高考數(shù)學(xué)知識(shí)講析：12種典型排列組合問(wèn)題的解法歸類

1、高考數(shù)學(xué)知識(shí)講析： 12 種典型排列組合問(wèn)題的解法歸類相鄰問(wèn)題捆綁法所 謂 “ 捆 綁 法 ” ， 就 是 在 解 決 對(duì) 于 某 幾 個(gè) 元 素 相 鄰 的 問(wèn) 題 時(shí) ， 可 整 體 考 慮將 相 鄰 元 素 視 作 一 個(gè) “ 大 ” 元 素 。相離問(wèn)題插空法不 相 鄰 問(wèn) 題 是 要 求 某 些 元 素 不 能 相 鄰 ， 由 其 它 元 素 將 它 們 隔 開(kāi) 。 此 類 問(wèn) 題可 以 先 將 其 它 元 素 排 好 ， 再 將 所 指 定 的 不 相 鄰 的 元 素 插 入 到 它 們 的 間 隙 及 兩 端位 置 ， 故 稱 插 空 法 。定序問(wèn)題縮倍法在 排 列 問(wèn) 題 中 限

2、 制 某 幾 個(gè) 元 素 必 須 保 持 一 定 順 序 稱 為 定 序 問(wèn) 題 。 這 類 問(wèn) 題用 縮 小 倍 數(shù) 的 方 法 求 解 比 較 方 便 快 捷 。標(biāo)號(hào)排位問(wèn)題分步法把 元 素 排 在 指 定 號(hào) 碼 的 位 置 上 稱 為 標(biāo) 號(hào) 排 位 問(wèn) 題 。 求 解 這 類 問(wèn) 題 可 先 把 某個(gè) 元 素 按 規(guī) 定 排 放 ， 第 二 步 再 排 另 一 個(gè) 元 素 ， 如 此 繼 續(xù) 下 去 ， 依 次 即 可 完 成 。有 序 分 配 問(wèn) 題 逐 分 法有 序 分 配 問(wèn) 題 是 指 把 元 素 按 要 求 分 成 若 干 組 ， 常 采 用 逐 步 下 量 分 組 法 求

3、 解 。多元問(wèn)題分類法元 素 多 ， 取 出 的 情 況 也 多 種 ， 可 按 結(jié) 果 要 求 ， 分 成 互 不 相 容 的 幾 類 情 況 分別 計(jì) 算 ， 最 后 總 計(jì) 。交叉問(wèn)題集合法某 些 排 列 組 合 問(wèn) 題 幾 部 分 之 間 有 交 集 ， 可 用 集 合 中 求 元 素 個(gè) 數(shù) 的 公 式 ：來(lái) 求 解 。定 位 問(wèn) 題 優(yōu) 限 法所 謂 “ 優(yōu) 限 法 ” ， 即 有 限 制 條 件 的 元 素 （ 或 位 置 ） 在 解 題 時(shí) 優(yōu) 先 考 慮 。例 8、 計(jì) 劃 展 出 10 幅 不 同 的 畫 ， 其 中 1 幅 水 彩 畫 、 4 幅 油 畫 、 5 幅 國(guó)

4、畫 ，排 成 一 行 陳 列 ， 要 求 同 一 品 種 的 畫 必 須 連 在 一 起 ， 并 且 水 彩 畫 不 放 在 兩 端 ， 那么 不 同 的 陳 列 方 式 有 （）a. b. c. d. 【 解 析 】 先 把 3 種 品 種 的 畫 看 成 整 體 ， 而 水 彩 畫 不 能 放 在 頭 尾 ， 故 只 能 放在 中 間 ，則 油 畫 與 國(guó) 畫 有種 放 法 。再 考 慮 油 畫 之 間 與 國(guó) 畫 之 間 又 可 以 各 自 全排 列 。 故 總 的 排 列 的 方 法 為種 ， 故 選 d。多 排 問(wèn) 題 單 排 法把 元 素 排 成 幾 排 的 問(wèn) 題 ， 可 歸 結(jié)

5、 為 一 排 考 慮 。例 9、 兩 排 座 位 ， 第 一 排 有 3 個(gè) 座 位 ， 第 二 排 有 5 個(gè) 座 位 ， 若 8 名 學(xué) 生 入座 （ 每 人 一 座 位 ） ， 則 不 同 的 坐 法 種 數(shù) 為 （）a. b. c. d. 【 解 析 】 此 題 分 兩 排 坐 ， 實(shí) 質(zhì) 上 就 是 8 個(gè) 人 坐 在 8 個(gè) 座 位 上 ， 故 有種 坐法 ， 所 以 選 d。至 少 問(wèn) 題 間 接 法含 “ 至 多 ” 或 “ 至 少 ” 的 排 列 組 合 問(wèn) 題 ， 通 常 用 分 類 法 。例 10 、從 4 臺(tái) 甲 型 和 5 臺(tái) 乙 型 電 視 機(jī) 中 任 意 取 出

6、3 臺(tái) ，其 中 至 少 要 甲 型 與乙 型 電 視 機(jī) 各 一 臺(tái) ， 則 不 同 的 取 法 共 有 （） 種a. 140 b. 80 c. 70 d. 35 【 分 析 】 本 題 所 用 的 解 法 是 間 接 法 ， 即 排 除 法 （ 總 體 去 雜 ） ， 適 用 于 反 面情 況 明 確 且 易 于 計(jì) 算 的 情 況 。【 解 析 】 在 被 取 出 的 3 臺(tái) 中 ， 若 不 含 甲 型 或 不 含 乙 型 的 抽 取 方 法 均 不 合 題意 ， 故 符 合 題 意 的 取 法 有=70 種 ， 選 c。選 排 問(wèn) 題 先 取 后 排 法例 11 、 四 個(gè) 不 同 的

7、 小 球 放 入 編 號(hào) 為 1， 2， 3， 4 的 四 個(gè) 盒 子 中 ， 則 恰 有 一個(gè) 空 盒 的 放 法 共 有 _ 種 （ 用 數(shù) 字 作 答 ） 。分 析 ：這 是 一 道 排 列 組 合 的 混 合 應(yīng) 用 題 目 ，這 類 問(wèn) 題 的 一 般 解 法 是 先 ?。?組合 ）后 排（ 排 列 ）。本 題 正 確 求 解 的 關(guān) 鍵 是 把 四 個(gè) 小 球 中 的 兩 個(gè) 視 為 一 個(gè) 整 體 ，如 果 考 慮 不 周 ， 就 會(huì) 出 現(xiàn) 重 復(fù) 和 遺 漏 的 錯(cuò) 誤 ?！?解 析 】 先 從 四 個(gè) 小 球 中 取 兩 個(gè) 放 在 一 起 ，種 不 同 的 取 法 ； 再

8、 把 取 出 的兩 個(gè) 小 球 與 另 外 兩 個(gè) 小 球 看 作 三 堆 ， 并 分 別 放 入 四 個(gè) 盒 子 中 的 三 個(gè) 盒 子 中 ， 有種 不 同 的 放 法 。 依 據(jù) 分 步 計(jì) 數(shù) 原 理 ， 共 有種 不 同 的 方 法 。部 分 符 合 條 件 淘 汰 法例 12 、四 面 體 的 頂 點(diǎn) 及 各 棱 中 點(diǎn) 共 有 10 個(gè) 點(diǎn) ，在 其 中 取 4 個(gè) 不 共 面 的 點(diǎn) ，不 同 的 取 法 共 有 （）a. 150種b. 147種c. 144種d. 141種【 分 析 】 在 選 取 總 數(shù) 中 ， 只 有 一 部 分 符 合 條 件 ， 可 從 總 數(shù) 中 減 去 不 符 合 條件 的 個(gè) 數(shù) ， 即 為 所 求 ?！?解 析 】10 個(gè) 點(diǎn) 中 取 4 個(gè) 點(diǎn) 共 有種 取 法 ，其 中 同 一 側(cè) 面 內(nèi) 的 6 個(gè) 點(diǎn) 中 任取 4 個(gè) 點(diǎn) 必 共 面 ， 這 樣 的 面 共 有 4 個(gè) ； 又 同 一 條 棱 上 的 3 個(gè)