抽樣方法、正態(tài)分布

1、抽樣方法、正態(tài)分布 重點、難點講解： 1抽樣的三種方法：簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣。后兩種方法是建立在第一種方法基礎(chǔ)上的。2了解如何用樣本估計總體: 用樣本估計總體的主要方法是用樣本的頻率分布來估計總體分布，主要有總體中的個體取不同數(shù)值很少和較多甚至無限兩種情況。 3正態(tài)曲線及其性質(zhì)：N()，其正態(tài)分布函數(shù)：f(x)=, x(-,+)。 把N(0,1)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，相應(yīng)的函數(shù)表達式：f(x)=, x(-,+)。 正態(tài)圖象的性質(zhì)： 曲線在x軸的上方，與x軸不相交。 曲線關(guān)于直線x=對稱。 曲線在x=時位于最高點。 當(dāng)x<時，曲線上升；當(dāng)x>時，曲線下降，并且當(dāng)曲線向左、右兩

2、邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向它無限靠近。 當(dāng)一定時，曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中。 4一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的轉(zhuǎn)化 對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，用表示總體取值小于x0的概率，即=p(x<x0)，其幾何意義是由正態(tài)曲線N(0,1)，x軸，直線x=x0所圍成的面積。又根據(jù)N(0,1)曲線關(guān)于y軸的對稱性知，并且標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在任一區(qū)間(a,b)內(nèi)取值概率。 任一正態(tài)總體N()，其取值小于x的概率F(x)=。 5了解“小概率事件”和假設(shè)檢驗的思想。 知識應(yīng)用舉例： 例1從503名大學(xué)一年級學(xué)生中抽取50名作為樣本，如何采用

3、系統(tǒng)抽樣方法完成這一抽樣？ 思路分析：因為總體的個數(shù)503，樣本的容量50，不能整除，故可采用隨機抽樣的方法從總體中剔除3個個體，使剩下的個體數(shù)500能被樣本容量50整除，再用系統(tǒng)抽樣方法。 解：第一步：將503名學(xué)生隨機編號1，2，3，503 第二步：用抽簽法或隨機數(shù)表法，剔除3個個體，剩下500名學(xué)生，然后對這500名學(xué)生重新編號。 第三步：確定分段間隔k=10,將總體分成50個部分，每部分包括10個個體，第一部分的個體編號為1，2，10；第二部分的個體編號11，12，20；依此類推，第50部分的個體編號491，492，500。 第四步：在第一部分用簡單隨機抽樣確定起始的個體編號，例如是7

4、。 第五步：依次在第二部分，第三部分，第五十部分，取出號碼為17，27，497，這樣就得到了一個容量為50的樣本。 例2對某電子元件進行壽命追蹤調(diào)查，情況如下： （1）列出頻率分布表；（2）畫出頻率分布直方圖；（3）估計電子元件壽命在100h400h以內(nèi)的概率； （4）估計電子元件壽命在400h以上的概率；（5）估計總體的數(shù)學(xué)期望。 思路分析：由于樣本的取得具有代表性，因此，可以利用樣本的期望近似地估計總體的期望。 解：（2）頻率分布直方圖如下： （3）從頻率分布表可知，壽命在100h400h的元件出現(xiàn)的概率為0.65；（4）壽命在400h以上的電子元件出現(xiàn)的頻率為0.20+0.15=0.35

5、，故我們估計電子元件壽命在400h以上的概率為0.35。 （5）樣本的期望為： 所以，我們估計生產(chǎn)的電子元件壽命的總體期望值（總體均值）為365h。 例3正態(tài)總體為=0, =1時的概率密度函數(shù)是f(x)=, x(-, +) , （1）證明f(x)是偶函數(shù)；（2）利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)說明f(x)的增減性。 證明：（1）任意的xR，f(-x)=, f(x)是偶函數(shù)。 （2）任取x1<x2<0，則， ， ，即f(x1)<f(x2)。 這說明f(x)在(-,0)上是遞增函數(shù)， 同理可證f(x)在(0, +)上是遞減函數(shù)。 例4隨機變量服從N(0,1)，求下列值。 （1）P(2.55)

6、（2）P(<-1.44) （3）P(|<1.52) 思路分析：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以借助標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表。用到的公式主要有：(-x)=1-(x)；P(a<x<b)=(b)-(a)；p(xx0)=1-p(x<x0)。 解：（1）P(2.55)=1-p(<2.55)=1-(2.55)=1-0.9946=0.0054。 （2）P(<-1.44)=(-1.44)=1-(1.44)=1-0.9251=0.0749。 （3）P(|<1.52)=p(-1.52<<1.52)=(1.52)-(-1.52) =2(1.52)-1=2×0.9357-

7、1=0.8714。 例5設(shè),且總體密度曲線的函數(shù)表達式為：f(x), x(-,+)。 （1）求，；（2）求p(|x-1|<)及p(1-<x<1+)。 思路分析：對照正態(tài)曲線函數(shù)，可以得出，；利用一般正態(tài)總體N()與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N(0,1)概率間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，可以求出（2）。 解：（1）整理得：f(x)=，所以，=1, ，故。 （2）p(|x-1|<)=p(1-<x<1+)=F(1+)-F(1-) =()-()=(1)-(-1)=2(1)-1 =2×0.8413-1=0.6826。p(1-<x<1+2)=F(1+2)-F(1-) =()-(

8、)=(2)-(-1)=(2)+(1)-1 =0.9772+0.8413-1=0.8185。 例6某城市從南郊某地乘車前往北區(qū)火車站有兩條路可走，第一條線路穿過市區(qū)，路程較短，但交通擁擠，所需時間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布N(50,100), 第二條線路沿環(huán)城公路走，路程較長，但交通阻塞少，所需時間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布N(60, 16)， （1）若只有70分鐘時間可用，應(yīng)走哪條路？ （2）若只有65分鐘時間可用，應(yīng)走哪條路？ 思路分析：所謂最佳線路（應(yīng)選擇的線路）就是在允許的時間內(nèi)有較大概率趕到火車站的那條線路。 解：設(shè)x為行車時間。 （1）走第一條路及時趕到的概率為： P(0<x7

9、0)=(2)=0.9772。 走第二條線路及時趕到的概率為： P(0<x70)=()=(2.5)=0.9938。 （2）走第一條線路及時趕到的概率為：P(0<x65)()=(1.5)=0.9332。 走第二條線路及時趕到的概率為： P(0<x65)()=(1.25)=0.8944。 因此應(yīng)走第一條線路。在線測試窗體頂端選擇題1如果采用分層抽樣，從個體數(shù)為N的總體中，抽取一個容量為n的樣本，那么每個個體被抽到的概率等于（ ）。 A、B、C、D、 窗體底端窗體頂端2 某單位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，為了調(diào)查他們身體狀況的某項指標(biāo)，需要從他們中抽取一個容量為36的

10、樣本，適合抽取樣本的方法是（ ）。 A、簡單隨機抽樣 B、系統(tǒng)抽樣 C、分層抽樣 D、先從老年人中剔除1人，然后再分層抽樣 窗體底端窗體頂端3在用樣本頻率分布估計總體分布的過程中，下列說法正確的是（ ）。 A、總體容量越大，估計越精確B、總體容量越小，估計越精確 C、樣本容量越大，估計越精確D、樣本容量越小，估計越精確 窗體底端窗體頂端4在10人中，有4個學(xué)生，1個干部，2個工人，3個農(nóng)民，數(shù)是工人占總體的（ ）。 A、頻數(shù)B、概率C、頻率D、累積頻率 窗體底端窗體頂端5一個容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后組距與頻數(shù)如下： 組距 10,20) 20,30) 30,40) 40,50) 50,60)

11、 60,70) 頻數(shù) 2 3 4 5 4 2 則樣本在區(qū)間(-，50)上的頻率為（ ）。 A、0.5B、0.25C、0.6D、0.7 窗體底端窗體頂端6對于樣本頻率分布的直方圖與總體密度曲線的關(guān)系，下列說法正確的是（ ）。 A、頻率分布直方圖與總體密度曲線無關(guān)。 B、頻率分布直方圖就是總體密度曲線。 C、樣本容量很大的頻率分布直方圖就是總體密度曲線。 D、如果樣本容量無限增大，分組的組距無限減小，那么頻率分布的直方圖就會無限接近于總體密度曲線。 窗體底端窗體頂端7關(guān)于正態(tài)總體的密度函數(shù)所對應(yīng)的曲線，下列敘述中不正確的是：（ ）。 A、曲線總是在x軸的上方。 B、曲線關(guān)于直線x=對稱。 C、在區(qū)

12、間(-2，+2)內(nèi)取值的概率為95.4%。 D、當(dāng)x時，f(x)隨x的增大而增大，當(dāng)x時，f(x)隨x的減小而增大。 窗體底端窗體頂端8若隨機變量N(，2)，且P(a)=P(>a)，則a的值為（ ）。 A、0B、C、-D、 窗體底端窗體頂端9設(shè)隨機變量N(，2)，且E=3，D=1，則P(-1<1)等于（ ）。 A、2(1)-1B、(4)-(2)C、(-4)-(-2)D、(2)-(4) 窗體底端窗體頂端10已知從某批材料中任取一件時，取得的這件材料的強度N(200，18)，則取得的這件材料的強度不低于180的概率為（ ）。 A、0.9973B、0.8665C、0.8413D、0.81

13、59窗體底端答案與解析 答案：1、C 2、D 3、C 4、C 5、D 6、D 7、D 8、B 9、B 10、B解析：1.提示：采用分層抽樣時，各部分抽取的個體數(shù)與這一部分個體數(shù)的比等于樣本容量與總體的個體數(shù)的比，所以每個個體被抽到的概率都是相等的。2.提示：當(dāng)總體由有明顯差別的幾部分組成時，為了使抽取的樣本更好地反映總體的情況，常采用分層抽樣。4.提示： ，所以數(shù) 是工人占總體的頻率。5.提示：組距10,20)20,30)30,40)40,50)50,60)60,70)頻數(shù)234542頻率0.10.150.20.25則樣本在區(qū)間(-,50)上的頻率為0.1+0.15+0.2+0.25=0.7。

14、6.提示：如果樣本容量越大，所分組數(shù)越多，也就是組距不斷縮小，那么頻率分布的直方圖就會無限接近于總體密度曲線。因此它們有關(guān)，但頻率分布的直方圖不是總體密度曲線。9.提示：一般的正態(tài)分布問題，能轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布問題來處理，即將正態(tài)分布中觀察值x的概率P(axb)表示成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分中的P(z1zz2)，其中z1= ,z2= .由題意： ， ， 。“概率與統(tǒng)計”內(nèi)容分析（二） 6、簡單隨機抽樣有哪些特點? 答：(1)它要求被抽取樣本的總體的個數(shù)有限，以便對其中各個體被抽取的概率進行分析。 (2)這種抽樣是從總體中逐個進行抽取，這就使得它具有可操作性。 (3)這是一種不放回抽樣。由于在抽樣的實踐中常常

15、采用不放回抽樣，使簡單隨機抽樣具有較廣泛的實用性，而且由于在所抽取的樣本中沒有被重復(fù)抽取的個體，所以便于進行分析與計算。 (4)這是一種等概率的抽樣，不僅每次從總體中抽取一個個體時，各個體被抽取的概率相等，而且在整個抽樣過程中，各個體被抽取的概率相等，從而保證了這種抽樣方法的公平性。 實施簡單隨機抽樣主要有兩種方法；即抽簽法和隨機數(shù)表法。 與系統(tǒng)抽樣、分層抽樣相比，簡單隨機抽樣是最簡單、最基本的抽樣方法，另兩種抽樣方法都建立在簡單隨機抽樣的基礎(chǔ)之上。這三種抽樣方法的共同點是：它們都屬于等概率的抽樣，都體現(xiàn)了抽樣的公平性。 7、擲一枚均勻硬幣兩次，如何從二項分布的直方圖上算出正面朝上至多發(fā)生一次

16、的概率? 答：先畫出直方圖(n2，p0.5)如圖1所示。由圖可見，正面朝上至多發(fā)生一次的概率，就是橫坐標(biāo)從-0.5到1.5這兩個長方形的面積之和，其中第一個長方形的面積對應(yīng)于正面朝上至多發(fā)生一次的概率P=0.25×1+0.5×1=0.75。8、如何利用直方圖來引進正態(tài)曲線與正態(tài)分布? 答：對于n較大，p0.5的二項分布直方圖，如果用一條平滑的曲線把每個長方形的中點聯(lián)結(jié)起來，就能得到一條鐘形曲線，稱為正態(tài)曲線(圖2)，其函數(shù)解析式為其中f(x)=, xR, 其中。 回顧二項分布的直方圖及上面7中所舉的例子，直方圖中各長方形的面積可以表示有關(guān)的概率值。對于正態(tài)曲線，如果規(guī)定，試驗的觀察值x落在區(qū)間(a，b)內(nèi)的概率P(axb)就是由這條曲線、x軸、直線xa及xb所圍成的圖形的面積(圖3)，那么稱這種概率分布為正態(tài)分布。 一個平均數(shù)為、標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布可以用公式z=將它變換成平均數(shù)為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布。平均數(shù)為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(圖4)，其公式為, 其中。 一般的正態(tài)分布問題，能轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)