第六章曲率選美

1、 181 第六章 曲率選美 第六個回文國家叫做曲率選美國，代號606，簡稱606國。這個國家與曲線尋親國一樣崇尚回文的幾何美，甚至以回文曲線的曲率大小作為審美的主要標(biāo)準(zhǔn)。每年都舉行美男美女競選，大事張揚(yáng)，尉為奇觀。 本章先簡單介紹幾何學(xué)的斜率和曲率的概念，再引入回文曲線的曲率。因?yàn)榛匚那€只是折線，在折點(diǎn)處曲率不存在，所以回文率純屬虛構(gòu)。 6-1 斜率與曲率 6-1-1 直角三角形 平面上有2邊互相垂直的三角形叫直角三角形，如下 圖： A O B （圖6-1直角三角形） 在圖6-1中，直角三角形OAB的2邊AB和OB互相垂直，均叫直角邊；角B是直角，角O和A是銳角；對182 銳角O而言：AB叫

2、對邊，OB叫鄰邊，OA叫斜邊。 定理1：如果2個直角三角形有1銳角重合且對邊平行，那末這2個直角三角形相似。 定理2：2個相似直角三角形對應(yīng)邊成比例。 6-1-2 直線的斜率 平面上直線的斜率是反映直線相對于水平線的傾斜程度的比率，見下圖： A C O B D （圖6-2 直線的斜率） 在圖6-1中，OC是已知直線，A和C是OC上任2點(diǎn)；OD是水平線，AB與CD均垂直于OD，因而AB與CD平行。由定理1，直角三角形OAB與OCD相似。由定理2， AB/OB = CD/OD （6-1） 公式（6-1）是說，不管點(diǎn)A或C在直線OC上何處，相似三角形OAB與OCD中銳角O的對邊與鄰邊之比為定值，這個

3、定值反映了直線OC相對于水平線OD的傾斜程度。用tOC表示這個定值，叫做直線OC的斜率。 183 6-1-3 坐標(biāo)與斜率 利用上章引入的平面坐標(biāo)系，我們可以把直線的斜率定義為橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的比率。見下圖： y L A（x，y） O B x （圖6-3 坐標(biāo)與斜率） 在圖6-3中，L是過原點(diǎn)的直線，A是直線L上任一點(diǎn)，其坐標(biāo)為（x，y）；那末，直線L的斜率是： tL = y/x （6-2） 同樣，斜率tL之值與A點(diǎn)在L的何處無關(guān)。盡管不同位置的A點(diǎn)，坐標(biāo)（x，y）的值不同，但比值y/x不變。 6-1-4 曲線的曲率曲率是數(shù)學(xué)名詞，是反映平面曲線在一點(diǎn)上的彎曲程度大小的比率。它在機(jī)械、建筑、交通等

4、多方面有著廣泛的應(yīng)用。直線是特殊的曲線。在上段我們知道，直線上任何一點(diǎn)的斜率相等，直線是等斜率的“曲線“。反過來說，曲線的斜率是變化的。由此，可以把曲率理解為：“曲率是斜率變化的速率?！?84 6-2 數(shù)字曲率 6-2-1 數(shù)字曲率與曲率回文曲線的數(shù)字曲率是數(shù)字曲線的曲率，其背景、構(gòu)思與幾何上的曲率是相同的。但有3點(diǎn)不同：（1）離散與連續(xù)。數(shù)字曲線由離散的點(diǎn)列聯(lián)結(jié)而成；幾何曲線由連續(xù)的點(diǎn)組成。（2）局部與整體。幾何曲率反映幾何曲線在一點(diǎn)的彎曲程度，是局部的；數(shù)字曲率是考慮整條數(shù)字曲線的彎曲程度，是全局的。（3）有限與無限。數(shù)字曲線由有限個整數(shù)格點(diǎn)組成，談?wù)撘稽c(diǎn)的曲率是沒有意義的。幾何曲線由無限

5、多的、密集的點(diǎn)組成，其彎曲程度是無限變化的。6-2-2 數(shù)字曲率的范圍本章討論的數(shù)字曲率，限定在以下范圍之內(nèi)：（1）數(shù)字曲率只討論線狀回文曲線的曲率，不討論點(diǎn)狀回文曲線的曲率；（2）數(shù)字曲率只討論水平線、單峯曲線和單谷曲線的曲率，不討論W型曲線、M型曲線和鋸齒型曲線的曲率；（3）數(shù)字曲率只討論右半段回文曲線的曲率，不討論 185左半段回文曲線的曲率。范圍（3）是固因?yàn)榛匚那€左右對稱，討論回文曲線的曲率只須考慮左半段或右半段曲線。6-2-3 數(shù)字曲率的數(shù)值本章討論的數(shù)字曲率，其數(shù)值不是計算得出，而是參照幾何學(xué)上的曲率逐一規(guī)定。其要點(diǎn)是：（1） 數(shù)字曲率從0開始，最小為0；（2） 數(shù)字曲率絕對值

6、的大小反映整條數(shù)字曲線彎曲的程度；（3）數(shù)字曲率的數(shù)值有正負(fù)，反映整條數(shù)字曲線彎曲的方向。以上3點(diǎn)，將在6-7節(jié)詳細(xì)介紹。 6-2-3 數(shù)字曲率的種類 回文曲線的數(shù)字曲率的有以下幾種分類：（1）回文曲線右半段為線段的曲率與回文曲線右半段為折線的曲率（0次或1次回文曲線的曲率與2次或3次回文曲線的曲率），見6-3節(jié)及6-4節(jié)；（2）奇回文曲線的曲率與偶回文曲線的曲率（尖回文曲線的曲率與駐回文曲線的曲率），見6-5節(jié)；186（3）向上凹的回文曲線的曲率與向下凹的回文曲線的曲率（正曲率與負(fù)曲率），見6-6節(jié)。 6-3 半線段曲線 6-3-1 右半段為線段的數(shù)字曲線上章說過，數(shù)字曲線是聯(lián)結(jié)數(shù)字點(diǎn)列的折

7、線，而數(shù)字點(diǎn)列由一些整數(shù)格點(diǎn)組成。數(shù)字曲線的右半段是指：當(dāng)數(shù)字點(diǎn)列的項(xiàng)數(shù)n是奇數(shù)時，是第（n+1）/2項(xiàng)至第n項(xiàng)（即含中點(diǎn)）的聯(lián)線；當(dāng)數(shù)字點(diǎn)列的項(xiàng)數(shù)n是偶數(shù)時，是第n/2+1項(xiàng)至第n項(xiàng)（即含右中點(diǎn)）的聯(lián)線。因而：若N是p位自然數(shù)，p是奇數(shù)；則反映N的數(shù)字點(diǎn)列的右半段是Nt，t=（p+1）/2、（p+3）/2、-、p （6-3a）若N是p位自然數(shù)，p是偶數(shù)；則反映N的數(shù)字點(diǎn)列的右半段是Nt，t=2p+1、2p+2、-、p （6-3b）數(shù)字點(diǎn)列（6-3a）或（6-3b）反映的是以自然數(shù)N的數(shù)字順序t為自變量，以N的數(shù)位數(shù)字Nt為因變量的離散函數(shù)的右半段。右半段為線段的數(shù)字點(diǎn)列是離散的，其規(guī)律性可以

8、從 187 對應(yīng)的連續(xù)坐標(biāo)關(guān)系得出。包括0次關(guān)係和1次關(guān)係：（1）對應(yīng)的連續(xù)坐標(biāo)關(guān)系是y=c，c為任意常數(shù)；則p位數(shù)字點(diǎn)列的右半段，1c9，當(dāng)p為奇數(shù)是 Nt = c；t=（p+1）/2、（p+3）/2、-、p （6-4a）當(dāng)p為偶數(shù)是 Nt = 3；t=2p+1、2p+2、-、p （6-4b） （2）對應(yīng)的連續(xù)坐標(biāo)關(guān)系是y=x+c，c為任意常數(shù)，則p位數(shù)字點(diǎn)列的右半段，0c8，當(dāng)p為奇數(shù)是 Nt = t+c；t=（p+1）/2、（p+3）/2、-、p（6-5a）當(dāng)p為偶數(shù)是 Nt = t+c；t=2p+1、2p+2、-、p （6-5b）對應(yīng)地，離散的數(shù)字點(diǎn)列的右半段（6-4a）或（6-4b）

9、叫做0次的；（6-5a）或（6-5b）叫做1次的。例如：連續(xù)坐標(biāo)關(guān)系y = 3及y=x的圖像都是直線。y=3是水平直線而y=x是斜直線，如下圖： y y=x y=3 （圖6-4 直線關(guān)系） O x代數(shù)式y(tǒng)=3或y=x的次數(shù)是指x的最高次數(shù)。y=3是0次式（因?yàn)閤0=1，省略掉），y=x是1次式（x1=x）。1886-3-2 0次曲線的右半段0次關(guān)系是指形如y=c的代數(shù)式，c任意為常數(shù)。在數(shù)字曲線的情況下，c只能取數(shù)字值1-9，N的位數(shù)p3。0次關(guān)系數(shù)字曲線簡稱0次曲線，均為水平線段，它們的右半段也都是水半線段。這類曲線有9個水平，每個水平都有無限多條水平線段。以下列出的是整條水平線段（不是右半

10、段）： 111、1111、-，直至位數(shù)p無限大； 222、2222、-，直至位數(shù)p無限大； -； 999、9999、-，直至位數(shù)p無限大。整條0次曲線的圖形如下： 9 Nt 。 。 。 2 。 。 。 1 。 。 。 （圖6-5 0次曲線） O 1 2 3 t6-3-3 1次曲線的右半段右半段上升的1次關(guān)系是指形如y=x+c的代數(shù)式，在數(shù)字曲線的情況下是Nt=t+c，0c8，3p19。 1891次關(guān)系數(shù)字曲線簡稱1次曲線，均為單谷（V型或U型）曲線或單峯（倒V型或倒U型）曲線。它們的右半段都是線段。以下列出的是整條的單谷（V型）奇曲線： 101、212、323、-、989等，9條3位曲線； 2

11、1012、32123、-、98789等，8條5位曲線； 3210123、-，等，7條7位曲線； 432101234、-，等，6條9位曲線； 54321012345、-，等，5條11位曲線； 6543210123456、-，等，4條13位曲線； 765432101234567、-，等，3條15位曲線； 87654321012345678、-，等，2條17位曲線；及1條19位曲線9876543210123456789，共45條奇曲線。不難列出對應(yīng)的45條單谷（U型）偶曲線（中間重復(fù)），參看6-5節(jié)；以及單峯（倒V型或倒U型）曲線，參看6-6節(jié)。部份整條的單谷（V型）1次奇曲線如下圖： 4 Nt 4

12、32101234 3 3210123 2 21012 1 101 （圖6-6 1次奇曲線）O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t 1906-3-4 0次和1次曲線右半段的特征0次曲線只有1個類型，其右半段的特征比較易見，就是：（1） 0次曲線右半段是水平線段；（2） 0次曲線右半段相鄰2位數(shù)字之差皆為0；（3） 0次曲線右半段互相平行。整條1次曲線雖有V型、U型、倒V型 、倒U型4種，但其右半段只有2種：向上斜線段（V型及U型）與向下斜線段（倒V型 及倒U型）。實(shí)際上都是斜線段1種。由此，1次曲線右半段有如下特征：（1）1次曲線右半段是斜線段； （2）1次曲線右半段相鄰2位數(shù)字之差（以大減

13、?。┒际?；（3） 同型的（例如V型）1次曲線右半段互相平行。 6-4 半折線曲線 6-4-1 右半段為折線的數(shù)字曲線 從上節(jié)可知，當(dāng)表示坐標(biāo)y與x關(guān)系的代數(shù)式是x的0次或1次式時，其圖像都是直線。只是0次關(guān)系的圖像是水平線，1次關(guān)系的圖像是斜直線。那末，何種情況下， 191 坐標(biāo)y與x關(guān)系的圖像才是曲線？答案是：當(dāng)坐標(biāo)y與x關(guān)系的代數(shù)式是x的2次式或2次以上時，它們的圖像才是曲線。 進(jìn)一步的問題是：除了0次和1次的數(shù)字曲線，如何判斷2次或2次以上數(shù)字曲線的次數(shù)？這可從6-4-4的“0次和1次曲線右半段的特征”的第（2）條引伸出來。從“0次曲線右半段相鄰2位數(shù)字之差皆為0”與“1次曲線右半段相

14、鄰2位數(shù)字之差（以大減?。┒际?”得出如下結(jié)論： 當(dāng)數(shù)字曲線右半段相鄰2位數(shù)字之差相等，它的圖像是線段。當(dāng)數(shù)字曲線右半段相鄰2位數(shù)字之差不等，它的圖像是折線。 數(shù)字曲線的右半段有2次曲線和3次曲線2種。 6-4-2 2次曲線的右半段 整條2次數(shù)字曲線也有V型、U型、倒V型 、倒U型4種，但其右半段只有1種：2次曲線，包括上升的2次曲線和下降的2次曲線。上升的2次關(guān)系，連續(xù)關(guān)系為y=x2+c（c是任意常數(shù)）時，相應(yīng)的離散關(guān)系，0c9-t2：當(dāng)奇數(shù)p5，是 Nt = t2+c；t=（p+1）/2、（p+3）/2、-、p （6-6a）當(dāng)偶數(shù)p6，是192 Nt = t2+c；t=2p+1、2p+2、

15、-、p （6-6b）以下列出的是整條的單谷（V型）2次數(shù)字奇曲線：（1）右半段是014（02、12、22），5位曲線6條： c=0 c=1 c=2 c=3 c=4 c=5 41014、52125、63236、74347、85458、96569（2）右半段是0149（02、12、22、32），5位曲線1條： c=0 c=1 c=2 c=3 c=4 c=5 9410149（無） （無）（ 無） （無） （無） 以上2種情況共7條2次奇曲線。不難列出對應(yīng)的7條單谷（U型）偶曲線（中間重復(fù)），參看6-5節(jié)；以及單峯（倒V型或倒U型）曲線，參看6-6節(jié)。部份整條的單谷（V型）2次奇曲線如下圖： 6 Nt

16、 63235 5 52125 4 41014 3 2 1 （圖6-7 2次奇曲線）O 1 2 3 4 5 t 1936-4-3 3次曲線的右半段 整條3次數(shù)字曲線也有V型、U型、倒V型 、倒U型4種，但其右半段只有1種，就是3次數(shù)字曲線。包括上升的3次曲線和下降的3次曲線。上升的3次數(shù)字曲線是連續(xù)關(guān)系為y=x3+c（x0，c是常數(shù)）時，相應(yīng)的離散關(guān)系，0c9-t3：當(dāng)奇數(shù)p5，是 Nt = t3+c；t=（p+1）/2、（p+3）/2、-、p （6-7a）當(dāng)偶數(shù)p6，是 Nt = t3+c；t=2p+1、2p+2、-、p （6-7b）以下列出的是整條的單谷（V型）3次數(shù)字奇曲線：（1）右半段是

17、018（03、13、23），有2條： c=0 c=1 c=2 c=3 c=4 c=5 81018、92129 （無） （ 無） （無） （無）（2）右半段是18“27”（13、23、33），3次數(shù)字奇曲線不存在，因?yàn)椤?7”不能作為1位數(shù)字。以上2種情況共2條3次曲線。不難列出對應(yīng)的2條單谷（U型）偶曲線（中間重復(fù)），參看6-5節(jié)；以及單峯（倒V型或倒U型）曲線，參看6-6節(jié)。全部整條的單谷（V型）3次奇曲線如下圖：194 9 Nt 92129 8 81018 76 5 4 3 2 1 （圖6-8 3次奇曲線）O 1 2 3 4 5 t6-4-4 3次以上數(shù)字曲線不存在 當(dāng)坐標(biāo)y與x的連續(xù)關(guān)系

18、高于3次，即連續(xù)關(guān)系形如y=xn+c（n3，c是常數(shù)）時，相應(yīng)的數(shù)字曲線不存在。原因有二： 第一，任何情況下3位回文曲線只能作為0次或1次“曲線”（右半邊圖像為線段的數(shù)字曲線）。例如3位回文曲線101，雖然它是2次曲線41014和3次曲線81018的一部份，但在它未延伸至5位回文曲線之前，只能作為1次曲線，不能作為2次、3次曲線或3次以上數(shù)字曲線。 第二，3次以上的5位數(shù)字曲線也不存在。盡管2次 195及3次5位數(shù)字曲線都存在，但從4次開始，5位數(shù)字曲線也不存在。例如右半段是01“16”（04、14、24）的5位4次數(shù)字奇曲線不存在，因?yàn)椤?6”不能作為1位數(shù)字。這種數(shù)字“出位”的情況，在4次

19、以上數(shù)字曲線更嚴(yán)重，且越來越嚴(yán)重。 6-5 奇偶曲線6-5-1 奇偶曲線的異同奇偶曲線是指1對反映自然數(shù)奇回文和偶回文的數(shù)字曲線。這對曲線除中點(diǎn)以外全部相同，而奇回文的中點(diǎn)只有1點(diǎn)；偶回文的中點(diǎn)則有2個，且縱坐標(biāo)都與對應(yīng)奇回文中點(diǎn)相等。僅中點(diǎn)不同的1對奇偶曲線的不同點(diǎn)是：奇曲線的中點(diǎn)是1個尖點(diǎn)；偶曲線的中點(diǎn)是1對駐點(diǎn)。僅中點(diǎn)不同的1對奇偶曲線的相同點(diǎn)是：它們的右半段完全相同。在6-3和6-4兩節(jié)已列出全部0次、1次、2次和3次的奇回文曲線以及0次的偶奇回文曲線（水平線段）；下面再列出全部1次、2次和3次的偶回文曲線。1966-5-2 1次偶回文曲線在6-3-3中己列出全部的單谷（V型）1次奇回

20、文曲線：下面再列出對應(yīng)的單谷（U型）1次偶回文曲線： 1001、2112、3223、-、9889等，9條4位曲線； 210012、321123、-、987789等，8條6位曲線； 32100123、-，等，7條8位曲線； 4321001234、-，等，6條10位曲線； 543210012345、-，等，5條12位曲線； 65432100123456、-，等，4條14位曲線； 7654321001234567、-，等，3條16位曲線； 876543210012345678、-，等，2條18位曲線；及1條20位曲線98765432100123456789，共45條偶曲線。部份整條的單谷（U型）1次

21、偶曲線如下圖： Nt 4 4321001234 3 32100123 2 210012 1 1001 （圖6-9 2次奇曲線）O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t 1976-5-3 2次偶回文曲線在6-4-2中己列出全部的單谷（V型）2次奇回文曲線；下面再列出對應(yīng)的單谷（U型）2次偶回文曲線：（1）右半段是014（02、12、22）的6位曲線，6條： c=0 c=1 c=2 c=3 c=4 c=5 410014、521125、632236、743347、854458、965569（2）右半段是0149（02、12、22、32）的8位曲線，1條： c=0 c=1 c=2 c=3 c=

22、4 c=5 94100149（無）（無） （ 無） （無） （無） 以上2種情況共7條2次偶曲線。 部份整條的單谷（U型）2次偶曲線如下圖： 6 Nt 632235 5 521125 4 410014 3 2 1 （圖6-10 2次偶曲線）O 1 2 3 4 5 t1986-5-4 3次偶回文曲線在6-4-2中己列出全部的單谷（V型）3次奇回文曲線。下面再列出對應(yīng)的單谷（U型）3次偶回文曲線：（1）右半段是018（03、13、23），有2條： c=0 c=1 c=2 c=3 c=4 c=5 810018、921129 （無） （ 無） （無） （無）（2）右半段是18“27”（13、23、33

23、），3次數(shù)字奇曲線不存在，因?yàn)椤?7”不能作為1位數(shù)字。以上2種情況共2條3次偶曲線。全部整條的單谷（U型）3次偶曲線如下圖：9 Nt 921129 8 810018 76 5 4 3 2 1 （圖6-11 3次偶曲線）O 1 2 3 4 5 6 t 199 6-6 凹凸曲線6-6-1 凹凸曲線的異同凹凸回文曲線是指1對上下對稱的數(shù)字曲線：其中1條向上彎曲，叫凹曲線；另1條向下彎曲，叫凸曲線。凹凸回文曲線分為2類：凹凸奇回文曲線（V型和倒V型曲線；凹凸偶回文曲線（U型和倒U型曲線）。1對對稱的凹凸曲線的不同點(diǎn)是：其中1條從Nt=0、1、2、-等開始向上彎曲；另1條從Nt=9、8、-等開始向下彎

24、曲。1對對稱的凹凸曲線的相同點(diǎn)是：它們的伸展情況和彎曲程度完全相同。 在6-3、6-4和6-5節(jié)己全部列出1次、2次和3次的奇、偶回文凹曲線；下面再列出全部1次、2次和3次的奇、偶回文凸曲線。（0次曲線是水平線段，無凹凸之分）6-6-2 1次凸回文曲線在6-3-3中我們討論了右半段上升的1次關(guān)系（單峯V型或U型）曲線。現(xiàn)在我們再討論右半段下降的1次關(guān)系（單峯倒V型或倒U型）曲線。右半段下降的1次關(guān)系曲線（凸曲線）的連續(xù)關(guān)系是200形如y=c-x的代數(shù)式，c是任意常數(shù)。在數(shù)字曲的情況下是Nt=c-t，0c8，3p19。1次凸曲線包括倒V型1次單峯奇曲線和倒U型1次單峯偶曲線2種。其中倒V型1次單

25、峯奇曲線有： 898、787、-、121等，8條3位曲線； 78987、67876、-12321等，7條5位曲線； 6789876、-、1234321等，6條7位曲線； 567898765等，5條9位曲線； 45678987654等，4條11位曲線； 3456789876543等，3條13位曲線； 234567898765432等，2條13位曲線；及1條17位曲線12345678987654321，共36條奇曲線。 同理，對應(yīng)的倒U型1次單峯偶曲線也有36條，從略。 部份整條的單峯（倒V型）1次奇曲線如下圖： Nt （圖6-12 1次凸曲線） 4 3 1234321 2 12321 1 121

26、 O 1 2 3 4 5 6 7 t 2016-6-3 2次凸回文曲線我們在6-4-2中己經(jīng)討論了上升的（單谷凹型）2次曲線。本節(jié)繼續(xù)討論下降的（單峯凸型）2次曲線。下降的2次數(shù)字曲線的連續(xù)關(guān)系為y=c-x2，c是任意常數(shù)）。在數(shù)字曲的情況下是Nt=c-t2， t2c9，p5。下降的（單峯凸型）2次曲線包括倒V型2次單峯奇曲線和倒U型2次單峯偶曲線2種。其中倒V型2次單峯奇曲線有：（1）右半段是985（c-02、c-12、c-22）的5位奇曲線，有5條： c=9 c=8 c=7 c=6 c=5 c=4 58985 47874 36763 25652 14541 （無）（2）右半段是9850（c-02、c-12、c-22、c-32）的7位奇曲線， c=9 c=8 c=7 c=6 c=5 c=4 0589850 （無） （無） （ 無） （無） （無） 不存