七年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)班講義[1]

1、七年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)班講義1 作者: 日期：初一數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)講義第一講和絕對(duì)值有關(guān)的問題知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖:23絕對(duì)值的意義:(1)幾何意義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù) a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作 同代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身； 負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；零的絕對(duì)值是零。a當(dāng)a為正數(shù)也可以寫成：|a| 0當(dāng)a為0a當(dāng)a為負(fù)數(shù)說明：(I ) |a| >0gP|a|是一個(gè)非負(fù)數(shù)；(n) |a|概念中蘊(yùn)含分類討論思想。典型例題例1.(數(shù)形結(jié)合思想)已知a、b、c在數(shù)軸上位置如圖:則代數(shù)式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |A . -3a B . 2c-a

2、C . 2a 2b解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a- (a+b)+(c-a)+b-c=-3a的值等于(A ).一D. bh a 0 c分析：解絕對(duì)值的問題時(shí)，往往需要脫去絕對(duì)值符號(hào)，化成一般的有理數(shù)計(jì)算。脫去絕對(duì)值的符 號(hào)時(shí)，必須先確定絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)各個(gè)數(shù)的正負(fù)性，再根據(jù)絕對(duì)值的代數(shù)意義脫去絕對(duì)值符號(hào)。這道例題運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，由 a、b、c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)位置判斷絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)數(shù)的符號(hào)，從而去掉絕對(duì)值符號(hào)，完成化簡。例 2.已知：x 0 z , xy 0 , H y z x, 那么 x z y z x y的伯：(C )A.是正數(shù)B.是負(fù)數(shù)C.

3、是零D.不能確定符號(hào)解：由題意，x、v、z在數(shù)軸上的位置如圖所示：所 xzyzxy 以x z (y z) (x y)J：=a u0分析：數(shù)與代數(shù)這一領(lǐng)域中數(shù)形結(jié)合的重要載體是數(shù)軸。這道例題中三個(gè)看似復(fù)雜的不等關(guān)系借助數(shù)軸直觀、輕松的找到了 x、y、z三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系，為我們順利化簡鋪平了道路。雖然例題 中沒有給出數(shù)軸，但我們應(yīng)該有數(shù)形結(jié)合解決問題的意識(shí)。例3.(分類討論的思想)已知甲數(shù)的絕對(duì)值是乙數(shù)絕對(duì)值的3倍，且在數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩側(cè)，兩點(diǎn)之間的距離為 8,求這兩個(gè)數(shù)；若數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)同側(cè) 呢？分析：從題目中尋找關(guān)鍵的解題信息，”數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩側(cè)

4、”意味著甲乙兩數(shù) 符號(hào)相反，即一正一負(fù)。那么究竟誰是正數(shù)誰是負(fù)數(shù)，我們應(yīng)該用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決這一 問題。解：設(shè)甲數(shù)為x,乙數(shù)為y由題意得：x 3 y ,(1)數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)兩側(cè)：若x在原點(diǎn)左側(cè)，y在原點(diǎn)右側(cè)，即x<0 , y>0,則4y=8,所以y=2 ,x= -6若x在原點(diǎn)右側(cè)，y在原點(diǎn)左側(cè)，即x>0 , y<0,則-4y=8,所以y=-2,x=6（2）數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)同側(cè):若x、y在原點(diǎn)左側(cè)，即x<0y<0,則-2y=8,所以 y=-4,x=-12若x、y在原點(diǎn)右側(cè)，即x>0y>0,則 2y=8,所以 y=4,

5、x=12例4.（整體的思想）方程A. 1 個(gè) B . 2 個(gè) C2008.3個(gè)2008 x的解的個(gè)數(shù)是（D ）分析：這道題我們用整體的思想解決。將 x-2008看成一個(gè)整體，問題即轉(zhuǎn)化為求方程的解，利用絕對(duì)值的代數(shù)意義我們不難得到，負(fù)數(shù)和零的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，所以零和任意 負(fù)數(shù)都是方程的解，即本題的答案為 a例5.（非負(fù)性）已知|ab2|與|a 1|互為相互數(shù)，試求下式的值.12007 b 2007111 L ab a 1 b 1 a 2 b 2 a分析：利用絕對(duì)值的非負(fù)性，我們可以得到:|ab -2|=|a -1|=0 ,解得：a=1,b=21于是 ab a 11L1 a 2 b 2a

6、2007 b 20071112 2 3 3 4111112 2 3 3 411 20092008200912008 2009112008 2009在上述分?jǐn)?shù)連加求和的過程中，我們采用了裂項(xiàng)的方法，巧妙得出了最終的結(jié)果.同學(xué)們可以再111深入思考，2-7 n r-812008 2010如果題目變成求值，你有辦法求解嗎？有興趣的同學(xué)可以在課下繼續(xù)探究。例6.(距離問題)觀察下列每對(duì)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的距離4與2, 3與5, 2與6,4與3.并回答下列各題：(1)你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值有什么關(guān)系嗎？答：相等 (2)若數(shù)軸上的x A#示啖 1 x,點(diǎn)B表示的數(shù)為一1,則A與B兩點(diǎn)間的

7、距離 可以表示為.分析：點(diǎn)B表示的數(shù)為一1,所以我們可以在數(shù)軸上找到點(diǎn) B所在的位置。那么點(diǎn)A呢？因?yàn)閤可以表示任意有理數(shù)，所以點(diǎn) A可以位于數(shù)軸上的任意位置。那么，如何求出 A與B兩點(diǎn)間的距離呢?結(jié)合數(shù)軸，我們發(fā)現(xiàn)應(yīng)分以下三種情況進(jìn)行討論。 IJAJ _-l 0-1Ox-1 s D當(dāng)x<-1時(shí)，距離為-x-1,當(dāng)-1<x<0時(shí)，距離為x+1, 當(dāng)x>0,距離為x+1綜上，我們得到A與B兩點(diǎn)間的距離可以表示為I x 1(3)結(jié)合數(shù)軸求得|x 2 |x 3的最小值為 5,取得最小值時(shí)x的取伯范圍為 -3 &x 02.分析：|x 2即x與2的差的絕對(duì)值，它可以表示數(shù)

8、軸上 x與2之間的距離。x 3 x ( 3)即x與-3的差的絕對(duì)值，它也可以表示數(shù)軸上 x與-3之間的距離。如圖，x在數(shù)軸上的位置有三種可能：圖1圖2圖3圖2符合題意(4)滿足x 1 x3的x的取值范圍為 _x<-4或x>-1分析：同理|x 1 |表示數(shù)軸上x與-1之間的距離，|x 4 |表示數(shù)軸上x與-4之間的距離。本 題即求,當(dāng)x是什么數(shù)時(shí)x與-1之間的距離加上x與-4之間的距離會(huì)大于3。借助數(shù) 軸，我們可以得到正確答案：x<-4或x>-1。說明：借助數(shù)軸可以使有關(guān)絕對(duì)值的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上有關(guān)距離的問題，反之，有關(guān)數(shù)軸上的距離問題也可以轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值問題。這種相互轉(zhuǎn)化

9、在解決某些問題時(shí)可以帶來方便。事實(shí)上，A B|表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù) A與數(shù)B的點(diǎn)之間的距離。這是一個(gè)很有用的結(jié)論，我們正是利用這一結(jié)論并結(jié)合數(shù)軸的知識(shí)解決了（3）、（4）這兩道難題。三、 小結(jié)1 .理解絕對(duì)值的代數(shù)意義和幾何意義以及絕對(duì)值的非負(fù)性2 .體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用第二講：代數(shù)式的化簡求值問題一、知識(shí)鏈接1.“代數(shù)式”是用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)字或表示數(shù)字的字母連結(jié)而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等內(nèi)容，是初中階段同學(xué)們應(yīng)該重點(diǎn)掌握的內(nèi)容之一。2,用具體的數(shù)值代替代數(shù)式中的字母所得的數(shù)值，叫做這個(gè)代數(shù)式的值。注：一般來說，代數(shù)式的值隨著字母的取值的

10、變化而變化3.求代數(shù)式的值可以讓我們從中體會(huì)簡單的數(shù)學(xué)建模的好處，為以后學(xué)習(xí)方程、函數(shù)等知識(shí)打下基礎(chǔ)。、典型例題 例1.若多項(xiàng)式2mx2 x2 5x 8 7x2 3y 5x的值與x無關(guān),求 m2 2m2 5m 4 m 的值.分析：多項(xiàng)式的值與x無關(guān)，即含x的項(xiàng)系數(shù)均為零因?yàn)?2mx2 x2 5x 8 7x2 3y 5x22m 8 x 3y 8所以m=4將 m=4代人，m2 2m2 5m 4 mm2 4m 416 16 44利用“整體思想”求代數(shù)式的值例2. x=-2時(shí)，代數(shù)式ax5 bx3 cx 6的值為8,求當(dāng)x=2時(shí)，代數(shù)式ax5 bx3 cx 6的值。分析：因?yàn)閍x5 bx3 cx 6

11、8當(dāng) x=-2 時(shí)，25a 23b 2c 6 8 得到 25a 23b 2c 68,所以 25a 23b2c8 614當(dāng) x=2 時(shí)，ax5bx3cx 6=25a 23b 2c 6 (14)620例3.當(dāng)代數(shù)式x23x5的值為7時(shí)，求代數(shù)式3x29x2的值.分析：觀察兩個(gè)代數(shù)式的系數(shù)由x2 3x 5 7 得x2 3x 2 ,利用方程同解原理，得3x2 9x 6整體代人，3x2 9x 2 4代數(shù)式的求值問題是中考中的熱點(diǎn)問題，它的運(yùn)算技巧、解決問題的方法需要我們靈活掌握，整 體代人的方法就是其中之一。例4.已知a2 a 1 0,求a3 2a2 2007的值.分析：解法一(整體代人)：由a2 a

12、1 0 得a3 a2 a 03- 2所以：a 2a 2007322a a a 2007a a2 2007 1 20072008解法二（降次）：方程作為刻畫現(xiàn)實(shí)世界相等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，還具有降次的功能。由 a2 a 1 0 ,得 a2 1 a ,32所以：a 2a 20072_ 2_a a 2a 2007（1 a）a 2a2 2007a a2 2a2 20072 _a a 20071 20072008解法三（降次、消元）：a2 a 1 （消元、減項(xiàng)）3 _ 2_a 2a 2007a3 a2 a2 2007a（a2 a） a2 20072_a a 20071 20072008例5.（實(shí)際應(yīng)用）A和

13、B兩家公司都準(zhǔn)備向社會(huì)招聘人才，兩家公司招聘條件基本相同，只有工資待遇有如下差異：A公司，年薪一萬元，每年加工齡工資 200元；B公司，半年薪五千元,每半年加工齡工資50元。從收入的角度考慮，選擇哪家公司有利？分析：分別列出第一年、第二年、第 n年的實(shí)際收入（元）第一年：A 公司 10000; B 公司 5000+5050=10050第二年：A 公司 10200; B 公司 5100+5150=10250第 n 年：A公司 10000+200（n-1 ）;B 公司：5000+100(n-1)+5000+100(n-1)+50=10050+200(n-1)50元，如不細(xì)心考察很可能選錯(cuò)。由上可以

14、看出B公司的年收入永遠(yuǎn)比A公司多例6.三個(gè)數(shù)a、b、c的積為負(fù)數(shù)，和為正數(shù)，且 xb c |ab |ac |bcab ac bc '則ax3 bx2 cx 1的值是解:因?yàn)閍bc<0,所以a、b、c中只有一個(gè)是負(fù)數(shù),或三個(gè)都是負(fù)數(shù)又因?yàn)閍+b+c>0,所以a、b、c中只有一個(gè)是負(fù)數(shù)。不妨設(shè) a<0, b>0, c>0則 ab<0, ac<0, bc>0所以x=-1+1+1-1-1+1=0將x=0代入要求的代數(shù)式，得到結(jié)果為 1同理，當(dāng) b<0, c<0 時(shí)，x=0o變,料,另：觀察代數(shù)式aab c |ab |ac |bcc a

15、b acbc,交換a、b、c的位置，我們發(fā)現(xiàn)代數(shù)式不改這樣的代數(shù)式成為輪換式，我們不用對(duì)看看輪換式有哪些重要的性質(zhì)0規(guī)律探索問題:例7.如圖，平面內(nèi)有公共端點(diǎn)的六條射線方向依次在射線上寫出數(shù)字1, 2, 3(1) 17”在射線2008”在射線a、b、c再討論。有興趣的同學(xué)可以在課下查閱資OA OB OC OD OE OF,從身寸線OA開始按逆時(shí)針4, 5, 6, 7,(2)若n為正整數(shù)，則射線OA上數(shù)字的排列規(guī)律可以用含*代數(shù)式表示為分析：OA上排列的數(shù)為：1, 7, 13, 19,觀察得出，這列數(shù)的后一項(xiàng)總比前一項(xiàng)多6,歸納得到，這列數(shù)可以表示為 6n-5因?yàn)?7=3X6-1 ,所以17在射

16、線OE±。因?yàn)?2008=334X6+4=335X6-2 ,所以 2008 在射線 OD±例8.將正奇數(shù)按下表排成5列:第一列 第二列第三列 第四列 第五列第一行1357第二行 1513119第三行17192123第四行31292725LL根據(jù)上面規(guī)律，2007應(yīng)在D 251行,5列A. 125 行,3 列 B. 125行,2 歹U C. 251 行,2 列 分析：觀察第二、三、四列的數(shù)的排列規(guī)律，發(fā)現(xiàn)第三列數(shù)規(guī)律容易尋找第三列數(shù)：3, 11, 19, 27, L規(guī)律為8n-5因?yàn)?2007=250X8+7=251X8-1所以，2007應(yīng)該出現(xiàn)在第一列或第五列又因?yàn)榈?51

17、行的排列規(guī)律是奇數(shù)行，數(shù)是從第二列開始從小到大排列,所以2007應(yīng)該在第251行第5列例9. （2006年嘉興市）定義一種對(duì)正整數(shù) n的F”運(yùn)算：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3n+5;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為（其中k是使廣為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行.例如，取 n= 26,則：若n=449,則第449次F運(yùn)算”的結(jié)果是.n分析：問題的難點(diǎn)和解題關(guān)鍵是真正理解“ F”的第二種運(yùn)算，即當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為丁（其中nk是使2r為奇數(shù)的正整數(shù)），要使所得的商為奇數(shù)，這個(gè)運(yùn)算才能結(jié)束。449奇數(shù)，經(jīng)過F”變?yōu)?352; 1352是偶數(shù)，經(jīng)過 下”變?yōu)?69,169是奇數(shù)，經(jīng)過千”變?yōu)?12, 512是偶數(shù)，經(jīng)

18、過下”變?yōu)?,1是奇數(shù)，經(jīng)過午”變?yōu)?, 8是偶數(shù)，經(jīng)過下”變?yōu)?,我們發(fā)現(xiàn)之后的規(guī)律了，經(jīng)過多次運(yùn)算，它的結(jié)果將出現(xiàn) 1、8的交替循環(huán)。再看運(yùn)算的次數(shù)是449,奇數(shù)次。因?yàn)榈谒拇芜\(yùn)算后都是奇數(shù)次運(yùn)算得到8,偶數(shù)次運(yùn)算得到1,所以，衛(wèi)果是8。三、小結(jié)用字母代數(shù)實(shí)現(xiàn)了我們對(duì)數(shù)認(rèn)識(shí)的又一次飛躍。希望同學(xué)們能體會(huì)用字母代替數(shù)后思維的擴(kuò)展，體會(huì)一些簡單的數(shù)學(xué)模型。體會(huì)由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。第三講：與一元一次方程有關(guān)的問題、知識(shí)回顧一元一次方程是我們認(rèn)識(shí)的第一種方程，使我們學(xué)會(huì)用代數(shù)解法解決一些用算術(shù)解法不容易 解決的問題。一元一次方程是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，它既是對(duì)前面所學(xué)知識(shí)一一有理

19、數(shù)部分的鞏 固和深化，又為以后的一元二次方程、不等式、函數(shù)等內(nèi)容打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。典型例題：二、典型例題例1 .若關(guān)于x的一元一次方程2x k3Tk=1的解是x=-1 ,則k的值是（1311a、b、c、d為實(shí)數(shù)，現(xiàn)規(guī)定一種新的運(yùn)算a b ad bc.c dA. 2 B .1 C7分析：本題考查基本概念“方程的解”2x k x 3k因?yàn)閤=-1是關(guān)于x的一元一次方程2x- qk=1的解,322 ( 1) k 1 3k13所以- 1,解得k=-32113a x例2.若方程3x-5=4和方程1 3a- 0的解相同，則a的值為多少？3分析：題中出現(xiàn)了兩個(gè)方程，第一個(gè)方程中只有一個(gè)未知數(shù)x,所以可以解這個(gè)

20、方程求得值；第二個(gè)方程中有a與x兩個(gè)未知數(shù)，所以在沒有其他條件的情況下，根本沒有辦法求得a與x的值，因此必須分析清楚題中的條件。因?yàn)閮蓚€(gè)方程的解相同，所以可以把第一個(gè)方程中解得 x代入第二個(gè)方程，第二個(gè)方程也就轉(zhuǎn)化為一元一次方程了解：3x-5=4, 3x=9 , x=33ax _因?yàn)?x-5=4與萬程1 0的解相同3所以把x=3代人1 3a-0中 3- 3a 3即 1 3a0 得 3-3a+3=0, -3a=-6 , a=23例3.（方程與代數(shù)式聯(lián)系）(1)則1 2的值為; (2)當(dāng)24 18時(shí)，x =1 2(1 x) 5分析：(1)即 a=1,分2, c=-1 , d=2,因?yàn)?a b ad

21、 bc,所以1 2=2- (-2) =4 c d1 2(2)由24 18 得：10-4 (1-x) =18(1 x) 5所以 10-4+4x=18,解得 x=3例4.(方程的思想)如圖，一個(gè)瓶身為圓柱體的玻璃瓶內(nèi)裝有高 a厘米的墨水，將瓶蓋蓋好后倒置，墨水水面高為h厘米，則瓶內(nèi)的墨水的體積約占玻璃瓶容積的(a b二C .Da ba b分析：左右兩個(gè)圖中墨水的體積應(yīng)該相等，所以這是個(gè)等積變換問題，我們可以用方程的思想 解決問題解：設(shè)墨水瓶的底面積為 S,則左圖中墨水的體積可以表示為 Sa 設(shè)墨水瓶的容積為V,則右圖中墨水的體積可以表示為 V-Sb 于是，Sa= V-Sb, V= S(a+b)由題

22、意，瓶內(nèi)的墨水的體積約占玻璃瓶容積的比為Sa SaV S(a b)例5.小杰到食堂買飯，看到A、B兩窗口前面排隊(duì)的人一樣多，就站在 A窗口隊(duì)伍的里面， 過了 2分鐘，他發(fā)現(xiàn)A窗口每分鐘有4人買了飯離開隊(duì)伍，B窗口每分鐘有6人買了飯離開隊(duì) 伍，且B窗口隊(duì)伍后面每分鐘增加5人。此時(shí)，若小李迅速從 A窗口隊(duì)伍轉(zhuǎn)移到B窗口后面重 新排隊(duì)，將比繼續(xù)在A窗口排隊(duì)提前30秒買到飯，求開始時(shí)，有多少人排隊(duì)。分析：B窗口每分鐘有6人買了飯離開隊(duì)伍，且B窗口隊(duì)伍后面每分鐘增加5人”相當(dāng)于B窗口 前的隊(duì)伍每分鐘減少1人，1題中的等量關(guān)系為：小李在 A窗口排隊(duì)所需時(shí)間=轉(zhuǎn)移到B窗口排隊(duì)所需時(shí)間+ 12解：設(shè)開始時(shí)，每

23、隊(duì)有x人在排隊(duì)，2 分鐘后，B窗口排隊(duì)的人數(shù)為：x-6 X2+5X2=x-2根據(jù)題意，可列方程：x 2人工- 462去分母得 3x=24+2(x-2)+6去括號(hào)得3x=24+2x-4+6移項(xiàng)得3x-2x=26 解得x=26所以，開始時(shí)，有26人排隊(duì)。課外知識(shí)拓展:一、含字母系數(shù)方程的解法：思考：ax b是什么方程？在一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式、最簡形式中都要求aw0,所以ax b不是一元一次方程我們把它稱為含字母系數(shù)的方程。例6.解方程ax b解：（分類討論）當(dāng)a*0時(shí)，x -a當(dāng)a=0, b=0時(shí)，即0x=0 ,方程有任意解當(dāng)a=0, bw0時(shí)，即0x=b ,方程無解即方程ax b的解有三種情況

24、。例7.問當(dāng)a、b滿足什么條件時(shí)，方程2x+5-a=1-bx : （1）有唯一解；（2）有無數(shù)解；（3） 無解。分析：先解關(guān)于x的方程，把x用a、b表示，最后再根據(jù)系數(shù)情況進(jìn)行討論 解：將原方程移項(xiàng)得2x+bx=1+a-5,合并同類項(xiàng)得：（2+b）x=a-4當(dāng)2+b0,即b-2時(shí)，方程有唯一解x當(dāng)2+b=0且a-4=0時(shí)，即b=-2且a=4時(shí)，方程有無數(shù)個(gè)解,當(dāng)2+b=0且a-4 w0時(shí)，即b=-2且a*4時(shí)，方程無解,在刀十力x 11 x解萬程a bab分析：根據(jù)題意，abw0,所以方程兩邊可以同乘ab去分母，得 b(x-1)-a(1-x)=a+b去括號(hào)，得 bx-b-a+ax=a+b移項(xiàng)，

25、并項(xiàng)得（a+b）x=2a+2b2a 2b 八當(dāng) a+bw 0 時(shí)，x =2當(dāng)a+b=0時(shí),方程有任意解說明：本題中沒有出現(xiàn)方程ax b中的系數(shù)a=0, bw0的情況，所以解的情況只有兩種。二、含絕對(duì)值的方程解法例9.解下歹【方程5x 2 3解法1:（分類討論）當(dāng) 5x-2>0 時(shí)，即 x>2 , 5x-2=3 , 5x=5 , x=15因?yàn)閤=1符合大前提x>-,所以此時(shí)方程的解是x=15當(dāng)5x-2=0時(shí)，即x=2 , 得到矛盾等式0=3,所以此時(shí)方程無解5當(dāng) 5x-2<0 時(shí)，即 x<2 , 5x-2= -3 , x=-55因?yàn)閤= 1符合大前提x< 2

26、,所以此時(shí)方程的解是x=-5551綜上，萬程的解為x=1或x=-5注：求出x的值后應(yīng)注意檢驗(yàn)x是否符合條件解法2:（整體思想）聯(lián)想：a 3時(shí)，a=±3類比：5x 2 3 ,貝U 5x-2=3 或 5x-2=-31解兩個(gè)一兀一次萬程萬程的解為 x=1或x=-5“f 2x15例10. 解萬程 1解：去分母2| x-1|-5=3移項(xiàng) 2| x-1|=8| x-1|=4所以 x-1=4 或 x-1=-4解得x=5或x=-3例11.解方程 x 1 2x 1分析：此題適合用解法22當(dāng) x-1>0 時(shí)，即 x>1, x-1=-2x+1 , 3x=2, x=-3因?yàn)閤=2不符合大前提x&

27、gt;1,所以此時(shí)方程無解3當(dāng)x-1=0時(shí)，即x=1, 0=-2+1 , 0 =-1 ,此時(shí)方程無解當(dāng) x-1<0 時(shí)，即 x<1, 1-x=-2x+1 , x=0因?yàn)閤=0符合大前提x<1,所以此時(shí)方程的解為x=0綜上，方程的解為x=0三、小結(jié)1、體會(huì)方程思想在實(shí)際中的應(yīng)用2、體會(huì)轉(zhuǎn)化的方法，提升數(shù)學(xué)能力第四講：圖形的初步認(rèn)識(shí)一、相關(guān)知識(shí)鏈接：1 .認(rèn)識(shí)立體圖形和平面圖形我們常見的立體圖形有長方體、正方體、球、圓柱、圓錐，止匕外，棱柱，棱錐也是常見的幾何體。我們常見的平面圖形有正方形、長方形、三角形、圓2 .立體圖形和平面圖形關(guān)系立體圖形問題常常轉(zhuǎn)化為平面圖形來研究，常常會(huì)

28、采用下面的作法(1)畫出立體圖形的三視圖立體圖形的的三視圖是指正視圖（從正面看）、左視圖（從左面看）、俯視圖（從上面看）得 到的三個(gè)平面圖形。（2）立體圖形的平面展開圖常見立體圖形的平面展開圖圓柱、圓錐、三棱柱、三棱錐、正方體（共十一種）二、典型問題：（一）正方體的側(cè)面展開圖（共H一種）分類記憶：第一類，中間四連方，兩側(cè)各一個(gè)，共六種第二類，中間三連方，兩側(cè)各有一、二個(gè)，共三種第三類，中間二連方，兩側(cè)各有二個(gè)，只有一種第四類，兩排各三個(gè)，只有一種基本要求:1.在右面的圖形中是正方體的展開圖的有（(A) 3 種(B) 4 種(C) 5 種2 .下圖中，是正方體的展開圖是（B ）ABC3 .如圖四

29、個(gè)圖形都是由6個(gè)大小相同的正方形組成，其中是正方體展開圖的是（ D ）C.并且較高要求:4 .下圖可以沿線折疊成一個(gè)帶數(shù)字的正方體，每三個(gè)帶數(shù)字的面交于方體的 一個(gè)頂點(diǎn)，則相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面上的數(shù)字之和最小是 （A105 . 一個(gè)正方體的展開圖如右圖所示，每一個(gè)面上都寫有一個(gè)自然數(shù) 相對(duì) 兩個(gè)面所寫的兩個(gè)數(shù)之和相等，那么 a+b-2c= （ B ）A. 40B.38C.36 D. 34分析：由題意8+a=b+4=c+25所以 b=4+a c=a-17所以 a+b-2c=a+(4+a)-2(a-17)=4+34=386 .將如圖所示的正方體沿某些棱展開后，能得到的圖形是（ C ）A.B .

30、C . D7.下圖是某一立方體的側(cè)面展開圖，則該立方體是（ D還原正方體，正確識(shí)別正方體的相對(duì)面。)（二）常見立體圖形的平面展開圖9.(A )A.正方體、圓柱、三棱柱、圓錐B.正方體、圓錐、三棱柱、圓柱C,正方體、圓柱、三棱錐、圓錐D.正方體、圓柱、四棱柱、圓錐10.下列幾何體中是棱錐的是（B ）11 .如圖是一個(gè)長方體的表面展開圖，每個(gè)面上都標(biāo)注了字母，請(qǐng)根據(jù)要求回答問題：（1）如果A面在長方體的底部，那么哪一個(gè)面會(huì)在上面？一（2）若F面在前面，B面在左面，則哪一個(gè)面會(huì)在上面？（字母朝外）（3）若C尚在右面，D面在后面，則哪一個(gè)面會(huì)在上面？（字母朝外）I F答案：（1） F ; （2） C,

31、 A（三）立體圖形的三視圖12 .如圖，從正面看可看到 的是（C ）15 .如圖，是由幾個(gè)相同的小正方體搭成的幾何體的三種視圖，則搭成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)是（A. 3B.4C. 5D.6（四）新穎題型16 .正方體每一面不同的顏色對(duì)應(yīng)著不同的數(shù)字，將四個(gè)這樣的正方體如圖拼成一個(gè)水平放置的長方體，那么長方體的下底面數(shù)字和為顏色紅黃藍(lán)白室綠對(duì)應(yīng)數(shù)字123450分析：正面一黃，右面一紅，上面一藍(lán)，后面一紫，下面一白，左面一綠 所以，從右到左，底面依次為：白、綠、黃、紫數(shù)字和為：4+6+2+5=1717 .觀察下列由棱長為1的小正方體擺成的圖形，尋找規(guī)律，如圖所示共有1個(gè)小立方體，其中1個(gè)看得見

32、，0個(gè)看不見；如圖所示:其中192）猜想共有8個(gè)小立方體，其中7個(gè)看得見，1個(gè)看不見；如圖所示：共有27個(gè)小立方體,個(gè)看得見，8個(gè)看不見（1）寫出第個(gè)圖中看不見的小立方體有125 個(gè);（并寫出第（n）個(gè)圖形中看不見的小立方體的個(gè)數(shù)為（n-1） 3個(gè).分析：11=10=0328=231 = 13327=338=23464=4327=33nn3(n-1)3第五講：線段和角、知識(shí)結(jié)構(gòu)圖二、典型問題：（一）數(shù)線段一一數(shù)角一一數(shù)三角形I nk 5 C D問題1、直線上有n個(gè)點(diǎn)，可以得到多少條線段？分析：點(diǎn) 線段2133 =1+246=1+2+3510=1+2+3+4615=1+2+3+4+5n 1+2+

33、3+(n-1)=問題2.如圖，在/ AO時(shí)部從。點(diǎn)引出兩條射線OC OD則圖中小于平角的角共有（(A) 3(B) 4(C) 5(D) 6拓展:1、在/AOB內(nèi)部從O點(diǎn)引出n條射線圖中小于平角射線 角3 =1+26=1+2+3角共有多少個(gè)?310=1+2+3+41+2+3+n 1 n 2+(n+1)=2類比：從O點(diǎn)引出n條射線圖中小于平角的角共有多少個(gè)?射線 角2133 =1+246=1+2+3510=1+2+3+4n 1+2+3+(n-1)=類比聯(lián)想：如圖，可以得到多少三角形?(二)與線段中點(diǎn)有關(guān)的問題線段的中點(diǎn)定義: 文字語言：若一個(gè)點(diǎn)把線段分成相等的兩部分，那么這個(gè)點(diǎn)叫做線段的中點(diǎn)A M

34、B圖形語言：幾何語言：v M是線段AB的中點(diǎn)1二 AM BM AB, 2AM 2BM AB2典型例題：1.由下列條件一定能得到“P是線段AB的中點(diǎn)”的是(D )1_1_(A) AP=1AB(B) AB= 2PB(C) AP= PB(D) AP= PB=1AB221.-2 .若點(diǎn)B在直線AC上，下列表達(dá)式： AB -AC ；AB=BCAC=2ABAB+BC=AC其中能表示B是線段AC的中點(diǎn)的有(A )A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)13 .如果點(diǎn)C在線段AB上，下列表達(dá)式AC AB;AB=2BCAC=BCAC+BC=AB,能表小C是 AB中點(diǎn)的有（C ）A.1個(gè) B.2 個(gè) C.3 個(gè)

35、D.4 個(gè)4 .已知線段 MN P是MN勺中點(diǎn)，Q是PN的中點(diǎn)，R是MQ勺中點(diǎn)，那么 MR=MN分析：據(jù)題意畫出圖形MR-pQ n設(shè) QN=x 則 PQ=x MP=2x MQ=3x3x一3MR23所以,MR=x ,則J2MN4x85.如圖所示，B C是線段AD上任意兩點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，N是CD中點(diǎn)，若MN=a BC=b則線段AD的長是（）AWbbF HN : DA 2 （a-b）B 2a-b C a+b D a-b分析：不妨設(shè)CN=ND=x AM=MB=y因?yàn)?MN=MB+BC+CN所以 a=x+y+b因?yàn)?AD=AM+MN+ND所以 AD=y+a+x=a-b+a=2a-b（三）與角有關(guān)的問

36、題1 .已知：一條射線 OA若從點(diǎn)O再引兩條射線OB OC使/AOB=60, / BOC=20則/ AOC= 80/0 女（分類討論）2 . A、O B共線，OM ON別為/ AOC、/ BOC的平分線，猜想/ MON的度數(shù)，試證明你的Mc結(jié)論.N猜想：90證明：因?yàn)镺M ON&別為/ AOC、/ BOC的平分線所以/MOC1/AOC , /CON/COB22因?yàn)?/ MON =MOC +CON所以 / MON1 / AOC +1 / COB/ AOB=90 222.如圖，已知直線 AB和CD相交于。點(diǎn)，/COE是直角，OF平分/AOE, / COF 340, 求/BOD的度數(shù).分析：

37、因?yàn)?COE是直角，/COF 34°,所以 / EOF=56因?yàn)镺F平分/ AOE所以 / AOF=56因?yàn)?/ AOFW AOC+ COF所以 / AOC=22因?yàn)橹本€AB和CD相交于O點(diǎn)所以 /BOD=/AOC=224 .如圖，BO CM另I平分/ ABCS /ACB(1)若 / A = 60 ° ,求/Q(2)若/A =100° , zO是多少？若/ A =120° , zO又是多少？(3)由(1)、(2)你又發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？當(dāng)/ A的度數(shù)發(fā)生變化后，你的結(jié)論仍成立嗎？(提示：三角形的內(nèi)角和等于180° ) 1 , 答案：(1) 120

38、; 2) 140、150 3) /O=9O +/A25 .如圖，O是直線AB上一點(diǎn),OC、OD OE是三條射線，則圖中互補(bǔ)的角共有(B )對(duì)(A) 2(B) 3(C) 4(D) 5266 .互為余角的兩個(gè)角(A)只和位置有關(guān)(B)只和數(shù)量有關(guān)(C)和位置、數(shù)量都有關(guān)(D)和位置、數(shù)量都無關(guān)7 .已知/ 1、/ 2互為補(bǔ)角，且/ 1>/2,則/ 2的余角是(C )A. 1 (Z 1 + Z2) B. 1/ 1 C. 1 (Z 1-Z 2) D. 1 /22222分析：因?yàn)? 1 + /2=180° ,所以！(/1 + /2) =90°290-72= 1 (/1 + /2

39、) - /2= 1 (/1 /2)22第六講：相交線與平行線B27、知識(shí)框架A、典型例題1 .下列說法正確的有（B ）對(duì)頂角相等；相等的角是對(duì)頂角；若兩個(gè)角不相等，則這兩個(gè)角一定不是對(duì)頂角若兩個(gè)角不是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角不相等.A.1 個(gè) B.2 個(gè) C.3 個(gè) D.4 個(gè)2 .如圖所示，下列說法不正確的是（D ）A.點(diǎn)B到AC的垂線段是線段 AB; B.點(diǎn)C到AB的垂線段是線段 ACC.線段AD是點(diǎn)D到BC的垂線段；D.線段BD是點(diǎn)B到AD的垂線段3 .下列說法正確的有（C ）在平面內(nèi)，過直線上一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線；在平面內(nèi)，過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線；在平面內(nèi)，

40、過一點(diǎn)可以任意畫一條直線垂直于已知直線；在平面內(nèi)，有且只有一條直線垂直于已知直線.A.1 個(gè) B.2 個(gè) C.3 個(gè) D.4 個(gè)4 . 一學(xué)員駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同,A-這兩次拐彎的角度可能是（A ）A.第一次向左拐30°第二次向右拐30°B.第一次向右拐50°第二次向左拐13040第二次向左拐130CDC.第一次向右拐500第二次向右拐130° D. 第一次向左拐505 .如圖，若AC1 BC于C, CD!AB于D,則下列結(jié)論必定成立 的是 A. CD>AD B.AC<BC C. BC>BD D. CD<

41、;BD分析：考察垂線段的性質(zhì)、基本圖形一一“雙垂直”圖形6 .如圖,已知AB/ CD直線EF分別交AB,CD于E,F,EG?平分/ BEF若/ 1=72A則 / 2=54 °.?A.6 個(gè) B.5 個(gè) C.4 個(gè) D.3 個(gè)7 .如圖,AB / EF/ CD,EG/ BD,則圖中與/ 1相等的角（/ 1除外）共有（C ）8 .如圖，直線11、12、13交于。點(diǎn)，圖中出現(xiàn)了幾對(duì)對(duì)頂角，若答案：3對(duì)，n(n+1)n條直線相交呢?答案：/ 1=/2>/310.如圖所示，L1,L2,L3答案：36°交于點(diǎn)O,/1=/2, /3:/1=8:1，求/ 4的度數(shù).(方程思想)111

42、1.如圖所示，已知AB/ CD,分別探索下列四個(gè)圖形中/選一個(gè)加以說明.匕13你從所得的四個(gè)關(guān)系中任(1)(3)(4)分析：過點(diǎn)P作PE/ABZAPE+Z A+/ C=3609 .如圖，在4 4的正方形網(wǎng)格中，1,2, 3的大小關(guān)系是.(2) / P=/ A+/ C(3) /P=/ C-/A,F(4) / P=/ A-/C12 .如圖，若 ABEF, ZC= 90° ,求X+y-z 度數(shù)分析：如圖，添加輔助線BAP證出：x+y-z=90 °13 .已知：如圖，求證： E F分析：法一法二：由 AB/CD證明 PAB= APC所以 EAP= APF所以AE/FP所以E F第七

43、講：平面直角坐標(biāo)系一、知識(shí)要點(diǎn)：1、特殊位置的點(diǎn)的特征(1)各個(gè)象限的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)符號(hào)(2)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)：x軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,0)，即縱坐標(biāo)為0;y軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0, y),即橫坐標(biāo)為0;2、具有特殊位置的點(diǎn)的坐標(biāo)特征& Pl ( x1 , y1) 5 P2(x2,y2)Pi、P2兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱xi X2,且yiy2；Pi、P2兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱 Xi X2 ,且yi y2；Pi、P2兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)軸對(duì)稱xiX2,且yiy2。3、距離(i)點(diǎn)A(x, y)到軸的距離：點(diǎn) A到x軸的距離為| y | ;點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為| x | ;(2)同一坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)之間的距離：A(x

44、a,0)、B(xb,0),則 AB |xa xb|; A(0,yA)、B(0,yB),則 AB | yA yB |;二、典型例題I、已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x, y),如果xy<0 ,則點(diǎn)M的位置()(A)第二、第三象限(B)第三、第四象限(C)第二、第四象限(D)第一、第四象限2 .點(diǎn)P (m, I)在第二象限內(nèi)，則點(diǎn) Q (-m, 0)在()A . x軸正半軸上B . x軸負(fù)半軸上 C . y軸正半軸上D . y軸負(fù)半軸上3 .已知點(diǎn)A (a, b)在第四象Bg,那么點(diǎn)B (b, a)在()A .第一象限B .第二象限C .第三象限 D .第四象限4 .點(diǎn)P (I, -2)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)

45、的坐標(biāo)是()A . (-I , -2) B . (I, 2) C . (-i ,2)D . (-2, i)5 .如果點(diǎn)M (i-x, i-y) 在第二象限，那么點(diǎn)N (i-x, y-i )在第 象限，點(diǎn)Q (x-i , i-y)在第 象限。用(3, 9)表示將的位置，那么炮的位置應(yīng)表示為6 .如圖是中國象棋的一盤殘局，如果用(4, o)表示帥A. (8,7) B .(7,8) C . (8, 9)D. (8, 8)7 .在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABCD勺頂點(diǎn)A B D的坐標(biāo)分別為(0, 0),(5, 0) , (2, 3)則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為()A. (3, 7) B . (5, 3) C

46、. (7, 3) D . (8, 2)8 .已知點(diǎn)P (x, |x),則點(diǎn)P一定 ()A.在第一象限B .在第一或第四象限C.在x軸上方 D .不在x軸下方9 .已知長方形ABCm，AB=5 BC=8并且AB/ x軸，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2, 4),則點(diǎn)C的坐 標(biāo)為(3,-4)(-7,-4)(3.12)(-7,12)。10 .三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 A (-4, -1) , B (1, 1) , C (-1,4),將三角形ABC 向右平移2個(gè)單位長度，再向上平移3個(gè)單位長度，則平移后三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是( C ) A.(2, 2) ,(3, 4) , (1, 7)B .(-2,2),(4,3

47、),(1,7)C.(-2,2),(3, 4), (1,7)D .(2, -2) ,(3,3),(1,7)11 . “若點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)是(x1，y1)、 (x2, y2),則線段PQ中點(diǎn)的坐標(biāo)為 x2 y2 22已知點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為(-5,0)、(3, 0)、(1,4),利用上述結(jié)論求線段 AGBC的中點(diǎn)D E的坐標(biāo)，并判斷DE與AB的位置關(guān)系./AB.x解：由“中點(diǎn)公式”傳(-2, 2) , E (2, 2) , DE12 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為（3,4）,將OA繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o得到OA ,則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（）A. ( 4,3)B . ( 3,4)C . (3,

48、4) D . (4, 3)分析：SZAO=S 梯形 BCDO ( SABc+SOA橫坐標(biāo)增加2,所得的四邊形面積又是多少?分析:yA(1) 80(2)面積不變A1015.如圖，已知 Ai(1,0)、A2 (1, 1)、A (-1 , 1)AA3 I1 A2A4o A1A5A (2,-1),，則點(diǎn)Aoo7的坐標(biāo)為答案：(-502,502)第八講：與三角形有關(guān)的線段一、相關(guān)知識(shí)點(diǎn)1 .三角形的邊三角形三邊定理：三角形兩邊之和大于第三邊即：ZXABC中，a+b>c,b+c>a,c+a>b (兩點(diǎn)之間線段最短)由上式可變形得至U：a>c b, b>a c, c>ba

49、即有：三角形的兩邊之差小于第三邊2 .高由三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高。3 .中線：連接三角形的頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)的線段，稱為三角形的中線4 .角平分線三角形一個(gè)內(nèi)角的角平分線與這個(gè)角對(duì)邊的交點(diǎn)和這個(gè)角的頂點(diǎn)之間線段稱為三角形的角平分線二、典型例題（一）三邊關(guān)系1 .已知三角形三邊分別為2,a-1,4,那么a的取值范圍是（）A.1<a<5 B.2<a<6C.3<a<7D.4<a<62 .小穎要制作一個(gè)三角形木架，現(xiàn)有兩根長度為8m和5m的木棒。如果要求第三根木棒的長度是整數(shù)小穎有幾種選法？可以是多

50、少？分析：設(shè)第三根木棒的長度為x,則 3<x<13所以 x=4,5,6,7,8,9,10,11,123:已知： ABC中，AD是BC邊上的中線1求證：AD+BD> (AB+AC2分析：因?yàn)?BD+AD>AB CD+AD>AC所以 BD+AD+ CD+AD >AB+AC因?yàn)锳D是BC邊上的中線，BD=CD1_所以 AD+BD> (AB+AC2（二）三角形的高、中線與角平分線問題：（1）觀察圖形，指出圖中出現(xiàn)了哪些高線?（2）圖中存在哪些相等角？注意基本圖形：雙垂直圖形4.如圖，在直角三角形 ABC, AO AB, AD是斜邊上的高，DH AG DF，AB

51、,垂足分別為E、F,則圖中與/ C（/C除外）相等的角的個(gè)數(shù)是（）5.如圖，/ ABC中，Z A = 40 0 ,出=72 ° ,CE平分/ ACB CDLAB于 D,DF± CE，求/ CDF的度數(shù)分析：/ CED=4C+34°=74°所以/ CDF=74需要將這塊地分成面積6. 一塊三角形優(yōu)良品種試驗(yàn)田，現(xiàn)引進(jìn)四種不同的種子進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn),7. /ABC中，/ ABC / ACB勺平分線相交于點(diǎn) Q(1)若/ABC = 40° , zACB = 50° ,則ZBOC =(2)若/ABC +/ACB =1166 ,貝UZBOC =。(

52、3)若/A = 76 0 ,則ZBOC =。(4)若 / BOC = 120° ,貝= 。(5)你能找出/ A與/ BOC之間的數(shù)量關(guān)系嗎?8.已知：BE, CE分別為 4ABC的外角 / MBC, / NCB勺角平分線求：/£與/人的關(guān)系分析：/ E=90°- - /A2求：/F與/A的關(guān)系9.已知：BF為/ABC勺角平八，一1分析：/ F= / A2思考題：如圖：/ ABCt/ACG勺平分線交于F1; /FIBCt/F1CG勺平分線交于F2;如此下去，/F2BC與/F2CG勺平分線交于F3;探究/Fn與/A的關(guān)系（n為自然數(shù)）第九講：與三角形有關(guān)的角一、相關(guān)定理（一）三角形內(nèi)角和定理