高等數(shù)學(xué)(下冊)試題及答案(精講版)

1、高等數(shù)學(xué)（下冊）試題及詳細答案（精講版）一、單項選擇題（本大題共5 小題，每小題3 分，共 15 分）1向量 a=1,1,2 與 y 軸的夾角為（）a6b4c3d2【答案】 c 【解析】本題考查了向量與坐標(biāo)軸的夾角。22211co s2211，所以2。【提醒】本題還可以轉(zhuǎn)化為求兩向量a=1,1,2與0, 1, 0之間的夾角?！军c評】本題涉及內(nèi)容是空間解析幾何中的重點，考試熱度：；大部分出現(xiàn)在選擇題或填空題中。2函數(shù) f (x, y)=22yx在點（ 0，0）處（）a連續(xù)b間斷c可微d偏導(dǎo)數(shù)存在【答案】 a. 【解析】本題考查了二元函數(shù)的連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)與可微等概念。點（0，0）在初等函數(shù)f (x,

2、 y)=22yx的定義域內(nèi)，故它在點（0，0）處連續(xù)。由于000, 00, 00, 0limlimxxxxfxffxx不存在，所以函數(shù)在（0,0）處偏導(dǎo)數(shù)不存在，從而在該點一定不可微。故本題選a?！咎嵝选坑涀∫韵陆Y(jié)論：（1）二元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的每一點都連續(xù)。（2）可微必定連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，連續(xù)未必偏導(dǎo)數(shù)存在，偏導(dǎo)數(shù)存在也未必連續(xù)，連續(xù)未必可微，偏導(dǎo)數(shù)存在也未必可微，偏導(dǎo)不存在一定不可微，偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)是可微的充分不必要條件?！军c評】本題涉及內(nèi)容是多元函數(shù)微分學(xué)中的難點，考試熱度：；大部分出現(xiàn)在選擇題中。3設(shè)函數(shù) p（x, y） ，q（x, y）具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且p (x，y)dx+q（x,

3、 y）dy 是某函數(shù) u（x, y）的全微分，則（）axqypbxpyqcxqypdxpyq【答案】 a. 【解析】 本題考查了二元函數(shù)的全微分求積定理：設(shè)開區(qū)域g 是一單連通域， 函數(shù) p （x, y） ，q（x, y）在 g內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則p (x，y)dx+q（x, y）dy 是某函數(shù) u（x, y）的全微分的充要條件是xqyp在 g 內(nèi)恒成立。故本題選a?！咎嵝选咳魀（x，y）dx+q（x,y）dy=du(x,y) ，則稱 p（x，y）dx+q (x,y)dy=0為全微分方程。顯然，這時該方程通解為u(x,y)=c (c 是任意常數(shù) )?！军c評】本題涉及內(nèi)容是求解全微分方程的基

4、礎(chǔ)，大部分出現(xiàn)在選擇、填空題中?？荚嚐岫龋海弧練v年考題鏈接】（2007， 7） 3 設(shè)函數(shù)),(yxf具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且xdyyxfydxyxf),(),(是某個函數(shù)),(yxu的全微分，則),(yxf滿足（）a0yfxxfyb0yfxfc0yfyxfxd0yfyxfx答案： c。4下列方程中，是一階線性非齊次微分方程的是（）aydy=(x+y)dxbxdy=(x2+y)dxc9cos yxdxdyd32xydxdy【答案】 b?！?解 析 】 本 題 考 查 了 一 階 線 性 非 齊 次 微 分 方 程 的 概 念 。 所 有 能 化 為()()()dypxyqxqxdx不恒為零）的方程

5、就是一階線性非齊次微分方程。本題中的四個方程，只有選項b 中的方程能化為1d yyxd xx，故選 b。【提醒】若方程中出現(xiàn)了,yy的非線性函數(shù)（如本題選項c，d 中出現(xiàn)的2co s,yy），則此方程就不是線性方程。另外，一定要掌握此類方程的求解方法?！军c評】本題涉及內(nèi)容是微分方程中的重要概念，需牢記。一般以選擇題的形式考查，考試熱度：；【歷年考題鏈接】 （2009， 10）4. 微分方程xy+y=x+3 是（）a. 可分離變量的微分方程b. 齊次微分方程c. 一階線性齊次微分方程d. 一階線性非齊次微分方程答案： d。5下列無窮級數(shù)中，收斂的無窮級數(shù)是（）a15312nnnb11)1(1nn

6、nc151nnd11)1(nnn【答案】 d。【解析】本題考查了常見的數(shù)項級數(shù)的斂散性。由于212lim0353nnn，所以15312nnn發(fā)散；由于11nn發(fā)散，交錯級數(shù)11(1)nnn收斂，所以11)1(1nnn發(fā)散。151nn為 p=5的 p 級數(shù)，發(fā)散。故選d?！咎嵝选浚?1）不論什么級數(shù)1nnu，若lim0nnu，則它一定發(fā)散。（2）p 級數(shù)11pnn，當(dāng)1p收斂， 當(dāng)1p發(fā)散。（3）交錯級數(shù)11(1)nnnu的斂散性一般用萊布尼茲判別法：nu單調(diào)遞減且趨于0，則收斂。【點評】本題涉及內(nèi)容是考試的重點熱點，常出現(xiàn)在選擇題中?？荚嚐岫龋?；【歷年考題鏈接】 （2010， 1）5.下列無窮

7、級數(shù)中發(fā)散的無窮級數(shù)是（）a.1n221n3nb. 1nn1n)1(c. 3n1nnln)1(d. 1n1nn32答案： a。二、填空題（本大題共5 小題，每小題2 分，共 10 分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。6在空間直角坐標(biāo)系中，直線320zyxzyx的方向向量為 _. 【答案】1, 3,2。【解析】本題考查了如何從直線的一般式方程中得到直線的方向向量。直線320zyxzyx的方向向量為：11111111132.121211112ijkijkijk故本題答案可以是32ijk或者1, 3,2。后者是前者的簡寫形式。【提醒】要熟悉直線的點向式方程（對稱式方程）、一般式方程

8、、參數(shù)式方程及它們之間的轉(zhuǎn)換。【點評】本題涉及內(nèi)容是考試的重點，常出現(xiàn)在各類題型中?？荚嚐岫龋海弧練v年考題鏈接】 （2010，4）11.求過點 p(3,-1,0)并且與直線0321zyx垂直的平面方程。答案：250.xy7函數(shù) f (x, y)=)1(ln122yx的定義域為 _. 【答案】22(,) 01xyxy?！窘馕觥勘绢}考查了二元函數(shù)的定義域求法。要是此函數(shù)有意義，則需滿足：2222ln10 ,10 ,xyxy解得：2201xy，因此定義域為：22(,) 01xyxy【提醒】二元函數(shù)的定義域是平面的一部分，稱為區(qū)域，一定要用平面點集的形式寫出。如本題若填寫2201xy，就是錯誤的?！军c

9、評】本題涉及的內(nèi)容是多元函數(shù)微分學(xué)的基本內(nèi)容，常出現(xiàn)在選擇和填空題中?？荚嚐岫龋海?設(shè)積分區(qū)域d ： x2+y2 4，則二重積分ddxdyyxf)(22在極坐標(biāo)中的二次積分為_. 【答案】22200()dfrr d r?！窘馕觥勘绢}考查了極坐標(biāo)系下二重積分的計算。本題中，積分區(qū)域d 為以原點為圓心、半徑為 2 的圓域，故d 可用不等式d=(,) 02 , 02rr來表示，應(yīng)用公式(,)(co s,sin)ddfxy dxd yfrrrd rd得：ddxdyyxf)(22=22200()dfrr dr?！咎嵝选慨?dāng)被積函數(shù)中含有22xy，且積分區(qū)域為圓域，用極坐標(biāo)計算較為方便。【點評】本題涉及內(nèi)容

10、是考試的重點，常出現(xiàn)在填空題和計算題中。考試熱度：?！練v年考題鏈接】 （2009，10）15. 計算二重積分dyxdxdye22，其中積分區(qū)域d：x2+y22。答案：21e。9微分方程122yyyy的一個特解*y_. 【答案】12?！窘馕觥勘绢}考查了微分方程特解的概念。本題中的方程不是線性的，不是一個常見的方程，求特解沒有固定的公式可以用。根據(jù)觀察，12y滿足微分方程122yyyy，故為它的一個特解?！咎嵝选孔⒁馕⒎址匠掏ń狻⑻亟獾亩x，以及二階常系數(shù)線性非齊次方程特解的求法?！军c評】本題涉及內(nèi)容是考試的難點，常出現(xiàn)在填空題和計算題中?？荚嚐岫龋骸?0設(shè)函數(shù)f (x)是周期為2的函數(shù)， f(x

11、) 的傅里葉級數(shù)為112)sin)1()12cos()12(2(2nnnxnxnn則傅里葉系數(shù)a2=_. 【答案】0?！窘馕觥勘绢}考查了傅里葉系數(shù)和傅里葉級數(shù)的概念。若周期為2的函數(shù) f(x) 的傅里葉級數(shù)為01(co ssin)2nnnaanxbn x，則由01()1() cos(1, 2 ,)1() sin(1, 2,)nnafx d xafxn xd x nbfxnxd x n定出的系數(shù)011,aab叫做函數(shù)f(x) 的傅里葉系數(shù)。由定義知，2a為式中co s 2 x的系數(shù)。由已知，f(x) 的傅里葉級數(shù)為112)sin)1()12co s()12(2(2nnnxnxnn，其中不含co

12、s 2n x，即co s 2 x的系數(shù)為零，因此2a=0。【提醒】謹(jǐn)記周期為2的函數(shù)的傅里葉系數(shù)的求法。（見解析）【點評】本題涉及內(nèi)容是考試的重難點，常出現(xiàn)在填空題和計算題中。考試熱度：?！練v年考題鏈接】（2010，4） 22.設(shè)函數(shù)xxxxf0,0,0的傅里葉級數(shù)展開式為10sincos2nnnnxbnxaa,求系數(shù) b7. 答案：17。三、計算題（本大題共12 小題，每小題5 分，共 60 分）11已知直線l 過點 p(2,-1,-1),并且與平面: x-y+z=0 垂直，求直線l 的方程 . 【答案】211111xyz?！窘馕觥勘绢}考查了空間解析幾何中直線方程的求法。一般是先找到一個已知

13、點，然后去尋求直線的方向向量，最后寫出直線的對稱式（點向式）方程。由題意，已知平面的法向量可作為直線的方向向量，即1,1,1s，所以直線的方程為：211111xyz。【提醒】只要與直線平行的任何非零向量都可以取成直線的方向向量；只要是與平面垂直的任何非零向量都可以取成平面的法向量。【點評】本題涉及內(nèi)容是考試的重點，平面和直線的方程的建立是幾乎每年必考的，常出現(xiàn)在填空題和計算題中?？荚嚐岫龋骸！練v年考題鏈接】（2010,4） 11.求過點 p(3,-1,0)并且與直線0321zyx垂直的平面方程。答案：250 xy。12設(shè)函數(shù)z=x2+arctanxy,求xz和.2yxz【答案】22222222

14、2,zyzyxxxxyxyxy?！窘馕觥勘绢}考查了多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法。222221122211xzyyyxxxxxxxyyyxx，2222222222222220zzzzyxyyyyxxxyyxyxyxyxy?！咎嵝选繉τ诰唧w的多元函數(shù)，求偏導(dǎo)數(shù)和求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一樣，對哪個變量求偏導(dǎo)，計算時就將其余的變量視為常數(shù)，直接將函數(shù)對此變量求導(dǎo)數(shù)即可。對于抽象的多元函數(shù)，求偏導(dǎo)數(shù)的時候要引入中間變量，畫出結(jié)構(gòu)圖，再根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t求偏導(dǎo)數(shù)。【點評】本題涉及內(nèi)容是考試的重點，幾乎是每年必考的，常出現(xiàn)在填空題和計算題中?？荚嚐岫龋骸！練v年考題鏈接】 （2010,4）6.設(shè)函數(shù)yxyzcossin,則xz

15、. 答案：sinsinyxzy。13設(shè)函數(shù)z=xy+1，求全微分dz. 【答案】222222222,zyzyxxxxyxyxy?！窘馕觥勘绢}考查了二元函數(shù)的全微分。若二元函數(shù)(,)zfxy是可微的，則它的全微分為：(,)ffd zd fxydxdyxy。本題中， z=xy+1 ，因為11,lnyyzzyxxxxy，故它的全微分是：11lnyydzyxdxxxd y?！咎嵝选恐灰涀∪⒎值墓?,)ffdzd fxyd xd yxy，這類題其實是求兩個偏導(dǎo)數(shù)?！军c評】本題涉及內(nèi)容是高等數(shù)學(xué)中的基本知識，必須掌握。這類題常出現(xiàn)在填空題和計算題中?？荚嚐岫龋??！練v年考題鏈接】 （2009,10）7

16、. 設(shè)函數(shù) z=2x2+y2，則全微分dz=_. 答案：42d zxd xyd y。14設(shè)函數(shù)z=f (x, sin(2x+y), 其中 f (u, v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求xz和yz. 【答案】2co s(2).co s( 2).uvvzzffxyfxyxy【解析】 本題考查了抽象的二元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法。先引入中間變量,u v：設(shè),uxsin ( 2)vxy，則此函數(shù)是由(,),sin (2)zfu vux vxy復(fù)合而成。 根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t（68 頁）可得，1co s( 2)22co s(2)uvuvzzuzvffxyffxyxuxvx，0co s(2)1co s( 2)uvvzzuzvf

17、fxyfxyyuyvy。【提醒】求解這類題首先要引入中間變量，搞清函數(shù)的結(jié)構(gòu)，然后按照鏈?zhǔn)椒▌t展開即可?！军c評】本題涉及內(nèi)容是考試的熱點，重在考查二元復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)和偏導(dǎo)數(shù)的計算。常出現(xiàn)在填空和計算題中。熱度：?！練v年考題鏈接】 （2010,1）12設(shè)函數(shù) z=)x,xy(f，其中 f 是可微函數(shù)，求yz,xz. 答案：21,.uvuzyzfffxxyx15設(shè)函數(shù)f (x, y)=522yx，求 grad f (2，1). 【答案】255( 2 ,1),55fgr a d?！窘馕觥?本題考查了多元函數(shù)梯度的求法。根據(jù)梯度的定義，函數(shù)(,)zfxy在點00(,)xy處的梯度為0000000000

18、(,)(,)(,) =(,),(,).xyxyfxyfxyfxyfxyfxygra dij了解到這一點，本題就轉(zhuǎn)化成了求函數(shù)在指定點處的偏導(dǎo)數(shù)了。因為2222,fxfyxyxyxy222222515( 2 , 1 ),( 2 , 1 )552121xyff，所以有255( 2,1),55fgr a d。【提醒】函數(shù)(,)ufxyz在點000(,)xyz處的梯度為：00000000000000000000(,)(,)(,)(,)=(,),(,),(,).xyyxyzfxyfxyzfxyzfxyzfxyzfxyzfxyzgr adij +k【點評】上面的12,13,14 題以及本題中出現(xiàn)的概念不同

19、，但都與偏導(dǎo)數(shù)的計算有關(guān)，只要概念清楚了，偏導(dǎo)數(shù)的計算沒有問題，它就顯得比較簡單。本題考試熱度：?！練v年考題鏈接】 （2010,1）14求函數(shù) f(x,y,z)=xyz-x2-y2+3z 在點（ -1，-1, 2）處的梯度 . 答案：(1,1, 2 )0, 0, 4fgra d。16計算二重積分ddxdyyx)(，其中積分區(qū)域d 是由直線x+y=2，y=x 及 y=0 所圍成的區(qū)域. 【答案】43?！窘馕觥勘绢}考查了平面直角坐標(biāo)系下二重積分的計算。先應(yīng)該畫出積分區(qū)域，如下圖陰影部分。它是一個y 型區(qū)域，故這個二重積分可以先對x 積分后對y 積分：y x y=x x+y=2 o 2 1 1201

20、201222010120()() =()1 =|222(22)222234 =yydyyyyyyxy d xdyd yxy d xxyd x d yxyxdyyyyd yyd y.3【提醒】要求直角坐標(biāo)系下以及極坐標(biāo)系下的二重積分的計算要熟練掌握，因為這些是積分學(xué)中的基本技能。【點評】本題涉及內(nèi)容是考試的熱點，重在考查學(xué)員二重積分的計算能力。這類題一般出現(xiàn)可以出現(xiàn)在各類題型中，選擇、填空可能考查交換積分的次序等較容易的問題，計算題中主要考查計算能力。本題考試熱度：?！練v年考題鏈接】 （2010,1）16計算二重積分i=ddxdy)y2x(，其中 d 是由坐標(biāo)軸和直線 x+y=4 所圍成的區(qū)域

21、. 答案： 32。17計算三重積分ydxdydz，其中積分區(qū)域是由平面2x+3y+z=2 及坐標(biāo)面所圍成的區(qū)域. 【答案】12 7. 【解析】本題考查了平面直角坐標(biāo)系下三重積分的計算。先分析積分區(qū)域。積分區(qū)域是由平面2x+3y+z=2 及坐標(biāo)面所圍成的區(qū)域，它位于第一卦限，在xoy 坐標(biāo)面上的投影為平面 區(qū) 域 ：22(,) | 01, 033xyxyx， 區(qū) 域 中 變 量z的 變 化 范 圍 是 ：0223zxy。然后來計算積分：221223330002213300221223330022310 =223 =|222222 =333333xxyxxyd xdydzd xdyyd zd xy

22、xyd yyxyydxxxxxd x1304104 =12 741 =1|2 741 =.2 7xd xx【提醒】一般來說，計算直角坐標(biāo)系下的三重積分時，先看積分區(qū)域在一個坐標(biāo)面（通常選 xoy 平面） 上的投影區(qū)域是什么，確定是什么型區(qū)域，繼而得到兩個變量的取值范圍，然后要從已知的式子或圖形中找到第三個變量的取值范圍，積分限確定好了，最后計算積分。積分限的確定方法不止一種，限于篇幅，這里不展開陳述，希望學(xué)員們多看例題，多總結(jié)?！军c評】本題涉及內(nèi)容是考試的熱點，重在考查直角坐標(biāo)系下三重積分的計算方法。多出現(xiàn)在計算題中。另外，極坐標(biāo)系下三重積分的計算同樣重要，不容忽視。熱度：?！練v年考題鏈接】

23、（2010,1）17 計算三重積分i=dxdydz)zyx(222，其中積分區(qū)域：x2+y2+z2 1. 答案：45。18計算對弧長的曲線積分cyxdse2222，其中 c 是圓周 x2+y2=1. 【答案】22.e【解析】本題考查了對弧長的曲線積分的計算。曲線c 是圓周 x2+y2=1，它可用參數(shù)方程來表示：co s ,sin(02)xtytt。根據(jù)計算公式可得：2222222222 (c o s )2 (sin)02202cossin = =2.xyttcedsettd ted te【提醒】一般的，若曲線l 的方程為參數(shù)方程：( ),( )()xtytt，則22(,)( ),( )( )(

24、 ).lfxydsfttttdt【點評】對弧長的曲線積分和對坐標(biāo)的曲線積分一樣，幾乎是每年必考的內(nèi)容，需重點掌握。它們大都出現(xiàn)在計算題中。考試熱度：?！練v年考題鏈接】 （2008,4）18.計算對弧長的曲線積分l（2x-y+1）ds,其中 l 是直線 y=x-1上點（ 0， -1）到點（ 1，0）的直線段 . 答案：522。19驗證對坐標(biāo)的曲線積分cdyxyxdxyxy)4()32(324與路徑無關(guān)，并計算)1,2()0,1(324)4()32(dyxyxdxyxyi【答案】 5。【解析】本題考查了平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件以及對坐標(biāo)的曲線積分的計算。曲線積分423( 23)(4)ccp

25、d xq d yxyyd xxxydy與路徑無關(guān)的充要條件是：pqyx。 因 為3324,24pqxyxyyx， 所 以pqyx， 從 而 。 曲 線 積 分423(23)(4)ccp dxq d yxyyd xxxyd y與路徑無關(guān)。由于積分與積分路徑無關(guān)，為了方便計算， 可以取積分路徑為：(1, 0 )(2 ,0 )( 2,1)，(1, 0 )(2 , 0 )時，12,0 xy；( 2, 0)(2 ,1)時，01,2yx，所以：)1,2()0,1(324)4()32(dyxyxdxyxyi=2123103( 242)3425dxyd y?！咎嵝选恳话愕兀€積分cpd xq dy與路徑無關(guān)

26、的充要條件是：pqyx?！军c評】曲線積分無路徑的無關(guān)性的考察大多出現(xiàn)在填空和計算題中，它和曲線積分的計算都是考察的重點，需熟練掌握?？荚嚐岫龋?。20求微分方程yedxdyx的通解 . 【解析】本題考查了一階線性非齊次微分方程的通解的求法。先將此方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形式：xdyyedx，用一階線性非齊次微分方程的通解公式求通解：(1)(1 )22 =1 =21 =.2d xdxxxxxxxxyeeedxceedxceecec e【 提 醒 】 一 定 要 記 住 一 階 線 性 非 齊 次 微 分 方 程()()ypxyqx的 通 解 公 式 ：()()()pxdxpxd xyeqx ed xc?！军c評

27、】本題設(shè)計內(nèi)容是微分方程中的基本內(nèi)容，這類題和二階常系數(shù)線性微分方程的解法幾乎是二者必考其一，需多加練習(xí)?？荚嚐岫龋骸?1判斷無窮級數(shù)1!nnnn的斂散性 . 【解析】本題考查了正項級數(shù)的斂散性的判斷。當(dāng)一個正項級數(shù)通項中含階乘、乘方、指數(shù)函數(shù)等時，一般用比值審斂法來判斷其斂散性。令!nnnun，由于11111limlim/limlim111 !nnnnnnnnnnnunneunnnn，所以無窮級數(shù)1!nnnn發(fā)散。22將函數(shù)4)(xxxf展開為 x1 的冪級數(shù) . 【解析】本題考查了如何將一個函數(shù)展開為冪級數(shù)。這類題一般有兩種方法求解：一種是直接法，一種是間接法。多考查利用間接法將一個函數(shù)展開為冪級數(shù)。需要學(xué)員們記住常見函數(shù)的冪級數(shù)展開式。本題，先將所給函數(shù)變形：4441()11114451515xfxxxxx，根據(jù)：01(1)(11)1nnnxxx，得00111(1)(11)15515(1) =1(46),5nnnnnnnxxxxx104441(1)()111141144515515nnnnxfxxxxxx， 其 中46x?！咎嵝选坑涀〕Ｒ姾瘮?shù)1,sin, cos, ln (1),(1)1xmxxxexx等的冪級數(shù)展開式?！军c評】這類題是每年必考的，一般都是最后一道題。考試熱度：。四、綜合題（本大題共3 小題，每小題