-1+1+1-1-1+1=0將x=0代入要求的代數(shù)式，得到結(jié)果為 1同理，當 b<0, c<0 時，x=0o變,料,另：觀察代數(shù)式aab c |ab |ac |bcc a

15、b acbc,交換a、b、c的位置，我們發(fā)現(xiàn)代數(shù)式不改這樣的代數(shù)式成為輪換式，我們不用對看看輪換式有哪些重要的性質(zhì)0規(guī)律探索問題:例7.如圖，平面內(nèi)有公共端點的六條射線方向依次在射線上寫出數(shù)字1, 2, 3(1) 17”在射線2008”在射線a、b、c再討論。有興趣的同學可以在課下查閱資OA OB OC OD OE OF,從身寸線OA開始按逆時針4, 5, 6, 7,(2)若n為正整數(shù)，則射線OA上數(shù)字的排列規(guī)律可以用含*代數(shù)式表示為分析：OA上排列的數(shù)為：1, 7, 13, 19,觀察得出，這列數(shù)的后一項總比前一項多6,歸納得到，這列數(shù)可以表示為 6n-5因為17=3X6-1 ,所以17在射

16、線OE±。因為 2008=334X6+4=335X6-2 ,所以 2008 在射線 OD±例8.將正奇數(shù)按下表排成5列:第一列 第二列第三列 第四列 第五列第一行1357第二行 1513119第三行17192123第四行31292725LL根據(jù)上面規(guī)律，2007應在D 251行,5列A. 125 行,3 列 B. 125行,2 歹U C. 251 行,2 列 分析：觀察第二、三、四列的數(shù)的排列規(guī)律，發(fā)現(xiàn)第三列數(shù)規(guī)律容易尋找第三列數(shù)：3, 11, 19, 27, L規(guī)律為8n-5因為 2007=250X8+7=251X8-1所以，2007應該出現(xiàn)在第一列或第五列又因為第251

17、行的排列規(guī)律是奇數(shù)行，數(shù)是從第二列開始從小到大排列,所以2007應該在第251行第5列例9. （2006年嘉興市）定義一種對正整數(shù) n的F”運算：當n為奇數(shù)時，結(jié)果為3n+5;當n為偶數(shù)時，結(jié)果為（其中k是使廣為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運算重復進行.例如，取 n= 26,則：若n=449,則第449次F運算”的結(jié)果是.n分析：問題的難點和解題關(guān)鍵是真正理解“ F”的第二種運算，即當n為偶數(shù)時，結(jié)果為?。ㄆ渲衝k是使2r為奇數(shù)的正整數(shù)），要使所得的商為奇數(shù)，這個運算才能結(jié)束。449奇數(shù)，經(jīng)過F”變?yōu)?352; 1352是偶數(shù)，經(jīng)過 下”變?yōu)?69,169是奇數(shù)，經(jīng)過千”變?yōu)?12, 512是偶數(shù)，經(jīng)

18、過下”變?yōu)?,1是奇數(shù)，經(jīng)過午”變?yōu)?, 8是偶數(shù)，經(jīng)過下”變?yōu)?,我們發(fā)現(xiàn)之后的規(guī)律了，經(jīng)過多次運算，它的結(jié)果將出現(xiàn) 1、8的交替循環(huán)。再看運算的次數(shù)是449,奇數(shù)次。因為第四次運算后都是奇數(shù)次運算得到8,偶數(shù)次運算得到1,所以，衛(wèi)果是8。三、小結(jié)用字母代數(shù)實現(xiàn)了我們對數(shù)認識的又一次飛躍。希望同學們能體會用字母代替數(shù)后思維的擴展，體會一些簡單的數(shù)學模型。體會由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。第三講：與一元一次方程有關(guān)的問題、知識回顧一元一次方程是我們認識的第一種方程，使我們學會用代數(shù)解法解決一些用算術(shù)解法不容易 解決的問題。一元一次方程是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，它既是對前面所學知識一一有理

19、數(shù)部分的鞏 固和深化，又為以后的一元二次方程、不等式、函數(shù)等內(nèi)容打下堅實的基礎。典型例題：二、典型例題例1 .若關(guān)于x的一元一次方程2x k3Tk=1的解是x=-1 ,則k的值是（1311a、b、c、d為實數(shù)，現(xiàn)規(guī)定一種新的運算a b ad bc.c dA. 2 B .1 C7分析：本題考查基本概念“方程的解”2x k x 3k因為x=-1是關(guān)于x的一元一次方程2x- qk=1的解,322 ( 1) k 1 3k13所以- 1,解得k=-32113a x例2.若方程3x-5=4和方程1 3a- 0的解相同，則a的值為多少？3分析：題中出現(xiàn)了兩個方程，第一個方程中只有一個未知數(shù)x,所以可以解這個

20、方程求得值；第二個方程中有a與x兩個未知數(shù)，所以在沒有其他條件的情況下，根本沒有辦法求得a與x的值，因此必須分析清楚題中的條件。因為兩個方程的解相同，所以可以把第一個方程中解得 x代入第二個方程，第二個方程也就轉(zhuǎn)化為一元一次方程了解：3x-5=4, 3x=9 , x=33ax _因為3x-5=4與萬程1 0的解相同3所以把x=3代人1 3a-0中 3- 3a 3即 1 3a0 得 3-3a+3=0, -3a=-6 , a=23例3.（方程與代數(shù)式聯(lián)系）(1)則1 2的值為; (2)當24 18時，x =1 2(1 x) 5分析：(1)即 a=1,分2, c=-1 , d=2,因為 a b ad

21、 bc,所以1 2=2- (-2) =4 c d1 2(2)由24 18 得：10-4 (1-x) =18(1 x) 5所以 10-4+4x=18,解得 x=3例4.(方程的思想)如圖，一個瓶身為圓柱體的玻璃瓶內(nèi)裝有高 a厘米的墨水，將瓶蓋蓋好后倒置，墨水水面高為h厘米，則瓶內(nèi)的墨水的體積約占玻璃瓶容積的(a b二C .Da ba b分析：左右兩個圖中墨水的體積應該相等，所以這是個等積變換問題，我們可以用方程的思想 解決問題解：設墨水瓶的底面積為 S,則左圖中墨水的體積可以表示為 Sa 設墨水瓶的容積為V,則右圖中墨水的體積可以表示為 V-Sb 于是，Sa= V-Sb, V= S(a+b)由題

22、意，瓶內(nèi)的墨水的體積約占玻璃瓶容積的比為Sa SaV S(a b)例5.小杰到食堂買飯，看到A、B兩窗口前面排隊的人一樣多，就站在 A窗口隊伍的里面， 過了 2分鐘，他發(fā)現(xiàn)A窗口每分鐘有4人買了飯離開隊伍，B窗口每分鐘有6人買了飯離開隊 伍，且B窗口隊伍后面每分鐘增加5人。此時，若小李迅速從 A窗口隊伍轉(zhuǎn)移到B窗口后面重 新排隊，將比繼續(xù)在A窗口排隊提前30秒買到飯，求開始時，有多少人排隊。分析：B窗口每分鐘有6人買了飯離開隊伍，且B窗口隊伍后面每分鐘增加5人”相當于B窗口 前的隊伍每分鐘減少1人，1題中的等量關(guān)系為：小李在 A窗口排隊所需時間=轉(zhuǎn)移到B窗口排隊所需時間+ 12解：設開始時，每

23、隊有x人在排隊，2 分鐘后，B窗口排隊的人數(shù)為：x-6 X2+5X2=x-2根據(jù)題意，可列方程：x 2人工- 462去分母得 3x=24+2(x-2)+6去括號得3x=24+2x-4+6移項得3x-2x=26 解得x=26所以，開始時，有26人排隊。課外知識拓展:一、含字母系數(shù)方程的解法：思考：ax b是什么方程？在一元一次方程的標準形式、最簡形式中都要求aw0,所以ax b不是一元一次方程我們把它稱為含字母系數(shù)的方程。例6.解方程ax b解：（分類討論）當a*0時，x -a當a=0, b=0時，即0x=0 ,方程有任意解當a=0, bw0時，即0x=b ,方程無解即方程ax b的解有三種情況

24、。例7.問當a、b滿足什么條件時，方程2x+5-a=1-bx : （1）有唯一解；（2）有無數(shù)解；（3） 無解。分析：先解關(guān)于x的方程，把x用a、b表示，最后再根據(jù)系數(shù)情況進行討論 解：將原方程移項得2x+bx=1+a-5,合并同類項得：（2+b）x=a-4當2+b0,即b-2時，方程有唯一解x當2+b=0且a-4=0時，即b=-2且a=4時，方程有無數(shù)個解,當2+b=0且a-4 w0時，即b=-2且a*4時，方程無解,在刀十力x 11 x解萬程a bab分析：根據(jù)題意，abw0,所以方程兩邊可以同乘ab去分母，得 b(x-1)-a(1-x)=a+b去括號，得 bx-b-a+ax=a+b移項，

25、并項得（a+b）x=2a+2b2a 2b 八當 a+bw 0 時，x =2當a+b=0時,方程有任意解說明：本題中沒有出現(xiàn)方程ax b中的系數(shù)a=0, bw0的情況，所以解的情況只有兩種。二、含絕對值的方程解法例9.解下歹【方程5x 2 3解法1:（分類討論）當 5x-2>0 時，即 x>2 , 5x-2=3 , 5x=5 , x=15因為x=1符合大前提x>-,所以此時方程的解是x=15當5x-2=0時，即x=2 , 得到矛盾等式0=3,所以此時方程無解5當 5x-2<0 時，即 x<2 , 5x-2= -3 , x=-55因為x= 1符合大前提x< 2

26、,所以此時方程的解是x=-5551綜上，萬程的解為x=1或x=-5注：求出x的值后應注意檢驗x是否符合條件解法2:（整體思想）聯(lián)想：a 3時，a=±3類比：5x 2 3 ,貝U 5x-2=3 或 5x-2=-31解兩個一兀一次萬程萬程的解為 x=1或x=-5“f 2x15例10. 解萬程 1解：去分母2| x-1|-5=3移項 2| x-1|=8| x-1|=4所以 x-1=4 或 x-1=-4解得x=5或x=-3例11.解方程 x 1 2x 1分析：此題適合用解法22當 x-1>0 時，即 x>1, x-1=-2x+1 , 3x=2, x=-3因為x=2不符合大前提x&

27、gt;1,所以此時方程無解3當x-1=0時，即x=1, 0=-2+1 , 0 =-1 ,此時方程無解當 x-1<0 時，即 x<1, 1-x=-2x+1 , x=0因為x=0符合大前提x<1,所以此時方程的解為x=0綜上，方程的解為x=0三、小結(jié)1、體會方程思想在實際中的應用2、體會轉(zhuǎn)化的方法，提升數(shù)學能力第四講：圖形的初步認識一、相關(guān)知識鏈接：1 .認識立體圖形和平面圖形我們常見的立體圖形有長方體、正方體、球、圓柱、圓錐，止匕外，棱柱，棱錐也是常見的幾何體。我們常見的平面圖形有正方形、長方形、三角形、圓2 .立體圖形和平面圖形關(guān)系立體圖形問題常常轉(zhuǎn)化為平面圖形來研究，常常會

28、采用下面的作法(1)畫出立體圖形的三視圖立體圖形的的三視圖是指正視圖（從正面看）、左視圖（從左面看）、俯視圖（從上面看）得 到的三個平面圖形。（2）立體圖形的平面展開圖常見立體圖形的平面展開圖圓柱、圓錐、三棱柱、三棱錐、正方體（共十一種）二、典型問題：（一）正方體的側(cè)面展開圖（共H一種）分類記憶：第一類，中間四連方，兩側(cè)各一個，共六種第二類，中間三連方，兩側(cè)各有一、二個，共三種第三類，中間二連方，兩側(cè)各有二個，只有一種第四類，兩排各三個，只有一種基本要求:1.在右面的圖形中是正方體的展開圖的有（(A) 3 種(B) 4 種(C) 5 種2 .下圖中，是正方體的展開圖是（B ）ABC3 .如圖四

29、個圖形都是由6個大小相同的正方形組成，其中是正方體展開圖的是（ D ）C.并且較高要求:4 .下圖可以沿線折疊成一個帶數(shù)字的正方體，每三個帶數(shù)字的面交于方體的 一個頂點，則相交于一個頂點的三個面上的數(shù)字之和最小是 （A105 . 一個正方體的展開圖如右圖所示，每一個面上都寫有一個自然數(shù) 相對 兩個面所寫的兩個數(shù)之和相等，那么 a+b-2c= （ B ）A. 40B.38C.36 D. 34分析：由題意8+a=b+4=c+25所以 b=4+a c=a-17所以 a+b-2c=a+(4+a)-2(a-17)=4+34=386 .將如圖所示的正方體沿某些棱展開后，能得到的圖形是（ C ）A.B .

30、C . D7.下圖是某一立方體的側(cè)面展開圖，則該立方體是（ D還原正方體，正確識別正方體的相對面。)（二）常見立體圖形的平面展開圖9.(A )A.正方體、圓柱、三棱柱、圓錐B.正方體、圓錐、三棱柱、圓柱C,正方體、圓柱、三棱錐、圓錐D.正方體、圓柱、四棱柱、圓錐10.下列幾何體中是棱錐的是（B ）11 .如圖是一個長方體的表面展開圖，每個面上都標注了字母，請根據(jù)要求回答問題：（1）如果A面在長方體的底部，那么哪一個面會在上面？一（2）若F面在前面，B面在左面，則哪一個面會在上面？（字母朝外）（3）若C尚在右面，D面在后面，則哪一個面會在上面？（字母朝外）I F答案：（1） F ; （2） C,

31、 A（三）立體圖形的三視圖12 .如圖，從正面看可看到 的是（C ）15 .如圖，是由幾個相同的小正方體搭成的幾何體的三種視圖，則搭成這個幾何體的小正方體的個數(shù)是（A. 3B.4C. 5D.6（四）新穎題型16 .正方體每一面不同的顏色對應著不同的數(shù)字，將四個這樣的正方體如圖拼成一個水平放置的長方體，那么長方體的下底面數(shù)字和為顏色紅黃藍白室綠對應數(shù)字123450分析：正面一黃，右面一紅，上面一藍，后面一紫，下面一白，左面一綠 所以，從右到左，底面依次為：白、綠、黃、紫數(shù)字和為：4+6+2+5=1717 .觀察下列由棱長為1的小正方體擺成的圖形，尋找規(guī)律，如圖所示共有1個小立方體，其中1個看得見

32、，0個看不見；如圖所示:其中192）猜想共有8個小立方體，其中7個看得見，1個看不見；如圖所示：共有27個小立方體,個看得見，8個看不見（1）寫出第個圖中看不見的小立方體有125 個;（并寫出第（n）個圖形中看不見的小立方體的個數(shù)為（n-1） 3個.分析：11=10=0328=231 = 13327=338=23464=4327=33nn3(n-1)3第五講：線段和角、知識結(jié)構(gòu)圖二、典型問題：（一）數(shù)線段一一數(shù)角一一數(shù)三角形I nk 5 C D問題1、直線上有n個點，可以得到多少條線段？分析：點 線段2133 =1+246=1+2+3510=1+2+3+4615=1+2+3+4+5n 1+2+

33、3+(n-1)=問題2.如圖，在/ AO時部從。點引出兩條射線OC OD則圖中小于平角的角共有（(A) 3(B) 4(C) 5(D) 6拓展:1、在/AOB內(nèi)部從O點引出n條射線圖中小于平角射線 角3 =1+26=1+2+3角共有多少個?310=1+2+3+41+2+3+n 1 n 2+(n+1)=2類比：從O點引出n條射線圖中小于平角的角共有多少個?射線 角2133 =1+246=1+2+3510=1+2+3+4n 1+2+3+(n-1)=類比聯(lián)想：如圖，可以得到多少三角形?(二)與線段中點有關(guān)的問題線段的中點定義: 文字語言：若一個點把線段分成相等的兩部分，那么這個點叫做線段的中點A M

34、B圖形語言：幾何語言：v M是線段AB的中點1二 AM BM AB, 2AM 2BM AB2典型例題：1.由下列條件一定能得到“P是線段AB的中點”的是(D )1_1_(A) AP=1AB(B) AB= 2PB(C) AP= PB(D) AP= PB=1AB221.-2 .若點B在直線AC上，下列表達式： AB -AC ；AB=BCAC=2ABAB+BC=AC其中能表示B是線段AC的中點的有(A )A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個13 .如果點C在線段AB上，下列表達式AC AB;AB=2BCAC=BCAC+BC=AB,能表小C是 AB中點的有（C ）A.1個 B.2 個 C.3 個

35、D.4 個4 .已知線段 MN P是MN勺中點，Q是PN的中點，R是MQ勺中點，那么 MR=MN分析：據(jù)題意畫出圖形MR-pQ n設 QN=x 則 PQ=x MP=2x MQ=3x3x一3MR23所以,MR=x ,則J2MN4x85.如圖所示，B C是線段AD上任意兩點，M是AB的中點，N是CD中點，若MN=a BC=b則線段AD的長是（）AWbbF HN : DA 2 （a-b）B 2a-b C a+b D a-b分析：不妨設CN=ND=x AM=MB=y因為 MN=MB+BC+CN所以 a=x+y+b因為 AD=AM+MN+ND所以 AD=y+a+x=a-b+a=2a-b（三）與角有關(guān)的問

36、題1 .已知：一條射線 OA若從點O再引兩條射線OB OC使/AOB=60, / BOC=20則/ AOC= 80/0 女（分類討論）2 . A、O B共線，OM ON別為/ AOC、/ BOC的平分線，猜想/ MON的度數(shù)，試證明你的Mc結(jié)論.N猜想：90證明：因為OM ON&別為/ AOC、/ BOC的平分線所以/MOC1/AOC , /CON/COB22因為 / MON =MOC +CON所以 / MON1 / AOC +1 / COB/ AOB=90 222.如圖，已知直線 AB和CD相交于。點，/COE是直角，OF平分/AOE, / COF 340, 求/BOD的度數(shù).分析：

37、因為/COE是直角，/COF 34°,所以 / EOF=56因為OF平分/ AOE所以 / AOF=56因為 / AOFW AOC+ COF所以 / AOC=22因為直線AB和CD相交于O點所以 /BOD=/AOC=224 .如圖，BO CM另I平分/ ABCS /ACB(1)若 / A = 60 ° ,求/Q(2)若/A =100° , zO是多少？若/ A =120° , zO又是多少？(3)由(1)、(2)你又發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？當/ A的度數(shù)發(fā)生變化后，你的結(jié)論仍成立嗎？(提示：三角形的內(nèi)角和等于180° ) 1 , 答案：(1) 120

38、; 2) 140、150 3) /O=9O +/A25 .如圖，O是直線AB上一點,OC、OD OE是三條射線，則圖中互補的角共有(B )對(A) 2(B) 3(C) 4(D) 5266 .互為余角的兩個角(A)只和位置有關(guān)(B)只和數(shù)量有關(guān)(C)和位置、數(shù)量都有關(guān)(D)和位置、數(shù)量都無關(guān)7 .已知/ 1、/ 2互為補角，且/ 1>/2,則/ 2的余角是(C )A. 1 (Z 1 + Z2) B. 1/ 1 C. 1 (Z 1-Z 2) D. 1 /22222分析：因為/ 1 + /2=180° ,所以！(/1 + /2) =90°290-72= 1 (/1 + /2

39、) - /2= 1 (/1 /2)22第六講：相交線與平行線B27、知識框架A、典型例題1 .下列說法正確的有（B ）對頂角相等；相等的角是對頂角；若兩個角不相等，則這兩個角一定不是對頂角若兩個角不是對頂角，則這兩個角不相等.A.1 個 B.2 個 C.3 個 D.4 個2 .如圖所示，下列說法不正確的是（D ）A.點B到AC的垂線段是線段 AB; B.點C到AB的垂線段是線段 ACC.線段AD是點D到BC的垂線段；D.線段BD是點B到AD的垂線段3 .下列說法正確的有（C ）在平面內(nèi)，過直線上一點有且只有一條直線垂直于已知直線；在平面內(nèi)，過直線外一點有且只有一條直線垂直于已知直線；在平面內(nèi)，

40、過一點可以任意畫一條直線垂直于已知直線；在平面內(nèi)，有且只有一條直線垂直于已知直線.A.1 個 B.2 個 C.3 個 D.4 個4 . 一學員駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同,A-這兩次拐彎的角度可能是（A ）A.第一次向左拐30°第二次向右拐30°B.第一次向右拐50°第二次向左拐13040第二次向左拐130CDC.第一次向右拐500第二次向右拐130° D. 第一次向左拐505 .如圖，若AC1 BC于C, CD!AB于D,則下列結(jié)論必定成立 的是 A. CD>AD B.AC<BC C. BC>BD D. CD<

41、;BD分析：考察垂線段的性質(zhì)、基本圖形一一“雙垂直”圖形6 .如圖,已知AB/ CD直線EF分別交AB,CD于E,F,EG?平分/ BEF若/ 1=72A則 / 2=54 °.?A.6 個 B.5 個 C.4 個 D.3 個7 .如圖,AB / EF/ CD,EG/ BD,則圖中與/ 1相等的角（/ 1除外）共有（C ）8 .如圖，直線11、12、13交于。點，圖中出現(xiàn)了幾對對頂角，若答案：3對，n(n+1)n條直線相交呢?答案：/ 1=/2>/310.如圖所示，L1,L2,L3答案：36°交于點O,/1=/2, /3:/1=8:1，求/ 4的度數(shù).(方程思想)111

42、1.如圖所示，已知AB/ CD,分別探索下列四個圖形中/選一個加以說明.匕13你從所得的四個關(guān)系中任(1)(3)(4)分析：過點P作PE/ABZAPE+Z A+/ C=3609 .如圖，在4 4的正方形網(wǎng)格中，1,2, 3的大小關(guān)系是.(2) / P=/ A+/ C(3) /P=/ C-/A,F(4) / P=/ A-/C12 .如圖，若 ABEF, ZC= 90° ,求X+y-z 度數(shù)分析：如圖，添加輔助線BAP證出：x+y-z=90 °13 .已知：如圖，求證： E F分析：法一法二：由 AB/CD證明 PAB= APC所以 EAP= APF所以AE/FP所以E F第七

43、講：平面直角坐標系一、知識要點：1、特殊位置的點的特征(1)各個象限的點的橫、縱坐標符號(2)坐標軸上的點的坐標：x軸上的點的坐標為(x,0)，即縱坐標為0;y軸上的點的坐標為(0, y),即橫坐標為0;2、具有特殊位置的點的坐標特征& Pl ( x1 , y1) 5 P2(x2,y2)Pi、P2兩點關(guān)于x軸對稱xi X2,且yiy2；Pi、P2兩點關(guān)于y軸對稱 Xi X2 ,且yi y2；Pi、P2兩點關(guān)于原點軸對稱xiX2,且yiy2。3、距離(i)點A(x, y)到軸的距離：點 A到x軸的距離為| y | ;點A到y(tǒng)軸的距離為| x | ;(2)同一坐標軸上兩點之間的距離：A(x

44、a,0)、B(xb,0),則 AB |xa xb|; A(0,yA)、B(0,yB),則 AB | yA yB |;二、典型例題I、已知點M的坐標為(x, y),如果xy<0 ,則點M的位置()(A)第二、第三象限(B)第三、第四象限(C)第二、第四象限(D)第一、第四象限2 .點P (m, I)在第二象限內(nèi)，則點 Q (-m, 0)在()A . x軸正半軸上B . x軸負半軸上 C . y軸正半軸上D . y軸負半軸上3 .已知點A (a, b)在第四象Bg,那么點B (b, a)在()A .第一象限B .第二象限C .第三象限 D .第四象限4 .點P (I, -2)關(guān)于y軸的對稱點

45、的坐標是()A . (-I , -2) B . (I, 2) C . (-i ,2)D . (-2, i)5 .如果點M (i-x, i-y) 在第二象限，那么點N (i-x, y-i )在第 象限，點Q (x-i , i-y)在第 象限。用(3, 9)表示將的位置，那么炮的位置應表示為6 .如圖是中國象棋的一盤殘局，如果用(4, o)表示帥A. (8,7) B .(7,8) C . (8, 9)D. (8, 8)7 .在平面直角坐標系中，平行四邊形ABCD勺頂點A B D的坐標分別為(0, 0),(5, 0) , (2, 3)則頂點C的坐標為()A. (3, 7) B . (5, 3) C

46、. (7, 3) D . (8, 2)8 .已知點P (x, |x),則點P一定 ()A.在第一象限B .在第一或第四象限C.在x軸上方 D .不在x軸下方9 .已知長方形ABCm，AB=5 BC=8并且AB/ x軸，若點A的坐標為(2, 4),則點C的坐 標為(3,-4)(-7,-4)(3.12)(-7,12)。10 .三角形ABC三個頂點的坐標分別是 A (-4, -1) , B (1, 1) , C (-1,4),將三角形ABC 向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，則平移后三個頂點的坐標是( C ) A.(2, 2) ,(3, 4) , (1, 7)B .(-2,2),(4,3

47、),(1,7)C.(-2,2),(3, 4), (1,7)D .(2, -2) ,(3,3),(1,7)11 . “若點P、Q的坐標是(x1，y1)、 (x2, y2),則線段PQ中點的坐標為 x2 y2 22已知點A、B、C的坐標分別為(-5,0)、(3, 0)、(1,4),利用上述結(jié)論求線段 AGBC的中點D E的坐標，并判斷DE與AB的位置關(guān)系./AB.x解：由“中點公式”傳(-2, 2) , E (2, 2) , DE12 .如圖，在平面直角坐標系中，A點坐標為（3,4）,將OA繞原點。逆時針旋轉(zhuǎn)90o得到OA ,則點A的坐標是（）A. ( 4,3)B . ( 3,4)C . (3,

48、4) D . (4, 3)分析：SZAO=S 梯形 BCDO ( SABc+SOA橫坐標增加2,所得的四邊形面積又是多少?分析:yA(1) 80(2)面積不變A1015.如圖，已知 Ai(1,0)、A2 (1, 1)、A (-1 , 1)AA3 I1 A2A4o A1A5A (2,-1),，則點Aoo7的坐標為答案：(-502,502)第八講：與三角形有關(guān)的線段一、相關(guān)知識點1 .三角形的邊三角形三邊定理：三角形兩邊之和大于第三邊即：ZXABC中，a+b>c,b+c>a,c+a>b (兩點之間線段最短)由上式可變形得至U：a>c b, b>a c, c>ba

49、即有：三角形的兩邊之差小于第三邊2 .高由三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高。3 .中線：連接三角形的頂點和它對邊的中點的線段，稱為三角形的中線4 .角平分線三角形一個內(nèi)角的角平分線與這個角對邊的交點和這個角的頂點之間線段稱為三角形的角平分線二、典型例題（一）三邊關(guān)系1 .已知三角形三邊分別為2,a-1,4,那么a的取值范圍是（）A.1<a<5 B.2<a<6C.3<a<7D.4<a<62 .小穎要制作一個三角形木架，現(xiàn)有兩根長度為8m和5m的木棒。如果要求第三根木棒的長度是整數(shù)小穎有幾種選法？可以是多

50、少？分析：設第三根木棒的長度為x,則 3<x<13所以 x=4,5,6,7,8,9,10,11,123:已知： ABC中，AD是BC邊上的中線1求證：AD+BD> (AB+AC2分析：因為 BD+AD>AB CD+AD>AC所以 BD+AD+ CD+AD >AB+AC因為AD是BC邊上的中線，BD=CD1_所以 AD+BD> (AB+AC2（二）三角形的高、中線與角平分線問題：（1）觀察圖形，指出圖中出現(xiàn)了哪些高線?（2）圖中存在哪些相等角？注意基本圖形：雙垂直圖形4.如圖，在直角三角形 ABC, AO AB, AD是斜邊上的高，DH AG DF，AB

51、,垂足分別為E、F,則圖中與/ C（/C除外）相等的角的個數(shù)是（）5.如圖，/ ABC中，Z A = 40 0 ,出=72 ° ,CE平分/ ACB CDLAB于 D,DF± CE，求/ CDF的度數(shù)分析：/ CED=4C+34°=74°所以/ CDF=74需要將這塊地分成面積6. 一塊三角形優(yōu)良品種試驗田，現(xiàn)引進四種不同的種子進行對比試驗,7. /ABC中，/ ABC / ACB勺平分線相交于點 Q(1)若/ABC = 40° , zACB = 50° ,則ZBOC =(2)若/ABC +/ACB =1166 ,貝UZBOC =。(

52、3)若/A = 76 0 ,則ZBOC =。(4)若 / BOC = 120° ,貝= 。(5)你能找出/ A與/ BOC之間的數(shù)量關(guān)系嗎?8.已知：BE, CE分別為 4ABC的外角 / MBC, / NCB勺角平分線求：/£與/人的關(guān)系分析：/ E=90°- - /A2求：/F與/A的關(guān)系9.已知：BF為/ABC勺角平八，一1分析：/ F= / A2思考題：如圖：/ ABCt/ACG勺平分線交于F1; /FIBCt/F1CG勺平分線交于F2;如此下去，/F2BC與/F2CG勺平分線交于F3;探究/Fn與/A的關(guān)系（n為自然數(shù)）第九講：與三角形有關(guān)的角一、相關(guān)定理（一）三角形內(nèi)角和定理