不定積分的定義課件

1、不定積分的定義PPT課件 課題八、不定積分的計(jì)算不定積分不定積分：若F(x)=f(x),則稱F(x)+C為f(x)的不定積分. 記為： ，即 說(shuō)明：由定義知，求f(x)的不定積分，只需求出f(x)的一個(gè)原函數(shù)，然后加上任意常數(shù)C即可。不定積分的性質(zhì)：（1）（2）（3）主頁(yè)主頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)dxxf)(CxFdxxf)()(cxfdxxfxfdxxf)()(; )()(dxxfkdxxkf)()(dxxgdxxfdxxgxf)()()()(微分與積分的互逆性積分的運(yùn)算性質(zhì)不定積分的定義PPT課件 課題八、不定積分的計(jì)算基本積分公式基本積分公式 由不定積分的定義及導(dǎo)數(shù)公式得如下基本積分表 上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下

2、頁(yè)cxdxxcxdxxcxxdxcxxdxcxxdxcxxdxcxdxxcedxecxdxxcxdxxxarcsin11;arctan11cotcsc;tanseccossin;sincosln1;11;22221不定積分的定義PPT課件 課題八、不定積分的計(jì)算(直接積分法)直接積分法 利用基本積分表和積分運(yùn)算法則,最多對(duì)被積函數(shù)作適當(dāng)變形就可以積分的方法,稱為直接積分法利用積分表和運(yùn)算法則例1.求下列不定積分(1) (2) (4)(5) (6)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)dxxx3dxxex)cos3(dxxx)113(22dxxx)321 (2xdx2sec2dxexx2不定積分的定義PPT課件 課題

3、八、不定積分的計(jì)算(直接積分法)解答如下（基本公式和法則）(1) (2) (4)(5) (6)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)Cxdxxdxxx3734373Cxedxxexxsin3)cos3(Cxxdxxxarctan)113(322Cxxxdxxx3ln2)321 (2Cxxdxtan2sec22Ceedxedxexxxx)2()2ln(1)2(2不定積分的定義PPT課件 課題八、不定積分的計(jì)算(直接積分法) 利用代數(shù)變形例2.求下列不定積分 (2)(3) (4)(5) (6)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)dxxxxx223132dxxx242dxxx221dxxx241dxxx)2(dxxxx)1 ()1 (22不

4、定積分的定義PPT課件 課題八、不定積分的計(jì)算(直接積分法) 解答如下（代數(shù)變形）(1) (2)(3) (4)(5) (6)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)Cxxxxdxxxxdxxxxx1ln3)1312(13222223Cxxdxxdxxxxdxxx221)2(2)2)(2(2422Cxxdxxdxxxdxxxarctan)111 (111122222Cxxxdxxxdxxxdxxxarctan31)111(11113222424Cxxdxxxdxxxxxdxxxxarctan2ln)121()1 (21)1 ()1 (22222Cxxdxxxdxxx2522352)2()2(不定積分的定義PPT課件 課

5、題八、不定積分的計(jì)算(直接積分法) 利用三角變形例3.求下列不定積分(1) (2) (4) (5) (6)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)dxxxxsincos2cosdxxx22cossin1dxx2)2(cosxdx2tandxxxx)tan(secsecdxxx2cos1cos12不定積分的定義PPT課件 課題八、不定積分的計(jì)算(直接積分法) 解答如下（三角變形）(1) (2) (4) (5) (6)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)Cxxdxxxdxxxxxdxxxxcossin)sin(cossincossincossincos2cos22Cxxdxxxdxxxxxdxxxcottan)csc(seccossinco

6、ssincossin122222222Cxxdxxdxx21sin2121cos)2(cos2Cxxdxxxdxtan) 1(sectan22Cxxdxxxxdxxxxsectan)tansec(sec)tan(secsec2Cxxdxxdxxxdxxx21tan21)212sec(cos2cos12cos1cos12222不定積分的定義PPT課件 課題八、不定積分的計(jì)算(直接積分法)課堂練習(xí)一.求下列不定積分(1) (2)(3) (4)二.已知物體的速度 ，當(dāng)t=1時(shí)，物體經(jīng)過(guò)的路程為3，求物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律？ dxxxx)sin312(2上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)dxxxsin22sindxxxx)1 (

7、21222dxeexx112122tv不定積分的定義PPT課件 課題八、不定積分的計(jì)算(直接積分法)課堂練習(xí) 答案一.求下列不定積分(1) (2)(3) (4)二.已知物體的速度 ，當(dāng)t=1時(shí)，物體經(jīng)過(guò)的路程為3，求物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律？解: ,由s(1)=3得所以運(yùn)動(dòng)規(guī)律 -完-上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)122 tvcxdxxxsinsin22sincxxxxdxxxxcos3ln2)sin312(2cxxdxxxxarctan1)1 (21222cxedxeexxx112cttdtts3232) 12(34c34323tts不定積分的定義PPT課件 課題八、不定積分的計(jì)算(湊微分法) 前言 利用基本積分表和

8、運(yùn)算法則可以積分的函數(shù)非常有限.下面介紹換元積分法-將要計(jì)算的積分通過(guò)變量替換化成基本積分表中已有的形式,算出原函數(shù)后,再換回原來(lái)的變量.換元積分法包括:第一類換元積分(湊微分)和第二類換元積分提出問(wèn)題 如何求積分:解決方法 像復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)一樣,我們引入中間變量u,將被積函數(shù)變成基本積分表中的函數(shù),積分后再回代變量.上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)dxxdxedxxx)12cos(,)1(23不定積分的定義PPT課件 課題八、不定積分的計(jì)算(湊微分法) 例1.求積分:解：令u=2x, du=2dx, 則例2.求積分:解:令u=2x+1, du=2dx, 則例3.求積分:解:令u=x+1, du=dx, 則上頁(yè)

9、上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)xdx2coscxcuduuxdx2sin21sin2121cos2cosceceduedxexuux1212212121cxcuduudxx4433)1(4141)1(dxx3) 1(dxex12不定積分的定義PPT課件 課題八、不定積分的計(jì)算(湊微分法) 其實(shí),在上面的例子中可以這樣求解.例4.求積分: (1) (2) (注:回憶前面所講的微分式子)解(1)因?yàn)?, 所以 (2)因?yàn)?, 所以 上面這種求積分的方法稱為“湊微分法”.上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)dxx5)12(dxex3) 12(21xddx)3(31xddx cxxdxdxx655)12(121)12()12(21)12(

10、cexdedxexxx33331)3(31不定積分的定義PPT課件 課題八、不定積分的計(jì)算(湊微分法) 復(fù)習(xí)微分式:例5.求下列不定積分(1) (2)(3) (4)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè))(tansec)1(1)(cossin)(sincos)(ln1)()(21)(1222xdxdxxddxxxdxdxxdxdxxddxxeddxexdxdxbaxdadxxxdxx523dxxx21dxxx1sin22xxdxln不定積分的定義PPT課件 課題八、不定積分的計(jì)算(湊微分法) 解:(1)(2)(3)(4)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)Cxxdxdxx)52ln(2321)52(5213523Cxxdxxdxdxx

11、x)1ln(21)1 (1121)(11211222222Cxxdxdxxx1cos2)1(1sin21sin22Cxxdxxxdxlnln)(lnln1ln不定積分的定義PPT課件 課題八、不定積分的計(jì)算(湊微分法) 例6.求下列積分(1) (2) (3) (4)解(1)(2)(3)(4)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)dxx )4(12dxxx41dxx112dxxxx)1 () 1(22cxxdxxxdxxxxxdxxxxarctan2ln)121()1 (21)1 () 1(22222Cxxdxdxxdxx2arctan21)2()2(1121)2(1141)4(1222Cxxdxdxxx2244ar

12、csin)(11211Cxxdxxxdxx11ln21)1111(21112不定積分的定義PPT課件 課題八、不定積分的計(jì)算(湊微分法) 小 結(jié)(第一類換元積分,即湊微分)使用環(huán)境如果被積函數(shù)可以整理為如下形式,則可使用湊微分.注意事項(xiàng)(1)熟悉基本積分公式;(2)熟悉常用湊微分式;(3)明確將哪部分放進(jìn)微分里(即湊微分).上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)CxFxdxfdxxxf)()()()()(不定積分的定義PPT課件 課題八、不定積分的計(jì)算(湊微分法) 課堂練習(xí) 求下列不定積分:(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)-上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)dxxx221)1(dxxx2lnxdxtandxx

13、ex12 dxx322dxxx)1 (1dxeexx)1 (2xdx3sin不定積分的定義PPT課件 課題八、不定積分的計(jì)算(湊微分法) 課堂練習(xí) 解 答 求下列不定積分:(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)-完-上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)Cxxdxxx)1ln(1) 1(222Cxdxxx2ln412lnCxxdxcoslntanCxxxdxcoscos31sin33Cxdxx23) 32(32322Cedxxexx112221Cxdxxxarctan2)1 (1Cedxeexxxarctan)1 (2不定積分的定義PPT課件 課題八、不定積分的計(jì)算(第二類換元法) 如何求如下積分

14、呢? 通過(guò)觀察,上面積分很顯然不能使用“湊微分法”,所以必須另尋新的積分方法第二類換元積分(即先作變量替換,積分后再回代變量) 第二類換元積分通常包括:根式換元和三角換元根式換元例7.求積分:解:上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)dxxdxxdxxdx221,1,1dxx11ududxuxux22，則，令CxxCuuduuduuuuduudxx)1ln(22)1ln(2)111 (2111221111不定積分的定義PPT課件 課題八、不定積分的計(jì)算(第二類換元法) 例8.求積分:解: 上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)dxxx3131CxxCuuduuuduuuudxxx3235254223) 13(31) 13(1513115

15、1)2(311) 1(31131duudxuxux233),1(31,13則令不定積分的定義PPT課件 課題八、不定積分的計(jì)算(第二類換元法) 例9.求積分:解: 上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)dxxx41duudxuxux3444,則令CxxxCuuuduuuduuuduuuudxxx) 1ln(442) 1ln(442)111(4144114422324不定積分的定義PPT課件 課題八、不定積分的計(jì)算(第二類換元法) 三角換元例10.求積分:解:上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)dxx21則令,cos),22(sintdtdxttxCxxxCttdtttdttdttdxx222121arcsin212sin4121)2c

16、os1(21coscoscos1tx21x1不定積分的定義PPT課件 課題八、不定積分的計(jì)算(第二類換元法) 例11.求積分:解:上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)21xdx則令,sec),22(tan2tdtdxttxCxxCtttdtttdtxdx)1ln()tanln(secsectan1sec12222tx121x不定積分的定義PPT課件 課題八、不定積分的計(jì)算(第二類換元法) 例12.求積分:解:上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)tx2dxxx 42則令,tansec2),22(sec2tdttdxttxCxxCttdtttdtttttdxxx2arccos24)(tan2) 1(sec2tan2tansec2sec2

17、tan24222242x不定積分的定義PPT課件 課題八、不定積分的計(jì)算(第二類換元法) 小 結(jié)(第二類換元積分法)使用環(huán)境 當(dāng)求積分 較困難,但作變量替換 后,而新的積分 容易積分時(shí)使用.若 的反函數(shù)存在時(shí),有換元方式(1)根式換元(2)三角換元上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)dxxf)()(txdtttfdxxf)()()()(txCxFdtttfdxxftx)()()()(1)(不定積分的定義PPT課件 課題八、不定積分的計(jì)算(第二類換元法) 課堂練習(xí) 求下列不定積分:(1) (2)(3) (4)(5) (6)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)dxxx112dxx112dxex11dxxxx11dxxx221dxxxx)

18、1 (4不定積分的定義PPT課件 課題八、不定積分的計(jì)算(第二類換元法) 課堂練習(xí) 答 案 求下列不定積分:(1) (2)(3) (4)(5) (6)-完-上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)cxdxxx1arctan1122cxxdxx)1ln(1122cxxxdxxx121arcsin211222Ceedxexxx1111ln11Cxxxdxxxx11ln211Cxxdxxxx) 1ln(44)1 (444不定積分的定義PPT課件 課題八、不定積分的計(jì)算(分部積分法) 分部積分公式(由乘積的微分公式得到)說(shuō)明:(1)當(dāng)積分 不易計(jì)算,而積分 容易積分時(shí),考慮使用本公式; (2)使用的關(guān)鍵是正確選擇u和dv.

19、下面,我們通過(guò)例子來(lái)分析和總結(jié)公式的使用技巧.例13.求積分:分析:對(duì)照公式 我們要將xexdx變形為udv的形式,即形成公式的左邊,就必須將被積函數(shù)中的某一項(xiàng)“拿進(jìn)”微分里去,形成某一函數(shù)的微分,即dv. 那么,將哪項(xiàng)“拿進(jìn)”微分里去呢?上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)vduuvudvudvvdudxxexvduuvudv不定積分的定義PPT課件 課題八、不定積分的計(jì)算(分部積分法) 事實(shí)上,哪項(xiàng)都可以拿進(jìn)微分里“湊微分”.下面我們就來(lái)分別試一試!方法一. 將x拿進(jìn)微分里“湊微分”觀察:后項(xiàng)積分比前項(xiàng)積分(所求)更復(fù)雜,更難于積分.方法二. 將ex拿進(jìn)微分里“湊微分” 說(shuō)明方法二的選擇是正確的.上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)

20、下頁(yè)dxexexxdedxxexxxx22)2(222Cexedxexexdexeexddxxexxxxxxxx)()(容易積分不定積分的定義PPT課件 課題八、不定積分的計(jì)算(分部積分法) 練一練:如何求積分:例14.求積分：分析:現(xiàn)在我們換個(gè)角度來(lái)分析,由公式 知 在第二個(gè)積分中要對(duì)u求微分(即導(dǎo)數(shù)),冪函數(shù)求導(dǎo)后次數(shù)會(huì)降低;而余弦函數(shù)求導(dǎo)后僅變成正弦,對(duì)積分的難度沒(méi)有影響.由此可見(jiàn),應(yīng)把冪函數(shù)x作為u,而將cosx拿進(jìn)微分里“湊微分”.解：上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)xdxx2cosdxexx2vduuvudvCxxxxxdxxxdxxxxxdxdxx2cos412sin21)2(2sin412si

21、n212sin212sin21)2(sin212cos湊微分不定積分的定義PPT課件 課題八、不定積分的計(jì)算(分部積分法) 同理可求積分: 總結(jié)規(guī)律:(1)若被積函數(shù)為冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)或正(余)弦函數(shù)相乘時(shí),可使用分部積分法,此時(shí)選擇冪函數(shù)作為u.例4.求積分:分析:由于對(duì)數(shù)函數(shù)求導(dǎo)后,會(huì)將“對(duì)數(shù)符號(hào)”去掉,所以應(yīng)選擇對(duì)數(shù)函數(shù)作為u.解：上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)xdxx sin2xdxx ln2Cxxxdxxxxxxxdxdxx33333291ln313ln3)3(lnln不定積分的定義PPT課件 課題八、不定積分的計(jì)算(分部積分法) 例15.求積分：分析：選擇反正切函數(shù)作為u.解：上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)xdxxarctanCxxxdxxxxdxxxxxxxdxdxx21arctan)1(21)111(21arctan2121arctan2)2(arctanarctan2222222拆項(xiàng)不定積分的定義PPT課件 課題八、不定積分的計(jì)算(分部積分法) 總結(jié)規(guī)律:(2)若被積函數(shù)為冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)相