BBD38反常積分課件

1、BBD38反常積分1高等數(shù)學(xué) 第三十二講BBD38反常積分2第八節(jié)反常積分 第三章 二、無(wú)界函數(shù)的反常積分二、無(wú)界函數(shù)的反常積分常義積分積分區(qū)間被積函數(shù)推廣一、無(wú)窮限的反常積分一、無(wú)窮限的反常積分反常積分 (廣義積分)ba,是有限的)(xf在ba,上有界BBD38反常積分3一、無(wú)窮限的反常積分一、無(wú)窮限的反常積分引例引例. 曲線21xy 和直線1x及 x 軸所圍成的開(kāi)口曲邊梯形的面積21xy A1可記作121dxxA其含義可理解為 bbxxA121dlimbbbx11limbb11lim1若曲線為xy1和直線及 x 軸所圍成的開(kāi)口曲1x邊梯形的面積可記作12dxxAbbxxA12dlimbbx

2、1lnlim1lnlnlimbb積分收斂積分發(fā)散BBD38反常積分4定義定義1. 設(shè), ),)(aCxf,ab 取若xxfbabd)(lim存在 , 則稱此極限為 f (x) 的無(wú)窮限反常積分反常積分, 記作xxfxxfbabad)(limd)(這時(shí)稱反常積分xxfad)(收斂 ;如果上述極限不存在,就稱反常積分xxfad)(發(fā)散 .類似地 , 若, ,()(bCxf則定義xxfxxfbaabd)(limd)(BBD38反常積分5, ),()(Cxf若則定義xxfd)(xxfcaad)(limxxfbcbd)(lim( c 為任意取定的常數(shù) )只要有一個(gè)極限不存在 , 就稱xxfd)(發(fā)散 .

3、無(wú)窮限的反常積分也稱為第一類第一類反常積分積分. ,并非不定型 ,說(shuō)明說(shuō)明: 上述定義中若出現(xiàn) 它表明該反常積分發(fā)散 .BBD38反常積分6,)()(的原函數(shù)是若xfxF引入記號(hào); )(lim)(xFFx)(lim)(xFFx則有類似牛 萊公式的計(jì)算表達(dá)式 :xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FFBBD38反常積分7例例1. 計(jì)算反常積分.1d2 xx解解:21dxxarctanx)2(2xoy211xy思考思考: ?01d2對(duì)嗎xxx分析分析:)1ln(211d22xxxx原積分發(fā)散 !注意注意: 對(duì)反常積分, 只有在收斂

4、的條件下才能使用“偶倍奇零” 的性質(zhì), 否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤 .BBD38反常積分8例例2. 證明第一類 p 積分apxxd證證:當(dāng) p =1 時(shí)有 axxdaxlnapxxdappx11當(dāng) p 1 時(shí)有 1p1p,11pap當(dāng) p 1 時(shí)收斂 ; p1 時(shí)發(fā)散 .,因此, 當(dāng) p 1 時(shí),反常積分收斂 , 其值為;11pap當(dāng) p1 時(shí),反常積分發(fā)散 . apdxxBBD38反常積分9例例3. 計(jì)算反常積分. )0(d. 10ptettp解解:原式00d1teptptpep21021pexxxd)(ln1. 222ln(ln )edxx解：解：原式xln1e1ln1epttep 01(0).ptt

5、d epp BBD38反常積分10二、無(wú)界函數(shù)的反常積分二、無(wú)界函數(shù)的反常積分引例引例:曲線xy1所圍成的1x與 x 軸, y 軸和直線開(kāi)口曲邊梯形的面積 可記作10dxxA其含義可理解為 10dlimxxA12lim0 x)1 (2lim02xy10A1xy 可見(jiàn)把被積函數(shù)推廣到在有限區(qū)間上是無(wú)界的情形是可能的，而且是有用的。BBD38反常積分11定義定義2. 設(shè), ,()(baCxf而在點(diǎn) a 的右鄰域內(nèi)無(wú)界,0取存在 ,xxfxxfbabad)(limd)(0這時(shí)稱反常積分xxfbad)(收斂 ; 如果上述極限不存在,就稱反常積分xxfbad)(發(fā)散 .類似地 , 若, ),)(baCx

6、f而在 b 的左鄰域內(nèi)無(wú)界,xxfxxfbabad)(limd)(0若極限baxxfd)(lim0數(shù) f (x) 在 a , b 上的反常積分, 記作則定義則稱此極限為函 BBD38反常積分12若被積函數(shù)在積分區(qū)間上僅存在有限個(gè)第一類 說(shuō)明說(shuō)明: ,)(,)(外連續(xù)上除點(diǎn)在若bcacbaxf而在點(diǎn) c 的無(wú)界函數(shù)的積分又稱作第二類反常積分第二類反常積分, 無(wú)界點(diǎn)常稱鄰域內(nèi)無(wú)界 ,xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(xxfcad)(lim110 xxfbcd)(lim220為瑕點(diǎn)瑕點(diǎn)(奇點(diǎn)奇點(diǎn)) .例如,xxxd11112xxd) 1(11間斷點(diǎn),而不是反常積分. 則本質(zhì)上是常義積分

7、, 則定義BBD38反常積分13注意注意: 若瑕點(diǎn),)()(的原函數(shù)是設(shè)xfxF的計(jì)算表達(dá)式 : xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbF則也有類似牛 萊公式的若 b 為瑕點(diǎn), 則若 a 為瑕點(diǎn), 則若 a , b 都為瑕點(diǎn), 則, ),(bac則xxfbad)()()(cFbF)()(aFcF可相消嗎可相消嗎?BBD38反常積分14例例4. 計(jì)算反常積分. )0(d022axaxa解解: 顯然瑕點(diǎn)為 a , 所以原式0arcsinaax1arcsin2BBD38反常積分15112dxx211111x下述解法是否正確: , 積分收斂112

8、dxx的收斂性 . 解解:112dxx012dxx102dxx101x011x所以反常積分112dxx發(fā)散 .例例5. 討論反常積分BBD38反常積分16例例6. 證明反常積分baqaxx)(d證證: 當(dāng) q = 1 時(shí),當(dāng) q 1 時(shí)收斂 ; q1 時(shí)發(fā)散 .baaxxdbaax ln當(dāng) q1 時(shí)baqaxx)(dabqqax1)(11q,1)(1qabq1q,所以當(dāng) q 1 時(shí), 該反常積分收斂 , 其值為;1)(1qabq當(dāng) q 1 時(shí), 該反常積分發(fā)散 .BBD38反常積分17例例7：計(jì)算4342cosxdx解：解：xx22cos1lim21242cosxdx4322cosxdx242

9、1cosxdxxtan42則此反常積分發(fā)散。注：若疏忽了2x是被積函數(shù)的瑕點(diǎn)，而將它誤認(rèn)為定積分來(lái)計(jì)算則有錯(cuò)誤的結(jié)果。xtan4430BBD38反常積分18例例8：判斷反常積分11xxdx的斂散性，解：解：11lim1xxx則這個(gè)積分既是無(wú)界函數(shù)，又是無(wú)窮區(qū)間上的反常積分，因此，我們先分別考察積分2111xxdx221xxdx和若收斂求其值。2111xxdx令ududxuxxu21122111xxdx10212uduuarctan2012BBD38反常積分19221xxdxududxuxxu2112令：221xxdx1212uduuarctan212)42(22122BBD38反常積分20例例

10、9.解解：,)2() 1() 1()(32xxxxxf設(shè)求.d)(1)(312xxfxfI)(20 xfxx為與 的無(wú)窮間斷點(diǎn), 故 I 為反常xxfxfd)(1)(2)(1)(d2xfxfCxf)(arctan012d)(1)(xxfxfI202d)(1)(xxfxf322d)(1)(xxfxf積分.)(arctanxf)(arctanxf02)(arctanxf232222732arctan222732arctan10BBD38反常積分21例例10 試證xxxxxd11d04204, 并求其值 .解解:041dxx令xt1tttd1112014tttd1042xxxd1042xxxxxxxd11d211d0420404xxxd1121042xxxxd121021122BBD38反常積分22xxxxd121021122)1(d2)(121021xxxx012arctan221xx22041dxxBBD38反常積分23內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 反常積分積分區(qū)間無(wú)限被積函數(shù)無(wú)界常義積分的極限說(shuō)明說(shuō)明: (1) 有時(shí)通過(guò)換元 ,反常積分和常義積分可以互相轉(zhuǎn)化 .例如 ,1021dxx）令txsin(20dt(2) 當(dāng)一題同時(shí)含兩類