高考數(shù)學難點突破_難點07__奇偶性與單調(diào)性

1、難點 7 奇偶性與單調(diào)性 (一) 函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點內(nèi)容之一，考查內(nèi)容靈活多樣.本節(jié)主要幫助考生深刻理解奇偶性、單調(diào)性的定義，掌握判定方法，正確認識單調(diào)函數(shù)與奇偶函數(shù)的圖象. 難點磁場( )設 a0,f(x)=xxeaae是 r 上的偶函數(shù)， (1)求 a 的值； (2)證明：f(x)在(0，+)上是增函數(shù) . 案例探究例1已知函數(shù)f(x)在(1，1)上有定義，f(21)=1,當且僅當0 x1 時 f(x)0,且對任意x、y (1,1)都有f(x)+f(y)=f(xyyx1),試證明：(1)f(x)為奇函數(shù)； (2)f(x)在(1，1)上單調(diào)遞減 . 命題意圖：本題主要考查函數(shù)的

2、奇偶性、單調(diào)性的判定以及運算能力和邏輯推理能力.屬題目. 知識依托：奇偶性及單調(diào)性定義及判定、賦值法及轉化思想. 錯解分析：本題對思維能力要求較高，如果“賦值”不夠準確，運算技能不過關，結果很難獲得. 技巧與方法：對于(1)，獲得 f(0) 的值進而取x=y 是解題關鍵；對于(2)，判定21121xxxx的范圍是焦點 . 證明： (1)由 f(x)+f(y)=f(xyyx1),令 x=y=0,得 f(0)=0, 令 y=x,得 f(x)+f(x)=f(21xxx)=f(0)=0. f(x)= f(x).f(x)為奇函數(shù) . (2)先證 f(x)在 (0，1)上單調(diào)遞減 . 令 0 x1x21,

3、則 f(x2)f(x1)=f(x2)f(x1)=f(21121xxxx) 0 x1x20,1 x1x20，12121xxxx0, 又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0 x2x11x2x1, 012121xxxx1,由題意知f(21121xxxx)0即 f(x2)f(x1). f(x)在(0，1)上為減函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)且f(0)=0. f(x)在(1，1)上為減函數(shù) . 例 2設函數(shù) f(x)是定義在 r 上的偶函數(shù)，并在區(qū)間(,0) 內(nèi)單調(diào)遞增， f(2a2+a+1)f(3a2 2a+1).求 a 的取值范圍，并在該范圍內(nèi)求函數(shù)y=(21)132aa的單調(diào)遞減區(qū)間.

4、命題意圖：本題主要考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的基本應用以及對復合函數(shù)單調(diào)性的判定方法.本題屬于級題目 . 知識依托：逆向認識奇偶性、單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的值域問題. 錯解分析：逆向思維受阻、條件認識不清晰、復合函數(shù)判定程序紊亂. 技巧與方法：本題屬于知識組合題類，關鍵在于讀題過程中對條件的思考與認識，通過本題會解組合題類，掌握審題的一般技巧與方法. 解：設 0 x1x2,則 x2x10，f(x)在區(qū)間 ( ,0)內(nèi)單調(diào)遞增，f(x2)f(x1),f(x)為偶函數(shù)， f(x2)=f(x2),f(x1)=f(x1), f(x2)f(x1).f(x)在(0，+)內(nèi)單調(diào)遞減 . .032)31(

5、3123,087)41(2122222aaaaaa又由 f(2a2+a+1)3a22a+1.解之，得0a3. 又 a23a+1=( a23)245. 函數(shù) y=(21)132aa的單調(diào)減區(qū)間是23，+結合 0a3,得函數(shù) y=(23)132aa的單調(diào)遞減區(qū)間為23， 3). 錦囊妙計本難點所涉及的問題及解決方法主要有：(1)判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性若為具體函數(shù)，嚴格按照定義判斷，注意變換中的等價性. 若為抽象函數(shù)，在依托定義的基礎上，用好賦值法，注意賦值的科學性、合理性. 同時，注意判斷與證明、討論三者的區(qū)別，針對所列的“磁場”及“訓練”認真體會，用好數(shù)與形的統(tǒng)一. 復合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性.

6、問題的解決關鍵在于：既把握復合過程，又掌握基本函數(shù). (2)加強逆向思維、數(shù)形統(tǒng)一.正反結合解決基本應用題目，下一節(jié)我們將展開研究奇偶性、單調(diào)性的應用. 殲滅難點訓練一、選擇題1.( )下列函數(shù)中的奇函數(shù)是( ) a.f(x)=( x1)xx11b.f(x)=2|2|)1lg(22xxc.f(x)=)0()0(22xxxxxxd.f(x)=xxxxsincos1cossin12.( )函數(shù) f(x)=111122xxxx的圖象 ( ) a.關于 x 軸對稱b.關于 y 軸對稱c.關于原點對稱d.關于直線x=1 對稱二、填空題3.( )函數(shù) f(x)在 r 上為增函數(shù)，則y=f(|x+1|)的一

7、個單調(diào)遞減區(qū)間是_. 4.( )若函數(shù) f(x)=ax3+bx2+cx+d 滿足 f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0 x11). (1)證明：函數(shù)f(x)在( 1，+)上為增函數(shù) . (2)用反證法證明方程f(x)=0 沒有負數(shù)根 . 6.( )求證函數(shù) f(x)=223)1( xx在區(qū)間 (1，+)上是減函數(shù) . 7.( )設函數(shù) f(x)的定義域關于原點對稱且滿足：(i)f(x1x2)=)()(1)()(1221xfxfxfxf；(ii)存在正常數(shù)a 使 f(a)=1.求證：(1)f(x)是奇函數(shù) .(2)f(x)是周期函數(shù)，且有一個周期是4a. 8.( )已知函數(shù) f(x)的定義

8、域為r，且對 m、nr,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n)1,且f(21)=0,當 x21時， f(x)0. (1)求證： f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)；(2)試舉出具有這種性質的一個函數(shù)，并加以驗證. 參考答案難點磁場(1)解：依題意，對一切x r,有 f(x)=f(x),即xxxaeeaae1+aex.整理，得 (aa1) (exxe1)=0.因此，有aa1=0,即 a2=1,又 a0,a=1 (2)證法一：設0 x1x2,則 f(x1)f(x2)=)11)(1121122121xxxxxxxxeeeeeee21211211)1(xxxxxxxeeee由 x10,x20,x2x1,112xx

9、e0,1e21xx0, f(x1)f(x2)0,即 f(x1)f(x2) f(x)在(0,+)上是增函數(shù)證法二：由f(x)=ex+ex，得 f(x)=exex=ex(e2x 1).當 x(0,+)時， ex0,e2x10. 此時 f(x)0,所以 f(x)在 0，+)上是增函數(shù) . 殲滅難點訓練一、 1.解析： f(x)=)0()()0()()0()0(2222xxxxxxxxxxxx=f(x)，故 f(x)為奇函數(shù) . 答案： c 2.解析： f(x)=f(x),f(x)是奇函數(shù)，圖象關于原點對稱. 答案： c 二、 3.解析：令t=|x+1|,則 t 在( ,1上遞減，又y=f(x)在 r

10、 上單調(diào)遞增，y=f(|x+1|)在( ,1上遞減 . 答案： ( , 14.解析： f(0)=f(x1)=f(x2)=0,f(0)=d=0.f(x)=ax(xx1)(xx2)=ax3a(x1+x2)x2+ax1x2x，b=a(x1+x2),又 f(x)在 x2,+)單調(diào)遞增，故a0.又知 0 x1x,得 x1+x20, b=a(x1+x2)0. 答案： ( ,0）三、 5.證明： (1）設 1x1x2+,則 x2x10,12xxa1 且1xa0, )1(12112xxxxxaaaa0,又 x1+10,x2+10 )1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(1212211221211

11、21122xxxxxxxxxxxxxx0, 于是 f(x2)f(x1)=12xxaa+12121122xxxx0 f(x)在(1，+）上為遞增函數(shù). (2）證法一：設存在x00(x0 1)滿足 f(x0)=0,則12000 xxax且由 00 xa1 得 01200 xx1,即21x02與 x00 矛盾，故 f(x)=0 沒有負數(shù)根 . 證法二：設存在x00(x0 1)使 f(x0)=0,若 1 x0 0,則1200 xx 2,0 xa1,f(x0) 1 與 f(x0)=0 矛盾，若x0 1,則1200 xx0,0 xa0， f(x0)0 與 f(x0)=0 矛盾，故方程f(x)=0 沒有負數(shù)

12、根 . 6.證明： x0,f(x)=22422322)11(1)1(1)1(1xxxxxxx, 設 1x1x2+,則01111 ,11121222122xxxx. 2211222222112222)11(1)11(1.0)11()11(xxxxxxxxf(x1)f(x2),f(x)在(1，+）上是減函數(shù).(本題也可用求導方法解決）7.證明： (1）不妨令x=x1x2,則 f(x)=f(x2x1)=)()(1)()()()(1)()(12212112xfxfxfxfxfxfxfxf=f(x1x2)=f(x).f(x)是奇函數(shù) . (2）要證 f(x+4a)=f(x),可先計算 f(x+a),f(x+2a). f(x+a)=fx(a)=)1)(1)(1)()()(1)()()()(1)()(afxfxfxfafxfafxfafxfaf. ).(111)(1)(11)(1)(1)(1)()()2(xfxfxfxfxfaxfaxfaaxfaxff(x+4a)=f (x+2a)+2a=)