小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中極限思想的滲透點

1、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中極限思想的滲透點 北京市東城區(qū)教師研修中心 高澤新摘要極限是用以描述變量在一定的變化過程中的終極狀態(tài)的概念。極限的思想方法為建立微積分學(xué)提供了嚴格的理論基礎(chǔ)，極限的思想方法為數(shù)學(xué)的發(fā)展提供了有力的思想武器。當今數(shù)學(xué)教學(xué)界，非常重視數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的滲透。然而實際教學(xué)中，部分教師對極限思想方法的理解及應(yīng)用還存在著偏頗，本文將在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中極限思想的滲透上提出自己的觀點。 關(guān)鍵詞數(shù)學(xué)思想   極限思想   極限思想的滲透點 極限是用以描述變量在一定的變化過程中的終極狀態(tài)的概念1。極限的思想方法為建立微積分學(xué)提供了嚴格的

2、理論基礎(chǔ)，極限的思想方法為數(shù)學(xué)的發(fā)展提供了有力的思想武器。當今數(shù)學(xué)教學(xué)界，非常重視數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的滲透。然而在小學(xué)數(shù)學(xué)的實際教學(xué)中，部分教師對極限思想方法的理解及應(yīng)用還存在著一定的忽視，本文對如將極限的思想方法應(yīng)用于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)之中,提出自己的觀點和同行們探討與交流。 這是大家都非常熟知的一個故事：有一個牧民，臨終前要把17匹馬分給他的3個兒子。于是留下遺囑：分給老大，分給老二，分給老三。牧民死后，三個兒子都不知道如何來分。一位鄰居牽來自己的一匹馬來幫忙分，這時就有18匹馬了，所以老大得9匹，老二得6匹，老三得2匹，鄰居牽著自己的那匹走了。 有人對上述分馬的方法提出了

3、異議，認為這實際上分的是18匹馬，而不是17匹。那么我們不妨換一種辦法來分: 共17匹馬。老大可以分得：17×=匹；老二可以分得：17×=匹；老三分得17×=匹。還剩下17=匹。 我們就把剩下匹馬按遺囑繼續(xù)分。老大又可以分得： 匹；老二又可以分得：匹；老三又分得匹。還剩下匹。就這樣我們可以繼續(xù)不斷地分下去 現(xiàn)在讓我們來看一看老大分得的馬匹數(shù)： 第一次得，第二次得，第三次得，第次得這是一個無窮遞縮等比數(shù)列，這個數(shù)列所有項的和是S=+=9，即老大分得9匹。 利用這種辦法我們也可以求出：老二可以分得6匹，老三可以分得2匹

4、。而9+6+2=17，恰好分完。這樣既滿足了牧民的心愿，又符合規(guī)則，問題得到圓滿解決。 “借馬分馬”的故事雖然簡單，但第二種分馬的方法其中所蘊含的極限思想?yún)s極其珍貴。如果你只認識到“只分一次”是不夠的，這種辦法的核心是要將分遺產(chǎn)的過程無限的進行下去，每分一次剩下的馬匹數(shù)都縮小到上一次的，最后每個人分得的馬匹數(shù)就逼近于一個整數(shù)了，這實際就是極限的思想的一個具體應(yīng)用。 由于小學(xué)生的年齡特點的限制，他們對具體的、數(shù)量有限的事物容易理解，對抽象的、數(shù)量無限的事物難于把握。但作為教師我們不能無視極限思想方法的重要性，還應(yīng)該著眼于學(xué)生的長遠發(fā)展及終身發(fā)展，因此，我們在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)針

5、對小學(xué)生的特點，將極限有思想方法進行適度的滲透。我想教師應(yīng)該抓住機會采用分層滲透的辦法，切不可急功近利。 層次一：幫助學(xué)生理解無限。 1數(shù)量無限多。 現(xiàn)行小學(xué)教材中有許多知識點會涉及到數(shù)量無限多的情況。 在“自然數(shù)”、“奇數(shù)”、“偶數(shù)”、這些概念教學(xué)時，教師可讓學(xué)生體會自然數(shù)是數(shù)不完的，奇數(shù)、偶數(shù)的個數(shù)有無限多個。在循環(huán)小數(shù)這一部分內(nèi)容中，1 ÷ 3 = 0.333是一循環(huán)小數(shù)，它的小數(shù)點后面的數(shù)字是寫不完的。通過這些方面讓學(xué)生初步體會“無限”思想，這樣的例子在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中還有很多。比如  商不變性質(zhì)教學(xué)后的練習：（32÷）

6、7;（8÷）4讓學(xué)生體會內(nèi)可填入無限多數(shù)，再如：在學(xué)習分數(shù)基本性質(zhì)后的練習中，教師又要求學(xué)生在1分鐘內(nèi)寫一些與某個分數(shù)相等的分數(shù)，讓學(xué)生體會這樣的分數(shù)也是無窮無盡的。 2圖形無限延伸。 小學(xué)幾何概念中有許多概念是具有無限性的，如直線 、射線、角的邊、平行線的長度等等它們都是可以無限延伸的。這些概念在現(xiàn)實生活中并不是真實存在的（現(xiàn)實生活中你找不要一條能無限延伸的線），它們只是存在于人腦的想象之中，是人腦抽象的結(jié)果。而這種想象又是進一步學(xué)習數(shù)學(xué)的必不可少的基礎(chǔ)能力。因此，在圖形教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生空間想象力，培養(yǎng)學(xué)生的無限觀念是非常重要的。 以上兩點是從不同方面體

7、現(xiàn)了“無限”的觀念，并不是真正意義上的“極限”，然而，培養(yǎng)學(xué)生的無限觀念是形成極限思想的基礎(chǔ)，離開無限談極限是沒有任何意義的。所以，不應(yīng)該因為“無限極限”而忽視對無限性的教學(xué)。 層次二：幫助學(xué)生理解逼近。 “無限極限”的原因在于無限的結(jié)果可能是收斂的，也可能是發(fā)散的。由于小學(xué)生的生活經(jīng)驗、數(shù)學(xué)知識還比較貧乏，他們只能通過一些具體的事例，逐漸感悟到什么是“無限地逼近”，為將來學(xué)習“收斂”這個數(shù)學(xué)中概念積累一些感性的認識。因此，逐步理解“逼近”是形成極限思想的另一個重要方面。 受年齡特征的制約小學(xué)生對極限思想不會有深刻的理解，但這并不等于我們在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中可以淡化對

8、極限思想的滲透，相反我們應(yīng)該抓住一切可以利用的契機加以滲透，為他們將來學(xué)習極限理論，提高抽象思維，奠定基礎(chǔ)。筆者認為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中可以在以下幾方面加強對極限思想加以滲透（滲透點）。 在公式推倒過程中滲透極限思想。 【案例】“圓的面積”。 在教學(xué)“圓面積公式的推導(dǎo)”一課時，有的教師是這樣設(shè)計的。 師：我們過了一些圖形的面積計算公式，今天我們來研究圓的面積公式。你們有什么辦法嗎？ 生：可以把圓轉(zhuǎn)化為我們學(xué)過的圖形。 師：怎么轉(zhuǎn)化？ 生：分一分。 演示把圓平均分成了2分，把兩個半圓地拚起來，結(jié)果還是一個圓。 生

9、：多分幾份試一試。 演示把一個圓分割為完全相同的小扇形，并試圖拚成正方形。從平均分成4個、8個、到16個 師：你們有什么發(fā)現(xiàn)？  生：分的份數(shù)越多，拼成的圖形就越接近長方形。 課件繼續(xù)演示把圓平均分成32個、64個完全相同的小扇形。教師適時說“如果一直這樣分下去，拼出的結(jié)果會怎樣？ 生：拼成的圖形就真的變成了長方形，因為邊越來越直了。 這個過程中從“分的份數(shù)越來越多”到“這樣一直分下去”的過程就是“無限”的過程，“圖形就真的變成了長方形”就是收斂的結(jié)果。學(xué)生經(jīng)歷了從無限到極限的過程，感悟了極限思想的具大價值。 學(xué)生有了這個基

10、礎(chǔ)，到將來學(xué)習圓柱體積公式的推導(dǎo)時就會很自然地聯(lián)想到這種辦法，從而再一次加以利用解決問題，在不斷的應(yīng)用中學(xué)生的極限思想會潛移默化地形成。 以上計算公式的推導(dǎo)過程，采用了“變曲為直”、“化圓為方”極限分割思路。在通過有限想象無限，根據(jù)圖形分割拼合的變化趨勢，想象它們的最終結(jié)果。既使學(xué)生掌握了計算公式，又萌發(fā)了無限逼近的極限思想。 二、在形成新概念時滲透極限思想 【案例】“循環(huán)小數(shù)”。 循環(huán)小數(shù)一課是一節(jié)概念性很強的新課，多數(shù)教師在教學(xué)中非常重視學(xué)生的自主探究過程，重視對循環(huán)小數(shù)的相關(guān)概念的教學(xué)，但也大都忽視了一個問題，即極限思想的滲透。 我們可以

11、在課上創(chuàng)設(shè)以下一個問題供學(xué)生討論：0.999和1哪個大？ 這個問題可以通過以下的方法加以解決： 設(shè)0.999 109.999 109  99   1 所以0.9991 但這種方法對于還沒有學(xué)習方程知識的小學(xué)生來說有點難于理解。怎么辦呢？可以這樣幫助學(xué)生理解： 1-0.9=0.1，1-0.99=0.01，1-0.999=0.001，1-0.9999=0.0001，1-0.999=？ 這時可以引導(dǎo)學(xué)生觀察：隨著小數(shù)部分9的個數(shù)的不斷增多，與1的差在逐漸的減少，而在0.999中的小部分有無窮多個9，那么最終的差會是多少呢？這樣使學(xué)

12、生認識到差會越來越小，最終成為0。從而使學(xué)生認識到0.999=1。 事實證明這種辦法學(xué)生是可以理解和接受的，這種辦法的核心就是極限思想的體現(xiàn)。學(xué)生對這種辦法的理解過程正是對極限思想的感知過程。 學(xué)生對于新鮮事物是最感興趣的，如果我們能在新知識的教學(xué)中適時滲透極限思想，既可以增強學(xué)生的學(xué)習興趣又有利于學(xué)生對極限思想的認識，何樂而不為呢？ 三、在數(shù)學(xué)練習中挖掘極限思想 一些老師的練習設(shè)計往往是側(cè)重于對基礎(chǔ)知識的鞏固，通過練習培養(yǎng)學(xué)生的基本技能，針對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的練習題相對較少。然而，學(xué)生的數(shù)學(xué)思想的形成是靠不斷的積累、不斷的運用來形成的，能夠自主運用

13、思想解決問題是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的具體體現(xiàn)，它應(yīng)該貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習的始終。練習作為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習的重要環(huán)節(jié)，也應(yīng)該承擔這方面的任務(wù)。因此，教師在練習題的設(shè)計時要注意極限思想的體現(xiàn)。 還記得在大學(xué)數(shù)學(xué)教材中有這樣一段話“莊子·天下篇引用過一句話：一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”2，于是在五年級學(xué)生學(xué)習了分數(shù)這一單元后，我把它改造成以下的一個題目： 莊子·天下篇引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！币簿褪钦f一根長為一尺的木棒，每天截去一半，這樣的過程可以無限制地進行下去。如果我們按照上述方法操作，第1天截去后剩下部分的長度占原長的，第2天截去后剩下的占全長的

14、，第3天截去后剩下的占全長的，第10天截去后剩下的占全長的，第n天截去后剩下的占全長的，如果我們這樣不斷地截下去，木棒所剩部分的長度是（    ）。 這道題的過程性比較強，學(xué)生做過此題后可以根據(jù)答案所呈現(xiàn)出的規(guī)律性，感悟出木棒所剩部分的長度會趨向于0。在解題的過程中可以體會到初步的極限思想，而且可以受到一定的傳統(tǒng)文化的熏陶，事實證明學(xué)生還是非常感興趣的。 又如在學(xué)習分數(shù)加法后我們可以設(shè)計練習：。 學(xué)生多數(shù)是利用通分的方法統(tǒng)一分母后，按分數(shù)加法的法則進行計算的。但如果此題只使用到這個程度還是遠遠不夠的。 方法二：我們發(fā)現(xiàn)在這個

15、算式中，任意相鄰的兩個分數(shù)，后一個分數(shù)總是前一個分數(shù)的一半。 如果設(shè)S=，那么2S=,我們用2SS得： S=（）（）=1=，問題得以解決。這個辦法的核心是相互抵消的思想，且具有濃烈的代數(shù)的味道，對于從算術(shù)到代數(shù)的過渡也很有意義。 方法三：先畫一個大正方形，它的面積是1，如圖所示， 從圖中可以直觀地看出：。 在此基礎(chǔ)上可以把問題進一步變化為：   ？  可以用數(shù)形結(jié)合的方法，從圖中直觀地看出隨著加數(shù)的不斷增加，空白部分的面積逐漸擴大，并且越來越接近正方形的面積即不斷地逼近1，當有無限多項相加時其結(jié)果為1。&

16、#160;通過多種辦法解決這個題目的動態(tài)過程中學(xué)生在收獲知識的同時，極限思想、數(shù)形結(jié)合的思想、相互抵消的策略等數(shù)學(xué)思想又為學(xué)生解題方法的創(chuàng)新提供了可能，培養(yǎng)了思維的靈活性?？傊?，練習的設(shè)計不能僅僅著眼于一個問題的解決，而是關(guān)注學(xué)生在解決這個問題中自主領(lǐng)悟到的數(shù)學(xué)知識及思想方法，更關(guān)注在解決問題中數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成。 四、在數(shù)學(xué)知識的復(fù)習中挖掘極限思想 復(fù)習課就是把平時相對獨立地進行教學(xué)的知識,，特別是其中帶有規(guī)律性的知識，以再現(xiàn)、整理、歸納等辦法串起來，進而加深學(xué)生對知識的理解、溝通，并使之條理化、系統(tǒng)化。3筆者聽過一些六年級“平面圖形的整理與復(fù)習”的課，這些課的目的在于能對學(xué)

17、生所學(xué)過的長方形、正方形、三角形、梯形、平行四邊形、圓的面積公式做出整理。 從實際的教學(xué)情況看，參與這一教學(xué)活動的學(xué)生應(yīng)當說都已較好地掌握了相關(guān)的知識，從而大多能梳理出如下的邏輯線索：  但在這些課中普遍存在的問題是：學(xué)生的活動主要是一種回憶的工作，是相關(guān)公式的推導(dǎo)過程的再現(xiàn)，即使注意到了這些公式間的聯(lián)系，而這種聯(lián)系在此也主要表現(xiàn)為線性的、單向的邏輯關(guān)系。然而，從教學(xué)的角度看，我們除了要重視知識的邏輯結(jié)構(gòu)還要重視學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，而認知結(jié)構(gòu)與上述邏輯結(jié)構(gòu)所具有的線性和單向性不同，認知結(jié)構(gòu)不僅具有雙向性，還主要地表現(xiàn)在一種網(wǎng)狀的結(jié)構(gòu)。教學(xué)工作的主要目標并非是使學(xué)生建立

18、起關(guān)于相應(yīng)邏輯結(jié)構(gòu)的牢固記憶，而是應(yīng)當幫助學(xué)生形成適當?shù)恼J識結(jié)構(gòu)。4因此，對于上述復(fù)習課而言筆者以為，除去以長方形為核心這一“標準”做法以外，我們也完全可以以梯形的面積公式為核心，將其他各個圖形聯(lián)系起來。實現(xiàn)兩種方法的“互補”幫助學(xué)生建立更為豐富和合理的認識結(jié)構(gòu)。 而以梯形為核心進行梳理的主要手段可以借助極限的思想將公式進行聯(lián)絡(luò)。利用極限思想得到三角形的面積計算公式，方法是讓梯形的上底趨于0，梯形即趨于三角形，梯形的面積計算公式當上底趨于0時的極限就是三角形的面積計算公式 。我們甚至可以把長方形、正方形、平行四邊形面積計算公式都看成是梯形面積計算公式的極限形式。 于是可以構(gòu)建出下面的知識網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。  翻開數(shù)學(xué)的史話我們發(fā)現(xiàn)，無論是在最初的算術(shù)、代數(shù)還是初等幾何中，常量數(shù)學(xué)都是描述確定、靜態(tài)現(xiàn)實的有利工具。而無限問題的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)表述，是由變量數(shù)學(xué)的發(fā)展來實現(xiàn)的。常量數(shù)學(xué)向變量數(shù)學(xué)