六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)試題-小升初：第十三講策略與操作(解析版)全國(guó)通用

1、第十三講 策略與操作在許多情況下，策略問(wèn)題與操作聯(lián)系在一起，要下一種結(jié)論，我們往 往要找到適當(dāng)?shù)摹白C明”方法。有時(shí)候，我們通過(guò)找規(guī)律（歸納法） ，從正 面證明，有時(shí)候，我們通過(guò)反證法，從反面證明。教學(xué)目標(biāo)1、回顧：對(duì)策問(wèn)題2、精講：操作問(wèn)題。專題回顧斷鏈問(wèn)題【例1】（小數(shù)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽應(yīng)用題第 2 題）鍛工師傅收到五段鐵鏈，每段有三個(gè)環(huán)（如圖）要求連成一條鐵鏈，你認(rèn)為至少 打開(kāi)幾個(gè)環(huán)，才能連成一條鐵鏈？解】 至少打開(kāi) 3 個(gè)環(huán)，因?yàn)榇蜷_(kāi) 2 個(gè)環(huán)，只能連結(jié)三段鐵鏈，而將一段鐵鏈的 3 個(gè)環(huán) 全打開(kāi)，就可以將其余四段全連結(jié)起來(lái)。例 2】 有個(gè)吝嗇的老財(cái)主，總是不想付錢(qián)給長(zhǎng)工。這一次，拖了一個(gè)月的

2、工錢(qián)， 還是不想付?？墒遣桓队终f(shuō)不過(guò)去，便故作大方地拿出一條金鏈，共有 7 環(huán)。對(duì) 長(zhǎng)工說(shuō)：“我不是要拖欠工資，只是想連這一個(gè)月加上再做半年的工資，都以這根 金鏈來(lái)付。 ”他望向吃驚的長(zhǎng)工，心中很是得意， “本人說(shuō)話，從不食言，可以請(qǐng) 大老爺作證。 ”大老爺可是說(shuō)一不二的人，誰(shuí)請(qǐng)他作證，他當(dāng)作一種榮耀，總是分 文不取， 并會(huì)以命相拼也要兌現(xiàn)的。 這越發(fā)讓長(zhǎng)工不敢相信， 要知道， 這在以往， 這樣的金鏈中的一環(huán)三個(gè)月的工錢(qián)也不止。 老財(cái)主越發(fā)得意， 終于拿出殺手锏：“不 過(guò)，我請(qǐng)大老爺作證的時(shí)候，提到一項(xiàng)附加條件，就是這樣的金鏈實(shí)在不能都把 它斷開(kāi)， 請(qǐng)你只能打開(kāi)一環(huán)， 以后按月來(lái)取才行！ ”當(dāng)

3、長(zhǎng)工明白了老財(cái)主的要求后， 不僅不為難，反倒爽快地答應(yīng)了，而且，從第一個(gè)月到第七個(gè)月，順利地拿到了 這條金鏈，你知道怎么斷開(kāi)這條金鏈嗎？解】 斷開(kāi)第三環(huán)，從而得到 1， 2， 4 環(huán)的三段，第一個(gè)月拿走一環(huán)，第二個(gè)月以一換 二，第三個(gè)月再取一環(huán)，第四個(gè)月以三換四，第五個(gè)月再取一環(huán)，第六個(gè)月以一 換二，第七個(gè)月再取一環(huán)。必勝之道【例3】 小明與弟弟在玩一種“搶報(bào) 30”的游戲。從 1 開(kāi)始到 30,兩人輪流報(bào)數(shù)，每人 每次最多報(bào)兩個(gè)數(shù)，誰(shuí)先搶到“ 30”算贏。請(qǐng)問(wèn)，在他們先報(bào)與后報(bào)的人中，誰(shuí) 有必勝的策略?！窘?1】 可以用倒推法，搶到“ 30”的人，必需“搶到” 27、 24、 21、 3，所

4、以，先報(bào) 的人必輸，后報(bào)的人必贏。即后報(bào)的人，結(jié)合先報(bào)的人的報(bào)數(shù)情況，使每個(gè)回合共報(bào)3 個(gè)數(shù)即可?！窘?2】 一般來(lái)說(shuō)，在搶報(bào)“ 30”的游戲中，開(kāi)始可以確定一下策略，就是如何使“30 ”處于一個(gè)回合中的最后一個(gè)， （后取者必勝） ，因?yàn)?30個(gè)數(shù)正好是一個(gè)回合 （ 1+2= ） 3 的倍數(shù)?！就卣埂繉?duì)于搶報(bào) 50，最多可取三個(gè)數(shù)的情況，誰(shuí)取到“50”為輸。請(qǐng)問(wèn)必勝的策略是什么呢？【解】 對(duì)于后取到，則要考慮“逼將”的方法，必須在 N 個(gè)回合之后，只余下 “ 50”來(lái)， 從倒推角度看就是要“搶到” 49、因?yàn)檫@次的游戲規(guī)則是每個(gè)回合為（1+3=） 4，所以， 49÷4=121，則先報(bào)

5、的人第一次只報(bào) 1，接著“配合”對(duì)方，每個(gè)回合共報(bào)4 個(gè)數(shù)，必使對(duì)方報(bào)“ 50”?！军c(diǎn)評(píng)】一般地，如果是“搶報(bào)” n,把 n 放在每個(gè)回合的最后一個(gè)，如果 n 是回合（最多 可報(bào)個(gè)數(shù)）的倍數(shù)，則后報(bào)人必贏。如果有余數(shù)，則先報(bào)的人報(bào)完余數(shù)，繼續(xù)按照后 報(bào)必贏的策略去做。強(qiáng)調(diào)一下報(bào)到 n 為輸?shù)膯?wèn)題，其實(shí)可以理解為搶報(bào)“ n -1”的問(wèn)題。例4】 （小數(shù)報(bào)）如圖，在一個(gè)2004× 16 的長(zhǎng)方形棋盤(pán)左上角的方格中有一個(gè)棋子（用表示） 。小兵和小燕按如下規(guī)則下棋：（1）小兵先走，以后兩人輪流移動(dòng)棋子；（2）棋子縱向或橫向（斜向不可）走幾個(gè)方格都可以，但至少要走1 個(gè)方格；（ 3）每個(gè)方格允

6、許棋子通過(guò)或停留一次；（4）輪到哪一方?jīng)]方格可走時(shí)，哪一方就算失敗。 兩人都在為取勝盡力，其中必有一勝。請(qǐng)問(wèn)：誰(shuí)有必勝的把握？簡(jiǎn)述取勝的策略。解】 小兵有必勝的把握，可按下面策略走棋： 第一步，小兵向右走至最后一格，小燕只能向下走若干格； 第二步，小兵向左走至最后一格，小燕只能向上或向下走若干格； 第三步，小兵向右走至最后一格，小燕只能向上或向下走若干格； 就這樣，小兵始終橫向走，使得小燕只能縱向走。最后小兵必勝。專題精講染色法【例 5】 （小學(xué)數(shù)學(xué)夏令營(yíng)活動(dòng)試題）有一個(gè) 5×5的方格棋盤(pán)，每一個(gè)小方格中有一只小甲蟲(chóng)，假定在同一時(shí)刻，所有 小甲蟲(chóng)都爬到鄰格中（橫向與縱向的格，不能斜爬

7、） ，問(wèn)此時(shí)能否會(huì)出現(xiàn)空格？【解】 初看這個(gè)問(wèn)題，似乎無(wú)從下手，但如果我們利用“染色”的手段，就會(huì)使問(wèn)題 簡(jiǎn)化，很輕松的得到正確答案 .將 5×5棋盤(pán)用黑白兩種顏色相間染色， 如圖所示， 此時(shí)共有黑格 13 個(gè)，白色格 12 個(gè).當(dāng)每個(gè)小格中的甲蟲(chóng)同時(shí)爬向鄰格時(shí)，即黑 格中的甲蟲(chóng)爬到白格中，白格中的甲蟲(chóng)爬到黑格中，由于黑格比白格多一格， 則原來(lái)白格中的甲蟲(chóng)爬到黑格后必空一格，所以該題的答案是肯定的。歸納法【例6】 （“華羅庚金杯”數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽）先寫(xiě)出一個(gè)兩位數(shù)62，接著在 62 右端寫(xiě)這兩個(gè)數(shù)字的和 8，得到 628，再寫(xiě)末兩位數(shù)字 2和 8的和 10，得到 62810，用上 述方法得

8、到一個(gè)有 2006 位的整數(shù)：6 2 8 1 0 1 1 2 3 則這個(gè)整數(shù)的數(shù)字之和是（ ）?！窘狻?7018。這個(gè) 2006 位整數(shù)的前若干位如下：62810 112358134711從第 6 位起，每 10 位數(shù)字循環(huán)出現(xiàn)一次，這 10 位數(shù)字之和為1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 1 + 3 + 4 + 7 = 35 。（ 2006 5）÷ 10=200 1，這個(gè)整數(shù)的數(shù)字之和是6 + 2 + 8 + 1 + 0 + 35×200 + 1 = 7018 。例 7】 （西城八中入學(xué)選拔試題）A、B、C、D四個(gè)盒子中依次放有 6，4，5，3 個(gè)球。第 1個(gè)

9、小朋友找到放球最少的 盒子， 從其他盒子中各取一個(gè)球放入這個(gè)盒子； 然后第 2 個(gè)小朋友找到放球最少的盒 子，從其他盒子中合取一個(gè)球放入這個(gè)盒子；如此進(jìn)行下去， 。求當(dāng) 34 位小朋 友放完后， B 盒子中放有球多少個(gè)？【解】盒 子ABCD初始狀態(tài)6453第 1 人放過(guò)后5346第 2 人放過(guò)后4635第 3 人放過(guò)后3564第 4 人放過(guò)后6453第 5 人放過(guò)后5346由此可知：每經(jīng)過(guò)4 人，四個(gè)盒子中球的情況重復(fù)出現(xiàn)一次，因?yàn)榈?34 次后的情況與第2 次后的情況相同，即B 盒子中有球 6 個(gè)34÷ 4=8，2所以操作法【例 8】 將 7×7的方格紙 （ 如下頁(yè)圖 ）

10、 剪成 1×5和 2×3的長(zhǎng)方形， 使得剩余的殘料 盡可能少。殘料最少是幾個(gè)小方格？【解】0。提示：7×7的方格紙共有 49個(gè)小方格。5×5+4×6=49，即 5個(gè) l×5加上 4個(gè) 2×3 的長(zhǎng)方形正好是 49 個(gè)小方格。經(jīng)過(guò)試驗(yàn)可拼成下圖。例 9】 （ 小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)讀報(bào)競(jìng)賽）把一張正方形的餐巾紙先上下 對(duì)折，再左右對(duì)折（如右圖） ，然后用剪刀將所得的小正方形沿直線剪 一刀。問(wèn)能把餐巾紙：（ 1）剪成 2 塊嗎？（ 2）剪成 3 塊嗎？（ 3）剪成 4 塊嗎？（ 4）剪成 5 塊嗎？如果你認(rèn)為能剪成，請(qǐng)?jiān)谙旅鎴D中各畫(huà)出一種

11、你的剪法；如果你認(rèn)為不能，那么只需回答“不行”即可。（1）剪開(kāi)成兩塊，如下圖：4）剪開(kāi)成 5 塊，如下圖：2）剪開(kāi)成 3 塊，如下圖：3）剪開(kāi)成 4 塊，如下圖：枚舉法【例10】有 6張電影票 （如下圖 ） ，想撕成相連的 3張，共有多少種不同的撕法？解】：形如的有 2種，形如的有 8種。例11】大、小兩枚骰子，每枚骰子的六個(gè)面分別畫(huà)著16 個(gè)點(diǎn)。同時(shí)拋這兩枚骰子，兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之差等于 1 與等于 2 的可能性相比，等于幾的可能性大。解】：點(diǎn)數(shù)之差等于 1時(shí)，大骰子的點(diǎn)數(shù)由 1到 6對(duì)應(yīng)小骰子的點(diǎn)數(shù)如下，共 10種情況： 1 2 3 4點(diǎn)數(shù)之差等于 2時(shí)，共 8種情況：1 3,2 4 ， 3

12、 5 ,4 6， 5 3,6 4所以等于 1的可能性大。建模法【例 12】 有一疊 300 張卡片， 從上到下依次編號(hào)為 1300，從最上面的一張開(kāi)始按如 下的順序進(jìn)行操作：把最上面的第一張卡片拿掉，把下一張卡片放在這一疊卡片 的最下面；再把最上面的依次重復(fù)這樣做，直到手中剩下一張卡片。那么剩下的 這張卡片是原來(lái) 300 張卡片的第幾張？【解】 88 張。當(dāng)有 256=28（張）卡片時(shí)，第一輪過(guò)后剩下的是2 的倍數(shù)號(hào)卡片，第二輪過(guò)后剩下的是 22的倍數(shù)號(hào)卡片第 8 輪過(guò)后，剩下的是 28的倍數(shù)號(hào)卡片，即就剩 下 1 張卡片，是第 256 號(hào)卡片?，F(xiàn)在有 300張卡片，如果拿掉 300256=4

13、4（張）卡片，剩下 256 張卡片，那 么就變?yōu)樯鲜龅那闆r了。 拿掉的第 44 張卡片是編號(hào)為 44×2 1=87（號(hào)）的卡片， 此時(shí)剩下 256 張卡片，下一個(gè)要拿掉的是第 89 號(hào)卡片，第 88 號(hào)是最后一張。所 以，剩下的這張卡片是原來(lái)的第 88 張。 2【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵是從模型 2n中找到規(guī)律，這種規(guī)律的前提是2n 個(gè)數(shù)，這就要考量怎么轉(zhuǎn)換條件的問(wèn)題?！就卣埂控堊胶淖訂?wèn)題（奧數(shù)網(wǎng)學(xué)員研究心得）欲看奧數(shù)精彩，敬請(qǐng)繼續(xù)關(guān)注：暑假班下一講“ IQ 與數(shù)學(xué)應(yīng)用真題實(shí)戰(zhàn)1、（仁華試題）現(xiàn)有 2.8 米長(zhǎng)的方木條原料， 要截成 1.2 米、0.9 米兩種長(zhǎng)度的木條作鏡框 （每個(gè)鏡框要用 長(zhǎng)、

14、短木條各兩根） . 要做 30個(gè)鏡框，如何下料可以最??？【解】：這是個(gè)節(jié)約用料的問(wèn)題 . 如果不精打細(xì)算就會(huì)簡(jiǎn)單的用一根原料截長(zhǎng)短木條各一根， 就樣就需要 60根原料 .而這樣就會(huì)造成很大的浪費(fèi) .因?yàn)槊扛鲜Ｏ碌臍埩蠟?2.8-1.2-0.9=0.7 （米）， 60 根原料所剩的殘料則是很大的一個(gè)數(shù)字，顯然這不是最佳的 方案。如果我們考慮用一根原料分別截取長(zhǎng)短木條，則：（ 1）可截 1.2 米木條兩根，余料 0.4 米；（ 2）可截 0.9 米木條三根，余料 0.1 米?，F(xiàn)設(shè)取 x 根原料用于截法（ 1）：取 y 根原料用于截法（ 2）. 則有故需要原料 50 根即可制成 30 個(gè)鏡框。1

15、 7 根，2、兩人作移火柴棍的游戲，游戲的規(guī)則如下：兩人從一堆火柴棍中可輪流移走1000 根火柴，則先移的人第直到移盡為止。挨到誰(shuí)移最后一根就算誰(shuí)輸。如果開(kāi)始時(shí)有 次應(yīng)該移動(dòng)（ ）根火柴棍，才能保證在游戲中獲勝?！窘狻?7。先取者必須首先移走 7 根火柴，才能保證在游戲中獲勝，其獲勝的方法是以后每 次移走的火柴數(shù)與后移者剛剛移走的火柴數(shù)加起來(lái)等于8。這樣由于 10007 993，而993/8 124 余 1，最后一根火柴總是被后移者移走。3、將前 100 個(gè)自然數(shù)順次寫(xiě)下得到多位數(shù) 12345678910 .100 ，從首位起將這些數(shù)位從1 開(kāi)始編號(hào)，然后劃去編號(hào)是奇數(shù)的數(shù)位上的數(shù)字， 這樣便

16、形成一個(gè)位數(shù)較少的多位數(shù)，重 復(fù)上述這種劃去數(shù)字操作，直至得到一個(gè)三位數(shù)，則這個(gè)三位是（ ）。 【解】第一次操作后，剩下的全都是偶數(shù)位的數(shù)字 第二次操作后，剩下的全是 4 的倍數(shù)位上的數(shù)字；直到第六次操作后，剩下的全是64 的倍數(shù)位上的數(shù)字，原多位數(shù)一共有 92903192 位，所以此時(shí)剩下的是第 64位、128 位和 192位上的數(shù) 字。64 9 55,55/2 27 .1 ，所以第 64位上的是“37”的“3”；1289119,119/2 59 .1 ， 所以第 128 位上的是“ 69”的“ 6”，所以剩下的三位數(shù)是 360。） 4、A、B、C、D、E、F、G 共 7 位先生參加一次聚會(huì)

17、，期間他們中有些人相互握手，并且 兩個(gè)人之間至多握一次手， 最后 A 、B 、C、D 、E、F 回憶各自握手次數(shù)依次為 6、6、5、4、 4、 2，并且 D 和 E 沒(méi)有握手，那么 G 握了（ ）次手?！窘狻?5。首先可注意到 A、B 和每個(gè)人握了手，由 F 只握了兩次手可知他與 C 、D、 E、G 都沒(méi)握手，從而由以 C握了 5次手得到他只沒(méi)有和 F握手，即和 G握過(guò)手，由于 D、E 沒(méi) 有握手且他們都沒(méi)有和 F 握手，而他們分別握了 4 次手，所以他們都和 G 握過(guò)手，從而 G 僅沒(méi)有和 F 握手，即他握了 5 次手。5、黑板上寫(xiě)著 1,2 ，3,4 200 各一個(gè)，小明每次擦去兩個(gè)奇偶性

18、相同的數(shù)，再寫(xiě)上它們 的平均數(shù)，最后黑板上只剩下一個(gè)自然數(shù)，這個(gè)數(shù)最大是（）?！窘狻坑捎谄骄鶖?shù)不會(huì)大于原來(lái)較大的數(shù)，所以該數(shù)不可能大于200，又因?yàn)橐婚_(kāi)始只有一個(gè) 200 ，所以平均數(shù)肯定比 200 小。如果擦去 1 和 3，寫(xiě)上 2 再擦去 2 和 2，仍寫(xiě)上 2，擦 去 2 和 4 ，寫(xiě)上 3 ，再擦去 3 和 3，仍寫(xiě)上 3； .擦去 198 和 200 寫(xiě)上 199，再擦去 199 與 199，仍寫(xiě)上 199，這樣最后只剩下 199，所求答 案為 199。）數(shù)學(xué)語(yǔ)絮祖沖之和圓周率的故事祖沖之出身于南朝劉宋的一個(gè)官員家庭。從青年時(shí)代他就致力于天文和數(shù)學(xué)等領(lǐng)域的研究。晉朝時(shí)的劉徽用“割圓術(shù)

19、”從邊長(zhǎng)為 l 尺的正六邊形開(kāi)始分割，以周長(zhǎng)除以直徑，求得圓周率為 3.141024。祖沖之繼續(xù)劉徽的工作算到圓內(nèi)接正 24576 邊形，求得 是介于下面兩數(shù)之間： 3.1415926< <3.1415927 。祖沖之并以分?jǐn)?shù)來(lái)代表圓周 率的近似值，稱為“密率” 。西方世界在祖沖之以后 1000 年才找出這個(gè)近似，值。因此有人建議將這個(gè)圓周率的近似值，稱為“祖率” ，以紀(jì)念祖沖之的貢獻(xiàn)。祖沖之不 論是對(duì) 的計(jì)算或“密率”的提出，都比外國(guó)科學(xué)家早了 1000 多年，這正是祖沖之對(duì)數(shù)學(xué) 的卓越貢獻(xiàn)。祖沖之享有很高的國(guó)際聲譽(yù)，月球上有一座山用他的名字命名 （ “祖沖之山 ”） 就是一個(gè)例

20、證。那么，祖沖之是怎樣求出的呢 ?祖沖之先是在地上畫(huà)一個(gè)直徑為1 丈的大圓，又按照劉徽所用的割圓術(shù)，在圓內(nèi)做一個(gè)內(nèi)接正六邊形。每邊與半徑一樣長(zhǎng)，半徑長(zhǎng)是 5 尺，所以 每邊長(zhǎng)也是 5 尺。后來(lái)，祖沖之再把六邊形所對(duì)的六個(gè)圓弧平分，做出了正十二邊形，用 尺子一量，每邊長(zhǎng)是 2 尺 6 寸多。他想用尺子量只是一個(gè)大概，要想求出精確的解必須用 數(shù)字才行，因此他又叫來(lái)自己的兒子祖恒過(guò)來(lái)用竹制的算籌幫忙。到后來(lái)，每個(gè)數(shù)字都會(huì) 拖得長(zhǎng)長(zhǎng)的。每算完一步，祖恒都要在旁邊記錄一下結(jié)果。父子倆個(gè)算到半夜，直到燈油快干了，才算出來(lái)十二邊形的每邊長(zhǎng) 0.258819 丈，總長(zhǎng) 是 3.105828 丈。 “兒子，咱們

21、終于算出來(lái)了 ! ”祖沖之拍了拍兒子的肩頭說(shuō)。辛苦了大半夜終 于有了一點(diǎn)收獲， 祖沖之再次端詳了一下這個(gè)來(lái)之不易的數(shù)字， 便陪著兒子一塊睡覺(jué)去了。 第二天，父子兩個(gè)又投入到緊張的計(jì)算工作中去。這天晚上，父子倆又按照昨晚的計(jì)算思 路計(jì)算了圓內(nèi)接正二十四邊形的長(zhǎng)度。在兒子的協(xié)助下，祖沖之又相繼計(jì)算出了圓內(nèi)接正四十八邊形、九十六邊形邊數(shù) 越多，每邊的長(zhǎng)度也就越小，正 12288 邊形每邊的長(zhǎng)為 0.00025566 丈。祖沖之認(rèn)為，從理 論上來(lái)說(shuō)，把圓周這樣分割下去是無(wú)窮無(wú)盡的，但是事實(shí)上目前已經(jīng)不能再分割下去了。 因此，當(dāng)時(shí)祖沖之就只能分割到 24576 邊形就得到了結(jié)論：圓的周長(zhǎng)與直徑的比值在

22、3.1415926 和 3.1415927 之間，這樣就比較精確地計(jì)算出了圓周率的值。附加習(xí)題【附 1】 （學(xué)而思學(xué)生數(shù)學(xué)小論文） 貓捉耗子是一個(gè)有名的游戲，一只貓讓N 個(gè)老鼠圍成一圈報(bào)數(shù)，每次吃掉報(bào)單數(shù)的老鼠，有一只老鼠總不被吃掉，問(wèn)這個(gè)老鼠站在哪個(gè)位置？數(shù)學(xué)中稱這類問(wèn)題為貓捉耗 子問(wèn)題。對(duì)這類問(wèn)題通常的做法是從特殊情況出發(fā)，逐步發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后給出求解公 式。老師在課堂上介紹了公式以及推導(dǎo)過(guò)程， 但我認(rèn)為推導(dǎo)過(guò)程較為復(fù)雜， 不好理解。 根據(jù)反復(fù)試驗(yàn)和觀察，本文給出了一種容易理解的求解這類問(wèn)題的方法。方法和例子 這里列舉這類問(wèn)題的兩種情形。對(duì)于每種情形都首先考慮特殊情況，然后從中發(fā) 現(xiàn)規(guī)律。這

23、兩種情形都是基于如下前提：從 1 到 N編號(hào)的 N 個(gè)老鼠順時(shí)針圍成一圈，從 1 開(kāi)始報(bào)數(shù)。并規(guī)定游戲一開(kāi)始的第一個(gè)生存者是 1 號(hào)老鼠。設(shè)老鼠的總個(gè)數(shù)為 N，最后幸存 的老鼠編號(hào)為 X。情形 1：1 號(hào)老鼠生存下來(lái)， 2 號(hào)老鼠被貓吃掉； 3 號(hào)老鼠生存下來(lái)， 4 號(hào)老鼠被貓吃掉 就這樣，這只貓每隔一只老鼠，就吃掉另一只老鼠，那么最后唯一幸存的那只老鼠是幾號(hào) 呢？先考慮簡(jiǎn)單的情況。當(dāng)有兩只老鼠圍成一圈時(shí)，貓吃掉了2號(hào)，1 號(hào)為最后的幸存者；當(dāng)有三只老鼠圍成一圈時(shí)， 貓先吃掉了 2 號(hào)，然后是 1 號(hào)，最后的幸存者是 3 號(hào) ，依次類推，可發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：N2345678910111213141

24、51617181920.X131357135 791113151 357 9.對(duì)于這種情況，每次貓都是從兩只老鼠中吃掉一只老鼠，可認(rèn)為 2 只為一個(gè)周期， 用 m2 表示；用 n表示每個(gè)周期內(nèi)吃掉的老鼠數(shù)目，這里是n=1。情形 2：1 號(hào)老鼠生存下來(lái)， 2 號(hào)、 3 號(hào)老鼠被貓吃掉； 4 號(hào)老鼠生存下來(lái)， 5 號(hào)、 6 號(hào)老鼠 被貓吃掉 就這樣，這只貓每隔一只老鼠，就吃掉另兩只老鼠，依次下去，最后唯一幸存的那只老鼠是幾號(hào)呢？先考慮簡(jiǎn)單的情況。當(dāng)有三只老鼠圍成一圈時(shí)，貓吃掉了 2 號(hào)和 3 號(hào)，1 號(hào)為最后 的幸存者；當(dāng)五只老鼠圍成一圈時(shí)，貓先吃掉了 2 號(hào)和 3 號(hào)，然后是 5 號(hào)和 1 號(hào)，

25、最后的 幸存者是 4 號(hào) ，依次類推，可發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：N357 9 1113151719212325272931338183X147 171013161922251471014對(duì)于這種情況， 每次貓都是從三只老鼠中吃掉兩只，可認(rèn)為 3 只為一個(gè)周期，即 m 3；每 3 只中吃掉兩只，因此， n=2。結(jié)論通過(guò)對(duì)上述兩種情形的運(yùn)算結(jié)果的觀察，發(fā)現(xiàn)N 的所有可能的取值按照一定的順序排列后， 構(gòu)成了一個(gè)等差數(shù)列 A。該數(shù)列的首項(xiàng) a1 m，公差 dn（m和 n 都是正整數(shù)） 。而與 N對(duì)應(yīng)的 X 的取值則構(gòu)成了若干個(gè)等差數(shù)列 B1，B2，. ，Bk。這些等差數(shù)列 的公差都為 m，首項(xiàng)都為 1。還發(fā)現(xiàn)，

26、構(gòu)成的這些等差數(shù)列有這樣一個(gè)規(guī)律：每逢N 的值為mk時(shí)（m和 k 都是正整數(shù)） ，對(duì)應(yīng) X 的取值就是 1。也就是說(shuō)， 當(dāng) N的取值范圍從 mk到 mk+1 n 之間時(shí)，對(duì)應(yīng)的 X的取值就構(gòu)成了一個(gè) d=m， a1=1 的等差數(shù)列，項(xiàng)數(shù)就是從 N=mk到 N=mk+1 n 之間數(shù)的個(gè)數(shù)（包括 mk 和 mk+1n 這兩個(gè)數(shù)）。那么現(xiàn)在來(lái)看看一般情形：如果貓要從m個(gè)老鼠中吃掉 n 個(gè)老鼠，那么最后幸存的老鼠是幾號(hào)呢？由上面的結(jié)論，可以得出這樣的求解步驟：1、首先找到小于 N 的一個(gè)最大的數(shù) mk（k 是正整數(shù)，并假設(shè) Nmk）；2、這樣就構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng) a1 mk，末項(xiàng) anN，公差 d n 的等

27、差數(shù)列 A，利用公 式求出項(xiàng)數(shù) b; （即， b = 1 （N- mk）/n ）3、因?yàn)?X 的每個(gè)取值也構(gòu)成了一個(gè)與 A對(duì)應(yīng)的等差數(shù)列 Bk，其中，公差為 m， 首項(xiàng)為 1，項(xiàng)數(shù)為 b。利用等差數(shù)列求末項(xiàng)公式，求出末項(xiàng)an；（即， an = 1 + （b-1）*m ）4、an 就是與 N對(duì)應(yīng)的 X 的值，也就是最后唯一幸存老鼠的編號(hào)。 本文提出的求解方法，通過(guò)帶入老師所給出的公式驗(yàn)證后，證明此方法是正確的。附 2】 聰明的豬 從前，有個(gè)叫二愣的屠夫，有殺豬宰羊的好手藝，又雇傭著十幾個(gè)殺豬能手，在這方 圓幾十里，算是有名的大屠戶了。一天，二愣又要?dú)⒇i了。按照慣例，總是由二愣先殺第一頭豬。哪知，

28、“老虎也 有大意的時(shí)候”，只見(jiàn)那頭豬剛被翻倒在地，就狠狠地咬了二愣一口，急急地跑進(jìn)豬 圈了。這還了得！二愣氣呼呼地追進(jìn)豬圈里，可是圈里有 1000 頭豬，怎么認(rèn)得出那頭豬 呢！“殺！”隨著二愣一聲吼， 1000 頭豬全部被強(qiáng)行趕進(jìn)屠宰場(chǎng)?！岸?xì)⒘藛?？”伙?jì)們怯生生地問(wèn)?！安??！倍逗鋈幌氤鰝€(gè)怪主意，“把這 1000 頭豬排成一行，先殺第一頭，然后 隔一頭殺一頭；殺完第一遍后，還是原來(lái)的隊(duì)形，再用同樣的方法殺第二遍；這樣一 遍一遍地殺下去”二愣停了停說(shuō)，“最后只留下一頭豬?！倍缎南?， 1000 頭豬最后只留下一頭，看你還能活！ 哪里知道，這是一頭聰明的豬，趁著混亂，它很快找到了避難的位置，居然躲過(guò) 了這一刀。請(qǐng)問(wèn)，這頭豬到底排在什么位置上呢？【解】 29=512 ，這是有活路的吉祥數(shù)?。　就卣埂咳绻纬梢蝗φ玖?，則要考慮余下 512 頭豬的情況時(shí)的最后一頭。929=512，（1000-512 ）× 2-1=975 （號(hào)）975+1=976（號(hào)）最有活路。【附3】 四種重量分別是 1克，3克，8克和 12 克的砝碼，每種重量都有 3個(gè)砝碼，在稱 物品重量的時(shí)候，砝碼只能放在天平的一邊，而且每次最多用 3 個(gè)砝碼。那么， 用這些砝碼稱物品的重量時(shí)，不能稱出來(lái)的整數(shù)克重的物品的