剛體力學習題（課堂PPT）

1、1第七章基本知識小結第七章基本知識小結剛體的質(zhì)心剛體的質(zhì)心 dmdmrrmrmrciiic/,/求質(zhì)心方法：對稱分析法，分割法，積分法求質(zhì)心方法：對稱分析法，分割法，積分法 剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量 dmrIrmIii22,平行軸定理平行軸定理: Io = Ic+md2 正交軸定理正交軸定理: Iz = Ix+Iy. 剛體的動量和質(zhì)心運動定理剛體的動量和質(zhì)心運動定理 ccamFvmp剛體對軸的角動量和轉(zhuǎn)動定理剛體對軸的角動量和轉(zhuǎn)動定理 IIL剛體的轉(zhuǎn)動動能和重力勢能剛體的轉(zhuǎn)動動能和重力勢能 cpkmgyEIE 221 剛體的平面運動剛體的平面運動=隨質(zhì)心系的平動隨質(zhì)心系的平動+繞質(zhì)

2、心系的轉(zhuǎn)動繞質(zhì)心系的轉(zhuǎn)動 ccccIamF 221221ccckImvE 靜止剛體的平衡方程靜止剛體的平衡方程 0F 0 (對任意軸對任意軸) 27.1.4 半徑為半徑為0.1m的圓盤在鉛直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，在圓盤平面內(nèi)建立的圓盤在鉛直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，在圓盤平面內(nèi)建立o-xy坐標系，坐標系，原點在軸上，原點在軸上，x和和y軸沿水平和鉛直向上的方向。邊緣上一點軸沿水平和鉛直向上的方向。邊緣上一點A當當t=0時恰好時恰好在在x軸上，該點的角坐標滿足軸上，該點的角坐標滿足90時，時，A點的速度和加速度在點的速度和加速度在x和和y軸上的投影軸上的投影=1.2t+t2 (:rad,t:s)。t=0時，時，自自t=

3、0開始轉(zhuǎn)開始轉(zhuǎn)45時，時，轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)過ndtddtdaaaRvt , 0 . 2,22 . 1解解：t=0時，時， 12. 01 . 02 . 1, 0, 2 . 1 Rvvyx 2222/2 . 01 . 00 . 2/144. 01 . 02 . 1smRasmRayx =/4時時,由由=1.2t+t2,求得求得t=0.47s,=1.2+2t=2.14smRvsmRvyx/15. 02/21 . 014. 245sin/15. 02/21 . 014. 245cos 222222222222/182. 0)14. 20 . 2(1 . 0)(45sin45sin45sin/465. 0)14.

4、 20 . 2(1 . 0)(45cos45cos45cossmRRRasmRRRayx xAyo37.1.7飛機沿水平方向飛行飛機沿水平方向飛行, 螺旋槳尖端所在半徑為螺旋槳尖端所在半徑為150cm，發(fā)動機轉(zhuǎn)速發(fā)動機轉(zhuǎn)速2000rev/min. 槳尖相對于飛機的線速率等于槳尖相對于飛機的線速率等于多少？多少？ 若飛機以若飛機以250km/h 的速率飛行，計算槳尖相對地的速率飛行，計算槳尖相對地面速度的大小，并定性說明槳尖的軌跡。面速度的大小，并定性說明槳尖的軌跡。 解：解：槳尖相對飛機的速度：槳尖相對飛機的速度： smrv/3145 . 16022000 槳尖相對地面的速度：槳尖相對地面的速

5、度： 機機地地vvv 飛機相對地面的速度與螺旋槳相對飛機相對地面的速度與螺旋槳相對飛機的速度總是垂直的，飛機的速度總是垂直的， smv/4 .696060102503 機機地地smvvv/6 .3214 .693142222 機地機地槳尖相對地面的運動軌跡為螺旋線槳尖相對地面的運動軌跡為螺旋線 47.2.2 在下面兩種情況下求直圓錐體的總質(zhì)量和質(zhì)心位置。在下面兩種情況下求直圓錐體的總質(zhì)量和質(zhì)心位置。圓錐體為勻質(zhì)；圓錐體為勻質(zhì)；密度為密度為h的函數(shù)：的函數(shù)：=0(1-h/L),0為正為正常數(shù)常數(shù) 圓錐體為勻質(zhì)圓錐體為勻質(zhì), =C, LadxxdmmLLa2310222 LdxxxLLLaLdxx

6、admxdmc430333/32232 332000/,)1()1(0LdxxadmxLLxLLh LadxxdmmLLa204103320 LLdmxdmcLdxxx054444xohLar解：建立圖示坐標解：建立圖示坐標o-x,據(jù)對稱性分析，據(jù)對稱性分析，質(zhì)心必在質(zhì)心必在x軸上軸上, 在在x坐標處取一厚為坐標處取一厚為dx 的質(zhì)元的質(zhì)元 ，dxrdm2 222/,/,/LdxxadmLaxrLxar 57.2.3 長度為長度為L的勻質(zhì)桿，令其豎直地立于光滑的桌面上，的勻質(zhì)桿，令其豎直地立于光滑的桌面上，然后放開手，由于桿不可能絕對沿鉛直方向，故隨即到然后放開手，由于桿不可能絕對沿鉛直方向，

7、故隨即到下。求桿子的上端點運動的軌跡（選定坐標系，并求出下。求桿子的上端點運動的軌跡（選定坐標系，并求出軌跡的方程式）軌跡的方程式）xoy解：設桿在解：設桿在o-xy 平面內(nèi)運動，因桿在平面內(nèi)運動，因桿在運動過程中，只受豎直向上的支承力運動過程中，只受豎直向上的支承力和豎直向下的重力的作用，在水平方和豎直向下的重力的作用，在水平方向不受外力作用向不受外力作用, 據(jù)質(zhì)心定理據(jù)質(zhì)心定理, acx= 0，vcx= 0, 即質(zhì)心即質(zhì)心C無水平方向的移動，無水平方向的移動，只能逆著只能逆著y 軸作加速直線運動，直到軸作加速直線運動，直到倒在桌面上倒在桌面上取桿上端點的坐標為取桿上端點的坐標為x,y，勻質(zhì)

8、桿質(zhì)心在其幾何中心，由，勻質(zhì)桿質(zhì)心在其幾何中心，由圖示任一瞬間幾何關系可知圖示任一瞬間幾何關系可知: 4x2 + y2 = L2 ( x0, y0 )67.3.2 圖示實驗用的擺，圖示實驗用的擺，l=0.92m，r=0.08m，ml=4.9kg，mr=24.5kg,近似認為圓形部分為勻質(zhì)圓盤近似認為圓形部分為勻質(zhì)圓盤, 長桿部分為勻長桿部分為勻質(zhì)細桿。求對過懸點且與盤面垂直的軸線的轉(zhuǎn)動慣量。質(zhì)細桿。求對過懸點且與盤面垂直的軸線的轉(zhuǎn)動慣量。 lro22221231222123126)08. 092. 0(5 .2408. 05 .2492. 09 . 4)(kgmrlmrmlmIrrl 解：擺對

9、解：擺對o軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量I等于桿對等于桿對o軸的轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動慣量慣量Il 加上圓盤對加上圓盤對o軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量Ir ,即即I=Il+Ir根據(jù)平行軸定理根據(jù)平行軸定理:2221231222121)()(rlmrmIlmmlmIrrrlllll 77.3.6 勻質(zhì)桿可繞支點勻質(zhì)桿可繞支點o轉(zhuǎn)動，當與桿垂直的沖力作用某點轉(zhuǎn)動，當與桿垂直的沖力作用某點A時，支點時，支點o對桿的作用力并不因此沖力之作用而發(fā)生變對桿的作用力并不因此沖力之作用而發(fā)生變化，則化，則A點稱為打擊中心。設桿長為點稱為打擊中心。設桿長為L，求打擊中心與支，求打擊中心與支點的距離點的距離aCxyNFmgAo解：建

10、立圖示坐標解：建立圖示坐標o-xyz, z軸垂直紙面軸垂直紙面向外向外,據(jù)題意據(jù)題意, 桿受力及運動情況如圖示桿受力及運動情況如圖示由質(zhì)心運動定理：由質(zhì)心運動定理： )1(, 02 LcmmaFmgN 由轉(zhuǎn)動定理：由轉(zhuǎn)動定理： )2(0231 mLIAFo 把把代入代入中中: LAmLoAmL3223120, 87.4.2 質(zhì)量為質(zhì)量為2.97kg，長為，長為1.0m的勻質(zhì)等截面細桿可繞水平光滑的軸的勻質(zhì)等截面細桿可繞水平光滑的軸線線o轉(zhuǎn)動，最初桿靜止于鉛直方向。一彈片質(zhì)量為轉(zhuǎn)動，最初桿靜止于鉛直方向。一彈片質(zhì)量為10g，以水平速度，以水平速度200m/s射出并嵌入桿的下端，和桿一起運動，求桿

11、的最大擺角射出并嵌入桿的下端，和桿一起運動，求桿的最大擺角解：將子彈、桿構成的物體系作為研究解：將子彈、桿構成的物體系作為研究對象，整個過程可分為兩個階段研究：對象，整個過程可分為兩個階段研究：第一階段，子彈與桿發(fā)生完全非彈性碰第一階段，子彈與桿發(fā)生完全非彈性碰獲得共同的角速度獲得共同的角速度，此過程時間極短，此過程時間極短，可認為桿原地未動，在此過程中，外力可認為桿原地未動，在此過程中，外力矩為零，角動量守恒，矩為零，角動量守恒， 231)(lMmmvl sradlMmmv/0 . 2,0 . 1)3/97. 201. 0(20001. 0)3/( 第二階段，子彈與桿以共同的角速度第二階段，

12、子彈與桿以共同的角速度擺動到最大角度擺動到最大角度，此過程中，只有重力做功，物體系的機械能守恒，物體系此過程中，只有重力做功，物體系的機械能守恒，物體系原來的動能等于重力勢能的增量：原來的動能等于重力勢能的增量： 3430,8635. 011cos)cos1()cos1()(8 . 9)97. 201. 02(0 . 20 . 1)3/97. 201. 0(2)2()3/(22231212 gMmlMmlMgmgllMmm vl Mo97.4.3 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m1, 速度為速度為 v1 的子彈沿水平面擊中并嵌入一質(zhì)量為的子彈沿水平面擊中并嵌入一質(zhì)量為m2=99m1, 長度為長度為L的棒的端

13、點的棒的端點, 速度速度v1與棒垂直，棒原來靜止于光與棒垂直，棒原來靜止于光滑的水平面上滑的水平面上, 子彈擊中棒后共同運動，求棒和子彈繞垂直與平面子彈擊中棒后共同運動，求棒和子彈繞垂直與平面的軸的角速度等于多少？的軸的角速度等于多少？OCAm2,Lv1m1解：以地為參考系，把子彈和棒看解：以地為參考系，把子彈和棒看作一個物體系，棒嵌入子彈后作平作一個物體系，棒嵌入子彈后作平面運動面運動, 可視為隨質(zhì)心可視為隨質(zhì)心C的平動和繞的平動和繞質(zhì)心質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動, 繞質(zhì)心繞質(zhì)心C轉(zhuǎn)動的角速轉(zhuǎn)動的角速度即為所求度即為所求.CALCACACOmmmCACOmm299100,22121 據(jù)質(zhì)心定義據(jù)質(zhì)心

14、定義:LLLCOLLCA005. 0495. 05 . 0,495. 0200/99 據(jù)角動量守恒：據(jù)角動量守恒： )(22221212111COmLmCAmCAvm LvLvLmLvm/058. 0,)005. 09912/99495. 0(495. 0)005. 09999495. 0(495. 01221221212111 107.5.2 用四根質(zhì)量各為用四根質(zhì)量各為m長度各為長度各為l的勻質(zhì)細桿制成正方形框架，可繞的勻質(zhì)細桿制成正方形框架，可繞其中一邊的中點在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，支點其中一邊的中點在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，支點o是光滑的。最初，框架處是光滑的。最初，框架處于靜止且于靜止且AB邊沿豎

15、直方向，釋放后向下擺動，求當邊沿豎直方向，釋放后向下擺動，求當AB邊達到水平邊達到水平時，框架質(zhì)心的線速度時，框架質(zhì)心的線速度vc及框架作用于支點的壓力及框架作用于支點的壓力N. oABBAEp=0解：正方形框架對支點解：正方形框架對支點o的轉(zhuǎn)動慣量：的轉(zhuǎn)動慣量： 23723442121222)(4)(42mlImlmmlImlImIIolcclco 據(jù)機械能守恒定律：據(jù)機械能守恒定律： 2237212212)(4 mlImgol gllvclg7321712, AB邊在水平位置時，框架所受到的向上的支撐力邊在水平位置時，框架所受到的向上的支撐力N和向下和向下的重力的重力W的作用線均通過支點的

16、作用線均通過支點o，對，對o軸的力矩為零，據(jù)轉(zhuǎn)軸的力矩為零，據(jù)轉(zhuǎn)動定理，框架的角加速度為零，動定理，框架的角加速度為零，ac=2l/2=6g/7，方向向，方向向上上, 并可確定并可確定N的方向向上的方向向上, 對框架應用質(zhì)心運動定理：對框架應用質(zhì)心運動定理： mgmgNgmmamgNc7376767)1(4444 據(jù)牛頓第三定律據(jù)牛頓第三定律, 支點受到的壓力支點受到的壓力, 大小等于大小等于N, 方向向下方向向下 117.5.6 板的質(zhì)量為板的質(zhì)量為M，受水平力，受水平力F的作用，沿水平面運動，板與平面的作用，沿水平面運動，板與平面間的摩擦系數(shù)為間的摩擦系數(shù)為.在板上放一半徑為在板上放一半徑

17、為R質(zhì)量為質(zhì)量為M2的實心圓柱，此圓的實心圓柱，此圓柱只滾動不滑動。求板的加速度柱只滾動不滑動。求板的加速度w2aCf2N2解：隔離圓柱，其受力及運動情況如圖，其中解：隔離圓柱，其受力及運動情況如圖，其中aC為質(zhì)心對地的加速度為質(zhì)心對地的加速度, 為相對質(zhì)心的角加速度，為相對質(zhì)心的角加速度，f2, N2分別為板施加給圓柱的靜摩擦力和壓力分別為板施加給圓柱的靜摩擦力和壓力由質(zhì)心運動定理：由質(zhì)心運動定理： gMNaMfc2222, 對質(zhì)心軸應用轉(zhuǎn)動定理：對質(zhì)心軸應用轉(zhuǎn)動定理： 22212RMRf 隔離木板隔離木板, 其受力及運動情況如圖示其受力及運動情況如圖示,其中其中a為板對地為板對地的加速度的

18、加速度, f1、N1分別為水平面施加給板的滑動摩擦分別為水平面施加給板的滑動摩擦力和壓力力和壓力, 應用牛二定律：應用牛二定律： MgNN 21MafNF 21 圓柱只滾不滑的條件：圓柱只滾不滑的條件：a = ac +R 將將代入代入求得：求得：N1=(M+M2)g；由由解得解得, 2ac=R 與與聯(lián)立聯(lián)立, 可求得，可求得，ac=a/3, 代入代入中，中，f2 = a M2 /3；將將N1、f2代入代入中，有中，有 223)(32312)(MMgMMFaMaaMgMMF RM2MFFN2N1f2f1=N1aMg127.5.7 在水平桌面上放置一質(zhì)量為在水平桌面上放置一質(zhì)量為m的線軸，內(nèi)徑為的

19、線軸，內(nèi)徑為b，外徑為，外徑為R,其繞其繞中心軸轉(zhuǎn)動慣量為中心軸轉(zhuǎn)動慣量為mR2/3,線軸和地面之間的靜摩擦系數(shù)為線軸和地面之間的靜摩擦系數(shù)為。線軸受。線軸受一水平拉力一水平拉力F,如圖所示。如圖所示。使線軸在桌面上保持無滑滾動之使線軸在桌面上保持無滑滾動之F最大值最大值是多少？是多少？若若F和水平方向成和水平方向成角，試證，角，試證，cosb/R時，線軸向前滾；時，線軸向前滾；cosb/R時，線軸向后滾動。時，線軸向后滾動。xFobRyf解：建立圖示坐標解：建立圖示坐標, z 軸為角量的正方軸為角量的正方向向, 據(jù)靜摩擦力性質(zhì)據(jù)靜摩擦力性質(zhì), 可知其方向與可知其方向與F水平分量方向相反水平分量方向相反,設線軸質(zhì)心加速度設線軸質(zhì)心加速度為為a ，繞質(zhì)心角加速度為，繞質(zhì)心角加速度為, 方向待定方向待定 由質(zhì)心定理：由質(zhì)心定理： sincosFmgNm