初二數(shù)學(xué)上冊(cè)分式基礎(chǔ)知識(shí)梳理及經(jīng)典例題分析

1、第三章分式一、基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)梳理（本章主要與分?jǐn)?shù)、四就運(yùn)算、冪、方程式、分解因式等結(jié)合學(xué)習(xí)）1、分式的概念 :一般地，假如 a 、b 表示兩個(gè)整式， 并且除式 b 中含有字母， 那么式子叫分式；解析： 1分母中含有字母是分式的一個(gè)重要標(biāo)志，它是分式與分?jǐn)?shù)、 整式的根本區(qū)分；分式 a/b 有意義，就 b=02分式的分母的值不能等于零如分母的值為零，就分式無(wú)意義； 反之，如分式 a/b 無(wú)意義，就 b=03當(dāng)分子等于零而分母不等于零時(shí)，分式的值才是零反之，如分式 a/b=0 ，就 a=0，且 b 0分式的相關(guān)概念：分式的約分： 指把一個(gè)分式的 分子與分母的公因式 約去；分式約分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)分式

2、約分的主要步驟是： 1把分式的分子與分母 化為積的形式 ;2約去分子與分母的 公因式約分的關(guān)鍵是確定公因式；確定公因式分三步：確定因式（假如分母是多項(xiàng)式要第一分解因式）：挑選全部因式中顯現(xiàn)的相同因式；確定指數(shù)：挑選相同因式中指數(shù)最低的次數(shù)；確定系數(shù)：求各個(gè)系數(shù)的最大公約數(shù)；最簡(jiǎn)分式： 一個(gè)分式的分子和分母沒(méi)有公因式時(shí)，叫做最簡(jiǎn)分式 ，也叫既約分式分式的通分：指把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原先的分式相等的同分母的分式. 分式通分的依據(jù)是 分式的基本性質(zhì)通常取各分母的全部因式的最高次冪的積 作公分母，這樣的公分母， 叫做最簡(jiǎn)公分母 .確定最簡(jiǎn)公分母分三步： 確定因式 （假如分母是多項(xiàng)式要第一因式分

3、解） ：挑選各個(gè)分母中顯現(xiàn)的全部因式；確定指數(shù)：挑選各個(gè)因式中指數(shù)最高的次數(shù)；確定系數(shù)：求各個(gè)系數(shù)的最小公倍數(shù)；2、分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的整式 ，分式的值不變 .用式子表示是：aambbma m 其中 m 是不等于零的整式 b m特殊提示： 1 在解題過(guò)程中，分母不為0 是作為隱含條件給出的如是分式，就說(shuō)明分母中的字母肯定能滿意使分母不為0；2 在運(yùn)用分式的基本性質(zhì)時(shí)，肯定要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)c0這個(gè) 條件，沒(méi)有給出的，要爭(zhēng)論是否等于0分式的變號(hào)法就：分式的分子、分母與分式本身的符號(hào)，轉(zhuǎn)變其中任何兩個(gè)，分式的值不變?nèi)纾海?） aabbaaaa （2） bbbbaa

4、ab ；（ 3）bb .xy但要留意下面的錯(cuò)誤：xy3、分式的運(yùn)算：xyxyxy =-1 是錯(cuò)誤的，應(yīng)當(dāng)是xy xyxyxyxy .分式的乘法法就：分式乘分式，用分子的積作積的分子，用分母的積作積的分母；用式子表示是乘法法就 ： acacbdbd分式除法法就 ：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘；用式子表示是除法法就：acadad bdbcbcana n分式的乘方法就： 分式乘方是把分子、分母各自乘方；表示為：bbn n 為整數(shù) 分式加減法法就：同分母分式相加減，分母不變，分子相加減；用式子表示是：ababccc異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后再加減用式子

5、表示是：pacadbc bdbd零指數(shù)冪的性質(zhì)：a01a0 ， 負(fù)指數(shù)冪的性質(zhì)： a1 a0，n 為整數(shù) a p分式的混合運(yùn)算原就：先乘方，再乘除，再算加減，有括號(hào)，先算括號(hào)內(nèi)的；分式運(yùn)算規(guī)律總結(jié) ：1 含有分式的加減運(yùn)算中，整式可以看作是分母為1 的式子，然后通過(guò)通分進(jìn)行運(yùn)算； 2 能約分的要先約分，可以削減運(yùn)算步驟；3 留意運(yùn)算步驟，也是先算乘方，再算乘除，最終算加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的；4 另外可以結(jié)合交換律，結(jié)合律，安排律等，可以使運(yùn)算更簡(jiǎn)便運(yùn)算的結(jié)果要化為最簡(jiǎn)分式或整式；（ 5）分式的乘除運(yùn)算中，整式可以看作分母為1 的式子，然后依照分式的乘除法就進(jìn)行運(yùn)算；（ 6）乘方法就中 “

6、分子、分母分別乘方”指的是分子、分母整體分別乘方，而不是部分；（7）分式乘除法如無(wú)附加條件（如括號(hào)等） ，應(yīng)依據(jù)從左到右的次序進(jìn)行；最好先將算式中的除式的分子、分母顛倒位置，將除法轉(zhuǎn)化為乘法后再運(yùn)算；4、分式方程定義：分母里含有未知數(shù)的方程叫分式方程解分式方程的一般步驟：1在方程的兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化為整式方 程 2 解這個(gè)方程 3把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母，看結(jié)果是不是零；使最簡(jiǎn)公分母為零的根不是原方程的解，必需舍去（1）為什么要檢驗(yàn)根？在將分式方程變形為整式方程時(shí)，方程兩邊同乘以一個(gè)含未知數(shù)的整式，并約去了分母，有時(shí)可能產(chǎn)生不適合原分式方程的解（或根）；對(duì)于原分式方程的解來(lái)

7、說(shuō)，必需要求使方程中 各分式的分母的值均不為零， 但變形后得到的整式方程就沒(méi)有這個(gè)要求. 假如所得整式方程的某個(gè)根，使原分式方程中至少有一個(gè)分式的分母的值為零，也就是說(shuō)使變形時(shí)所乘的整式 （各分式的最簡(jiǎn)公分母）的值為零，它就不適合原方程，就不是原方程的解；（2）驗(yàn)根的方法：一般的，解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母為 0，因此應(yīng)如下檢驗(yàn)：將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，假如最簡(jiǎn)公分母的值不為0，就整式方程的解是原分式方程的解，否就，這個(gè)解不是原分式方程的解；應(yīng)當(dāng)舍去；列分式方程解應(yīng)用題依據(jù)實(shí)際問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，列代數(shù)式；依據(jù)等量關(guān)系，列出分式方程；與列一元一次方程解應(yīng)用題的

8、不同之處在于：所列的為分式方程，要檢驗(yàn)是否為所列方程的根；二、縱深懂得基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)例題精講經(jīng)典例 1 寫出一個(gè)含有字母x 的分式： （.要求：不論 x 取任何實(shí)數(shù)，該分式都有意義，且分式的值為負(fù)）思路解析： 這是一道開(kāi)放性試題，解題的關(guān)鍵是正確懂得分式的概念和有意義的條件，第一找出符合條件的字母，由于x 本身取任意實(shí)數(shù)，所以當(dāng)分母取ax2n+b（a、b 同號(hào)且 n 是正整數(shù)）時(shí)， ax2n+b 0因. 此分母可以用x2+1，3x2+2，-2x2-5 等來(lái)表示，而對(duì)于分子，由于分式的值為負(fù)，因此也可用ax2n+b 來(lái)選取 .但要留意分子、分母異號(hào)，分式要寫成最簡(jiǎn)形式.答案： 如| x |1,x 21

9、1x 22 x221 答案不唯獨(dú) 經(jīng)典例 2 如 x 22 x3 的值為零，就 x 的值是 a. ±1b.1c.-1d.不存在思路解析：| x | x10,22x30, 解得 x=-1.答案： c解題關(guān)鍵： 分式的值為零，必需同時(shí)滿意兩個(gè)條件：一是分子等于零；二是分母不等于零；列出條件后，將分子等于0 的 x 值，代入分母中，如分母為0，就此值舍去；x 2經(jīng)典例 3 小明說(shuō)：“x 說(shuō)明理由 .9x 23 可以化簡(jiǎn)為 x-3 ，所以 x93 應(yīng)當(dāng)是整式 . ”你認(rèn)為他的說(shuō)法正確嗎？思路解析： 這里的化簡(jiǎn)即約分，依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，在分式值范疇是 x-3，而在 x-3 中 x 的取值范

10、疇是任意實(shí)數(shù) .x 29x3中,字母 x的取解題關(guān)鍵： 在分式的約分中，默認(rèn)的是字母的取值使分母不等于零；而在整式中，字母可取任意實(shí)數(shù) .x 29答案： 不正確，化簡(jiǎn)后 x 的取值范疇不同，因此x-3 不能代替x3.舉一反三提高訓(xùn)練1以下分式的變形是否正確？為什么？x1（1） x1 x1 x1 x1 x1 x1 2x21a；（2） a1aaa1aa 22aa .思路解析： 兩題運(yùn)算都應(yīng)用了分式的基本性質(zhì)：分子、分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變.在以上變形中，沒(méi)有指明（x-1）和 a 不為零 .假如指明白就正確答案： 都不正確，由于無(wú)法保證（1）中分子、分母同乘以的x-1

11、和（ 2）中的 a 不為零 .舉一反三提高訓(xùn)練2以下分式變形是否正確 .為什么 . x1 2x1 x1x1a 2aaa（1）x21x1 x1x1 ;（2） a 2aa1aa1 .x1 2a 2和思路解析： 兩個(gè)變形也是利用分式的基本性質(zhì)，原先的兩個(gè)分式x- 10和 a0，故變形正確 .x 21a 2a中隱含了答案：變形正確，由于原分式 x1 2a 2和x 21a 2a 中隱含了 x-10和a0的條件 ,可以進(jìn)行約分 .x經(jīng)典例 4： 分式 3 xa1 中，當(dāng) x=-a 時(shí)，以下結(jié)論正確選項(xiàng) a. 分式的值為零b.分式無(wú)意義11c.如 a 3 時(shí),分式的值為零xad.如 a3 時(shí),分式的值為零1

12、1思路解析： 由條件 x=-a,知 3x1 =0，但分母為 0 時(shí),分式無(wú)意義 ,就 x3 ,故 a- 3.答案： cx2經(jīng)典例 5： 約分： x yz 222yz.思路分析： 分子、分母是多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)先分解因式，再約分.x 2解: x yy2z 2z2 xy xy1,z xyzz xyz22,3xyzxyz .經(jīng)典例 6.通分： ab 2aba 2b.思路分析： 由于-a+b=-a-b，a2-b2=a+ba-b，所以最簡(jiǎn)公分母是 a-ba+b2.，解:最簡(jiǎn)公分母是 a-ba+b21ab222ab 2 ab 23ab 2 a3b ，abab3abab2 ab ,a 2b 2ab abab 2

13、ab .x2x4x6x8x1x3x5x7經(jīng)典例 7 運(yùn)算分析：對(duì)于這道題，一般采納直接通分后相加、減的方法，明顯較繁，留意觀看到此題的每個(gè)分式的分子都是一個(gè)二項(xiàng)式，并且每個(gè)分子都是分母與1 的和，所以可以實(shí)行“裂項(xiàng)法” 解：原式x11x1x31x3x51x5x71x71111x1x31111x5x711x1x311x5x7222 x5x72 x1x316 x4x1x3x5x7x1x3x5x7x1x3x5x7經(jīng)典例 8：解方程：11x5x611x8x9思路解析 ：如直接去分母，運(yùn)算量很大且復(fù)雜，因此題的構(gòu)成比較特殊，假如方程兩邊分別通分，就具有相同的分子，可以使解方程的過(guò)程大大的簡(jiǎn)化.解：原方程

14、變形為x6x5x9x8 x5 x6（ x5（ x6）x8 x9 x8 x9所以： x15 x61x8 x9（x-8）x-9= x-5x-6解得 x=7將 x=7 代入x-5x-6 x-8 x-9 中不為 0 所以 x=7 是原分式方程的解仿照此解法，你能解下面的一道題嗎？試試看！x4x8x7x5x5x9x8x6經(jīng)典例 9 已知 a 23a10 ，求a2a 4的值；1思路解析： 分式的化簡(jiǎn)求值，適當(dāng)運(yùn)用整體代換及因式分解可使問(wèn)題簡(jiǎn)化；略解：a 23a10 ，（由已知 a 0）a13aa41112a 21 a 2 a2 322 7= .a 2a 2a222a3ba 417c 2411經(jīng)典例 10.

15、已知 a 、b 、c 為實(shí)數(shù)，且滿意0 ，求的值；b3c20b3 c2abbc2解：由題設(shè)有2a3b2c 24，依據(jù)一個(gè)數(shù)的平方值、肯定值、算術(shù)平方根都0是非負(fù)數(shù)可解得 a 2， b3 ， c 21ab11bc231 223323 42a 2a 1a 4經(jīng)典例 11 已知 a 2a10，求（2 2）÷的值a2aa 4a4a 2思路解析： 此題將分式的加減和乘除結(jié)合起來(lái)，先算括號(hào)里的減法，再將除法轉(zhuǎn)化成乘法化簡(jiǎn)后再代值求出結(jié)果a2a1a 4（a2）（ a 2）a（a1）a2解： 原式 a（ a 2） （a2）2 ÷ a（a2）2a（a2） 2 · 4a 2aa24a

16、2aa2a4a211 a（ a2）2 · （a2）2· （ a2）a2 2aa4aa4a由于 a22a10，所以 a22a1，所以2 1112 a a11經(jīng)典例 12 已知 a12 ab =1，求分式a3ab 2ab2b b的值.思路分析： 由已知變形得a-b=-ab,把原式變形，使式子中字母部分只有a-b 和 ab 這樣的式子，用整體代入法代入、約分、求值.解:由已知得 a-b=-ab.原式=2ab ab3ab 2ab2ab ab3ab 2abab1.3ab3三、應(yīng)用與探究拓展思維拓展思維例 1、閱讀懂得題：閱讀以下材料，關(guān)于x 的方程：（1） x+1 =c+ 1 的解是

17、 x1=c，x2= 1 ；（2） x-1 =c- 1 的解是 x1=c，x 2=- 1 ；xccxcc（3） x+ 2 =c+ 2 的解是 x1=c，x2= 2 ；（4）x+ 3 =c+ 3 的解是 x1=c，x 2= 3xccxcc（ 1）請(qǐng)觀看上述方程與解的特點(diǎn)，比較關(guān)于x 的方程 x+ mcm （m 0）與它們的關(guān)xc系， .猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念進(jìn)行驗(yàn)證（ 2）由上述的觀看、比較、猜想、驗(yàn)證，可以得出結(jié)論：.假如方程的左邊是未知數(shù)與其倒數(shù)的倍數(shù)，方程右邊的形式與左邊完全相同，只把其中未知數(shù)換成了某個(gè)常數(shù)，那么這樣的方程可以直接得解，請(qǐng)用這個(gè)結(jié)論解關(guān)于x 的方程： x

18、+2x1要將獨(dú)立的 x 化為 x-1 的形式a2. 思路解析：一 定a1解：（1） x1c， x2m 2.xca， x2a1a1拓展思維例2.福興商場(chǎng)文具專柜以每枝a（a 為整數(shù)）元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批“英雄”牌鋼筆，打算每枝加價(jià) 2 元銷售 .由于這種品牌的鋼筆價(jià)格優(yōu)、 質(zhì)量好、外表美，很快就銷售一空 .結(jié)賬時(shí)， 售貨員發(fā)覺(jué)這批鋼筆的銷售總額為399a+805元.你能依據(jù)上面的信息求出文具專柜共購(gòu)進(jìn)多少枝鋼筆及每枝鋼筆的進(jìn)價(jià)a 是多少元嗎？思路分析： 依題意 ,知購(gòu)進(jìn)鋼筆的枝數(shù)為399aa8052，明顯 ,僅僅通過(guò)399a399 aa 8058052不能求出 a，因此，挖掘條件中的內(nèi)涵是解決問(wèn)題的

19、關(guān)鍵.這里 a 為正整數(shù)，解:設(shè)文具專柜共購(gòu)進(jìn)鋼筆y 枝，就有a2也是正整數(shù) .399 ay=a8052399aa79872399a27a23997a2 .a0 且為整數(shù)， y 為正整數(shù)， a+2 是 7 的約數(shù) . a+2=7 或 a+2=1.a=5，a=-1（不合題意） .當(dāng) a=5 時(shí)， y=400.故文具專柜共購(gòu)進(jìn)鋼筆400 枝，每枝進(jìn)價(jià) 5 元.拓展思維例 3：兩個(gè)工程隊(duì)共同參與一項(xiàng)筑路工程，甲隊(duì)單獨(dú)施工1 個(gè)月完成總工程的三分之一，這時(shí)增加了乙隊(duì)， 兩隊(duì)又共同工作了半個(gè)月， 總工程全部完成； 哪個(gè)隊(duì)的施工速度快？分析： 甲隊(duì)一個(gè)月完成總工程的1 ，設(shè)乙隊(duì)假如單獨(dú)施工1 個(gè)月能完成總工程的31 ，那么甲x隊(duì)半個(gè)月完成總工程的1 ，乙隊(duì)半個(gè)月完成總工程的