北京四中---高中數(shù)學(xué)高考綜合復(fù)習(xí)專題十七算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載高中數(shù)學(xué)高考綜合復(fù)習(xí)專題十七算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)一、學(xué)問網(wǎng)絡(luò)二、高考考點(diǎn)+b 1、運(yùn)用重要不等式a222ab（ a、br）或（ a、b r+）判定或證明所給不等式的命題是否成立；2、在給定條件下求有關(guān)式的取值范疇；3、在給定條件下求有關(guān)函數(shù)的最大值或最小值；4、解決實(shí)際應(yīng)用問題，以最優(yōu)化問題為主要題型；三、學(xué)問要點(diǎn)（一）不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)是證明與求解不等式的基本依據(jù)，為了便于記憶和運(yùn)用，我們將不等式的性質(zhì)劃分為“基本性質(zhì) ”和“運(yùn)算性質(zhì) ”兩個(gè)類別；1、關(guān)于不等式的“基本性質(zhì) ”（ 1）對(duì)稱性：a>bb<a（ 2）傳遞性：a>b,b>ca>

2、c（ 3） “數(shù)加 “法就： a>ba+c>b+c推論： a+b>ca>c-b（移項(xiàng)法就）（ 4） “數(shù)乘 ”法就： a>b,c>0ac>bc;a>b,c<0ac<bc2、關(guān)于不等式“兩邊運(yùn)算 ”的性質(zhì)（ 1）同向不等式兩邊“相加 ”： a>b,c>da+c>b+d;（ 2）同向的正數(shù)不等式兩邊“相乘 ”： a>b>0 ， c>d>0ac>bd ；學(xué)習(xí)必備歡迎下載>b（ 3）正數(shù)不等式兩邊“乘方 ”： a>b>0ann*>0nn ;（ 4）正數(shù)不等式兩邊“開方 ”

3、認(rèn)知：上述全部不等式的性質(zhì)均可應(yīng)用于證明不等式，但只有部分不等式的性質(zhì)，可應(yīng)用于解不等式，可應(yīng)用于求解不等式（保證等價(jià)變形）的性質(zhì)為1（ 1）； 1（ 3）； 1（ 4）及其 2（ 3）； 2（ 4）（二）基本定理及其推論定理 1：假如 a,br，那么 a2+b2 2a（b當(dāng)且僅當(dāng)a=b 時(shí)等號(hào)成立）推論（平方和不等式）：（當(dāng)且僅當(dāng)a=b 時(shí)等號(hào)成立）2定理 2：假如 a,br+，那么（當(dāng)且僅當(dāng)a=b 時(shí)等號(hào)成立）,就（ a+b）推論 1（和的平方不等式）：如a,br+ 4ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b 時(shí)等號(hào)成立）推論 2（最值定理）：設(shè)x,y 均為正數(shù)，就（ 1）當(dāng)積xy 為定值 p 時(shí)，和 x+y

4、 有最小值（當(dāng)且僅當(dāng)x=y 時(shí)取得）；（ 2）當(dāng)和x+y 為定值 s 時(shí)，積有最大值（當(dāng)且僅當(dāng)x=y 時(shí)取得）；四、經(jīng)典例題例 1（ 1）如 x,yr+且的最大值 .（ 2）如 x,y r 且 xy>0 ， x2 y 2，求 u xy x2 的最小值 .分析：留意運(yùn)用最值定懂得題的要領(lǐng)：一正二定三相等（ 1）欲求積的最大值，第一致力于“湊因子 ”，為湊出已知條件下“和為定值 ”的正數(shù)之積而變形u，如 u的表達(dá)式的部分因子在根號(hào)外，就可考慮使這一部分進(jìn)入根號(hào)或考察u2：（ 2）欲求和xy+x 2 的最小值，第一致力于“湊項(xiàng) ”，為湊出已知條件下“積為定值 ”的正數(shù)之和而變形u，如有可能，將

5、u 化為一元函數(shù)，問題分析會(huì)更明朗一些；解：（ 1）留意到這里x>0 ， u>0 ，學(xué)習(xí)必備歡迎下載=（當(dāng)且僅當(dāng)）時(shí)等號(hào)成立）；（ 2）由已知得=3 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立 umin =3（當(dāng)且僅當(dāng)x=1 且 y=2 時(shí)取得）點(diǎn)評(píng)：遇 “積”湊因子，在主體部分湊出“如干因子之和為定值”的形式；遇 “和”就湊項(xiàng)， 在主體部分湊出“如干項(xiàng)之積為定值”的形成， 完成此番設(shè)想后， 進(jìn)而再考察有關(guān)各數(shù)“相等 ”的可能性；例 2（ 1）如 x,y,a,br+， ab，且，求 u x+y 的最小值；（ 2）如 0<x<1 ， a， b 為常數(shù)，且ab>0，求的最小值 .分析：對(duì)于（ 1

6、）如何利用,這一條件通常用法多是作“1的替換 ”或作 “三角替換 ”；對(duì)于（ 2），留意到這里0<x<1 ，并且兩個(gè)分母之和為1：x+1-x=1, 在 1 的基礎(chǔ)上易于尋出解題思路；解：學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 1）解法一（利用“1的替換 ”）： x,y,a,br+解法二（運(yùn)用“三角替換 ”）：留意到令， y=bcsc 就有 x=asec22 u= asec22 +bcsc=atan 2 +bco2t +a+b當(dāng)且僅當(dāng)atan2 2bcot 時(shí)等號(hào)成立 2 留意到這里0<x<1 ，且 x+1-x=1 ，令 x=cos 22就, 1-x=sin 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立） ymin

7、=a+b 2 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得 學(xué)習(xí)必備歡迎下載點(diǎn)評(píng) :對(duì)于 1,是明顯的 ;對(duì)于 2,x+1-x=1是隱藏的，今后解決函數(shù)或代數(shù)的其它問題,也要留意認(rèn)知并利用問題中隱藏的等量關(guān)系或不等關(guān)系；例 3（ 1）設(shè) a,b,c 是 rtabc 的三邊， c 為斜邊之長(zhǎng)，且a+b+c=4, 試求 c 的取值范疇；（ 2）設(shè)三個(gè)數(shù)a,b,c 成等比數(shù)列，且a+b+c=1 ，試求b 的取值范疇；分析：在肯定條件下求某個(gè)變量的取值范疇，基本解題思路有二：(i) 由已知條件與重要不等式導(dǎo)出關(guān)于的不等式，而后由這一不等式解出的取值范疇；（ ii ）立足于已知條件中的等式（內(nèi)因），借助已知的重要不等式（外因），內(nèi)外

8、結(jié)合推導(dǎo)的取值范疇；解：（ 1）由已知得c2 =a2+b2 利用三角形的特別性4-c=a+b（以 c 為主元整理或變形）留意到a,br+且滿意2（ a2+b 2） a+b2 4-c將，代入得2c22再留意到這里a+b>c 利用三角形的一般性質(zhì)a+b+c>2c又 a+b+c=4 c<2于是由、得所求c 的取值范疇為=ac（ 2）由已知得b21-b=a+c 以 b 為主元整理或變形為利用重要不等式而爭(zhēng)論：由題設(shè)知a、c 同號(hào)（ i ）當(dāng) a,c 同為正數(shù)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a=c 時(shí)等號(hào)成立 由得a+c2|b|再由得1- b2|b|2|b|+b 1如 b>0 ，就由得；如 b<

9、;0 ， 就由得-1b<0由解得-1b<0 或?qū)W習(xí)必備歡迎下載(ii) 當(dāng) a,c 同為負(fù)數(shù)時(shí)，由、得1-b-2|b|2|b|-b-1 無(wú)解于是綜合（i）（ ii ）得所求b 的取值范疇為-1 ， 0）（ 0，點(diǎn)評(píng)：（ 1）、（ 2）解題的共同之處，是立足于已知的等式，借助算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)大小的不等式導(dǎo)出有關(guān)變量 的取值范疇，這也展現(xiàn)了這一類問題的基本解法；例 4（ 1）已知a>b>c，不等式恒成立，求k 的最大值（ 2）已知x,yr+,且不等式恒成立，求a 的最小值分析：此恒等式問題與最值有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，而尋求有關(guān)式子的最值的基本手段之一是利用重要不等式；解

10、：（ 1） a>b>c原不等式恒成立恒成立令就ku的最小值又 分子主動(dòng)與分母溝通聯(lián)系4 （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立） umin =4 當(dāng)且僅當(dāng)a+c=2b 時(shí)取得 于是由、得k4，即 k 的最大值為4（ 2）不等式恒成立學(xué)習(xí)必備歡迎下載恒成立恒成立 為便于利用重要不等式而變形恒成立 化生為熟轉(zhuǎn)化勝利令就au的最大值 x， y r+ 當(dāng)且僅當(dāng)x=y 時(shí)等號(hào)成立 當(dāng)且僅當(dāng)x=y 時(shí)等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x=y 時(shí)取得 于是由、得，即 a 的最小值為例 5已知 a,br+，且 a+b=1，求證：（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）（ 5）學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 6）分析：對(duì)于條件不等式的證明，條件的適當(dāng)運(yùn)用

11、是證明的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，對(duì)于題設(shè)條件中的等式的應(yīng)用，主要有三個(gè)方面=1 代入；（ i ）直接代入：以a+b=1 或（ a+b ） 2（ ii ） 換元轉(zhuǎn)化：令a=cos2 ,（ iii ）借助 “外因 ”聯(lián)合推理：由已知等式聯(lián)想有關(guān)的重要不等式，二者聯(lián)合導(dǎo)出已知條件的延長(zhǎng)；聯(lián)想 1：由已知等式本身聯(lián)想重要不等式： a,br+，且（ 1）由左邊a+b 聯(lián)想重要不等式（當(dāng)且僅當(dāng)a=b 時(shí)等號(hào)成立）（當(dāng)且僅當(dāng)a=b 時(shí)等號(hào)成立）（當(dāng)且僅當(dāng)a=b 時(shí)等號(hào)成立）（ 2）（當(dāng)且僅當(dāng)a=b 時(shí)等號(hào)成立）聯(lián)想 2：由已知等式的等價(jià)變形聯(lián)想重要不等式（當(dāng)且僅當(dāng)a=b 時(shí)等號(hào)成立）（當(dāng)且僅當(dāng)a=b 時(shí)等號(hào)成立）學(xué)習(xí)必備

12、歡迎下載這與聯(lián)想1 中推出的結(jié)果殊途同歸.對(duì)已知條件作以上挖掘延長(zhǎng)之后,再證明所給例題便是水到渠成；證明：（ 1）證法一 分析轉(zhuǎn)化、化生為熟：原不等式又不等式（* ）成立，原不等式成立；證法二：（化整為零，化隱為明）；留意到當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立同理當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立(2) 利用前面的推論，左邊(3) 略(4) 利用前面的結(jié)論,左邊學(xué)習(xí)必備歡迎下載當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立(5) 利用前面的推論得為了構(gòu)造同向不等式,對(duì)左邊配方 :左邊當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立 (6) 解法一 : 為了構(gòu)造 “同向不等式 ”硬性提取后再作變形 :左邊 當(dāng)且

13、僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立 學(xué)習(xí)必備歡迎下載當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立 左邊 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立 解法二 :仿5之解法 ,留給同學(xué)們練習(xí)點(diǎn)評(píng) （ 1 的證明告知我們,對(duì)于感覺生疏的不等式的證明,要留意通過等價(jià)變形來(lái)認(rèn)知它的原來(lái)面目;其它問題的證明就告知我們 ,條件不等式的證明中,已知條件延長(zhǎng)的主要方向,品悟本例的證明思路,對(duì)證明其它的條件不等式具有重要的啟示或遷移作用；例 6、（ 1）已知x,yr+ ，且 x+y=1 ，試求(i) 的最小值；（ ii ）的最小值；（ 2）已知a,br+，且 a3+b3 =2，求證：（ i） ab1; iia+b2分析：對(duì)于（ 1）本質(zhì)上是例5 （ 5）（ 6）的改作題；對(duì)于（ 2

14、），仍可仿照樣5 中已知條件的延長(zhǎng)手法來(lái)尋找解題思路解：（ 1）從略(2) 證明：留意到已知條件a3+b3=2a+ba 2 +b2-ab=2(i) 由式左邊聯(lián)想重要不等式a2+b2 2ab由得a2+b 2-ab ab>0由得 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1 時(shí)等號(hào)成立 由、得（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1 時(shí)等號(hào)成立）（ ii ）由式左邊聯(lián)想重要不等式學(xué)習(xí)必備歡迎下載由、得8（ a+b ） 3 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1 時(shí)等號(hào)成立 a+b2當(dāng)且僅當(dāng)a=b 時(shí)等號(hào)成立 命題得證+b點(diǎn)評(píng)：前事不忘，后事之師，學(xué)習(xí)中要留意學(xué)問、方法與策略的遷移，對(duì)于（2），也可以依據(jù)已知條件a33=2“實(shí)施等量替換”，只是成效不肯定抱負(fù)

15、，事實(shí)上，設(shè)就；（ i ）得證；而 a+b2就難以證明 ,同學(xué)們不妨一試.五、高考真題1 、（ 2004 遼寧卷） 對(duì)于 0<a<1, 給出以下四個(gè)不等式：（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）其中成立的是（）a.1 與（ 3）b. （ 1）與（ 4）c.（ 2）與（ 3）d. （ 2）與（ 4）分析：從0<a<1 入手去比較1+a 與的大小 0<a<1又當(dāng) 0<a<1 時(shí)， y=log ax 為減函數(shù)當(dāng) 0<a<1 時(shí)， y=ax 為減函數(shù)，于是由（ * ）、（ * ）知此題應(yīng)選d學(xué)習(xí)必備歡迎下載2 、（ 2004 全國(guó)卷 ii ）： 已

16、知 a2 +b22=1,b +c2=2,c22+a =2,就 ab+bc+ca 的最小值為（）a.分析：為建立“已知 ”與“目標(biāo) ”的聯(lián)系，考察已知三式的和：將與已知各式聯(lián)立，解得即留意到欲求ab+bc+ca 的最小值，只需a、b 同號(hào)且c 與它們反號(hào) ab+bc+ac 的最小值為應(yīng)選b3 、（ 2005 湖南卷） 集合b=x|x-b|<a ，如 “a=1”是“ab”的充分條件，就b 的取值范疇可以是（）a.- 2b<0b.0<b2c.-3<b<-1d.- 1b<2分析：從認(rèn)知與化簡(jiǎn)集合a 、b 切入a= （ -1， 1），b= （ b-a,b+a ）當(dāng) a=1 時(shí)， b= （ b-1,b+1 ）此時(shí)，令b=0就 b= （-1 ， 1），明顯ab，符合要求，由此否定a ， b ；令 b=-1 ，就 b= （ -2， 0）學(xué)習(xí)必備歡迎下載此時(shí)， ab= （ -1， 1） （ -2， 0）= （ -1， 0） ，符合要求，否定c.于是可知應(yīng)選d.4 、（ 2005，天津卷）給出以下三個(gè)命題（ 1）如 ab>-1,就（ 2）如正整數(shù)m 和 n 滿意 mn，就+y=9（ 3）設(shè) px1,y1 為圓 01；x 22上任一點(diǎn)，圓o2 以 q（ a,b）為圓心且半徑為1，當(dāng)（ a-x 1） 22+