屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 圓錐曲線 10.4 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系課件

1、10.4直線與圓錐曲線的位置關(guān)系高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué) (北京專用)a a組自主命題組自主命題北京卷題組北京卷題組五年高考考點(diǎn)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系考點(diǎn)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1.(2018北京文,20,14分)已知橢圓m:+=1(ab0)的離心率為,焦距為2.斜率為k的直線l與橢圓m有兩個(gè)不同的交點(diǎn)a,b.(1)求橢圓m的方程;(2)若k=1,求|ab|的最大值;(3)設(shè)p(-2,0),直線pa與橢圓m的另一個(gè)交點(diǎn)為c,直線pb與橢圓m的另一個(gè)交點(diǎn)為d.若c,d和點(diǎn)q共線,求k.22xa22yb6327 1,4 4解析解析(1)由題意得解得a=,b=1.所以橢圓m的方程為+y2=1.(2)設(shè)直線

2、l的方程為y=x+m,a(x1,y1),b(x2,y2).由得4x2+6mx+3m2-3=0.所以x1+x2=-,x1x2=.|ab|=.當(dāng)m=0,即直線l過(guò)原點(diǎn)時(shí),|ab|最大,最大值為.(3)設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2).由題意得+3=3,+3=3.222,6,322 2,abccac323x22,13yxmxy32m2334m 222121()()xxyy2212()xx212122()4xxx x21232m621x21y22x22y直線pa的方程為y=(x+2).由得(x1+2)2+3x2+12x+12-3(x1+2)2=0.設(shè)c(xc,yc).所以xc+x1=.所以xc=-

3、x1=.所以yc=(xc+2)=.設(shè)d(xd,yd).同理得xd=,yd=.記直線cq,dq的斜率分別為kcq,kdq,則kcq-kdq=-112yx 1122(2),233,yyxxxy21y21y21y21221112(2)3yxy21141247xx21141247xx1112747xx112yx 1147yx 2212747xx2247yx 111114741277474yxxx222214741277474yxxx=4(y1-y2-x1+x2).因?yàn)閏,d,q三點(diǎn)共線,所以kcq-kdq=0.故y1-y2=x1-x2.所以直線l的斜率k=1.1212yyxx2.(2017北京,18,

4、14分)已知拋物線c:y2=2px過(guò)點(diǎn)p(1,1).過(guò)點(diǎn)作直線l與拋物線c交于不同的兩點(diǎn)m,n,過(guò)點(diǎn)m作x軸的垂線分別與直線op,on交于點(diǎn)a,b,其中o為原點(diǎn).(1)求拋物線c的方程,并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;(2)求證:a為線段bm的中點(diǎn).10,2解析解析本題考查拋物線方程及性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系.(1)由拋物線c:y2=2px過(guò)點(diǎn)p(1,1),得p=.所以拋物線c的方程為y2=x.拋物線c的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為x=-.(2)由題意,設(shè)直線l的方程為y=kx+(k0),l與拋物線c的交點(diǎn)為m(x1,y1),n(x2,y2).由得4k2x2+(4k-4)x+1=0.則x1+x2=,x

5、1x2=.121,04141221,2ykxyx21 kk214k因?yàn)辄c(diǎn)p的坐標(biāo)為(1,1),所以直線op的方程為y=x,點(diǎn)a的坐標(biāo)為(x1,x1).直線on的方程為y=x,點(diǎn)b的坐標(biāo)為.因?yàn)閥1+-2x1=22yx2 112,y xxx2 12y xx122 11222y xy xx xx=0,所以y1+=2x1.故a為線段bm的中點(diǎn).122112211222kxxkxxx xx122121(22)()2kx xxxx22211(22)42kkkkx2 12y xx方法總結(jié)方法總結(jié)在研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí),常涉及弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、面積等問(wèn)題.一般是先聯(lián)立方程,再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,用設(shè)而不

6、求,整體代入的技巧進(jìn)行求解.3.(2013北京,19,14分)已知a,b,c是橢圓w:+y2=1上的三個(gè)點(diǎn),o是坐標(biāo)原點(diǎn).(1)當(dāng)點(diǎn)b是w的右頂點(diǎn),且四邊形oabc為菱形時(shí),求此菱形的面積;(2)當(dāng)點(diǎn)b不是w的頂點(diǎn)時(shí),判斷四邊形oabc是否可能為菱形,并說(shuō)明理由.24x解析解析(1)橢圓w:+y2=1的右頂點(diǎn)b的坐標(biāo)為(2,0).因?yàn)樗倪呅蝟abc為菱形,所以ac與ob相互垂直平分.所以可設(shè)a(1,m),代入橢圓方程得+m2=1,即m=.所以菱形oabc的面積是|ob|ac|=22|m|=.(2)假設(shè)四邊形oabc為菱形.因?yàn)辄c(diǎn)b不是w的頂點(diǎn),且直線ac不過(guò)原點(diǎn),所以可設(shè)ac的方程為y=kx+

7、m(k0,m0).24x143212123由消y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.設(shè)a(x1,y1),c(x2,y2),則=-,=k+m=.2244,xyykxm122xx2414kmk122yy122xx214mk所以ac的中點(diǎn)為m.因?yàn)閙為ac和ob的交點(diǎn),所以直線ob的斜率為-.因?yàn)閗-1,所以ac與ob不垂直.所以oabc不是菱形,與假設(shè)矛盾.所以當(dāng)點(diǎn)b不是w的頂點(diǎn)時(shí),四邊形oabc不可能是菱形.224,1 41 4kmmkk14k14k評(píng)析評(píng)析本題考查橢圓的性質(zhì),點(diǎn)與橢圓的關(guān)系及直線與橢圓的位置關(guān)系,考查弦的中點(diǎn)及菱形的性質(zhì),考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力和整體代換思想的

8、應(yīng)用.對(duì)于第(2)問(wèn),利用菱形的性質(zhì)構(gòu)建關(guān)于斜率k的方程是解決本題的關(guān)鍵.4.(2012北京,19,14分)已知曲線c:(5-m)x2+(m-2)y2=8(mr).(1)若曲線c是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,求m的取值范圍;(2)設(shè)m=4,曲線c與y軸的交點(diǎn)為a,b(點(diǎn)a位于點(diǎn)b的上方),直線y=kx+4與曲線c交于不同的兩點(diǎn)m,n,直線y=1與直線bm交于點(diǎn)g.求證:a,g,n三點(diǎn)共線.解析解析(1)曲線c是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,當(dāng)且僅當(dāng)解得m0,即k2.設(shè)點(diǎn)m,n的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則y1=kx1+4,y2=kx2+4,x1+x2=,x1x2=.直線bm的方程為y+2=x,點(diǎn)

9、g的坐標(biāo)為.因?yàn)橹本€an和直線ag的斜率分別為kan=,kag=-,50,20,88,52mmmm727,52224,28,ykxxy3221612kk22412k112yx113,12xy222yx1123yx所以kan-kag=+=+=k+=k+=0.即kan=kag,故a,g,n三點(diǎn)共線.222yx1123yx222kxx1163kxx4312122()xxx x4322162122412kkk評(píng)析評(píng)析本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系.考查學(xué)生的計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想.5.(2011北京文,19,14分)已知橢圓g:+=1(ab0)的離心率為,右焦點(diǎn)為(2,0).斜率為1的直線l與橢圓

10、g交于a,b兩點(diǎn),以ab為底邊作等腰三角形,頂點(diǎn)為p(-3,2).(1)求橢圓g的方程;(2)求pab的面積.22xa22yb632解析解析(1)由已知得,c=2,=.解得a=2.又b2=a2-c2=4,所以橢圓g的方程為+=1.(2)設(shè)直線l的方程為y=x+m.由得4x2+6mx+3m2-12=0.設(shè)a,b的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)(x1b0)的左焦點(diǎn),a,b分別為c的左,右頂點(diǎn).p為c上一點(diǎn),且pfx軸.過(guò)點(diǎn)a的直線l與線段pf交于點(diǎn)m,與y軸交于點(diǎn)e.若直線bm經(jīng)過(guò)oe的中點(diǎn),則c的離心率為()a.b.c.d.22xa22yb13122334答案答案a解法一:設(shè)點(diǎn)m(-c

11、,y0),oe的中點(diǎn)為n,則直線am的斜率k=,從而直線am的方程為y=(x+a),令x=0,得點(diǎn)e的縱坐標(biāo)ye=.同理,oe的中點(diǎn)n的縱坐標(biāo)yn=.因?yàn)?yn=ye,所以=,即2a-2c=a+c,所以e=.故選a.解法二:如圖,設(shè)oe的中點(diǎn)為n,由題意知|af|=a-c,|bf|=a+c,|of|=c,|oa|=|ob|=a,pfy軸,=,0yac0yac0ayac0ayac2ac1acca13|mfoe|afaoaca=,又=,即=,a=3c,故e=.|mfon|bfobaca|mfoe|2|mfonaca2acaca13評(píng)析評(píng)析本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系,考查了直線方程和中點(diǎn)坐標(biāo)公式

12、.4.(2019浙江,15,4分)已知橢圓+=1的左焦點(diǎn)為f,點(diǎn)p在橢圓上且在x軸的上方.若線段pf的中點(diǎn)在以原點(diǎn)o為圓心,|of|為半徑的圓上,則直線pf的斜率是.29x25y答案答案15解析解析本題主要考查橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程、直線斜率與傾斜角的關(guān)系,以及解三角形,旨在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力及運(yùn)算求解能力,重點(diǎn)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想,突出考查了直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).如圖,記橢圓的右焦點(diǎn)為f,取pf中點(diǎn)為m,由題知a=3,b=,c=2,連接om,pf,則|om|=|of|=2,又m為pf的中點(diǎn),|pf|=2|om|,pfom,|pf|=4,又p在橢圓上,|pf|+|pf|=6,|pf|=2

13、,在pff中,|pf|=|ff|=4,|pf|=2,連接fm,則fmpf,|fm|=,522|fffm16115kpf=tanpff=.即直線pf的斜率為.|f mfm1515一題多解一題多解易知f(-2,0),設(shè)p(3cos,sin),設(shè)pf的中點(diǎn)為m,則m,|om|=|of|=2,+=4,9cos2-12cos+4+5sin2=16,又sin2=1-cos2,4cos2-12cos-7=0,解得cos=-,sin2=,又p在x軸上方,sin=,p,kpf=,故答案為.53cos25sin,2223cos22 25sin2123432315,221515疑難突破疑難突破試題中只出現(xiàn)了橢圓的一

14、個(gè)焦點(diǎn),需要作出另一個(gè)焦點(diǎn),并將橢圓定義作為隱含條件直接應(yīng)用是求解本題的突破口.再由條件中的中點(diǎn)m聯(lián)想到利用三角形中位線的性質(zhì)求出pf的長(zhǎng)度是解決本題的關(guān)鍵.5.(2019天津文,19,14分)設(shè)橢圓+=1(ab0)的左焦點(diǎn)為f,左頂點(diǎn)為a,上頂點(diǎn)為b.已知|oa|=2|ob|(o為原點(diǎn)).(1)求橢圓的離心率;(2)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)f且斜率為的直線l與橢圓在x軸上方的交點(diǎn)為p,圓c同時(shí)與x軸和直線l相切,圓心c在直線x=4上,且ocap.求橢圓的方程.22xa22yb334解析解析本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、圓等基礎(chǔ)知識(shí).考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì).考查運(yùn)算求解能力,以及

15、用方程思想、數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題的能力.(1)設(shè)橢圓的半焦距為c,由已知有a=2b.又由a2=b2+c2,消去b得a2=+c2,解得=.所以,橢圓的離心率為.(2)由(1)知,a=2c,b=c,故橢圓方程為+=1.由題意,f(-c,0),則直線l的方程為y=(x+c).點(diǎn)p的坐標(biāo)滿足消去y并化簡(jiǎn),得到7x2+6cx-13c2=0,解得x1=c,x2=-.代入到l的方程,解得y1=c,y2=-c.3232aca12123224xc223yc3422221,433(),4xyccyxc137c32914因?yàn)辄c(diǎn)p在x軸上方,所以p.由圓心c在直線x=4上,可設(shè)c(4,t).因?yàn)閛cap,且由(1)知

16、a(-2c,0),故=,解得t=2.則c(4,2).因?yàn)閳Ac與x軸相切,所以圓的半徑長(zhǎng)為2,又由圓c與l相切,得=2,可得c=2.所以,橢圓的方程為+=1.3,2cc4t322ccc23(4)24314c216x212y思路分析思路分析(1)由已知條件,得a與b的比例關(guān)系,代入a2=b2+c2,得a與c的齊次關(guān)系,進(jìn)而求得離心率.(2)設(shè)出直線方程(含參數(shù)c),聯(lián)立直線與橢圓方程(含參數(shù)c),得交點(diǎn)p的坐標(biāo)(含參數(shù)c),由kap=koc,求得c點(diǎn)坐標(biāo)以及圓的半徑r,最后由圓心到直線距離等于半徑列出關(guān)于c的方程,求得c的值,最終確定橢圓方程.6.(2019天津理,18,13分)設(shè)橢圓+=1(ab

17、0)的左焦點(diǎn)為f,上頂點(diǎn)為b.已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4,離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)點(diǎn)p在橢圓上,且異于橢圓的上、下頂點(diǎn),點(diǎn)m為直線pb與x軸的交點(diǎn),點(diǎn)n在y軸的負(fù)半軸上.若|on|=|of|(o為原點(diǎn)),且opmn,求直線pb的斜率.22xa22yb55解析解析本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程等基礎(chǔ)知識(shí).考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì).考查運(yùn)算求解能力,以及用方程思想解決問(wèn)題的能力.(1)設(shè)橢圓的半焦距為c,依題意,2b=4,=,又a2=b2+c2,可得a=,b=2,c=1.所以,橢圓的方程為+=1.(2)由題意,設(shè)p(xp,yp)(xp0),m(xm,0).設(shè)直線p

18、b的斜率為k(k0),又b(0,2),則直線pb的方程為y=kx+2,與橢圓方程聯(lián)立整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得xp=-,代入y=kx+2得yp=,進(jìn)而直線op的斜率=.在y=kx+2中,令y=0,得xm=-.由題意得n(0,-1),所以直線mn的斜率為-.由opmn,得=-1,化簡(jiǎn)得k2=,從而k=.所以,直線pb的斜率為或-.ca55525x24y222,1,54ykxxy22045kk228 1045kkppyx24510kk2k2k24510kk2k2452 3052 3052 305思路分析思路分析(1)根據(jù)條件求出基本量a,b得到橢圓方程.(2)要利用條件opmn,

19、必須求p點(diǎn)和m、n點(diǎn)坐標(biāo).由直線pb的方程與橢圓方程聯(lián)立得到p點(diǎn)坐標(biāo),求出m及n點(diǎn)坐標(biāo),利用kopkmn=-1求出kpb.7.(2019課標(biāo)全國(guó)理,19,12分)已知拋物線c:y2=3x的焦點(diǎn)為f,斜率為的直線l與c的交點(diǎn)為a,b,與x軸的交點(diǎn)為p.(1)若|af|+|bf|=4,求l的方程;(2)若=3,求|ab|.32appb解析解析本題主要考查拋物線的定義、幾何性質(zhì)、直線與拋物線相交的綜合問(wèn)題等內(nèi)容,考查學(xué)生運(yùn)算求解的能力,以及用方程思想、數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題的能力,體現(xiàn)了直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).設(shè)直線l:y=x+t,a(x1,y1),b(x2,y2).(1)由題設(shè)得f,故|af|

20、+|bf|=x1+x2+,由題設(shè)可得x1+x2=.由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,則x1+x2=-.從而-=,得t=-.所以l的方程為y=x-.323,04325223,23yxtyx12(1)9t 12(1)9t 52783278(2)由=3可得y1=-3y2.由可得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.從而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.appb23,23yxtyx代入c的方程得x1=3,x2=.故|ab|=.134 133思路分析思路分析(1)由|af|+|bf|=4確定a、b兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之和,聯(lián)立直線l的方程(含參)與拋物線方程,由根與系數(shù)的關(guān)系得a、b兩點(diǎn)橫

21、坐標(biāo)之和的含參表達(dá)式.兩者相等,列方程求出參數(shù).(2)p點(diǎn)在x軸上,由=3知a、b兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的比例關(guān)系,由根與系數(shù)的關(guān)系得a、b兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之和,二者聯(lián)立,確定a、b的縱坐標(biāo),進(jìn)而確定a、b的坐標(biāo),從而求得|ab|.appb8.(2019江蘇,17,14分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,橢圓c:+=1(ab0)的焦點(diǎn)為f1(-1,0),f2(1,0).過(guò)f2作x軸的垂線l,在x軸的上方,l與圓f2:(x-1)2+y2=4a2交于點(diǎn)a,與橢圓c交于點(diǎn)d.連接af1并延長(zhǎng)交圓f2于點(diǎn)b,連接bf2交橢圓c于點(diǎn)e,連接df1.已知df1=.(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求點(diǎn)e的坐標(biāo).22xa22y

22、b52解析解析本小題主要考查直線方程、圓的方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓及橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、分析問(wèn)題能力和運(yùn)算求解能力.滿分14分.(1)設(shè)橢圓c的焦距為2c.因?yàn)閒1(-1,0),f2(1,0),所以f1f2=2,c=1.又因?yàn)閐f1=,af2x軸,所以df2=.因此2a=df1+df2=4,從而a=2.由b2=a2-c2,得b2=3.因此,橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.(2)解法一:由(1)知,橢圓c:+=1,a=2.因?yàn)閍f2x軸,所以點(diǎn)a的橫坐標(biāo)為1.將x=1代入圓f2的方程(x-1)2+y2=16,解得y=4.因?yàn)辄c(diǎn)a在x軸上方,所以a(1,4).又f

23、1(-1,0),所以直線af1:y=2x+2.5222112dfff225223224x23y24x23y由得5x2+6x-11=0,解得x=1或x=-.將x=-代入y=2x+2,得y=-.因此b.又f2(1,0),所以直線bf2:y=(x-1).由得7x2-6x-13=0,解得x=-1或x=.又因?yàn)閑是線段bf2與橢圓的交點(diǎn),所以x=-1.將x=-1代入y=(x-1),得y=-.因此e.解法二:由(1)知,橢圓c:+=1.2222,(1)16,yxxy1151151251112,5534223(1),41,43yxxy137343231,2 24x23y如圖,連接ef1.因?yàn)閎f2=2a,e

24、f1+ef2=2a,所以ef1=eb,從而bf1e=b.因?yàn)閒2a=f2b,所以a=b.所以a=bf1e,從而ef1f2a.因?yàn)閍f2x軸,所以ef1x軸.因?yàn)閒1(-1,0),由解得y=.又因?yàn)閑是線段bf2與橢圓的交點(diǎn),所以y=-.因此e.221,1,43xxy 323231,2 9.(2019課標(biāo)全國(guó)理,21,12分)已知曲線c:y=,d為直線y=-上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)d作c的兩條切線,切點(diǎn)分別為a,b.(1)證明:直線ab過(guò)定點(diǎn);(2)若以e為圓心的圓與直線ab相切,且切點(diǎn)為線段ab的中點(diǎn),求四邊形adbe的面積.22x1250,2解析解析本題考查直線與拋物線相切,弦的中點(diǎn),直線與圓相切等知識(shí)

25、點(diǎn),通過(guò)直線與拋物線的方程運(yùn)算,考查了學(xué)生在解析幾何中的運(yùn)算求解能力,以直線與拋物線相切為背景考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).(1)設(shè)d,a(x1,y1),則=2y1.由于y=x,所以切線da的斜率為x1,故=x1.整理得2tx1-2y1+1=0.設(shè)b(x2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0.故直線ab的方程為2tx-2y+1=0.所以直線ab過(guò)定點(diǎn).(2)由(1)得直線ab的方程為y=tx+.由可得x2-2tx-1=0.1,2t21x1112yxt10,21221,22ytxxy于是x1+x2=2t,x1x2=-1,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1,|ab|=|x1-x2|=2

26、(t2+1).設(shè)d1,d2分別為點(diǎn)d,e到直線ab的距離,則d1=,d2=.因此,四邊形adbe的面積s=|ab|(d1+d2)=(t2+3).設(shè)m為線段ab的中點(diǎn),則m.由于,而=(t,t2-2),與向量(1,t)平行,所以t+(t2-2)t=0.解得t=0或t=1.當(dāng)t=0時(shí),s=3;當(dāng)t=1時(shí),s=4.因此,四邊形adbe的面積為3或4.21 t21 t21212()4xxx x21t 221t 1221t 21,2t temabemab22解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵(1)設(shè)出a、b坐標(biāo),求導(dǎo)、列等式是解題的突破口.(2)由(1)得出ab的方程,用坐標(biāo)表示出,求ab方程中的參數(shù)是關(guān)鍵.emab10

27、.(2018課標(biāo)全國(guó),19,12分)設(shè)橢圓c:+y2=1的右焦點(diǎn)為f,過(guò)f的直線l與c交于a,b兩點(diǎn),點(diǎn)m的坐標(biāo)為(2,0).(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),求直線am的方程;(2)設(shè)o為坐標(biāo)原點(diǎn),證明:oma=omb.22x解析解析(1)由已知得f(1,0),l的方程為x=1,由已知可得,點(diǎn)a的坐標(biāo)為或.所以am的方程為y=-x+或y=x-.(2)當(dāng)l與x軸重合時(shí),oma=omb=0,當(dāng)l與x軸垂直時(shí),直線om為ab的垂直平分線,所以oma=omb.當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí),21,221,2222222設(shè)l的方程為y=k(x-1)(k0),a(x1,y1),b(x2,y2),則x1,x20).(1

28、)證明:k-;(2)設(shè)f為c的右焦點(diǎn),p為c上一點(diǎn),且+=0.證明:|,|,|成等差數(shù)列,并求該數(shù)列的公差.24x23y12fpfafbfafpfb解析解析本題考查橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、等差數(shù)列的概念及其運(yùn)算.(1)設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),則+=1,+=1.兩式相減,并由=k得+k=0.由題設(shè)知=1,=m,于是k=-.由題設(shè)得0m,故k-.(2)由題意得f(1,0).設(shè)p(x3,y3),則(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及題設(shè)得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2mb0)的右頂點(diǎn)為a,上頂點(diǎn)為b

29、.已知橢圓的離心率為,|ab|=.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線l:y=kx(kx10,點(diǎn)q的坐標(biāo)為(-x1,-y1).由bpm的面積是bpq面積的2倍,可得|pm|=2|pq|,從而x2-x1=2x1-(-x1),即x2=5x1.易知直線ab的方程為2x+3y=6,由方程組消去y,可得x2=.由方程組消去y,可得x1=.由x2=5x1,可得=5(3k+2),兩邊平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-或k=-.當(dāng)k=-時(shí),x2=-9b0).又點(diǎn)在橢圓c上,所以解得因此,橢圓c的方程為+y2=1.因?yàn)閳Ao的直徑為f1f2,所以其方程為x2+y2=3.(2)設(shè)直線l與圓o相切于p(x0

30、,y0)(x00,y00),則+=3.所以直線l的方程為y=-(x-x0)+y0,即y=-x+.3322xa22yb13,22222311,43,abab224,1.ab24x20 x20y00 xy00 xy03y由消去y,得(4+)x2-24x0 x+36-4=0.(*)因?yàn)橹本€l與橢圓c有且只有一個(gè)公共點(diǎn),所以=(-24x0)2-4(4+)(36-4)=48(-2)=0.因?yàn)閤0,y00,所以x0=,y0=1.因此,點(diǎn)p的坐標(biāo)為(,1).因?yàn)槿切蝟ab的面積為,所以abop=,從而ab=.設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),由(*)得x1,2=,所以ab2=(x1-x2)2+(y1-

31、y2)2220001,43xyxyxyy 20 x20y20y20 x20y20y20y20 x222 67122 674 272200022002448(2)2(4)xyxxy=.因?yàn)?=3,所以ab2=,即2-45+100=0.解得=(=20舍去),則=,因此p的坐標(biāo)為.則直線l的方程為y=-x+3.20201xy22002220048(2)(4)yxxy20 x20y2022016(2)(1)xx324940 x20 x20 x5220 x20y12102,225214.(2017課標(biāo)全國(guó),20,12分)設(shè)a,b為曲線c:y=上兩點(diǎn),a與b的橫坐標(biāo)之和為4.(1)求直線ab的斜率;(2)

32、設(shè)m為曲線c上一點(diǎn),c在m處的切線與直線ab平行,且ambm,求直線ab的方程.24x解析解析(1)解法一:設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),則x1x2,y1=,y2=,x1+x2=4,于是直線ab的斜率k=1.解法二:設(shè)a,則由題意得b,于是直線ab的斜率k=1.(2)解法一:由y=,得y=,設(shè)m(x3,y3),由題設(shè)知=1,解得x3=2,于是m(2,1).設(shè)直線ab的方程為y=x+m,故線段ab的中點(diǎn)為n(2,2+m),|mn|=|m+1|.將y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.當(dāng)=16(m+1)0,即m-1時(shí),x1,2=22.214x224x1212yyxx124xx211,4

33、xx211(4)4,4xx221111(4)444xxxx22111(4)4(42 )xxx24x2x32x24x1m從而|ab|=|x1-x2|=4.由題設(shè)知|ab|=2|mn|,即4=2(m+1),解得m=7.所以直線ab的方程為y=x+7.解法二:設(shè)曲線c:y=上的點(diǎn)m的坐標(biāo)為,過(guò)點(diǎn)m且與直線ab平行的直線l的方程為y=x-x0+.聯(lián)立得消去y得x2-4x+4x0-=0,則有=(-4)2-41(4x0-)=0,解得x0=2,代入曲線c的方程,得y0=1,故m(2,1).設(shè)a,則b,22(1)m2(1)m24x200,4xx204x2002,4,4xyxxxy20 x20 x211,4xx

34、211(4)4,4xx因?yàn)閍mbm,所以=-1,即-4x1=28.所以直線ab的方程為y=x-x1+,即y=x+7.211142xx211(4)142(4)xx21x214x15.(2017天津,19,14分)設(shè)橢圓+=1(ab0)的左焦點(diǎn)為f,右頂點(diǎn)為a,離心率為.已知a是拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn),f到拋物線的準(zhǔn)線l的距離為.(1)求橢圓的方程和拋物線的方程;(2)設(shè)l上兩點(diǎn)p,q關(guān)于x軸對(duì)稱,直線ap與橢圓相交于點(diǎn)b(b異于點(diǎn)a),直線bq與x軸相交于點(diǎn)d.若apd的面積為,求直線ap的方程.22xa22yb121262解析解析(1)設(shè)f的坐標(biāo)為(-c,0).依題意,=,=a,a-

35、c=,解得a=1,c=,p=2,于是b2=a2-c2=.所以,橢圓的方程為x2+=1,拋物線的方程為y2=4x.(2)設(shè)直線ap的方程為x=my+1(m0),與直線l的方程x=-1聯(lián)立,可得點(diǎn)p,故q.將x=my+1與x2+=1聯(lián)立,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0或y=.由點(diǎn)b異于點(diǎn)a,可得點(diǎn)b.由q,可得直線bq的方程為(x+1)-=0,令y=0,解得x=,故d.所以|ad|=1-=.又因?yàn)閍pd的面積為,故=,整理得3m2-2|m|+2=0,解得|m|=,所以m=.所以,直線ap的方程為3x+y-3=0或3x-y-3=0.ca122p121234243y21,m

36、21,m243y2634mm222346,3434mmmm21,m26234mmm2234134mm2ym222332mm2223,032mm222332mm22632mm 621222632mm 2|m626636366方法總結(jié)方法總結(jié)1.利用待定系數(shù)法求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的三個(gè)步驟:(1)作判斷:根據(jù)焦點(diǎn)位置設(shè)方程;(2)找等量關(guān)系;(3)解方程得結(jié)果.2.解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題的基本策略:(1)巧設(shè)直線方程:當(dāng)已知直線與x軸交點(diǎn)固定時(shí),常設(shè)為x=my+b的形式,這樣可避免對(duì)斜率是否存在的討論;(2)注意整體代入思想的應(yīng)用,利用根與系數(shù)的關(guān)系可以簡(jiǎn)化運(yùn)算,提高運(yùn)算的效率和正確率.16

37、.(2016課標(biāo),20,12分)在直角坐標(biāo)系xoy中,直線l:y=t(t0)交y軸于點(diǎn)m,交拋物線c:y2=2px(p0)于點(diǎn)p,m關(guān)于點(diǎn)p的對(duì)稱點(diǎn)為n,連接on并延長(zhǎng)交c于點(diǎn)h.(1)求;(2)除h以外,直線mh與c是否有其他公共點(diǎn)?說(shuō)明理由.|ohon解析解析(1)由已知得m(0,t),p.(1分)又n為m關(guān)于點(diǎn)p的對(duì)稱點(diǎn),故n,on的方程為y=x,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=.因此h.(4分)所以n為oh的中點(diǎn),即=2.(6分)(2)直線mh與c除h以外沒(méi)有其他公共點(diǎn).(7分)理由如下:直線mh的方程為y-t=x,即x=(y-t).(9分)代入y2=2

38、px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直線mh與c只有一個(gè)公共點(diǎn),所以除h以外直線mh與c沒(méi)有其他公共點(diǎn).(12分)2,2ttp2,ttppt22tp22,2ttp|ohon2pt2tp評(píng)析評(píng)析本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系,考查了運(yùn)算求解能力.得到交點(diǎn)的坐標(biāo)是求解的關(guān)鍵.17.(2016課標(biāo),21,12分)已知a是橢圓e:+=1的左頂點(diǎn),斜率為k(k0)的直線交e于a,m兩點(diǎn),點(diǎn)n在e上,mana.(1)當(dāng)|am|=|an|時(shí),求amn的面積;(2)當(dāng)2|am|=|an|時(shí),證明:k0.由已知及橢圓的對(duì)稱性知,直線am的傾斜角為.又a(-2,0),因此直線am的方程為y=

39、x+2.(2分)將x=y-2代入+=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=,所以y1=.因此amn的面積samn=2=.(4分)(2)將直線am的方程y=k(x+2)(k0)代入+=1得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.由x1(-2)=得x1=,故|am|=|x1+2|=.424x23y127127121271271444924x23y22161234kk222(34)34kk21 k2212 134kk由題設(shè),直線an的方程為y=-(x+2),故同理可得|an|=.(7分)由2|am|=|an|得=,即4k3-6k2+3k-8=0.(9分)設(shè)f(t)=4t3-6t2+3t

40、-8,則k是f(t)的零點(diǎn),f(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)20,所以f(t)在(0,+)單調(diào)遞增.又f()=15-260,因此f(t)在(0,+)有唯一的零點(diǎn),且零點(diǎn)k在(,2)內(nèi),所以kb0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)a(0,-1),且離心率為.(1)求橢圓e的方程;(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1),且斜率為k的直線與橢圓e交于不同的兩點(diǎn)p,q(均異于點(diǎn)a),證明:直線ap與aq的斜率之和為2.22xa22yb22解析解析(1)由題設(shè)知=,b=1,結(jié)合a2=b2+c2,解得a=.所以橢圓e的方程為+y2=1.(2)證明:由題設(shè)知,直線pq的方程為y=k(x-1)+1(k2),代入+y2=1,得(1+2k2

41、)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0.由已知可知0.設(shè)p(x1,y1),q(x2,y2),x1x20,則x1+x2=,x1x2=.從而直線ap,aq的斜率之和kap+kaq=+=+=2k+(2-k)=2k+(2-k)ca22222x22x24 (1)1 2k kk22 (2)12k kk111yx221yx112kxkx222kxkx1211xx1212xxx x=2k+(2-k)=2k-2(k-1)=2.4 (1)2 (2)k kk k評(píng)析評(píng)析本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單性質(zhì)的同時(shí),重點(diǎn)考查直線與橢圓的位置關(guān)系.c c組教師專用題組組教師專用題組考點(diǎn)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系考點(diǎn)直線與圓

42、錐曲線的位置關(guān)系1.(2014課標(biāo),10,5分)設(shè)f為拋物線c:y2=3x的焦點(diǎn),過(guò)f且傾斜角為30的直線交c于a,b兩點(diǎn),o為坐標(biāo)原點(diǎn),則oab的面積為()a.b.c.d.3 349 38633294答案答案d易知直線ab的方程為y=,與y2=3x聯(lián)立并消去x得4y2-12y-9=0.設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),則y1+y2=3,y1y2=-.soab=|of|y1-y2|=.故選d.3334x339412123421212()4yyy y3827994評(píng)析評(píng)析本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系,考查了數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算求解的能力.2.(2015江蘇,12,5分)在平面直角坐標(biāo)系xo

43、y中,p為雙曲線x2-y2=1右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若點(diǎn)p到直線x-y+1=0的距離大于c恒成立,則實(shí)數(shù)c的最大值為.答案答案22解析解析雙曲線x2-y2=1的一條漸近線為直線y=x,顯然直線y=x與直線x-y+1=0平行,且兩直線之間的距離為=.因?yàn)辄c(diǎn)p為雙曲線x2-y2=1的右支上一點(diǎn),所以點(diǎn)p到直線y=x的距離恒大于0,結(jié)合圖形可知點(diǎn)p到直線x-y+1=0的距離恒大于,結(jié)合已知可得c的最大值為.22|0 1|1( 1) 2222223.(2018課標(biāo)全國(guó),20,12分)設(shè)拋物線c:y2=2x,點(diǎn)a(2,0),b(-2,0),過(guò)點(diǎn)a的直線l與c交于m,n兩點(diǎn).(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),求直線bm

44、的方程;(2)證明:abm=abn.解析解析(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),l的方程為x=2,可得m的坐標(biāo)為(2,2)或(2,-2).所以直線bm的方程為y=x+1或y=-x-1.(2)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),ab為mn的垂直平分線,所以abm=abn.當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),設(shè)l的方程為y=k(x-2)(k0),m(x1,y1),n(x2,y2),則x10,x20.由得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=,y1y2=-4.直線bm,bn的斜率之和為kbm+kbn=+=.將x1=+2,x2=+2及y1+y2,y1y2的表達(dá)式代入式分子,可得12122(2),2yk xyx2k112yx 222yx 2112

45、12122()(2)(2)x yx yyyxx1yk2ykx2y1+x1y2+2(y1+y2)=0.所以kbm+kbn=0,可知bm,bn的傾斜角互補(bǔ),所以abm=abn.綜上,abm=abn.121224 ()y yk yyk88k 失分警示失分警示(1)忽略點(diǎn)m,n位置的轉(zhuǎn)換性,使直線bm方程缺失,從而導(dǎo)致失分;(2)由于不能將“abm=abn”正確轉(zhuǎn)化為“kbm+kbn=0”進(jìn)行證明,從而思路受阻,無(wú)法完成后續(xù)內(nèi)容.4.(2018天津,19,14分)設(shè)橢圓+=1(ab0)的左焦點(diǎn)為f,上頂點(diǎn)為b.已知橢圓的離心率為,點(diǎn)a的坐標(biāo)為(b,0),且|fb|ab|=6.(1)求橢圓的方程;(2)

46、設(shè)直線l:y=kx(k0)與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為p,且l與直線ab交于點(diǎn)q.若=sinaoq(o為原點(diǎn)),求k的值.22xa22yb532|aqpq5 24解析解析(1)設(shè)橢圓的焦距為2c,由已知有=,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得,|fb|=a,|ab|=b,由|fb|ab|=6,可得ab=6,從而a=3,b=2.所以,橢圓的方程為+=1.(2)設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為(x1,y1),點(diǎn)q的坐標(biāo)為(x2,y2).由已知有y1y20,故|pq|sinaoq=y1-y2.又因?yàn)閨aq|=,而oab=,故|aq|=y2.由=sinaoq,可得5y1=9y2.由方程組消去x,可得y1=.易

47、知直線ab的方程為x+y-2=0,22ca592229x24y2sinyoab42|aqpq5 2422,1,94ykxxy2694kk 由方程組消去x,可得y2=.由5y1=9y2,可得5(k+1)=3,兩邊平方,整理得56k2-50k+11=0,解得k=,或k=.所以,k的值為或.,20,ykxxy21kk 294k 121128121128解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵利用平面幾何知識(shí)將=sinaoq轉(zhuǎn)化為點(diǎn)p、q坐標(biāo)間的關(guān)系是解決第(2)問(wèn)的關(guān)鍵.|aqpq5 24方法歸納方法歸納求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法(1)定義法:根據(jù)橢圓的定義,確定a2,b2的值,結(jié)合焦點(diǎn)位置寫(xiě)出橢圓方程;(2)待定系數(shù)法:這

48、是求橢圓方程的常用方法,基本步驟為根據(jù)已知條件判斷焦點(diǎn)的位置;根據(jù)焦點(diǎn)的位置設(shè)出所求橢圓的方程;根據(jù)已知條件,建立關(guān)于a、b、c的方程組,注意c2=a2-b2的應(yīng)用;解方程組,求得a、b的值,從而得出橢圓的方程.5.(2015湖南,20,13分)已知拋物線c1:x2=4y的焦點(diǎn)f也是橢圓c2:+=1(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn),c1與c2的公共弦的長(zhǎng)為2.過(guò)點(diǎn)f的直線l與c1相交于a,b兩點(diǎn),與c2相交于c,d兩點(diǎn),且與同向.(1)求c2的方程;(2)若|ac|=|bd|,求直線l的斜率.22ya22xb6acbd解析解析(1)由c1:x2=4y知其焦點(diǎn)f的坐標(biāo)為(0,1).因?yàn)閒也是橢圓c2的一個(gè)焦

49、點(diǎn),所以a2-b2=1.又c1與c2的公共弦的長(zhǎng)為2,c1與c2都關(guān)于y軸對(duì)稱,且c1的方程為x2=4y,由此易知c1與c2的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以+=1.聯(lián)立,得a2=9,b2=8.故c2的方程為+=1.(2)如圖,設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3),d(x4,y4).因與同向,且|ac|=|bd|,所以=,從而x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.設(shè)直線l的斜率為k,則l的方程為y=kx+1.由得x2-4kx-4=0.而x1,x2是這個(gè)方程的兩根,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.636,22

50、94a26b29y28xacbdacbd21,4ykxxy由得(9+8k2)x2+16kx-64=0.而x3,x4是這個(gè)方程的兩根,所以x3+x4=-,x3x4=-.將,代入,得16(k2+1)=+,即16(k2+1)=,所以(9+8k2)2=169,解得k=,即直線l的斜率為.221,189ykxxy21698kk26498k222216(98)kk24 6498k2222169(1)(98)kk64646.(2015福建,19,12分)已知點(diǎn)f為拋物線e:y2=2px(p0)的焦點(diǎn),點(diǎn)a(2,m)在拋物線e上,且|af|=3.(1)求拋物線e的方程;(2)已知點(diǎn)g(-1,0),延長(zhǎng)af交拋

51、物線e于點(diǎn)b,證明:以點(diǎn)f為圓心且與直線ga相切的圓,必與直線gb相切.解析解析解法一:(1)由拋物線的定義得|af|=2+.因?yàn)閨af|=3,即2+=3,解得p=2,所以拋物線e的方程為y2=4x.2p2p(2)因?yàn)辄c(diǎn)a(2,m)在拋物線e:y2=4x上,所以m=2,由拋物線的對(duì)稱性,不妨設(shè)a(2,2).由a(2,2),f(1,0)可得直線af的方程為y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,222222 2(1),4yxyx解得x=2或x=,從而b.又g(-1,0),所以kga=,kgb=-,所以kga+kgb=0,從而agf=bgf,這表明點(diǎn)f到直線ga,gb的距離相等,故以f為圓心且

52、與直線ga相切的圓必與直線gb相切.解法二:(1)同解法一.(2)設(shè)以點(diǎn)f為圓心且與直線ga相切的圓的半徑為r.因?yàn)辄c(diǎn)a(2,m)在拋物線e:y2=4x上,所以m=2,由拋物線的對(duì)稱性,不妨設(shè)a(2,2).由a(2,2),f(1,0)可得直線af的方程為y=2(x-1).121,222 202( 1) 2 23201( 1)2 2 232222由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,從而b.又g(-1,0),故直線ga的方程為2x-3y+2=0,從而r=.又直線gb的方程為2x+3y+2=0,所以點(diǎn)f到直線gb的距離d=r.這表明以點(diǎn)f為圓心且與直線ga相切的圓必與直線gb相切.22 2(

53、1),4yxyx121,2222|2 22 2 |894 21722|2 22 2 |894 217評(píng)析評(píng)析本題主要考查拋物線、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想.7.(2015山東,20,13分)平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知橢圓c:+=1(ab0)的離心率為,左、右焦點(diǎn)分別是f1,f2.以f1為圓心以3為半徑的圓與以f2為圓心以1為半徑的圓相交,且交點(diǎn)在橢圓c上.(1)求橢圓c的方程;(2)設(shè)橢圓e:+=1,p為橢圓c上任意一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)p的直線y=kx+m交橢圓e于a,b兩點(diǎn),射線po交橢圓e于點(diǎn)q.(i)求的值;(i

54、i)求abq面積的最大值.22xa22yb32224xa224yb|oqop解析解析(1)由題意知2a=4,則a=2.又=,a2-c2=b2,可得b=1,所以橢圓c的方程為+y2=1.(2)由(1)知橢圓e的方程為+=1.(i)設(shè)p(x0,y0),=,由題意知q(-x0,-y0).因?yàn)?=1,又+=1,即=1,所以=2,即=2.(ii)設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2).將y=kx+m代入橢圓e的方程,ca3224x216x24y|oqop204x20y20()16x20()4y2422004xy|oqop可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,由0,可得m24+16k2.則有x

55、1+x2=-,x1x2=.所以|x1-x2|=.因?yàn)橹本€y=kx+m與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,m),所以oab的面積s=|m|x1-x2|=2.設(shè)=t.將y=kx+m代入橢圓c的方程,2814kmk2241614mk2224 16414kmk122222 164|14kmmk22222 (164)14kmmk222241414mmkk2214mk可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,由0,可得m21+4k2.由可知0b0)的短軸長(zhǎng)為2,右焦點(diǎn)為f(1,0),點(diǎn)m是橢圓c上異于左、右頂點(diǎn)a、b的一點(diǎn).(1)求橢圓c的方程;(2)若直線am與直線x=2交于點(diǎn)n,線段bn的中點(diǎn)為e.證明:

56、點(diǎn)b關(guān)于直線ef的對(duì)稱點(diǎn)在直線mf上.22xa22yb3解析解析(1)由題意得b=,c=1,所以a=2.所以橢圓c的方程為+=1.(2)證明:“點(diǎn)b關(guān)于直線ef的對(duì)稱點(diǎn)在直線mf上”等價(jià)于“fe平分mfb”.設(shè)直線am的方程為y=k(x+2)(k0),則n(2,4k),e(2,2k).設(shè)點(diǎn)m(x0,y0),由得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,則x0-2=-,所以當(dāng)mfx軸時(shí),x0=1,此時(shí)k=.所以m,n(2,2),e(2,1).所以點(diǎn)e在mfb的平分線所在的直線y=x-1或y=-x+1上,即fe平分mfb.322bc24x23y22(2),143yk xxy221634k

57、k2020286,3412.34kxkkyk1231,2當(dāng)k時(shí),直線mf的斜率kmf=,所以直線mf的方程為4kx+(4k2-1)y-4k=0.所以點(diǎn)e到直線mf的距離d=|2k|=|be|,fe平分mfb.綜上,點(diǎn)b關(guān)于直線ef的對(duì)稱點(diǎn)在直線mf上.12001yx 2414kk2222|82 (41)4 |16(41)kkkkkk222|42 (41)|(41)kkkk22|2 (41)|41|kkk解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵解決第(2)問(wèn)的關(guān)鍵是把“點(diǎn)b關(guān)于直線ef的對(duì)稱點(diǎn)在直線mf上”等價(jià)成“fe平分mfb”.2.(2019北京海淀期末文,19)已知點(diǎn)b(0,-2)和橢圓m:+=1.直線l:y=k

58、x+1與橢圓m交于不同的兩點(diǎn)p,q.(1)求橢圓m的離心率;(2)若k=,求pbq的面積;(3)設(shè)直線pb與橢圓m的另一個(gè)交點(diǎn)為c,當(dāng)c為pb中點(diǎn)時(shí),求k的值.24x22y12解析解析(1)解法一:因?yàn)閍2=4,b2=2,所以a=2,b=,c=.(3分)所以離心率e=.(5分)解法二:因?yàn)閍2=4,b2=2,(2分)所以e=.(5分)(2)設(shè)p(x1,y1),q(x2,y2),若k=,則直線l的方程為y=x+1,由得3x2+4x-4=0,(6分)解得x1=-2,x2=.(7分)設(shè)a(0,1),則spbq=|ab|(|x1|+|x2|)=3=4.(8分)22ca22221ba2142212122

59、21,4211,2xyyx231212223(3)解法一:設(shè)點(diǎn)c(x3,y3),p(x1,y1),b(0,-2),所以(9分)又點(diǎn)p(x1,y1),c(x3,y3)都在橢圓上,所以(11分)解得或(13分)1313,22,2xxyy 221122111,422221,42xyxy 1114,212xy 1114,21,2xy 所以k=或k=-.(14分)解法二:設(shè)c(x3,y3),p(x1,y1),顯然直線pb的斜率存在,設(shè)直線pb的方程為y=k1x-2,所以所以(2+1)x2-8k1x+4=0.(7分)所以(10分)又x3=x1,(11分)解得或此時(shí)滿足=16(2-1)0,3 14143 1

60、4142211,422,xyyk x21k2111321132116(21)0,8,214,21kkxxkx xk121114,23 1414xk 1114,23 14,14xk21k所以或(13分)所以k=或k=-.(14分)1114,212xy 1114,21,2xy 3 14143 1414易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示直線方程與橢圓方程聯(lián)立后,必須檢驗(yàn)是否滿足判別式大于零,或者得出k的范圍,否則判別式的1分要扣掉.3.(2017北京西城二模,20)已知橢圓c:+=1(ab0)的離心率是,且過(guò)點(diǎn)p(,1).直線y=x+m與橢圓c相交于a,b兩點(diǎn).(1)求橢圓c的方程;(2)求pab的面積的最大值;(3